第六章定积分的应用63259
第六章 定积分的应用
第六章 定积分的应用
2
一、问题的提出
究竟哪些量可用定积分来计算呢. 首先讨论这个问题. 结合曲边梯形面积的计算 及定积分的定义
可知, 用定积分计算的量 应具有如下两个特点:
3
(1) 所求量I 即与[a, b]有关; (2) I 在[a, b]上具有可加性.(即把[a, b]分成 许多部分区间, 则I 相应地分成许多部分量, 而I 等于所有部分量之和)
设曲边梯形由y f ( x)、直线x a、x b 与x轴 围 成.
8
在[a, b] 上任取一小区间
[ x, x + dx],这个小区间上所
对应的小曲边梯形面积 近似
地等于长为f(x)、宽为dx 的
y
小矩形面积,பைடு நூலகம்故有
f ( x)dx
dA f ( x)dx
得
b
A a f ( x)dx
Oa
面 积 元 素
方法 简化步骤
6
简化步骤
(1)在[a,b]上任取一小区间[ x, x + dx], 求出
[ x, x + dx]上所求量 I 的近似值( 也是它的
的微分) f ( x)dx,即 I f ( x)dx.
(2)
I
bf a
( x)dx
这种简化了的建立积分式的方法称为
元素法或微元法.
7
曲边梯形面积的积分式也可以用元素法 建立如下.
4
按定义建立积分式有四步曲:
“分割、取近似、求和、取极 得到
I
b
f ( x)dx
a
限lim”,n 0 i1
f (i )xi
(1)
有了N--L公式后, 这个复杂的极限运算问题得
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
吴赣昌版高数第六章定积分的应用
第六章定积分的应用课后习题全解习题6—2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2—1∵所围区域D 表达为X —型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10, （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210)∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间［0，π/2]上,曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X —型还是Y —型，解法都较简单，所以选其一做即可 解:见图6-2—2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， (或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D( 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2—3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ,∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为:2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X —型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X —型做 解：见图6—2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（—1,—1），又这两条线和2=x 分别交于)21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121,∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路:所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y —型时，解法较简单 解:见图6—2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ) ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为X —型时，解法较简单，所以用X —型做解:见图6-2—7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为(0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型:⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过(0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质:（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过(0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2,（由于下弯,所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2,得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：xe y =⇒xe y =',∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6—2—10X —型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x e edx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路:作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π,也可选择极坐标求面积的方法做。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
第六章 定积分的应用
d
0
2
2a
2
cos
2
2
0
2 a2(1 cos )2 a2 sin2 d 8a 0
24
四、变力沿直线段作功
恒力作功：W F s
设有一变力F(x)随位移x而变，求它把物体由 a 移动到 b 所作
的功。 F(x)
•
••
Oa
bX
取 x为积分变量，它的变化区间为[a, b]，
于是变力F x所做的功为：
20
解 建立直角坐标系如图。
－R
则底圆的方程为：x2 y2 R2
过任意点 x R, R作垂直于 x 轴的
O
Y
截面，截面为一直角三角形，
x x2 y2 R2
它的两条直角边的长分别为 R2 x2 及
RX
R2 x2 tan , 因而截面积为 A( x) 1 (R2 x2 )tan
一、直角坐标系下平面图形的面积
y
1. 由 y f ( x) 0 ,
y f (x)
x a, x b, y 0
所围成的曲边梯形的面积为：
b
A a f ( x) dx
2. 由上、下两曲线 y 1x,
y 2x及 x a , x b
所围成的图形面积为：
o xa
y
xb x
y 2x
y 1x
x
1 x
dx
x2 2
ln
2 x
1
3 2
ln
2
2. y e x , y e x 与直线x 1.
解 如图所示, 所求面积为
A 1 e x e x dx 0
ex ex
1 0
e e1 2
y x
1,1
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
定积分及其应用
①.若a=b, 则
b
f (x)dx 0.
a
②.若a>b, 则
b
a
f(x)dx f(x)dx.
a
b
从而可消除对定积分上下限的大小限制.
四.定积分的几何意义
由定义1知, 当连续函数
f (x) 0 且a<b时, 定积分
b f ( x ) d x 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积; a
当 f (x) 0, 且 a < b时,
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH
y
y=ƒ(x)
A
C
B
Δy {
DH
的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
oa
EF
x x+Δx b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并在每一
就有定积分的定义:
定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间
[ xi1 , xi ]
的长度为 xi xi xi1(i1,2, ,n),在每个小区间 [ xi1 , xi ]
n
个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边 梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边 梯形面积的近似值.
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每个小区 间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
第六讲定积分的应用-文档资料61页
（1）选取适当的坐标系
（2）确定积分变量和变化范围
（3）在 [x,xdx上]取好元素 dA=f(x)dx
经常运用“以匀代变”，“以直代曲”的思想
（4）把所求的量表示成定积分
b
a
f
( x )dx
高等数学专题讲座——定积分的应用
4、定积分的应用类型
1）几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 旋转体的表面积
cosx cosx 4
0
高等数学专题讲座——定积分的应用
2、实际应用出错
例2.2 模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最
大加速度，以此时为起点，加速度满足 a(t)1004t2。求
火箭前5秒内的位移?
错解：S ( 5 ) 0 5 a ( t ) d t 0 5 ( 1 0 0 4 t 2 ) d t [ 1 0 0 t 4 3 t 3 ] 0 5 1 0 3 0 0
2
或 [y,ydy]所对应的曲边梯形为 S , 是以直代曲
所形成的矩形为 S 1 , 则绕x轴、y轴旋转而成的旋
转体的体积微元d V 就是矩形 S 1分别绕x轴、y轴
旋转而成的体积.
高等数学专题讲座——定积分的应用
解: (一) 求 x绕轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 x轴旋转如图,
解上面的积分得：
A 0 exdx 1(ex ex)dx
0
lim
0exdx(ex
e
1
x2)
e
a a
2 02
高等数学专题讲座——定积分的应用
例3.3 求由摆线 xa(tsitn), ya(1cot)s的一拱
高等数学-第六章-定积分的应用
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
弧线段局部
3
1 1 4 y2 dy
直线段局部
3 1
1 22 dy
O 1
3 37 5 5 1 ln(6 37) ln(2
4
x2y3 0 x
x y2
5)
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到
x b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在[a ,b]上任取子区间[x, x d x]，在其上所作的功元
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22 ( y) d
y
2 0
a
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 那么
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
第六章定积分的应用共6页
第六章 定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。
一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。
用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。
运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。
五、本章的思考题和习题：第二节 279页习题6—2 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。
第三节 287页习题6—3 1，3，4，5，11。
第一节 定积分的元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ⎰∑=∆==→bani i i dx x f x f )()(lim 1ξλ面积元素dA =dx x f )(2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。
二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。
用元素法解决一个实际问题的步骤。
第二节 定积分在几何学上的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x ba d )]()([12ϕϕ-⎰方法二面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)(2y ϕ=解出，d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
定积分及其应用习题章节-PPT课件
n
嘉兴学院
2/25/2019
第六章 定积分
第7页
3、存在定理
可积的两个充分条件：
称 在 区 间 上 可 积 . f ( x ) [ a , b ]
函 数 在 区 间 上 连 续 时 ， f ( x ) [ a , b ] 定理1 当
定理2 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 有 界 ，
a b
第六章 定积分
第3页
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
x b 所 围 成 . x x a 轴 与 两 条 直 线 、
A lim f( x i) i
0 i 1
2/25/2019
第六章 定积分
第11页
5、牛顿—莱布尼茨公式
f(x )在 [ a ,b ]上 果 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 定理1 如 (x ) f(t) dt [ a ,b ]上 在 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 a d x (x (axb ) ) f(t) dt f(x ) 是 a dx
a a
b
b
（ 2）
嘉兴学院
f ( x ) dx f ( x ) dx (ab ) a a2/25/2019b Nhomakorabeab
第六章 定积分
第10页
在 区 间 f ( x ) [ a , b ] 性质6 设 M 及 分 别 是 函 数 m
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) 则 .
第六章定积分的应用 (2)word精品文档5页
第六章 定积分的应用教学目的 1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y =f (x )≥0 (x ∈[a , b ]). 如果说积分,是以[a , b ]为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数就是以[a , x ]为底的曲边梯形的面积. 而微分dA (x )=f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A ≈f (x )dx , f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素.以[a , b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间的定积分:一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积.解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 曲边扇形的面积为例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==.例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a二、体 积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x h r y =. 所求圆锥体的体积为例2. 计算由椭圆12222=+b y a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为=5π 2a 3. 所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为于是所求正劈锥体的体积为三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为从而得弧长元素(即弧微分) 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, ∧⎽1/∍X . ◊δ例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解: 21x y =', 从而弧长元素因此, 所求弧长为例2. 计算悬链线c x c y ch =上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 解:c x y sh =', 从而弧长元素为 因此, 所求弧长为2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 所求弧长为例3. 计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a . 3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为从而所求弧长为例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为于是所求弧长为§6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r q k F = (k 是常数).当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功.例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r q k F =(k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q k 2, 即功元素为dr r q k dW 2=.于是所求的功为例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或V kp =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx x k , 即功元素为dx x k dW =. 于是所求的功为例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj).二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为所求压力为三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2 ,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为引力在水平方向的分量为。
第六节定积分的应用精品文档
yx ((tt)) (t)
s
2(t)2(t)dt
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r ( )( )
s
r2()r2()d
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例1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
42 2
2a x
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2. 极坐标情形
设 () C [,] ,() 0 ,求由曲线 r() 及
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
1y2dx (P168)
因此所求弧长
s b 1y2 dx a
b
a
1f2(x)dx
y
yf(x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
yx ((tt)) (t)
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
2 所求曲边扇形的面积为
r()
d
A122()d
x
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例5. 计算阿基米德螺线 ra (a0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
在 [a,b]上任取[子 x,x区 dx]， 间 在其上所作的功元
的弧长 .
y
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
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第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：一、 再论曲边梯形面积计算],[b a 上连续，且0)(≥x f ，底为],[b a1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x an i i =<<<<<<=- 110将区间分成),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。
于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1],[b a 具有可加性。
(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。
只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件(1) U ],[b a 有关；(2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。
2(1) 根据问题，选取一个变积分变量，并确定它的变化区间(2)dxxfU)(≈∆)dxxfdU)(=。
间，得⎰=b adx xfU)()()(bxadxxfdU≤≤=因此，也称此法为微元法。
小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）作业：作业卡第二节 平面图形的面积教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点：面积元素的选取 教学内容：一、直角坐标的情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线与与由曲线与及直线，⎰⎰⎰-=-=bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(其中：dxxgxf])()([-为面积元素。
例1 计算抛物线xy22=与直线4-=xy所围成的图形面积。
解：1、先画所围的图形简图解方程⎩⎨⎧-==422xyxy, 得交点：)2,2(-和)4,8(。
2. 选择积分变量并定区间3. 给出面积元素在20≤≤x 上，dxx dx x x dA 22])2(2[=--=在82≤≤x 上，dxx x dx x x dA )24(])4(2[-+=--=4. 列定积分表达式18213224324]24[22822232023822=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-++=⎰⎰x x x xdxx x dx x A42≤≤-ydy y y dA ]21)4([2-+= 18642)214(4232242=-+=-+=--⎰y y y dy y y A显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2 求椭圆12222=+by a x 所围成的面积 )0,0(>>b a 。
解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。
a x ≤≤0， 221ax b y -=dx ax b ydx dA 221-==故 dx a x b ydx A aa ⎰⎰-==0220144( * )作变量替换 t a x cos = )20(π≤≤t则 t b ax b y sin 122=-=， tdt a dx sin -=⎰-=02)sin )(sin (4πdt t a t b A( * * )ab ab dt t ab πππ=⋅-⋅==⎰2!!2!)!12(4sin 422 二、极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
A ∆的面积可近似地用半径为)(θϕ=r ， 中心角为θd 的窄圆边扇形的面积来代替，即θθϕd A 2])([21≈∆从而得到了曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21=从而⎰=βαθθϕd A )(212例3解： 由于心脏线关于极轴对称，ππθθθθθθπθπππ2224220422022022232!!4!)!14(8cos 82cos42cos 2)cos 1(212a a tdt ad ad a d a A t =⋅-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎰⎰⎰⎰=令小结: 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积. 作业: 作业卡 P67~P68第三节 体积教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积 教学重点：体积的计算 教学难点：体积元素的选取 教学内容：一、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。
],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为[]dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为[]dx x f V ba⎰=2)(π例 1 求由曲线x hry ⋅=及直线0=x ，)0(>=h h x 和x 轴所围成的三角形绕解：取x 为积分变量，则],0[h x ∈h r dx x h r dx x h r V hh20222023πππ=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。
取定轴为x 轴， 且设该立体在过点a x =，b x =且垂直于x 轴的两个平面之内， 以)(x A 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。
取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a 。
立体中相应于],[b a 上任一小区间],[dx x x +的一薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的扁圆柱体的体积。
即：体积元素为 dx x A dV )(=于是，该立体的体积为 dx x A V ba⎰=)(例2 计算椭圆12222=+by a x解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22x a aby -=及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。
在x 处)(a x a ≤≤-222)()(x a ab x A -⋅=π 2222234)()(ab dx x a a b dx x A V aa aaππ=-==⎰⎰-- 例3 计算摆线的一拱)20()cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 以及0=y 所围成的平面图形绕y 轴旋转而生成的立体的体积。
解：dy y xdy y x V aa)()(20212022⎰⎰⋅-⋅=ππ⎰⎰--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2022sin )sin (tdt t t a336a π=请自行计算定积分 ⎰-π202sin )sin (tdt t t小结: 旋转体体积平行截面已知的立体的体积 作业: 作业卡 P69第四节 平面曲线的弧长教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长， 教学重点：平面曲线弧长的计算 教学难点：弧长元素的选取 教学内容：一、直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y 的长度取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s ∆可以用它的弧微分ds 来近似。
于是，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+=弧长为[]⎰'+=badx x f s 2)(1例1 计算曲线)(3223b x a x y ≤≤=的弧长。
解：dx x dx x ds +=+=1)(12])1()1[(32)1(321232323a b x dx x s baba+-+=+=+=⎰二、参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=的形式，从而有[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(例2解： 圆的参数方程为 )20(sin cos π≤≤⎩⎨⎧==t tr y t r xrdt dt t r t r ds =+-=22)cos ()sin (r rdt s ππ220==⎰三、极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。
曲线的参数方程为此时θ变成了参数，且弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有⎰'+=βαθd r r s 22例3解：θθθd a a ds 222)sin ()cos 1(-++=θθd a 2cos 2=ad d a d a d a s 8]cos cos [4cos 42cos22220=-+===⎰⎰⎰⎰πππππϕϕϕϕϕϕθθ小结: 平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下作业: 作业卡 P70第五节 功、水压力和引力教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：一、变力沿直线所作的功例 1 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系)(x F 为：浮F G x F -=)(其中：g r G ⋅⋅=1343π是球的重力，浮F 表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。