第1章质点运动学
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章 质点运动学
由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动
第1章_质点运动学
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
大学物理第1章质点运动学ppt课件
大学物理第1章质点运动学ppt课件•质点运动学基本概念•直线运动中质点运动规律•曲线运动中质点运动规律•相对运动中质点运动规律目录•质点运动学在日常生活和工程技术中应用•总结回顾与拓展延伸质点运动学基本概念01质点定义及其意义质点定义用来代替物体的有质量的点，是一个理想化模型。
质点意义突出物体具有质量这一要素，忽略物体的大小和形状等次要因素，使问题得到简化。
参考系与坐标系选择参考系定义为了研究物体的运动而选作标准的物体或物体系。
坐标系选择为了定量描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系等。
位置矢量与位移矢量位置矢量定义从坐标原点指向质点的矢量，用r表示。
位移矢量定义质点从初位置指向末位置的有向线段，用Δr表示。
质点在某时刻的位置矢量对时间的变化率，即单位时间内质点位移的矢量，用v 表示。
速度定义加速度定义速度与加速度关系质点在某时刻的速度矢量对时间的变化率，即单位时间内质点速度的变化量，用a 表示。
加速度是速度变化的原因，速度变化快慢与加速度大小成正比，方向与加速度方向相同。
速度加速度定义及关系直线运动中质点运动02规律匀速直线运动特点及应用特点质点在直线运动中，速度大小和方向均保持不变。
应用描述物体在不受外力或所受合外力为零的情况下的运动状态。
匀变速直线运动规律探究定义质点在直线运动中，加速度大小和方向均保持不变。
运动学公式包括速度公式、位移公式和速度位移关系式，用于描述匀变速直线运动的基本规律。
定义物体在重力的作用下从静止开始下落的运动。
运动学公式包括位移公式、速度公式和速度位移关系式，用于描述自由落体运动的基本规律。
运动特点初速度为零，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
自由落体运动分析竖直上抛运动过程剖析定义物体以一定的初速度竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。
运动特点具有竖直向上的初速度，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版
质点运动的方法。
x
1
gt2
2
1.2.1 位置矢量 运动方程
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位
r 置矢量, 简称位矢 。
r
xi
yj
zk
y
y
r
*P
k j
式中 i、j 、k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
z ox
i
x
例如： r 2i 3 j 5k z
r 位矢 的大小为： r r x2 y2 z2
x
dx dt
r dr r2 h2 dt
按题意
0
dr dt
由此得船速
x 0
r r2 h2
0
x2 h2 x
v = vxi = -v0
x2 h2 i x
上式中的负号表示船的速度v沿X轴的负方向。
加速度：
ax
dvx dt
0
h2 x2 h2
dx dt
v02h2 x3
a
v02h 2 x3
i
负号表示加速度a的方向与X轴的正方向相反。 由于a与v同向，所以小船是加速靠岸的。
在直角坐标系中分解：
r xi yj zk
在直角坐标系中分 解：
rA xAi yA j zAk rB xBi yB j zB k
则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r (xB xA)i ( yB yA) j (zB zA)k
xi yj zk
y
yB A r
r y A A
z = z(t)
该r运动2方ti程矢(8量式t：2 )
j
方程组消去t就得到质点的轨迹方程。 例运动学方程为x=2t, y=8-t2,轨迹方程为
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
第1章质点运动学
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
第一章 质点 运动学
rB
r
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误 注： r (或称 r |) 位矢大小的变化量
r r
r r
s r
s r
s r
平均速度： v
r t
单位： m s 1
平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致
质点作变加速圆周运动，切 向加速度和法向加速度的大小方 向
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
例 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,
以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并
略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其
y
B
角速度：
lim
t d dt
R
s
A
角加速度：
t 0
O
x
lim
t 0
t
d dt
圆周运动的角量描述
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
RES 1.5 108 3 RE 6.4 10
2.4 10 1
4
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，作为质点处理。
质
点
研究地球自转
v R
地球上各点的速 度相差很大，因 此，地球自身的 大小和形状不能 忽略，这时不能 作质点处理。
第一章- 质点运动学
间位置而设置的坐标系统，是固结于参考系上的一个数
学抽象。 常见的坐标系：
角向
r
Oα
径向
•P(r,α)
极轴
z
P•(x,y,z)
r
Or
y
x
极坐标系
r n
τr
P(n,τ)
O
•P(r,ϕ ,θ ) r
直角坐标系
自然坐标系
球坐标系
§1-2 描述质点运动的物理量
1-2-1 位置矢量与运动方程
上海
热带风暴
1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
设质点： t+
t ∆t
时位时移刻刻:：: AB∆,, rvrvrBvA
z
A v
∆rv
B
rA
v rB
O
y
x
平均速度： vr = ∆rv ∆t
单位：m⋅s-1
平均速度的方向与∆t时间内位移的方向一致
2 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
2. 瞬时速度(速度) 精细地描述质 z
avt
=
dv dt
evt
=
d2s dt 2
evt
v 讨论 det
dt
∆evt
=
v et
(t
+
∆t)
-
v et
(t
)
当： ∆t → 0 , ∆θ → 0
有 ∆et = et ⋅ ∆θ = ∆θ
方向 ∆evt ⊥ evt
v d et dt
= lim ∆evt ∆t→0 ∆t
= lim ∆θ ∆t→0 ∆t
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学一、目的与要求1、确切理解描述质点运动及运动变化的基本物理量；掌握位置矢量、位移、速度、加速度的定义及性质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。
2、熟练掌握质点运动学两类问题，即用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速度；用积分方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。
3、熟悉和掌握在几种常用坐标系（直角坐标系、自然坐标系、极坐标系）下速度、加速度的表达形式。
4、掌握圆周运动的角量表示及角量与线量之间的关系。
5、掌握速度、加速度变换式，并会运用变换式求解质点相对运动问题。
二、内容提要1、确定质点位置的方法：确定质点运动首先要确定参考系，在确定的参考系中，确定质点位置的方法主要有坐标法、位矢法和自然法。
2、运动学方程：表示质点位置随时间变化关系)(t r r =用直角坐标表示⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 用极坐标表示⎩⎨⎧==)()(t t r r ϕϕ 用自然坐标表示)(t s s =3、质点的位移、速度和加速度 位移：)()(t t t r r r -∆+=∆速度：td d r =v 加速度：22d d d d tt ra ==v在直角坐标系中k j i k j i tz t y t x z y x d d d d d d ++=++=v v v v k j i k j i a tt t a a a z y x z y x d d d d d d vv v ++=++=k j i 222222d d d d d d t z t y t x ++=在极坐标系中 r t r r +=+=r r d d 00ϕϕv v v t d d ϕ0ϕϕa a r +=0r a 0ϕ)d d d d 2d d ())d d (d d (220222t t r tr t r t r ϕϕϕ++-=r 0ϕ 在自然坐标系中ττtsd d ==v vτττt a a n d d v =+=n a ρ2v +n n ρτ222)d ds (d d t t s += 4．圆周运动运动学方程（角位置）：)(t θθ= 角位移：)()(t t t θθθ-∆+=∆角速度：td d θω= 角加速度：22d d d d tt θωβ== 线量与角量的关系：θr s =ωθr t r t s ===d d d d vβωτr t r t a ===d d d d v22ωωr ra n ===v v5．运动学的两类问题（1）已知)(t r r =，求)(t v v =，)(t a a =等——微分 （2）已知a 和0r ，0v ，求运动学方程)(t r r =——积分 6．相对运动一质点相对于两个相对平动参考系的速度间关系为e r a v v v +=加速度变换关系为e r a a a a +=三、例题1－1 在平面上运动的某质点，运动方程为Rt t R x ωω+=sin ，R t R y +=ωcos ，式中ω，R 为正的常量。
第一章质点运动学
3v 1.73v， y 轴正向 沿
作业：习题1-7，1-9
练习：习题1－6
提示：1-1题为第一类质点运动学问题,即 运动方程 加速度
速度 加速度
1-2题为第二类质点运动学问题,即
速度 运动方程
§1-3
圆周运动
y
y
平面极坐标 质点在A点的位置由 （r,θ）来确定． 以（r,θ）为坐标的 坐标系称为平面极坐标系
x x(t ) 分量式 y y (t ) z z(t )
—参数方程
2.运动方程
y
y (t )
r (t )
P
x(t )
从上式中消去参数 t ，可 z (t ) z 得质点运动的轨迹方程:
o
x
f ( x, y, z) 0
选择题.已知一质点位置矢量的表达式为 ： r 2i 5 j 37k ,则该质点作 (A) 匀速直线运动。 (B) 静止。 (C) 抛物线运动。 (D)一般曲线运动。
物 理 学
第一章
质点运动学
§1-1
质点运动的描述
一 参考系 质点 1.参考系 为描述物体运动而选定的标准物,称 为参考系。 参考系选取的不同，物体运动的描 述不同，即对物体运动的描述具有相 对性。 2.质点 忽略物体的体积与形状,将其抽象为 具有同等质量的点，称为质点. 质点是理想模型.
二 位置矢量
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0， 则有 t x 2 ，带入 y 中可消去参数 t ，
可得轨迹方程为
轨迹图
t 4 s
6
y 0.25x x 3.0
2
y/m
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学
1.1 质点运动的描述
一、几个基本概念
运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
1. 参考系 为了描述物体的运动而被选作参考的 物体叫做参考系.
任何实物物体均可被选作参考系;场不能作为参考系。
2. 坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考 系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
?
即：
v v lim lim ? t 0 t t 0 t
v
vB
A
v
v v dv dv dt dt
第1章 质点运动学
总结：
描述对象 位置
描述质点运动的基本物理量
物理量 位矢 定义
r , r (t )
中心
位置变化
位移
v v0
a (t )
，如何求解
即
dv a dt
t dv adt
t0
同理：
r
r0
t dr v dt
t0
积分上、 下限！
第1章 质点运动学 例: 质量为5kg可视为质点的物体从原点开始运动， 其加速度为 a (0.4 1.2t )i 1.6 j （设运动开始记时，t 为运动时间），求任意时刻质点的速度及运动方程。
rB
r
r r
第1章 质点运动学
讨论： 比较位移和路程
r AB
s AB
s
A
B
r
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关 直线（直进）运动 r s 何时取等号？ 曲线运动 t 0时, dr ds
大学物理第一章 质点运动学
a 常量，v v0 at,
•匀变速直线运动：
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
注意：以上各式仅适用于匀加速情形。
t t
要求 v( y )，可由
dv dv dy dv a v dt dy dt dy
有
积分得
v
dv kv v dy
2
dv kdy v
y dv v ky v0 v k 0 dy ln v0 ky, v v0e
1－3 曲线运动
一．运动的分解
如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一 时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然 两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。 说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运 动，在竖直方向作自由落体运动。
其大小注意a aa a2 x 2 y2 z
dv dv a a dt dt
•描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括
r , v, a
应注意它们的
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
1 gx y xtg 2 2 2 v0 cos 19.6 2 50tg 50tg 19.6(1 tg ) 2 cos
两边一起定积分得
dv dv adt kv dt kdt 2 v
2
v
v0
t dv k dt 2 0 v
v0 v(t ) kv0t 1
第1章 质点运动学
r = op
j
y A β
y P
r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k
质点的运动函数 质点的运动函数
γ
α
r
x n
B x
z
2
O
r = x + y +z x y z cosα = cos β = cosγ = r r r
2 2
z
i
k
5
1.1 参考系 位置矢量
运动函数
r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k
求速度
求导） 求加速度 （求导）
求位置（运动函数） 积分） 求位置（运动函数） 积分） （
13
1.3 圆周运动
1.3.1 描述圆周运动的物理量
质点的运动轨迹是固定的圆周的运动称为圆周运动 质点的运动轨迹是固定的圆周的运动称为圆周运动 质点作曲线运动时， 质点作曲线运动时，可以看作各个 瞬间做不同曲率半径的圆周运动。 瞬间做不同曲率半径的圆周运动。 1. 角位移 角位置
其方向为： 其方向为： 初位置指向末位置
∆r
N B
r1
O
r2
7
1.1 参考系 位置矢量
位移
∆r = MN
M A
路程 质点在某段时间内所经过 的轨迹长度。 的轨迹长度。
∆S
∆S
∆r ≤ ∆S
∆r = r2 − r1
∆r ≠ ∆r
r1
O
∆r
N B
r2
思考： 号何时成立？ 思考：等号何时成立？ 位移性质： ） 位移性质： 1）矢量性 （ （2）相对性（参考系） ）相对性（参考系）
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
质点运动学
et (t)
A
Δs
Δθ
Δθ
Δ et
o
B
et (t + Δt)
dθ 1 en (t) = v dt ρ o' det dθ 1 v =v en = v en 切向加速度分量 an dt dt ρ 2 dv v2 d s 1 ds 2 a= et + en = et + ( ) en 2 dt ρ dt ρ dt
ds v = vet = et dt
dv d(vet ) a= = dt dt det dv = et + v dt dt
反映速度大小的变化
反映速度方向的变化
dv d s 切向加速度分量： a t = = 2 dt dt
2
det v ? dt
t时间内： Δet
Δθ 大小： Δet = 2 et sin( ) 2 当 Δt 0 有 Δθ 0 Δθ 大小： Δet = 2 Δθ 2
lim Δr = dr ——元位移 记： Δ t 0
Δt 0
lim Δr = dr ——元位移的大小
A B
Δr
3、Δ r 与Δ r 的区别
——标量 = rB Δr = r B -r A A
Δr Δr
（三角形的两边之差小于第三边）
rA
o
rB
二、速度
7/8班
A
Δr
et
Δs
Δr 平均速度： v = Δt Δs 平均速率： v = Δt
2
2
2
极坐标系：
随时间变化 横向单位矢量 径向单位矢量
eθ
极径
er
极角
极点
r θ
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第1章 质点运动学一、基本要求1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义；2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程；3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。
难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。
（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示）（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧相对运动总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移位矢基本物理量,,,,:)(,,（三）容易混淆的概念： 1.瞬时速度和平均速度瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置矢量随时间的变化率，用求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不用求导法。
2. 瞬时加速度和平均加速度瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度矢量随时间的变化率，用求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不用求导法。
3.质点运动方程、参数方程和轨迹方程质点运动方程（即位矢方程），是质点位置矢量对时间的函数；参数方程是质点运动方程的分量式；而轨迹方程则是从参数方程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。
4．绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度是质点相对于静止参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静止参照系的速度。
（四）主要内容：1．质点的位矢、位移、运动方程（1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r)()()()(++=（描述质点运动的空间位置与时间的关系式）（2）位矢（r ）：k z j y i x r++=（3）位移（r∆）：k z j y i x r ∆+∆+∆=∆（注意位移r ∆和路程s ∆的区别，一般情况下：S r ∆≠∆ ，r r r∆∆≠∆或； 位移大小：()()222)(z y x r ∆+∆+∆=∆；径向增量：21212122222212z y x z y x r r r r ++-++=-=∆=∆（4）参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x（5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中（1）速度（v ）：k dt dz j dt dy i dt dx dt r d v++==（2）平均速度（v ）：trv ∆∆=（3）加速度（a）：k dt z d j dty d i dt x d dt r d a22222222++== （4）平均加速度（a ）：tva ∆∆=（注意速度和速率的区别：dt rd v =，但一般情况下dtdr dt r d ≠） 3．曲线运动描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系（由切向和法向组成），在自然坐标系中，质点的（线）速度和加速度为：（1）速度：t t e dt ds e v v== （2）加速度：n n t t n t e a e a a a a+=+=其中：切向加速度（t a ）t t e dtdv a=，量度速度量值的变化； 法向加速度（n a ）n n e v aρ2=，量度速度方向的变化，ρ为曲率半径。
4．圆周运动（1）角速度（ω）：t d d θω=（2）线速度（v ）：dtdsv =（3）角加速度（βα或）：22d d d d t t θωα== （4）总加速度（)a：n t n t e R e R a a a2ωα+=+=（大小取模：222)()(ωαR R a a a n t +=+=）且有角量与线量关系式： θR s =ωR v =22n t d d ωαR R v a R t va ====5．相对运动一个运动质点在两个作相对平动的参考系中的速度关系为：u v v+'=（矢量和）式中：v 为绝对速度，是质点相对于S 系的速度，v '为相对速度，是质点相对于S '系的速度，u为牵连速度，是S '系相对于S 系的速度。
（五）思考问答：问题1 位置矢量r 和位移r ∆有何区别？r ∆和r∆意义相同吗？答：位置矢量r（简称位矢）是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段，描述了某时刻质点的位置；而位移r∆是初位置指向末位置的有向线段，反映了质点位置的变化，二者意义不同。
末位置的位矢和初位置的位矢之差即为该段时间内的质点的位移，若取初位置为坐标原点，则末位置的位矢和位移一致。
质点的瞬时速度为该时刻位矢对时间的一阶导数，而不是位移对时间的导数。
r ∆是矢量增量的模，即位移的大小；r∆为矢量模的增量，即位矢的径向增量，二者意义不同。
问题2 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么它的速度与时间、位矢与时间的关系是否也是线性的呢？答：它的速度与时间、位矢与时间的关系不是线性的。
问题3 物体在某一时刻开始运动，在t ∆时间后，经任一路径回到出发点，此时速度的大小和开始时相同，但方向一般不同，试问在t ∆时间内平均速度是否为零？平均加速度是否为零？答：平均速度v ∆是物体的位移r∆与时间t ∆的比值，而这段时间内位移为零，所以平均速度v∆为零。
平均加速度a ∆是物体速度的增量v∆与时间t ∆的比值，由于初、末速度的方向不同，所以v ∆不为零，平均加速度a∆也不为零。
问题 4 圆周运动中质点的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直?答：不管是圆周运动还是任意曲线运动,质点的总加速度均为切向加速度和法向加速度的矢量和。
在匀速率圆周运动中,速度的大小不变，切向加速度为0，质点的加速度为法向加速度，且其方向与线速度方向垂直，指向圆心。
而在变速率圆周运动中,速度的大小也随时间的变化而变化，质点的加速度不但有法向分量还有切向分量，因此，加速度的方向一般不垂直于沿切向的速度方向，也不一定指向圆心(法向)。
在匀速率曲线运动中，只要速度方向有变化，加速度只能有法向分量，而且一定与沿曲线切向的速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心。
在变速曲线运动中,切向加速度不为零，故加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧。
问题5 下列说法是否正确：（1）质点做圆周运动时加速度指向圆心； （2）匀速圆周运动的加速度为恒量；（3）只有法向加速度的运动一定是圆周运动；（4）只有切向加速度的运动一定是直线运动。
答：（1）错。
质点做非匀速率圆周运动时，加速度不一定指向圆心。
（2）错。
质点做匀速圆周运动时，只有法向加速度，加速度的大小不变但方向不断变化且始终指向圆心。
（3）错。
只有法向加速度的运动，切向加速度为0，则速率不变。
由：R v a n 2=圆周运动中半径R 一定，由此Rv a n 2=的大小也一定。
应该说只有法向加速度且其大小不变的的运动一定是圆周运动。
（4）正确。
只有切向加速度的运动，其法向加速度为0，∞→==R Rv a n ,02一定是直线运动。
三、解题方法运动学主要分为两类问题：第一类问题：已知运动方程求速度和加速度，用求导法；第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的初位矢和初速度，求速度、位矢或质点运动方程，用积分法。
其中，第一类问题的解题方法是求导，而求解第二类问题则需要积分。
求导不需附加条件，而积分则需要相应的初始条件，积一次分，需一个初始条件；有些情况下，不能直接积分，需做变量代换。
另外，在不同坐标系下（例如直角坐标系与自然坐标系），物理量的表达式不同，故学习中要准确掌握。
四、解题指导1． 已知质点运动参数方程为：⎩⎨⎧-=-=)cos 1( sin t R y t R x ωω 式中ω,R 为常量，试求：（1）质点轨迹方程是什么？作何运动？（2） 1秒末的位矢。
（3） 速度和加速度大小。
[分析]：这是已知运动方程求速度、加速度的典型问题，即运动学第一类问题，通过求导法进行计算。
解：（1）由参数方程消去t ，可得轨迹方程为：222)(R R y x =-+这是以R 为半径，圆心位于(0,)R 点的圆的方程，即质点作圆周运动。
（2）运动方程矢量形式为：j t R i t R r)cos 1(sin ωω-+-=将s t 1=代入上式得：j R i R r)cos 1(sin 1ωω-+-=（3）由速度定义：j t R i t R dt rd v ωωωωsin cos +-==其中：t R t x v x cos d d ωω-==，tR t y v y sin d d ωω==大小：ωR v v v y x =+=22可见v 的值为一常量，表明质点作匀速率圆周运动，角速度为ω。
再由加速度定义：j t R i t R dtv d a ωωωωcos sin 22+==其中：t R t va x x sin d d 2ωω==，t R t v a y y cos d d 2ωω==大小：222ωR a a a y x =+=2．一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：4321,532-+=+=t t y t x （式中t 以s 计，x ,y 以m 计）。
求：(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出s t 1= 时刻和s t 2= 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移； (3)计算s t 0=时刻到s t 4=时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算s t 4=时质点的速度； (5)计算s t 0=到s t 4= 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算s t 4=时质点的加速度。
(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。
[分析]：本题是最基本的直角坐标系下运动学第一类问题，意在强化直角坐标系下的运动学各基本概念。
题目中给出的是参数方程形式，可用矢量式直接写出质点运动方程形式，再用求导法求出速度和加速度。
解：（1）位矢方程（质点运动方程）为： j t t i t r)4321()53(2-+++=m(2)将1=t ,2=t 代入上式即有：j i r 5.081-= m ，j i r4112+=mj i r r r5.4312+=-=∆m(3)∵ j i r j i r1617,4540+=-=∴ 104s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i ji r r t r v(4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i trv则： j i v 734+= 1s m -⋅ (5) ∵ j i v j i v73,3340+=+=∴ 204s m 1444-⋅==-=∆∆=jv v t v a(6) 2s m 1d d -⋅==j tva ，这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。