第六章定积分的应用63259

第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：

一、 再论曲边梯形面积计算

],[b a 上连续，且0)(≥x f ，

底为],[b a

1．化整为零

用任意一组分点 b x x x x x a

n i i =<<<<<<=- 110

将区间分成

),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-

并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ

相应地，曲边梯形被划分成

n

个窄曲边梯形，第

i

个窄曲边梯形的面积记为

n

i A i ,,2,1, =∆。

于是 ∑=∆=

n

i i

A A 1

2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈

n

i i

i

x

f A 1

)(ξ

4．取极限，使近似值向精确值转化

⎰∑=∆==→b

a

n

i i

i

dx x f x f A )()(lim

1

ξλ

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：

（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-

分量),,2,1(n i A i =∆，而

∑=∆=n

i i A A 1

],[b a 具有可加性。

(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。

只有这样，和式

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ

))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法

1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件

(1) U ],[b a 有关；

(2) U 对于区间],[b a 具有可加性；

(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。

2

(1) 根据问题，选取一个变积分变量，并确定它的变化区间

(2)

dx

x

f

U)

(

≈

∆)

dx

x

f

dU)

(

=。

间，得

⎰=b a

dx x

f

U)

(

)

(

)

(b

x

a

dx

x

f

dU≤

≤

=

因此，也称此法为微元法。

小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）

作业：作业卡

第二节 平面图形的面积

教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点：面积元素的选取 教学内容：

一、直角坐标的情形

由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线

与

与

由曲线

与

及直线

，

⎰

⎰

⎰-

=

-

=

b

a

b

a

b

a

dx

x

g

x

f

dx

x

g

dx

x

f

A])

(

)

(

[

)

(

)

(

其中：dx

x

g

x

f])

(

)

(

[-为面积元素。

例1 计算抛物线x

y2

2=与直线4

-

=x

y所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图

解方程

⎩

⎨

⎧

-

=

=

4

2

2

x

y

x

y

, 得交点：)2

,2(-和)4,8(。

2. 选择积分变量并定区间

3. 给出面积元素

在20≤≤x 上，

dx

x dx x x dA 22])2(2[=--=

在82≤≤x 上，

dx

x x dx x x dA )24(])4(2[-+=--=

4. 列定积分表达式

18

2132243

24]24[22

8

2

223

20

2

38

2

2

=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-++=

-+

+=⎰⎰x x x x

dx

x x dx x A

42≤≤-y

dy y y dA ]2

1)4([2

-

+= 18

642)2

14(4

2

322

4

2

=-

+=-

+=

--⎰y y y dy y y A

显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

例2 求椭圆122

22=+b

y a x 所围成的面积 )0,0(>>b a 。

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。