求二次函数的关系式

求二次函数的关系式

求二次函数的关系式，是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢?有什么技巧呢?现举例说明如下.

一、用二次函数的性质求

例1已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点(0，8)，其形状和y=2x2+3x+5的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式?

分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移;开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移;一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负2，一次项系数为0，常数项为8，所以此二次函数的关系式为y=-2x2+8.此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.

二、用一般式求

例2已知某二次函数的图像过点(0，0)，(1，-6)和(2，-8).求此二次函数的关系式.

分析与解：此函数的图像过点(0，0)，说明其常数项为0，所以，可设其函数关系式为：y=ax2+bx，把点(1，-6)和点(2，-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b，这二个方程组成方程组，解之可得：a=2，b=-8.所以此函数的表达式为y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为0，使列的方程组较简便.

三、用顶点式或两根式求

例3已知某二次函数过点(1，0)，(5，0)和(3，8).求此二次函数的关系式.

1. 用顶点式求

分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是1，3，5.其中3恰好在1和5的中间，根据二次函数图像的对称性可知，3就是它的顶点

横坐标，那么(3，8)就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：y=a(x-3)2+8.把点(1，0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2，所以此二次函数的关系式为y=-2(x-3)2+8，化为一般形式为y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现(3，8)是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对.

2.用两根式求

分析与解：仔细观察还可发现，点(1，0)，(5，0)都在x轴上，所以还可用两根式求解，设y=a(x-1)(x-5)，把点(3，8)代入此关系式得8=a(3-1)(3-5)，解得a=-2，所以此二次函数关系式为y=-2(x-1)(x-5).化为一般形式为y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解.