2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念及运算

导数的概念与运算(教案)

一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页） 1、 导数及有关概念：

函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0

x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果

0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

x x y ='，

即0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成

000000

()()()()

()lim

lim x o

x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：

导数0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，

它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．

的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果

)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为

000()()()y f x f x x x -='- 3.导函数(导数):

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这

个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．

，也可记作y '，即()f x '

＝y '＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

00

说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导

函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.

函数)(x f y =在0x 处的导数0

x x y ='

就是函数)(x f y =在开区间)

,(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0

x x y ='

＝0()f x '.所以函数)

(x f y =在0x 处的导数也记作0()

f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：

如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：

()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆

()2求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x

y

x ∆∆→∆0lim

7.几种常见函数的导数： 0'=C (C 为常数)； 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；

x x cos )'(sin =；

x x sin )'(cos -=；

1(ln )x x

'=

；

1

(log )log a a x e x

'=

， ()x x e e '= ；

()ln x x a a a '=

8.求导法则：

法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=

法则3： '

2

''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

9.复合函数的导数：

（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'

10.复合函数的求导法则：

（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代

12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，

要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 二、题型探究：

探究一．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

例1：

(1).（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷、若曲线ln y kx x =+在

点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【答案】1-

(2). [2014·广东卷10]．曲线y ＝e －

5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

[解析] : y ＝－5x ＋3 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′

＝－5e －

5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即