含参数的一元二次不等式和含参不等式恒成立问题(上课用)

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2

x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122

>+++x a ax

分析：本题二次项系数含有参数，()04422

2

>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

例2 解不等式()00652

≠>+-a a ax ax

分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042

>++ax x

分析 本题中由于2

x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

例4 解不等式()

()R m x x m ∈≥+-+01412

2

三、按方程02

=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；

例5 解不等式)0( 01)1

(2

≠<++

-a x a

a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1

(<--a

x a x ，故对应的方程必有两解。本题

只需讨论两根的大小即可。

例6 解不等式0652

2>+-a ax x ，0≠a

分析 此不等式()02452

22

>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故

只需比较两根a 2与a 3的大小.

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00

a ;

2）0)(

⎩

⎨⎧<∆<⇔a

例7：若不等式02)1()1(2

>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

例8．已知函数])1(lg[2

2a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔

例9、若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

例9．函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔

2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 例11、已知(],1x ∈-∞时，不等式(

)2

124

0x

x

a a

++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

例12、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫

=+

- ⎪⎝⎭

，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例13．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2

>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

例14、若不等式()

2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

五、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；

2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例15．设x x x f 4)(2--=

, a x x g -+=

13

4

)(, 若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.

例16．设22)(2

+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。