江苏省2018高二期末试卷数学(无附加题)含答案

高二数学期末试卷

方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝1

3Sh ；柱体的体积公式：V ＝Sh ．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 已知集合{}0,1,2M =，集合{}2,N x x a a M ==∈，则M N = ．

2． 复数z ＝1－i ，则1

z z

+

的实部是________． 3． 某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为 9，

则这组数据的方差是

．

4．

函数()f x =定义域为 ．

5． 若双曲线2214

x y m m +=-的虚轴长为2，则实数m 的值为 ． 6． 根据右面的伪代码，最后输出的T 值为 ．

7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．

8． 记棱长都为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12=V

V ．

9． 若直线y ＝2x ＋b 是曲线e 2x y =-的切线，则实数b ＝ ．

10．任取两个小于1的正数,x y ，那么,,1x y 恰好为一个钝角三角形三边长的概率为 ． 11．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则

sin 2cos2α

β

的值为 ．

12．已知函数2

()23()f x x ax ab bc ac =++-++（其中a ，b ，c 为正实数）的值域为[0,)+∞，则2a b c

++的最小值为 ．

13．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+=的点P 恰有两个，

则实数λ的取值范围是 ．

14．已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项

起依次成等比数列．若129129m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++++

+=⋅⋅⋅⋅，则正整数m = ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量 m ＝(1，3)，n ＝(1－cos A ，sin A )，且∥m n ．

（1）求A 的值；

（2）若1＋sin 2B

cos2B

＝－3，求tan C 的值．

16．（本小题满分14分）

一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD 折起，

得到三棱锥A －BCD （如图2）． （1）若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：EF ∥平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．

A

B C D C B A D

F

E （第16题图1）

（第16题图2）

1

392

Pr int T For I Form TO Step T T I End For

T ←←⨯

17．（本小题满分14分）

如图，A ，B ，C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向63

千米处．

（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时∠CBP ＝45°，求PB 的距离；

（2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为

3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．

18．（本小题满分16分） 19．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，2121

n n n n a a a a λμ

+++=

+，n ∈N *．

（1）当λ＝2，μ＝0 时，求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n a 是等差数列，求λ＋μ的值；

（3）若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{b n }满足 a 1≤b n ≤a n ．求{b n }的通项公式． 20．（本小题满分16分）

已知函数32()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R ．

（1）若1a =，函数()f x 与其导数()f x '在区间[1,)+∞上都为单调函数，且单调性一致，求实数

b 的取值范围；

（2）若1c =，且对x ∀∈R ，()()f x f x '>恒成立，求实数b 的取值范围；

（3）若1a =，c =m －b （实数m 是与b 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，b 的取

值范围恰好是33

(,3)(1,)(,)22

-∞-+∞U U ，求m 的值．

1．{}0,1,2,4． 2．

32． 3．45

． 4．(0,10]． 5．3． 6．945． 7．29．

8

．提示：棱长为a

3

； 9．－2ln 2．提示：设切点00(,e 2)x P x -

10．2

4π-．提示：几何概型，其中几何区域D 为0101x y <<⎧⎨<<⎩，几何区域d 为2211

x y x y ⎧+<⎨+>⎩，且d D ⊆

11．1．提示：由于展开繁琐，故进行角的整体变换，要么凑，要么换元，

[][]sin ()()sin 2sin()cos()cos()sin()cos2cos ()()cos()cos()sin()sin()αβαβααβαβαβαββαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+--+-++-tan()tan()

11tan()tan()αβαβαβαβ++-==++-． 12

．．提示：三板砖“减个元、换个元、变个形”，由0∆=得23a ab bc ac +++=，

法1：由23a ab c a b --=+，得2223233

22()a ab a ab b a b c a b a b a b a b a b

--+++++=++==++

+++； 法2：∴()()3a a b c a b +++=，∴()()3a b a c ++=，由2()()a b c a b a c ++=+++得 13．31

82

λ<≤．提示：坐标法，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，

法1：设P(x ，y)，则有222x y λ+=，它表示圆O ，从而转化为圆O 与线段AC 有两个交点，画

图观察知圆O 与直线AC 相交，且A 在圆O 外或圆O 上即可；

法2

：设(P x +，转化为当10x -≤≤时方程246320x x λ++-=有两个不等实根，参数

分离，作图观察

14．5．提示：求出公差1d =，可得前13项为-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，

无论求和还是求积，从“0”入手最简单，注意到129,,,,m m m m a a a a +++为连续的10项， 若0在其中，从0向左右两边依次取项相加，直到和为0，可得5m =，

若0不在其中，由于0前面只有9项，故10项都在0后面，显然这些数的积比和大，故无解

15. (1) 因为∥m n 所以sin A ＋3cos A

(2分)则sin ⎝⎛⎭⎫A+π3

.(4分)

又0

3

.(6分)

(2) 由题知 1＋2sin Bcos B

cos 2B －sin 2

B

＝－3，整理得sin 2B －sin Bcos B －2cos 2B ＝0.(8分) 又cos B ≠0 ，所以tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1.(10分) 又当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去，所以tan B ＝2.(12分)

故tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－tan A ＋tan B 1－tan Atan B

＝8＋53

11. (14分)

16．(1)因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ． ………………2分

又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ． …………………6分

(2) 因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，

CD ⊂平面BCD ，CD ⊥BC ，所以CD ⊥平面ABC ． ……………………8分

因为AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ． ……………………10分

又因为AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，

所以AB ⊥平面ACD ． ……………………12分

又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ． ……………………14分

17. (1) 在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝60°，∠APB ＝75°，由正弦定理，得AB sin ∠APB ＝BP

sin A

，

即BP ＝6×

322＋64

＝123

6＋2＝33(6－2)，故PB 的距离是92－36千米. (4分)

(2) 甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．