一类隐函数求斜渐近线的方法

一类隐函数求斜渐近线的方法Ξ

李冬红　(中央财经大学数学部　北京　100081)

摘　要　给出形如笛卡儿叶形线一类由二元高次方程所确定隐函数求斜渐近线的方法和相关结论

关键词　隐函数　斜渐近线 中图分类号O172.1

由方程(或方程组)所确定的隐函数(或隐函数组),不仅包含了所有的显函数,重要的是它包含了很多有用的非初等函数,从而给出了表示非初等函数的一种新方法。有些微分方程的解不能用显函数表示,但却能用函数方程所确定的隐函数表示。我们可以象研究显函数一样,研究隐函数(尤其是不能显化的隐函数)的各种性态。高等数学的教材中对隐函数求导问题已经论述的非常充分,继而与之相关的隐函数的单调性、极值等问题就迎刃而解了。但是要想描绘出隐函数的图象,如笛卡儿叶形线的图象,还需要了解隐函数求渐近线的方法。本文给出了形如笛卡儿叶形线这一类隐函数(由二元高次方程所确定)求斜渐近线的方法。

下面介绍求由方程y3+x3-3axy=0所确定的隐函数的斜渐近线的解法。

解法一　将隐函数方程转化为参数方程

令y=t x,则t3x3+x3-3ax・t x=0

x=

3at 1+t3

y=3at2 1+t

3当t→-1时x→∞1

由斜渐近线计算公式[1]有

斜率　k=lim

x→∞y

x

=lim

t→-1

3at2

1+t3

3at

1+t3

=lim

t→-1

t=-1

截距

b=lim

x→∞

(y-kx)

=lim

t→-13at2

1+t3

+

3at

1+t3

=lim

t→-13at2+3at

1+t3

=-a

所以斜渐近线为y=-x-a

解法二　直接由斜渐近线计算公式

令　k=lim

x→∞y x

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高等数学研究

STUDIES IN COLL ECE MA THEMA TICS

Vol.6,No.3

Sep1,2003

Ξ收稿日期:2002-12-23

将y 3+x 3-3axy =0两端同时除以x 3并取极限有

0=lim x →∞y 3x 3+1-3a y x 2=k 3+1

所以斜率　k =-1

令y =kx +b 并代入原方程,整理得

3(a +b )x 2-3bx (a +b )+b 3=0

两端同时除以x 2并取极限有

0=lim x →∞3x 2(a +b )-3bx (a +b )+b 3

x 2=3(a +b )

所以截距　b =-a ,从而斜渐近线为y =-x -a

由解法二,得以下两点结论

结论一　由二元高次方程所确定的隐函数存在斜渐近线的必要条件是二元高次方程中最高次幂项至少有两项。如上例笛卡儿叶形线,方程y 3+x 3-3axy =0中,最高次幂为3的项有两项。

又如由方程x 2y +3x 4y 4-4=0所确定的隐函数不存在斜渐近线,因为x 2y +3x 4y 3-4=0中最高次幂为7的项只有一项。

结论二　若F (x ,kx +b )=0。令x 的最高次幂与次最高次幂的系数为零,得关于k 与b 的联立方程组,解得k 与b ,则直线y =kx +b 是曲线的斜渐近线。

由结论二,上述解法二又可用下述方式表达

解法三[2]　将y =kx +b 代入方程,有

(kx +b )3+x 3-3ax (kx +b )=0

或　

(1+k 3)x 3+(3k 2b -3ak )x 2+(3kb 2-3ab )x +b 3=0令x 的最高次幂(x 3)与次最高次幂(x 2)的系数为0,即

1+k 3=0

3k 2b -3αk =0

解得k =-1,b =-a ,所以斜渐近线为y =-x -a

练习:求由方程y 2(x +y )=x 2确定的隐函数的斜渐近线。

(提示:若用方法一,既可令y =t x ,也可令x +y =t x ,斜渐近线为y =-x +1)

类似地,求隐函数的积分也可采用方法一,转化为参数方程来求解。

参考文献

[1]赵树女原1微积分[M ]1中国人民大学出版社,1997:173～714

[2]刘玉琏,杨奎元,吕凤1数学分析讲义学习指导书(下)[M ]1高等教育出版社,1990:177

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