归纳推理-高中数学知识点讲解
高中数学推理知识点总结
高中数学推理知识点总结高中数学推理知识点总结数学作为一门学科，不仅仅是靠记忆和计算来完成的，更需要学生具备一定的推理能力。
在高中数学学习中，数学推理的重要性不言而喻。
本文将总结高中数学中与推理相关的重要知识点，帮助学生加深对数学推理的理解。
一、命题命题是指一个完整、具有独立意义的陈述句，可以被判断为真或假。
高中数学推理中常常涉及到命题，学生需要掌握多个重要概念：1.原命题：指未改变的最初命题。
2.逆命题：原命题的并非真正的否定（即“非p”），而是将原命题的“前件”和“后件”互换位置得到的新命题。
3.反命题：原命题的真正否定，即把原命题中的“p”或“q”都否定，得到的新命题。
4.对偶命题：由两个新命题组成，其中，前一个新命题的“前件”和后一个新命题的“后件”相同，后一个新命题的“前件”和前一个新命题的“后件”相同。
这些概念常在数学证明中出现，学生需要能够灵活应用。
二、命题的联结词命题的联结词指的是联接两个或多个命题的词语，常见的联结词有“而且”、“或者”、“如果……，则……”等。
学生需要注意联结词的用法和含义，例如，“而且”表示两个条件都必须满足，“或者”表示两个条件任意一个满足即可，“如果……，则……”表示前件成立必然导致后件成立，其中前件为“条件”，后件为“结论”。
三、充分必要条件充分必要条件是一种重要的数学推理方法，指的是一个命题成立的充分条件，也是其必要条件。
例如，对于一个数是偶数的命题，则该命题成立的必要条件是这个数能够被2整除，同时根据奇偶性的定义，该命题成立的充分条件是这个数不能被2整除。
四、数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，主要用于对于自然数集合中一类命题的证明。
其基本原理是：先证明这类命题对于最小的自然数成立，再证明对于任意一个自然数k成立的前提下，都可以推出k+1成立，即可得出该命题对于所有自然数成立。
五、构造法构造法常用于解决一些存在性问题，其思想是通过构造一个满足命题的例子来证明命题的存在性。
高考数学(理)考前必记的60个知识点含公式推理推论总结及提醒
高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。
高中数学推理与证明知识点归纳
高中数学推理与证明知识点归纳在高中的学习中，推理和证明是有很多的知识点的，这类的知识点需要学好。
下面就是店铺给大家整理的推理与证明知识点内容，希望大家喜欢。
推理与证明知识点数学推理与证明知识点总结:推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。
利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。
②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。
第一讲推理与证明1.知识方法梳理一、考纲解读：本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。
新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。
高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。
二、要点梳理：1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。
2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
3.演绎推理三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
4.直接证明与间接证明①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。
②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
高中数学中的数学归纳法知识点总结
高中数学中的数学归纳法知识点总结数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，在高中数学课程中占有重要的地位。
它是通过对特定命题的逐一验证来证明一般性结论的方法。
本文将对高中数学中的数学归纳法的相关知识点进行总结。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种以自然数为基础的证明方法。
其基本思想是：假设某个命题对自然数1成立，然后假设对于任意的自然数k成立，可以证明对于自然数k+1也成立，最后通过数学归纳法原理得出该命题对所有自然数成立。
二、数学归纳法的基本步骤使用数学归纳法证明一个命题通常包括以下几个步骤：1. 基础步骤：证明该命题在自然数1上成立；2. 归纳假设：假设对于任意的自然数k，命题成立；3. 归纳证明：证明对于自然数k+1，命题也成立；4. 数学归纳法原理：根据数学归纳法原理，可以得出该命题对于所有自然数成立。
三、数学归纳法的示例下面通过几个具体的数学归纳法示例来说明其应用：1. 数列的性质证明：证明斐波那契数列的性质，即F(1)=1，F(2)=1，并且对于自然数n≥3，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
（1）基础步骤：当n=1或2时，斐波那契数列成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，斐波那契数列成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有F(k+1)=F(k)+F(k-1)，根据归纳假设，F(k)和F(k-1)都成立，因此F(k+1)也成立；（4）根据数学归纳法原理，得出斐波那契数列对所有自然数成立。
2. 数学命题的证明：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
（1）基础步骤：当n=1时，等式成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，等式成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有1+2+3+...+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2，根据归纳假设，等式成立；（4）根据数学归纳法原理，得出等式对所有自然数成立。
3. 方程求解：证明n^2-n+41是素数的情况。
高一 推理证明复数算法知识点+例题+练习 含答案
1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________． ①使用了归纳推理； ②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误． 答案 ③解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________． 答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000 解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． 答案 (1)3×2n －3 (2)9－9×⎝⎛⎭⎫23n解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3) (n ∈N *)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝⎛⎭⎫230＋3×⎝⎛⎭⎫231＋…＋3×⎝⎛⎭⎫23n －1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎫23n . 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________． 答案 (1)183 (2)8解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，am ＋n ＝nb －man －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④非以上错误．答案 ③解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．10．高考中的合情推理问题典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 014是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝⎛⎭⎫2 0142×5⎝⎛⎭⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故①是；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故②是；对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故③是．④不符合，不是保序同构． 答案 (1)①5 035 ②5k (5k －1)2(2)④温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理． 2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．答案 ③解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________．①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n②d n ＝c 1·c 2·…·c n n ③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n n ④d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 ④解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·(1)2n n q -， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列．6．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，121211()()3333x x f x f x +=+++ 1212121212(33)(33)3323(33)(33)33(33)3x x x x x x x x x x ++++++==+++++ 12121212332333233.33(33)233(3323)x x x x x x x x ++++===++⨯++ 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 12．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)答案 ①解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 111222111222O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为 111222111222.O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 14．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)． (2)因为T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n ，所以T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2且n ∈N *时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N *时，S n <T n .15．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0，且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－a a x ＋a， 则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x a x ＋a， f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a x a x ＋a， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称． (2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.。
高中数学推理知识点总结
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《高二数学归纳推理》课件
数学归纳推理最后得出的结论是该命题对于所有自然数都成立。
数学归纳推理的步骤
1
步骤二
2
证明基本情况成立，通常是通过计算或
举例来验证。
3
步骤四
4
证明归纳步骤，通过推理和计算证明命
题对下一个数也成立。
5
步骤一
研究和分析待证明的命题，理解问题的 背景和要求。
步骤三
假设命题对某个数成立，进行归纳假设。
3 数学归纳推理的重要性
数学归纳推理有助于培养逻辑思维能力、推理能力和问题解决能力，提升数学素养。
数学归纳推理的定义
1 数学归纳原理
数学归纳原理是指如果一个命题对于第一个数成立，并且对一个数成立时，该命题对下 一个数也成立，那么该命题对于所有数都成立。
2 归纳假设
在数学归纳证明中，需要假设命题对于某个数成立，然后通过推理证明该命题对下一个 数也成立。
步骤五
得出结论，证明该命题对于所有自然数 都成立。
数学归纳推理的例子
多米诺骨牌
通过归纳推理，可以证明多米诺 骨牌可以排成任意长度的一列。
彩色伞
通过归纳推理，可以证明彩色伞 的数量跟伞的折叠次数存在一种 关系。
铅笔摆放
通过归纳推理，可以证明在规定 的条件下，铅笔可以摆放成不同 的排列方式。
数学归纳推理的应用
《高二数学归纳推理》 PPT课件
数学归纳推理是一种重要的证明方法，能够用来证明一些有规律的命题在整 个数列上成立。
数学归纳推理简介
1 什么是数学归纳推理？
数学归纳推理是一种通过证明命题的基本情况和推理规律，证明该命题对于任意一个自 然数都成立的方法。
2 为什么要学习数学归纳推理？
数学归纳推理不仅是理解数学概念和原理的关键，还是解决实际问题和进行数学研究的 基础。
高中数学推理证明知识点总结
高中数学推理证明知识点总结数学是一门精确的科学，其中推理证明是其重要组成部分。
在高中数学学习中，掌握推理证明的知识点是非常关键的。
本文将对高中数学推理证明的知识点进行总结，以帮助同学们更好地了解和掌握数学推理证明的技巧和方法。
一、直接证明法直接证明法是最常用也是最简单的证明方法之一。
它的基本思路是通过逻辑推理，直接给出所需要证明的结论。
例如，证明命题“对于任意实数a和b，若a＞b，则a-b＞0”。
证明过程如下：假设a＞b，则a-b是一个实数，可以写成a-b=x，其中x为实数。
由a＞b可得，a-b＞0。
综上所述，命题成立。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学推理中有着重要的应用。
它的基本思路是通过假设命题的反面，并推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。
例如，证明命题“在任意整数中，不存在最大的整数”。
证明过程如下：假设存在一个最大的整数n，即对于任意整数x，若x＞n，则矛盾。
考虑整数n+1，显然n+1＞n，与n为最大整数的假设矛盾。
因此，原命题成立。
三、归纳法归纳法是一种常用于证明数列和命题的方法。
它的基本思路是通过证明当命题在某个条件下成立时，它在下一个条件下也成立，进而通过数学归纳推理证明命题在所有条件下成立。
例如，证明命题“对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。
证明过程如下：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1，成立。
假设当n=k时，命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
则当n=k+1时，左边为1+2+3+...+k+(k+1)，右边为(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2。
由归纳假设可得，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，成立。
综上所述，原命题成立。
四、递推法递推法是一种通过已知条件推导出下一个条件成立的方法，常用于证明数列的性质。
例如，证明命题“证明斐波那契数列性质：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)”。
高考高三数学一轮热点由已知到未知的推理技巧与方法
高考高三数学一轮热点、难点一网打尽第56讲由已知到未知的推理技巧与方法考纲要求:1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．基础知识回顾:一、合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用举例:类型一、归纳推理1、形的推理例1．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．2、式的推理例2．已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为__________________.例3．观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为__________．3、数的推理例4．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．点评：运用归纳推理时的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．类型二、类比推理例5．已知点A(x 1，ax 1)，B(x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a>1)的图象上任意不同两点，依据图象(图略)可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1，sin x 1)，B(x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x(x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立．例6．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．点评：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．类型三、演绎推理例7．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .点评：演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成方法、规律归纳:类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．比如 ：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象； ③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象； ④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．实战演练:1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 5·b 8<b 4·b 73．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A ．22项 B ．23项 C ．24项D ．25项4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10)D ．(10,1)5．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)26.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________． 7.将全体正整数排成一个三角形数阵 12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．8.把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三a，若a n=2015，则n _________.角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{}n9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°c os 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋co s248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
高中数学第一章-1.1
§1归纳与类比1．1归纳推理[学习目标]1．通过具体实例理解归纳推理的意义．2．会用归纳推理分析具体问题．[知识链接]什么情况下可以进行归纳推理？答若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行归纳，进而推广到一般情形．[预习导引]1．归纳推理的含义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．3．归纳推理结论真假利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．4．思维过程流程图实验、观察→概括、推广→猜想一般性结论要点一数列中的归纳推理例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)51114115 (5)…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6；(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11；(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4.由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N＋，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N ＋. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 几何中的归纳推理例2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、图(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．120 答案 C解析 图(1)是1个小正方体木块， 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块， 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块，按照前三个图所反映出来的规律，归纳推理可知，第七个叠放的图形中小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.故选C.规律方法 由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，也是高考的热点问题．这类问题颇有智力趣题的味道，可以激励学生仔细观察，从不同的角度探索规律．解决这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2)图形的结构变化规律．跟踪演练2从大、小正方形的数量关系上，观察下图所示的几何图形，试归纳得出结论．解从大、小正方形的数量关系上容易发现：1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62，猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.要点三不等式中的归纳推理例3对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．解当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.…归纳猜想，当n＝3时，2n＜n2；当n∈N，且n≠3时，2n≥n2.＋规律方法对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，在不能用作差、作商法比较时，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量．跟踪演练3观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，猜想第n个不等式为________．答案1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1解析观察式子的结构可知：如果不等式的左边是n项的和(n≥2)，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n2，而右端分母正好是n，分子是2n－1，因此可以猜想，n≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n2＜2n－1n.∴第n个不等式为：1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1.1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________．答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律： (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．归纳推理的特点(1)归纳是依据特殊现象推出一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．说明：一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠．2．归纳推理的一般步骤一、基础达标1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30答案B解析第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝(1＋n)n2.由此可以得出第七个三角形数是28.2．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111.A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案B3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.4．n个连续自然数按规律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2 012到2 014，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓答案A解析由前几项可归纳出4n－44n－1→↓↑4n－3→4n－2则n≥1，n∈N*，2 012＝4n，n＝503，∴2 012↓2 013→20145．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b都成立的条件不等式：________.答案当a＋b＝20时，有a＋b＜210，a、b∈R＋解析各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．答案5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81解析由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.7．已知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论．解注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.二、能力提升8．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈(N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是S n.按此规律推断出S n与n的关系式为()A．S n＝2n B．S n＝4nC．S n＝2n D．S n＝4n－4答案D解析由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为S n＝4n－4. 9．观察下列等式：①cos 2α＝2cos2α－1；②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos 10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.答案962解析各式第一项系数依次为2,23,25,27，m，依规律可得m＝29＝512；各式中cos2α的系数依次为2×12，－2×22,2×32，－2×42，p，由规律推出p＝2×52＝50；由各式系数和为1可推出n＝－400，则m－n＋p＝962.10．设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 答案 x(2n －1)x ＋2n解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n . 所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.11．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，….解 观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度依次相差60°，等式的右边都是常数32，由此可得出一般结论：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43， ∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45. 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56. 猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 三、探究与创新13．设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s ＜t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求a 100.解 (1)将前三行各数分别写成2t ＋2s 的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91(个)数．因此，a 100应当是第14行中的第9个数．所以a100＝214＋28＝16 640.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学中的推理与证明方法详解
高中数学中的推理与证明方法详解数学是一门需要逻辑推理和证明的学科，而在高中数学中，推理和证明方法是学习的重点之一。
本文将详细介绍高中数学中常用的推理与证明方法，帮助学生更好地理解和应用。
一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，在数学中经常使用。
它的基本思想是通过已知条件和已有定理，推导出所要证明的结论。
这种证明方法通常分为两步：先列出已知条件和已有定理，再根据这些条件和定理推导出结论。
例如，我们要证明一个几何定理：“在等腰三角形中，底角的两边相等。
”首先，我们列出已知条件：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。
然后，根据这些已知条件，我们可以推导出结论：∠ABC=∠ACB，即底角的两边相等。
二、间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法，它的基本思想是通过反证法，假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
例如，我们要证明一个数论定理：“如果一个整数的平方是奇数，则这个整数本身也是奇数。
”我们假设存在一个整数n，使得n^2是奇数，但n本身是偶数。
根据假设，我们可以得出结论：存在整数k，使得n=2k。
然而，根据等式n^2=(2k)^2=4k^2，我们可以得出结论：n^2是偶数，与已知条件矛盾。
因此，我们可以推断出原命题的正确性。
三、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明数列、等式和不等式等的方法。
它的基本思想是通过证明当n为某个特定值时结论成立，再证明当n=k时结论成立时，可以推导出当n=k+1时结论也成立。
例如，我们要证明一个数列的等差性质：“对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。
”首先，我们验证当n=1时结论成立：a1=a1+(1-1)d，等式成立。
然后，假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d。
我们再来验证当n=k+1时结论是否成立：ak+1=a1+(k-1)d+d=a1+kd。
由此可见，当n=k+1时结论也成立。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。
高中数学的归纳数学证明与推理的方法与技巧
高中数学的归纳数学证明与推理的方法与技巧数学中的归纳法是一种常用的证明方法，它在高中数学中起着重要的作用。
归纳法的核心思想是通过已知的条件和结论，逐步推导出所有情况的正确性。
在本文中，将介绍高中数学中使用归纳法进行数学证明和推理的方法与技巧。
一、基本概念归纳法是数学中常用的一种证明方法。
它包括两个基本步骤：1.基础步骤：证明当n=k时结论成立。
2.归纳步骤：假设当n=k时结论成立，利用这一假设证明当n=k+1时结论也成立。
二、证明的基本结构使用归纳法进行数学证明可以采用以下基本结构：1.写出基本步骤的证明：证明当n=k时结论成立。
2.假设n=k时结论成立，即假设条件为n=k时结论成立。
3.用归纳假设推导出当n=k+1时结论成立，即证明条件为n=k时结论成立能推导出n=k+1时结论成立。
4.综合基本步骤和归纳步骤，得出结论：根据基本步骤和归纳步骤的证明，可得出当为任意正整数n时结论成立。
三、具体例子下面通过一个具体的例子来说明归纳法的应用。
例：证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
解：首先，我们来证明当n=1时结论成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，显然左边等式等于右边等式，因此当n=1时结论成立。
假设当n=k时结论成立，即假设1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时结论也成立。
根据归纳假设，我们有1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
将等式两边都加上k+1，得到：1+2+3+...+k+(k+1)=(k(k+1)/2)+(k+1)。
化简右边的等式，得到：(k+1)(k/2+1)=(k^2+k+2k+2)/2，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2。
我们需要证明左边等式等于右边等式，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2成立。
对右边等式进行化简，得到：(k+1)(k/2+1)=k^2/2+3k/2+2/2，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2。
高中数学必修+选修全部知识点精华归纳(苏教版)讲义
专题一：推理与证明知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.专题二：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位；⑵复数的代数形式(,)z a bia b R =+∈；⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数(),z a bi a b R =+∈3、相关公式⑴d c b a di c bi a ==⇔+=+且, ⑵00==⇔=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=+=⑷z a bi =-z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算⑴复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+； ⑵复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；⑶复数的除法：()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- （类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化） 5、常见的运算规律)9(设231i +-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω6、复数的几何意义x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴. 专题三：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法……做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法. 2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个排列.⑵组合定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个组合.⑶排列数：从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的排列数，记作mn A .⑷组合数：从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的组合数，记作m n C .⑸排列数公式：①()()()121+---=m n n n n A mn()!m n n A m n -=！；②!n A n n =，规定1!0=.⑹组合数公式： ①()()()!121m m n n n n C mn +---=或()!!m n m n C mn -=！；②m n n m n C C -=，规定10=n C .⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.⑻排列与组合的联系：mm m n m n A C A ⋅=，即排列就是先组合再全排列.()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-⑼排列与组合的两个性质性质排列11-++=m n m n m n mA A A ；组合11-++=m nm n m n C C C . ⑽解排列组合问题的方法①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！. 3、二项式定理⑴二项展开公式：()011222nnn n r n r rn n n n a b C a C ab C a b C a b ---+=++++ ()n nn C b n N +++∈.⑵二项展开式的通项公式：()+-+∈∈≤≤=N n N r n r b a C T rr n r n r ,,01.主要用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()nax b +的展开式中，第1r +项的二项式系数为rn C ，第1r +项的系数为rn rr n C a b -；而1()n x x+的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.⑷()n x +1的展开式：()0221101x C x C x C x C x n n n n n n n n n++++=+-- ，若令1=x ，则有()nnn n n n n C C C C ++++==+ 210211. 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C⑸二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时,C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
高中数学 知识点考点解析含答案 知识讲解 合情推理与演绎推(理)(基础)1211
合情推理与演绎推理【学习目标】1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。
2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.【要点梳理】要点一、推理的概念及分类1. 推理的概念：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．要点诠释：（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．2. 推理的分类：⎧⎨⎩合情推理推理演绎推理 （1） 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理的推理过程要点诠释：由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．（2） 演绎推理：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．要点二、归纳推理1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
2．归纳推理的特点（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．要点诠释：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.3．运用归纳推理时的一般步骤（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．4．完全归纳法和不完全归纳法（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．要点三、类比推理1．定义：类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．2．类比推理的几个特点（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．3．运用类比推理的一般步骤（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想.要点诠释：（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．要点四、演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.要点诠释：①如果一个推理规则能用符号表示为“如果a ⇒b ，b ⇒c ，则a ⇒c”，那么这种推理规则叫做三段论推理．②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．（3）用集合的观点理解“三段论”若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .要点诠释：演绎推理的结论一定正确演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
高中数学推理与证明知识点总结
高中数学推理与证明知识点总结高中数学推理与证明知识点总结高中数学比较高深，因此是有很多的推理和证明的。
下面就是店铺给大家整理的高中数学推理与证明内容，希望大家喜欢。
高中数学推理一、考点(限考)概要：1、推理：(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。
①归纳推理:ⅰ定义：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
ⅱ特点：*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性;*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上;*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。
ⅲ步骤：*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;*提出带有规律性的结论，即猜想;*检验猜想。
②类比推理：ⅰ定义：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
ⅱ特点：*类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。
ⅲ步骤：*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;*检验猜想。
(2)演绎推理：①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
②演绎推理是由一般到特殊的推理;③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般结论;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
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归纳推理
1．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别
事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，
퐴1具有属性푝
具有属性푝}
퐴
푛
⇒푆类事物中的每一个对象都可能具有属性푝
⋯
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容
的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现
问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
1/ 4
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例 1：下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一
个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到
特殊的推理过程．
例 2：下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线
B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式
푥2
푎2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+
푦2
푏2
=1的面积
S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
2/ 4
解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B 选项根据前 3 个S1，S2，S3 的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．
푥2
푎2 C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+
푦2
푏2
=1的面积
S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D 选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则m+n＝（）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n 的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11 =1+11
2×6= 36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
3/ 4
∵n3 的分解中最小的数是 21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．
4/ 4。