归纳推理-高中数学知识点讲解

归纳推理

1．归纳推理

【知识点的认识】

1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别

事实概括出一般结论的推理．

推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，

퐴1具有属性푝

具有属性푝}

퐴

푛

⇒푆类事物中的每一个对象都可能具有属性푝

⋯

2．特点：

（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容

的范围；

（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；

（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现

问题和提出问题．

3．作用：

（1）获取新知，发现真理；

（2）说明和论证问题．

【解题技巧点拨】

归纳推理一般步骤：

（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；

（2）提出带有规律性的结论，即猜想；

（3）检验猜想．

【命题方向】

归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．

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（1）考查对归纳推理理解

掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．

例 1：下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤

分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，

演绎推理是由一般到特殊的推理，

类比推理是由特殊到特殊的推理．

故①③⑤是正确的

故选D

点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一

个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到

特殊的推理过程．

例 2：下列推理是归纳推理的是（）

A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线

B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式

푥2

푎2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+

푦2

푏2

=1的面积

S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．

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解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．

B 选项根据前 3 个S1，S2，S3 的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．

푥2

푎2 C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+

푦2

푏2

=1的面积

S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．

D 选项用的是演绎推理，不符合要求．

故选B．

点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．

（2）考查归纳推理的运用

做题的关键是读懂题意．

例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：

22＝1+3

32＝1+3+5

42＝1+3+5+7

23＝3+5

33＝7+9+11

43＝13+15+17+19

根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则m+n＝（）

A．10 B．11 C．12 D．13

分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n 的值．

解答：：m2＝1+3+5+…+11 =1+11

2×6= 36，

∴m＝6

∵23＝3+5，33＝7+9+11，

43＝13+15+17+19，

∴53＝21+23+25+27+29，

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∵n3 的分解中最小的数是 21，

∴n3＝53，n＝5

∴m+n＝6+5＝11

故选B．

点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．

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