正项级数敛散性判别法的讨论

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关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。

求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。

以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。

1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。

例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。

但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。

2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。

若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。

其中，$a_n$和$b_n$都是正数。

3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。

该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。

此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。

将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。

若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。

高数：级数敛散判别法

则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散。
1 1 n 1, 2,

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。

正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。

在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。

这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。

我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。

对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。

本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。

希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。

1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。

正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。

正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。

通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。

深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。

1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。

关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。

在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。

目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。

这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。

正项级数敛散性的判别方法

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。

第2节正项级数敛散性的判别(1)

例6 1 n2 n2 1
lim
n
1 n2
1
1 n2
1，
收敛
n 1
例7 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
12
例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
lim
n
n
1 a
n
1 1, n
故原级数发散.
15
例13 设正项级数 un与 vn均收敛, 试证：
n1
n1
n1
unvn 收敛，
n1
un 也收敛. n
证 un与 vn均收敛， (un vn ) 收敛 ,
n1
n1
n1
由基本不等式
unvn
1 2 (un
vn) ,
n1
unvn收敛 .
un
n
n1
所以{Sn} 也有上界 M， un收敛.
n1
2
比较判别法
定理设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
则 (1) 若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
(2) 若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n

正项级数敛散性判别法的讨论论文

摘要：级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤.并阐述一些正项级数判别的新方法.关键词：正项级数、收敛、判别法Abstract:Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many ways, This paper discusses the positive series of distinguishing a number of sub-features, and determine the positive series for convergence of the general steps. and presents a number of positive series of new methods of identification.Key words: Positive series; Convergence; Discriminance;引言数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广.但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变.首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果.也就是说，一个级数可能是收敛或发散的.因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题.教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握.本文就这一问题做了一些总结和讨论.1正项级数的定义和收敛的充要条件1.1正项级数的定义如果级数1n n u ∞=∑中各项均有0n u ≥,这种级数称为正项级数.1.2 正项级数收敛的充要条件如果级数1n n u ∞=∑中，部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0,n ∀>有{}n S M <.2 正项级数判别法2.1 比较判别法【 1】设n u ∑和n v ∑是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n>N 都有n un v ≤，那么(1) 若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； (2) 若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散.比较判别法的极限形式：设n u ∑和n v ∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=，则（1）当0l <<+∞时，n u ∑和n v ∑同时收敛或同时发散；（2）当0l =时，若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛；（3）当l =+∞，若级数n v ∑发散，则级数n u ∑也发散. 2.2 比式判别法【２】设为n u ∑正项级数，且存在某正整数0N 及常数(01)q q << （1）若对一切0n N >，成立不等式1n nu q u +≤，则级数n u ∑收敛；（2）若对一切0n N >，成立不等式11n nu u +≥，则级数n u ∑发散.比式判别法的极限形式若为n u ∑正项级数，则（1）当1lim 1n n n u u +→∞<时，级数n u ∑收敛；（2）当1lim1n n nu u +→∞≥时，级数n u ∑发散.2.3 根式判别法【2】设为n u ∑正项级数，且存在某正整数0N 及常数l（1）若对一切0n N >1l ≤<，则级数n u ∑收敛；（2）若对一切0n N >1≥，则级数n u ∑发散；根式判别法的极限形式:设n u ∑是正项级数，且n l =，则（1）当1l <时，则级数n u ∑收敛；（2）当1l >时，则级数n u ∑发散. 2.4 积分判别法设()f x 为[1,)+∞上非负递减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.2.5 Raabe 判别法【 1】设n a ∑为正项级数(0)n a >，且则111(),()n n a l o N a n n+=++→∞ （1）当1l >时，级数n a ∑收敛；（2）当1l <时，级数n a ∑发散.2.5.1 第一对数判别法【2】设n a ∑为正项级数(0)n a >，且1ln()lim ln nx a l n→∞=.则（1）当1l >时，级数n a ∑收敛；（2）当1l <时，级数n a ∑发散.2.5.2 第二对数判别法【2】设n a ∑为正项级数(0)n a >，且1lim lnnx n a n l a →∞+=则（1）当1l >时，级数n a ∑收敛；（2）当1l <时，级数n a ∑发散.引理1 当0x >，有不等式ln(1)1xx x x <+<+：证明作函数()ln f x x =.在区间[]1,1x +上应用lagrange 中值定理可得1ln(1)ln111,11111x x x x ξξ+-<=<<<+++- 也就是说，当0x >，有ln(1)1xx x x <+<+. 引理2 无穷级数11p n n ∞=∑，当时1p >收敛；当时1p <发散引理3 设级数n a ∑和n b ∑为正项级数(0,0)n n a b >>，存在正整数N ，当n N >，满足不等式:11n n n na b a b ++≤,则（1）如果n b ∑收敛，则n a ∑收敛；（2）如果n a ∑发散，则n b ∑发散. 对数第二判别法的证明(1)当1l >时，则存在1p >，使1l p >>，由1lim lnnn n a n l a →∞+=知，对0l p ε=->存在正整数N ，使得当n N >时，有1()n n a l l p p a +>--=，即ln 1p n n ae a +>. 由数列1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调递减且趋于e 知对一切正整数n 有1(1)n e n+<.于是当n N >时有11111(1)(1)(1)p nn p p n n n n a a a n n a n++⎡⎤>+=+⇔<+⎢⎥⎣⎦ 而无穷级数11pn n∞=∑，当时1p >收敛，故由引理3知当1l >时，级数n a ∑收敛. (2)当1l <时,存在正数1,2p p ，使1l p q <<<，由1lim lnnn n a n l a →∞+=知，对0l p ε=->存在正整数1N ，使得当1n N >时，有1n n a a +< ()l p l p +-=，即ln ln 1p n q n n n ae e a +<< 根据q e e <且1lim(1)n n e n→∞+=知，存在正整数2N ，得当2n N >时有1(1)n q e n+>.取{}12max ,N N N =，则当n N >时有ln ln 1p n q n n n a e e a +<<11111(1)(1)nn n n a n n a n +⎡⎤<+=+⇔>⎢⎥⎣⎦而调和级数1n∑是发散的，故由引理3知当1l <时，级数n a ∑发散.2.5.3 第二对数判别法和Raabe 判别法的等价性既然第二对数判别法和Raabe 判别法都是以p 一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢?下面我们将证明第二对数判别法和Raabe 判别法是等价的．我们有：定理数列n a 是正数列，则1lim lnnn n a n l a →∞+=充要条件是111(),()n n a l o n a n n+=++→∞. 证明（充分性）若111(),()n n a l o n a n n+=++→∞.由引理1有 11()11ln ln 1()(),()11()n n l o a l l n n o o n l a n n n n o n n ++⎡⎤<=++<+→∞⎢⎥⎣⎦++ 111()ln (),()11()n n n n l no a a n n n l no n l a a o n n +++⇒<<+→∞++ 对上式取极限，可得1lim lnnn n a n l a →∞+=. （必要性）若1lim lnn n n a n l a →∞+=，有,1ln (0,)n n n n an l n a εε+=+→→∞，于是有 ,11ln(0,),exp()n n n n n n n a a l l n a n n a n nεεε++=+→→∞⇒=+，(0,)n n ε→→∞1lim exp()1lim (1)n n n n n l a n n n l a nε→∞→∞+⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⇒-==1111(1),(0,),11(),()n n n n n n n n n a a a l l n l n o n a a a n n n nεεε+++⇒-=+→→∞⇒==++=++→∞由定理可知，第二对数判别法是Raabe 判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为Raabe 对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有Raabe 对数判别法是很方便的.应用举例例1 1!2!!2!n n u n ++=分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判断.!10,()!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n n <≤=<→∞++-且级数11(21)(2)n n n ∞=-∑收敛所以级数收敛. 例2112(1)(1)(1)nn n a a a a ∞=+++∑分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断11211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n u a a a a a a ∞=-=-++++++∑111212111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n n n a S a a a a a a ∞∞====-<++++++∑∑n S 单调递增且有界所以级数收敛. 例3 1ln n pu n n=分析：本题分母含有ln n 的表达式，优先选择积分判别法 121,(2),1,ln (1)ln p p dx x p x x p x+∞-=≤≤+∞≠-⎰当且仅当1p >时收敛. 2ln ln ,(2),1,ln p dxx x p x x +∞=≤≤+∞=⎰级数收敛.例4 2(1)2nn+-∑ 分析：本题中分子中含有(1)n -，无法用比式判别法或其他判别法进行判别，所以这种判别法是根式判别法的类型，取上极限进行判别，因此，选用根式判别法.1lim 12n n →∞→∞==< 级数收敛. 3 正项级数新的判别方法引理设正数列{}n u 单调递减，则级数1n n u ∞=∑与212n nn u ∞=∑同时收敛【 1】. 证明级数202n nn u ∞=∑与212n nn u ∞=∑有相同的收敛性，不妨设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，级数202n nn u ∞=∑的部分和为 n T .如果级数212n nn u ∞=∑收敛，即级数202n n n u ∞=∑收敛，又由于1n n u ∞=∑是单调递减的正项级数，则有112222n n n n S S u u k u u -<=++++11232212()()n n n u u u k u u k u ++≤+++++++ 12222n u u k u ≤+++=n T 所以212nn n u∞=∑收敛时，1nn u∞=∑也收敛.反之，当1n n u ∞=∑收敛时，有112342212()()n n n S u u u u k u u -+=++++++11242112222n n n u u u k u T -≥++++=所以1n n u ∞=∑收敛时，212n n n u ∞=∑也收敛.命题1（隔项比值法）设正数列{}n u 单调递减，且2lim n n nu u ρ→∞=.若12ρ<，则级数1n n u ∞=∑收敛. 证明当21lim2n n n u u ρ→∞=<时，有22lim 21n n nu u ρ→∞=<.现取2,k n k N =∈，就有112.222222lim21lim212k k kkk kn n u u u u ρρ++→∞→∞=<⇒=<上式正是正项级数12220222kk k k k uu u k u k ∞==++++∑第k+1项与第k 项之比的极限，由比式判别法的极限形式可知212n n n u ∞=∑收敛，再由引理可知1n n u ∞=∑收敛.例1 判断正项级数21ln n nn∞=∑的收敛性. 证明因为221ln(1)lim lim 1ln (1)n n n nu n n u n n +→∞→∞+==+ 可见比式判别法失效，现2ln n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，改用隔项比值法求解.222ln(2)11lim lim ln 42(2)n n n n u n n u n n →∞→∞==< 由此可知级数21ln n nn∞=∑收敛. 命题2 设正数列{}n a 单调递减，且2lim n n na na ρ→∞=，若12ρ<，则正项级数1n n a ∞=∑收敛证明记222,2,k k k k k k u a v u k N ==∈，由引理可知n a ∑与k u ∑同时收敛k u ∑与k v ∑同时收敛，故n a ∑与k v ∑同时收敛，在2lim n n na na ρ→∞=中令22kn =k N ∈，就有1122221222(2)2222222222k k k kk kkkkn naa a u na a u a +++===11122211..222k k k k k ku vu v +++==再令n →∞即得证. 例2 证明级数的221ln n n n ∞=∑收敛性证明设21ln n u n n=，因为正数列{}n u 单调递减，且有 222222ln 11lim lim ln 42n n n n u n n n u n n ρ→∞→∞===<由命题2知221ln n n n ∞=∑收敛. 4 总结与展望数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法.当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法判别法.当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解.参考文献[1] 陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 .[J] . 武汉工业学院学报，2002，4.[2] 胡适耕，张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社，2008，5[3] 吴良森等编著.数学分析习题精解[M] . 北京：科学出版社，2002，2.[4] 胡洪萍数列与级数敛散性判别定理[J] 西安联合大学学报，2004，2[5] B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析[M] .北京高等教育出版社，2006，12[6] 夏学启. 贝努利数的简明表达法[J] . 芜湖职业技术学院学报，2006，2[7] 周应编著.数学分析习题及解答[M] . 武汉：武汉大学出版社，2001，8[8] 陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册[M]. 北京：高等教育出版社，2000，4。

正项级数

有
于是
un k k vn 2
k un 3k 0 2 vn 2
k 3k vn un vn , 则级数 2 2
u 和 v
n 1 n n 1

n
同敛散;
un (2) 由 lim 0, 则对于 1, N , 使得 n N n v n
有 un 0 1, 即 un vn，则若级数 v n 收敛, n 1 vn
n1 n 1
例如,

1 1 1 2 , n( n 1) n n
1 收敛. n 1 n( n 1)

1 但发散, 而 n 1 n
10
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注3 应用比较判别法时, 须找合适的已知敛散性的级数作为参考级数. 重要参考级数: 几何级数, p - 级数, 调和级数.
23
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1 的敛散性. 例8 判定级数 n 0 n !
解
因为

un1 n! lim lim n u n ( n 1)! n
1 lim 0 1, n n 1
故原级数收敛.
24
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2n 例9 判定级数 3 的敛散性. n 1 n
2 1 1 p 1 p dx 1 2 n
1 dx n 1 n p
n
6
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1
2
1
dx p x
n dx dx 1 p n 1 x p 1 x
n
1 1 1 即sn有界, 收敛. 1 (1 p 1 ) 1 p1 n p1

关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号：单位：指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n i i S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数∑∞=1n nu收敛，则u lim n n =∞→.其逆否命题为：若lim n ≠∞→，则级数∑∞=1n nu发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于,...),2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且,n ,N N N ≥∀∈∃+有n n cv u ≤，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设,+∈∀N n 有n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n1u n ∞=∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有，n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，在根据定理1，级数n1un ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x nuv λ→∞，+∞≤≤λ0，1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，则级数n 1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n1n v∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，，由已知条件，,,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有0u ελ<-nnv ，即n n v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，,u ,,,00n nv N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，即,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n ,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若,1u ,,1<≤≥∀∈∃++q u N n N N nn 有则级数n1un ∞=∑收敛；2) 若N n N N ≥∀∈∃+,，有1n n u v ≥，则级数n1u n ∞=∑发散. 证明：1）不妨设q N n n u u ,1n ≤∈∀+有, n=1， q u u 12≤;n=2,;u 2123q u q u ≤≤ n=3,;u 3134q u q u ≤≤......n=k,kk k q u u 11u ≤≤+......已知几何级数)10(11<<∑∞=q qu kk 收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知,1,n ,1≥≥∀∈∃++nn u u N N N 有即正项级数{n u }从N 项以后单调增加，不去近乎0()∞→0，则级数n1un ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且l u u n n n =+∞→1lim，有，1) 若1<l ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),1:q <<∃q l 由数列极限定义，l q l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即1u u 1<<+q nn ，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知1>l ，根据数列极限的保号性，1u u ,,n1n >≥∀∈∃++有N n N N ，达朗贝尔判别法，级数n1un ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛. 例4 判别级数∑∞=155n nn的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n n n n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n nn发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n 1u n ∞=∑)0(u n >为正项级数，存在常数q ，则有1) 若,n ,N N N ≥∀∈∃+有1n <≤q u n ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得1u ≥nn ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知,n ,N N N ≥∀∈∃+有qu n ≤n，有已知几何级数∑∞=<≤0n )10(q qn收敛，于是级数∑∞=0n nu收敛;2)已知存在无限个n,有1n≥n u ，即n u 趋近于0（∞→n ），于是级数n1un ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若lu n n n =∞→lim1) 若1<l 时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l 时，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1)：q ∃1<<q l ,由数列极限定义，11,n ,,01q n 0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知1>l ，根据数列极限的保号性，1,n ,n >≥∀≥∃+n u N N N 有，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x n u u →∞或+1lim =1n x nuu →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n ∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim =11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim =lim =11+1x x n n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，lim x →∞，lim x →∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n nu u ≤和<1q ≤也不能放宽到+1<1n n u u，.例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n n u nu n ，，但级数却是发散的.例1 判别级数nnnn)12(1∑∞=+的敛散性.分析: 该级数的通项nnn)12(+是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim)12(limlim<=+=+=∞→∞→∞→nnnnunnnnnnn,根据柯西判别法的推论,可得级数nnnn)12(1∑∞=+收敛.例2 判别级数∑∞=1ln32nnn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimlnln>====∞→∞→∞→nnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln32nnn发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11npnn=∑当1q>时收敛，而当1q≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nnnu=∑是正项级数且有)0(u>n，则存在常数q，1)若11n,n,1>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++quuNNNnn有，则级数1nnnu=∑收敛；2）若11n,,1≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++nnuuNnNN有，则级数1nnnu=∑发散.证明：1）由q u u n n ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n 可得n qu n n -<+1u 1，选p 使1<p<q.由 ()()()11lim11lim 111lim 100<=-=--=---→→∞→qpqx p qx x nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,pn n⎪⎭⎫ ⎝⎛-->111q ,这样p p p n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+1111111u u n 1n ，于是，当n>N 时就有()Np PN PppN N N n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n 1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数∑∞=1n n1p收敛，故级数则级数1nn n u =∑收敛；2）由,1111111nn n u u u u n n n n n -=-≥≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++可得于是222231-n n n 1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u n n n n n u =--->=++，因为∑∞=1n 1n 发散，故级数1nnn u=∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）：设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→ 1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 当3,2,1=s 时的敛散性.分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n n n , 所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n n n , 所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nnn u=∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明：()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim ()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()x x f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M=+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()x f t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论： (1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>； (2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>. 证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x =≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）. 例1 判别级数∑∞=131n n 的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n 换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰px dx x p ,即dx x ⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n 也收敛. 例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n换成积分形式dx x ⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x ,即dx x ⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n发散. 3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n pu O n n=→∞，即n u 与1p n 当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n n nu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v v v vu u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立. 主要参考文献：[1]刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，2003 [2]罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.8 [3]李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.5 [4]邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.6 [5]张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.6 [6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

关于正项级数收敛性的判别法

关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。

正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。

正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。

关键词：级数；正项级数；收敛；发散。

AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。

正项级数的敛散性问题研究

法可知数由
＝Ｚ
·
根
ｊ＋｛一ｌＪ
明显，当ｎ为奇数时，结果为１；当ｎ为偶数时，结果为÷ ．
１ｉｍ兰不存在，所以此级数不能用比值法判定敛散性．
＋ Ⅱ
二、总结本文重点介绍了数项级数中最基本的级数 —— 正项级
数的各种收敛方法．判断某一个正项级数∑ｕ收敛的一般
推论１设
ｌ＋２＋ … ＋＋…
（１）
１＋２＋… ＋＋…
（２）
是两个正项级数，若ｌｉｍ：ｌ，则当０＜２＜＋。。时，级数（１），（２）同时收敛或同时发散；
当ｌ＝０且级数（２）收敛时，级数（１）也收敛；当ｚ＝＋。。且级数（２）发散时，级数（Ｉ）也发散．（二）比式判别法（达朗贝尔判别法）
例１判别级数
的敛散性·
分析考虑通项翌．
解因为 ≤
＝＝．
二ｎ
二ｎ
二ｎ
ｎ
又由于∑ Ｉ收敛，则由比较收敛法知，原级数是收
敛的．
在实际处理题目时，比较收敛法的下述形式有时候会
更为方便．
过程：（１）首先检查通项，如果判断出ｌｉｍ “ ≠ ０，则级数发
散；如果判断出ｌｉｒａ＝０，则可进入下一个过程；（２）针对不同的题目采用不同的收敛方法，若找不到适
合的方法，则可以进入下一过程；（３）检查正项级数的敛散性和数列｛Ｓ｝是否有上界或

正项级数的敛散性判别方法探究

正项级数的敛散性判别方法探究摘要：正项级数是一类重要的级数，对于研究一般项级数及函数项级数的敛散性有十分重要的意义．本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便．然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性．最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性．关键词：正项级数；敛散性；判别法 1 引言级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的．一般来说，部分和n S 不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定．就正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法．它需要用已知敛散性的级数作为比较对象．若用等比级数作为比较对象，就得到了柯西判别法和达朗贝尔判别法．但当极限为1时，这两个判别法失效．若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更慢的级数作为比较级数，分别以p 级数11p n n ∞=∑和级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多．此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法．与之对应的还有导数判别法． 2 正项级数的相关概念[1]定义1 设12,,,,n x x x L L 是可列无穷个实数，我们称它们的“和”12n x x x ++++L L为数项级数(简称级数)，记为1n n x ∞=∑，其中n x 称为级数的通项或一般项．定义2 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0n x ≥，1,2,3,,n =L 则称此级数为正项级数．定义3 取级数1n n x ∞=∑的前n 项之和，记为121nn n k k S x x x x ==+++=∑L ，1,2,3,,n =L则称n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和，{}n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和数列．定义4 如果部分和数列{}n S 收敛于有限数S ，则称级数1n n x ∞=∑收敛，且称它的和为S ，记为1n n S x ∞==∑；如果部分和数列{}n S 发散，则称级数1n n x ∞=∑发散．3 正项级数收敛性的常用判别法比较判别法[1]定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界．定理2 (比较判别法) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在常数0A >，成立n n x Ay ≤，1,2,3,,n =L 则(1) 当1n n y ∞=∑收敛时，1n n x ∞=∑也收敛；(2) 当1n n x ∞=∑发散时，1n n y ∞=∑也发散．推论 (比较判别法的极限形式) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，如果n x 与ny是同阶无穷小量，即limnn nx l y →∞=，则 (1) 当0l <<+∞时，1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0l =且级数1n n y ∞=∑收敛时，级数1n n x ∞=∑也收敛；(3) 当+l =∞且级数1n n y ∞=∑发散时，级数1n n x ∞=∑也发散．柯西判别法与达朗贝尔判别法根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性．柯西判别法与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的．柯西判别法及其推广[2]定理3 设1n n x ∞=∑r =，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．推论1 (广义柯西判别法1) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim an n r →∞=(0a >)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有an r r εε-<<+ (1)对于任意常数b ，总存在2N ，当2n N >时，有0an b +> (2)取{}12max ,N N N =，当n N >时，式(1)和式(2)同时成立．(1) 当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+<，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑收敛，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+>，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑发散，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑发散．(3) 当1r =时，取1n px n =，那么对任意0a >和常数b ，有()1lim lim1an p an b n n n+→∞→∞==．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散．推论2 (广义柯西判别法2) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim n r →∞=(其中1m >且m N +∈)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数N ，当n N >时，有r r εε-<<+当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有mn n x q <．因为()1mn nqq m <>，又正项级数1n n q ∞=∑收敛，由比较判别法知，级数1nn x∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n x q>>，那么lim 0n n x →∞≠，所以级数1n n x ∞=∑发散．当1r =时，取1n p x n =，那么，lim lim 1p pn n n →∞→∞⎛=== ⎝．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散．例1 讨论下列级数的敛散性(1)211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (2)2131n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑．解 (1)若采用柯西判别法，需要计算211lim 31n nn n n -→∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，较为繁琐．而由广义柯西判别法1知，21lim lim 0131n n n →∞→∞==<-，该级数收敛．(2)因为1lim lim lim1313n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．达朗贝尔判别法及其推广定理4 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，且1limn n nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散；(3) 当1r =时，无法判断级数1n n x ∞=∑的敛散性．推论 (广义的达朗贝尔判别法)设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，limn kn nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散．证 (1) 当1r <时，对102rε-=>，存在N ，当n N >时，有12n k n x rr x ε+--<= 即11122n k n x r r r x +-+<+=< 设112rq +=<，则n k n x q x +≤，即n k n x qx +≤，从而1(1)1(1)11m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤ 2(1)2(1)22m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤M(1)(1)m mk k m k k k m k k k x x qx q x +-++-+=≤≤其中m 是任意正整数，可见，对1,2,,i k =L ，都有lim 0mk i m x +→∞=．考虑级数的部分和序列(1)1111111()()()1(1)()()11()1m k k k k k mk mk k m mk k k S x x x x x x q q q x x x x qx x q++++++=+++++++++-≤+++++=++-≤++-L L L L L L L L即{}(1)m k S +有上界，从而(1)lim m k m S +→∞存在，设(1)lim m k m S S +→∞=．注意到11212(1)12(1),,,mk mk mk mk mk mk mk mk k mk mk mk mk k S S x S S x x S S x x x ++++++-+++-=+=++=++++L L故12(1)lim lim lim lim mk mk mk k mk k m m m m S S S S S +++-+→∞→∞→∞→∞=====L ，即lim n n S S →∞=，所以1n n x ∞=∑收敛．(2) 如果1r >，则从某项开始，00n k n x x +≥，此时lim 0n n x →∞≠，故原级数发散．例2 讨论下列级数的敛散性．(1)(1)13nn n ∞---=∑； (2)2sin cos 221n n n n eππ⎧⎫∞+-⎨⎬⎩⎭=∑．解 (1) 取3k =，由于3(3)(1)3(1)31lim lim 193n n n n n n n nx x +-+--+---→∞→∞==<，所以原级数收敛．(2) 取 4k =，由于(4)(4)2sincos (4)22442sin cos 221limlim1n n n n n n n n n nx ex eeππππ++⎧⎫+-+⎨⎬⎩⎭+⎧⎫→∞→∞+-⎨⎬⎩⎭==<，所以原级数收敛．引理[3]设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在自然数N ，当n N >时，不等式22n n n n x y x y ≤与212111n n n n x y x y ++++≤成立，则 (1) 若级数1n n y ∞=∑收敛，则级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 若级数1n n x ∞=∑发散，则级数1n n y ∞=∑发散．证由已知条件，存在自然数N ，当n N >时，不等式22n i n in i n ix x y y ++++≤()0,1i = 成立．不妨取自然数2p N N =>，并令max i N i p i x M y ≤<⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．当N n p ≤<时，max ni N i p n i x x M y y ≤<⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；当n p ≥时，则唯一存在一个自然数1n ，使1122n n i p N =+≥=()10,1i =，故11n i N +>．若11n i p +<，则1111111122n i n i n n n i n i x x x M y y y ++++=≤≤；若11n i p +≥，则唯一存在一个自然数2n ，使1222n n i =+()20,1i =，其中22n i N +>，于是有11222211222222n i n i n i n i n i n i x x x y y y ++++++=≤，且2211n i n i +<+．由于n p ≥，经过有限步，假设第r 步，必有r r n i p +<，于是22r r r rr r r rn i n i n n n i n i x x x M y y y ++++≤≤≤．由定理2即可证明．定理5 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，如果2211limlim n n n n n n x xx x ρ+→∞→∞+==，那么当12ρ<时，级数1n n x ∞=∑收敛；当12ρ>时，级数1n n x ∞=∑发散[4]．证 (1) 当12ρ<时，可以选取0ε>，使得12r ρε+=<，根据极限定义，应有正整数1N ，使当1n N ≥时，有212n n x r x ρε<+=<与21112n n x r x ρε++<+=<．又因为102r <<，可选实数1s >，使1122s r <<．令1n s y n =，则级数1n n y ∞=∑收敛，且21111lim lim 212sn s n n n y n y n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 由极限的性质，存在2N ，使得当2n N ≥时，有211n n y r y ++>成立．取{}12max ,N N N =，则当n N ≥时，212111n n n n y x r y x ++++>>，2212n n s n ny x r y x =>>根据引理，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当12ρ>时，选取0ε>，使得12ρε->，根据极限定义，应有正整数N ，使当n N ≥时，有212n n x x ρε>->与21112n n x x ρε++>->．令11n y n =-，则级数1n n y ∞=∑发散，且2211221n n n n x y n x y n ->>=-，212112n n n n x y x y ++>= 根据引理，级数1n n x ∞=∑发散．例3 讨论下列级数的敛散性．(1)2n ∞=；(2)1n ∞=．解 (1) 因为2222n n n x x n ==()222121212111n n n x n x n n ++++⎛⎫== ⎪+⎝⎭+则22111limlim 02n n n n n n x x x x +→∞→∞+==<由定理5可知，级数21n ∞=收敛．(2) 因为()2ln 2ln 2ln ln n n n n x x nn ==()()()211ln21ln21ln1ln1nnn nxx n n++++==++则22111lim lim02n nn nn nx xx x+→∞→∞+==<由定理5可知，级数1n∞=柯西判别法与达朗贝尔判别法的关系性质若1lim nnnxrx+→∞=()0nx>，则nr=．证令11y x=，1nnnxyx-=()2,3,n=L，则0ny>()1,2,n=L，且1lim lim nnn nnxy rx→∞→∞-==，可以推出n n nr===．定理6 设1n nna b∞=∑为正项级数，0na≥，0nb≥，若na=，1lim nnnbbb→∞-=，则当1ab<时，级数1n nna b∞=∑收敛；当1ab>时，级数1n nna b∞=∑发散．证由上述性质可知，1lim nnnbbb→∞-=，可得nb=．于是.n n nab==由柯西判别法，便可得证．例4 判定下列级数的敛散性．(1)()21!121nnnn nnn∞=+⎛⎫⎪⎝⎭+∑；(2)221101!25n nnnn n a nn n n∞=⎛⎫++⋅⎪-+⎝⎭∑()0a>．解 (1) 设21n n n a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()!21n n n b n =+，则1lim nn n n e n →∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1211lim lim 21212nn n n n b n n b n n e →∞→∞--⎛⎫== ⎪-+⎝⎭．由于11122e e ⋅=<，根据定理6知，原级数收敛． (2) 设2210125nn n n a n n ⎛⎫++= ⎪-+⎝⎭，!n n n a n b n =，则22101lim 125n n n n n n →∞++==-+ ()()11111!1lim lim lim 1!n n n n n n n n n n n b a n n aa b n a n n e---→∞→∞→∞---⎛⎫=⋅=⋅=⎪-⎝⎭．根据定理6，当a e <时，原级数收敛；a e >时，原级数发散．积分判别法和导数判别法定理7 (积分判别法) 对于正项级数1n n x ∞=∑，设{}n x 单调递减，作单调递减的连续减函数()f x ()()0f x ≥，使()n x f n =，则级数1n n x ∞=∑与广义积分()1f x dx +∞⎰同时收敛，同时发散．定理8 (导数判别法) 设()f x 在0x =的某邻域内有定义且()0f x ≥，1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x ''在0x =处存在，则级数1n n x ∞=∑收敛的充分必要条件是：()()000f f '==．证不妨设对一切n ，都有1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x ''在0x =处存在，易知()f x 在0x =处连续，且在0x =的某邻域内可导．充分性：由()()000f f '==，令01λ<<，则有()()()()()()1110000001lim lim lim lim 0111x x x x f x f x f x f f x x x x x λλλλλλλ++++--+→→→→'''''-====+++ ()1lim01nn x n λ+→∞⇒=，又级数111n nλ∞+=∑收敛，由比较判别法可知级数1n n x ∞=∑收敛．必要性：设级数1n n x ∞=∑收敛，则()10lim lim 0n n n f f x n →∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭．如果()00f a '=≠，则()()()()000limlim 00x x f x f x f f a x x →→-'===-，于是有 1lim lim 011n n n f x na n n→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭==≠．由级数11n n ∞=∑发散，知级数1n n x ∞=∑发散，与已知条件矛盾，故假设不成立，即()00f '=．例5 讨论级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑的敛散性，其中0p >为常数．解取1(),0ln (lnln )pf x p x x x =>．它在[3,)+∞上非负，单调减少且连续．当1p =时，()31lim lim[ln ln ln ln ln ln3]ln ln ln xx x dt x t t t →∞→∞=-=+∞⎰；当1p ≠时，()()()()113301,11lim ln ln (ln ln3)11.ln ln ln 1xp ppx p dt x pp t t t p +∞--→∞⎧+∞<<⎪==⎨->⎪-⎩⎰，,故级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑，当1p >收敛，当01p <≤时发散．例6 判别级数11sin p n n n π∞=∑()1p ≥的敛散性．解令()sin p f x x x π=，则()00f =．又()1sin cos p p f x px x x x πππ-'=+，()00f '=，故()102,1sin cos 00lim 0,1p p x p px x x x f p x ππππ-→=⎧+-''==⎨>⎩ 即()f x 在0x =处二阶可导，由导数判别法知级数11sin p n n n π∞=∑收敛．拉贝判别法与高斯判别法[5]柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一等比级数相比较的想法得到的．也就是说，如果给定级数通项收敛于零的速度比某收敛的等比级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，则无法判断．拉贝以p 级数11pn n∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯以级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了高斯判别法[2]．定理9 (拉贝判别法) 设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n x n r x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．定理10 (高斯判别法) 如果正项级数1n n x ∞=∑满足条件1111ln ln n n x x n n n n n βο+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()n →+∞ 则当1β>时级数收敛；1β<时级数发散．证 (1) 当1β>，取α适合1βα>>，我们证明，当n N ≥时，有不等式()ln n M x n n α≤为此目的，我们注意111ln 1n n n ο⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1ln 1ln 11111ln ln ln ln n n n n n n n n ο⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=++ ⎪⎝⎭，()ln 111ln ln ln n n n n n n ααο+⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 11111ln ln ln n n n n n n n n n ααο+⎛⎫+⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据已知条件，就有()1ln 111ln ln ln n n n x n x n n n n n n αβαο++⎛⎫+-⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()n →+∞ (*) 因为0βα->，故当n N ≥时，上式取正值，即()()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x αα+>++．这说明当n 充分大时，数列(){}ln n n n x α是单调减的，因而有界：()ln n n n x M α<，即()ln n M x n n α<从而级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1β<时，在式(*)中取1α=就有()1ln 1111ln ln ln n n n x n x n n n n n n βο+++-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭故当n 充分大时有()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x +<++，即数列(){}ln n n n x 是单调增的．于是当n N ≥时有()()ln ln n N n n x N N x K ≥=即ln n Kx n n≥，所以级数1n n x ∞=∑发散．推论设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim ln 11n n n x n n r x →∞+⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．例7 设20a +>，试讨论级数11212223231na a a a a n a+++++++++++L L L 的敛散性．解当0a =时，原级数可化为11n +∑，此时级数发散．当0a ≠时， (1) 采用拉贝判别法11lim 1lim 12n n n n x a n n a x n a +→∞→∞⎛⎫+-==+ ⎪++⎝⎭ 则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．(2) 采用高斯判别法()()1,01lim ln 11lim ln lim ln ,01n n n n n a x an n n n a n a x n →∞→∞→∞+⎡⎤+∞>⎧⎛⎫-⎪--===⎨⎢⎥ ⎪-∞<+⎪⎝⎭⎩⎣⎦则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．注虽然高斯判别法要比拉贝判别法更加精密，但是其运算过程也相对复杂．从理论上讲，按照这个思路进行下去，还可以找到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂． 4 结束语判断正项级数敛散性的方法是多种多样的，文中仅列出了一些常用的判别方法．在使用的过程中，需要根据不同题目的特点，选取适宜的判别方法进行判断．同时，本文选取了一些典型例题，用以检验相关理论的有效性．正项级数敛散性判别法也可用于判定负项级数及一般项级数的绝对收敛性，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中．参考文献[1] 陈纪修等．数学分析(下册)[M]．北京，高等教育出版社．2004：15-25．[2] 刘三阳，李广民．数学分析十讲[M]．北京，科学出版社．2011：131-145．[3] 李铁烽．正项级数判敛的一种新的比值判别法[J]．数学通报，1990(1)：46-47．[4] 吴慧伶．正项级数收敛性判别的一个推广[J]．丽水学院学报，2006，28(5)：24-26．[5] 何琛，史济怀，徐森林．数学分析(第三册)[M]．北京，高等教育出社．1985：34-35．The Study of Positive Series Convergence and DivergenceDiscriminanceAbstract：Series of positive terms is a kind of important series, it has a very important significance to the study of other series. This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between them, to determine their strength. Finally, combining some typical examples to verify the effectiveness of discriminance in this article.Keywords：series of positive terms; convergence and divergence; discriminance。

§6.2 正项级数的敛散性判别法

(1)r < 1 , un收敛;(1)r > 1 , un发散; 时 ∑ 收敛; 时 ∑ 发散;
n=1 n=1
∞
∞
注级数中含有n!,an,nn时一般选用此法较好,运用级数中含有 , 时一般选用此法较好, 时若发现极限结果为r=1,则说明不能用此法,需改用其他方法. 若发现极限结果为 ,则说明不能用此法,需改用其他方法.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
1 例证明 < 1 ∑ p 发散. p 时发散. n=1 n
∞
第六章离散经济变量的无限求和
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2010年6月26日星期六年月日星期六
4
推论若∑un, vn为正项级数,且 N > 0 使 n > N, ∑ 为正项级数, ,
∞
1 (3)∑(1 cos ) n n→ 1
∞
3n (4)∑ )! n=1 (2n +1
答案 ⑷收敛
(5)∑
n=1
∞
n + sin n n3 + n 1
⑵发散 ⑶收敛
⑴收敛 ⑸发散
第六章离散经济变量的无限求和
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�
n=1 n=1
∞
∞
0 ≤ un ≤ Avn,其中为常数,则 A为常数,
(1)∑vn收敛 ∑un收敛; 收敛; (2)∑un发散 ∑vn发散. 发散.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
利用比较判别法, 利用比较判别法,关键是要选择合适的级数与已知级进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩; 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩;而

关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记

关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。

首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。

其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。

最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。

由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。

综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。

因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。

如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。

在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。

关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。

此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。

如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。

本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。

一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。

而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。

1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。

为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。

定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。

为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。

同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。

正项级数敛散性的判别方法

正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。

正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。

根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。

关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。

英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。

因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。

我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。

因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。

2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。

取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。

2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。

高等数学级数 (11.2.1)--正项级数及其敛散性的判别法

n=1
2) 当 l 1时, un 发散
n=1
上海交大乐经良
例讨论下列级数的敛散性
1) 2n n=1 n!
2)
2n + 3 n=1 3n 2
3)
ann! nn
n=1
(a 0)
三 . 根值判别法

若正项级数 un
n =1
满足
lim n
n
un
= l,
则

11.2.1 正项级数

若级数 un 满足 un 0, 则称之为正项级数 n=1
显然正项级数的部分和 Sn 单调增加，因此有

正项级数 un收敛 n=1 充分必要条件部分和 Sn 有界
例讨论
p
1
级数 n=1 n p
的敛散性
上海交大乐经良
11.2.2 正项级数敛散性判别法
sin n n2
上海交大乐经良

2) (－1)n
n +1
n=1
n
H.W 习题 11 12 (1) (2) (4) (5) 13 (1)(2)(3)(4)(6)
上海交大乐经良
若级数

un

收n=1
n=1
若级数 un 发散 , 而级数 un 收敛 , 则称级数
n =1
n=1

un 条件收敛
n=1

命题若级数 un 收敛 , 则级数 un 收敛
n =1
n=1
例判别级数敛散性 , 并指出收敛类型
1)
n=1
n=1
n=1
上海交大乐经良
例讨论下列级数的敛散性

正项级数敛散性判别法的讨论

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

高数：级数敛散判别法

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

正项级数敛散性的判别方法

第2节 正项级数敛散性的判别(1)

正项级数敛散性判别法的讨论 论文

正项级数

关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数收敛性的判别法

正项级数的敛散性问题研究

正项级数的敛散性判别方法探究

§6.2 正项级数的敛散性判别法

关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

正项级数敛散性的判别方法

高等数学 级数 (11.2.1)--正项级数及其敛散性的判别法

第2节正项级数敛散性的判别(1)

正项级数敛散性判别法的讨论论文

高等数学级数 (11.2.1)--正项级数及其敛散性的判别法