高等数学3复习提纲

复习提纲

注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。

1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分 直角坐标系下：

把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。

先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。

先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈， 。再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。

柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。 球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θϕ的范围的确定请参照课堂例题。

示例：159页 例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。

2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。 示例：167页 例1，例4习题10-4，Ex1，Ex5

3、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法，曲线质量、质心的求法

L 是平面曲线时，其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程，化弧长的曲线积分为定积分的关键点：曲线方程代入被积函数进行化简；弧微分ds 套公式化简；由曲线方程确定积分限。

L 是空间曲线时，只考虑其方程是参数方程的情形，做法同上。 示例：习题11-1，Ex3 (1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。

4、掌握对坐标的曲线积分的基本计算方法

计算方法与与对弧长的曲线积分类似，区别是积分变量的积分限要考虑曲线的方向，积分下限对应于起点，积分上限对应于终点。

示例：197页例2，例3，习题11-2，Ex3 (1)，(4)，(7)

5、掌握格林公式的使用方法以及格林公式的应用

格林公式的条件、结论

格林公式使用时，若曲线不封闭，可选择直线、折线段或曲线段补全。

曲线积分计算平面闭区域的面积公式

平面曲线积分与路径无关的条件(单连通区域下)

全微分求积(与全微分方程结合)

示例：习题11-3，Ex2 (1)，Ex4，Ex5，Ex8(可作为全微分方程的练习题)

6、掌握对面积的曲面积分的基本计算方法

化对面积的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；曲面面积公式dS借用前述公式化简；积分区域由曲面向坐标面投影确定。

示例：习题11-4，Ex5，Ex6 (1)

7、掌握对坐标的曲面积分的基本计算方法

化坐标的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；由题目中出现的坐标来确定曲面向哪一个坐标面投影，积分曲面的侧由其指定侧的法向量的方向余弦的正负确定。226页，例2

也可使用两类曲面积分之间的关系，在dydz、dzdx、dxdy之间进行转化，228页，例3

示例：参照课堂例题

8、掌握高斯公式的使用方法(单连通区域下)

高斯公式的条件、结论

高斯公式使用时，若曲面不封闭，可选择平面补全，注意所选平面的侧与原曲面的侧合并为闭曲面的外侧或内侧。

向量场的散度、旋度的计算

示例：习题11-6，Ex1 (1)，(2)，Ex3，习题11-7，Ex3

9、掌握等比级数的收敛性、和，级数的5个基本性质的使用

示例：习题12-1，Ex4

10、掌握正项级数的收敛性的判定方法：比较法、比值法、根值法，极限法

可合并入比较法

判定收敛性时，先用级数的性质5，再使用比值法、根值法，最后考虑比较法。

掌握交错级数的收敛性的判定：莱布尼兹定理。判定绝对收敛性时，先用比值法或根值法判定∑|Un|：若收敛，则原级数绝对收敛；若发散，则原级数发散。若比值法、根值法失效，可用比较法或级数收敛性的定义或性质判定∑|Un|，但∑Un也需判定。

了解柯西乘积的做法。 示例：参照课题例题

11、 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，和函数的求法，函数的幂级数展开式的求法

掌握Abel 定理，由此判断幂级数的收敛域的特点。参照课堂例题

掌握幂级数的各种形式下收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，参照课本例题以及课堂例题

用等比级数，使用幂级数的四则运算法则或逐项求导、逐项积分的方法求幂级数的和函数，并求出某些常数项级数的和。 掌握1,sin ,cos ,

1x e x x x

的的麦克老林级数展开式及其收敛范围，熟练应用间接展

开法求有理函数的幂级数展开式。

示例：276页，例6，习题12-3，Ex1，(1)，(6)，(7)，(8)，Ex2，283页，例5，习题12-4，Ex5，Ex6

12、 掌握傅里叶级数的系数的求法、表达式以及Dirichlet 收敛定理。 示例一：311页，例4，例5

示例二：把f(x)=x 或|x|在(-π,π)内展开为傅里叶级数，把f(x)=x 在(0,π)内展开为正弦级数或余弦级数。 除此之外的题目不作要求

13、 微分方程

微分方程的阶、解、通解、特解，一、二阶线性方程的解的特点、通解的结构、叠加原理

一阶微分方程的类型：可分离变量的微分方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程(带星号*内容，除伯努利方程外其余不作要求，积分因子法不作要求)

二阶常系数齐次线性方程的特解的求法：求特征方程的根，分三种情形讨论。 由特解或通解，如何求微分方程？ 示例：参照课堂例题