第十六章 量子物理基础

习题十六 量子物理基础（1,2,3小题参考课本后答案）16-3 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T ．这是测量星球表面温度的方法之一．设测得：太阳的m 55.0m μλ=，北极星的m 35.0m μλ=，天狼星的m 29.0m μλ=，试求这些星球的表面温度．解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律：K m 10897.2,3⋅⨯==-b b T m λ对太阳： K 103.51055.010897.236311⨯=⨯⨯==--mbT λ 对北极星：K 103.81035.010897.236322⨯=⨯⨯==--mbT λ 对天狼星：K 100.11029.010897.246333⨯=⨯⨯==--mbT λ 16-4 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为22.8W ·cm -2，求炉内温度．解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度 242m W 108.22cm W 8.22)(--⋅⨯=⋅=T M B按斯特藩-玻尔兹曼定律：=)(T M B 4T σ41844)1067.5108.22()(-⨯⨯==σT M T B K 1042.110)67.58.22(3341⨯=⨯= 16-5 从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量，今有波长为2000οA 的光投射到铝表面．试问：(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电势差为多大?(3)铝的截止(红限)波长有多大? 解：(1)已知逸出功eV 2.4=A 据光电效应公式221m mv hv =A + 则光电子最大动能：A hc A h mv E m -=-==λυ2max k 21 eV0.2J 1023.3106.12.41020001031063.6191910834=⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=---- m 2max k 21)2(mv E eU a ==Θ∴遏止电势差 V 0.2106.11023.31919=⨯⨯=--a U (3)红限频率0υ,∴000,λυυcA h ==又∴截止波长 1983401060.12.41031063.6--⨯⨯⨯⨯⨯==A hc λ m 0.296m 1096.27μ=⨯=-16-6 在一定条件下，人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(m 105.0-7⨯=λ)产生光的感觉．此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个这样的光子，则到 达眼睛的功率为多大? 解：5个兰绿光子的能量J1099.1100.51031063.65187834---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===λυhcnnh E功率 W 1099.118-⨯==tE16-7设太阳照射到地球上光的强度为8 J ·s -1·m -2，如果平均波长为5000οA ，则每秒钟落到地面上1m 2的光子数量是多少?若人眼瞳孔直径为3mm ，每秒钟进入人眼的光子数是多少?解：一个光子能量 λυhch E ==1秒钟落到2m 1地面上的光子数为21198347m s 1001.21031063.6105888----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===hc E n λ 每秒进入人眼的光子数为11462192s 1042.14/10314.31001.24--⨯=⨯⨯⨯⨯==d nN π16-8 若一个光子的能量等于一个电子的静能，试求该光子的频率、波长、动量．解：电子的静止质量S J 1063.6,kg 1011.934310⋅⨯=⨯=--h m 当 20c m h =υ时，则Hz10236.11063.6)103(1011.92034283120⨯=⨯⨯⨯⨯==--h c m υ ο12A 02.0m 104271.2=⨯==-υλc122831020122s m kg 1073.21031011.9s m kg 1073.2-----⋅⋅⨯=⨯⨯⨯=====⋅⋅⨯==c m cc m c E p cpE hp 或λ16-9 光电效应和康普顿效应都包含了电子和光子的相互作用，试问这两个过程有什么不同?答：光电效应是指金属中的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面，是电子处于原子中束缚态时所发生的现象．遵守能量守恒定律．而康普顿效应则是光子与自由电子(或准自由电子)的弹性碰撞，同时遵守能量与动量守恒定律．16-10 在康普顿效应的实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光子的能量ε与反冲电子的动能k E 之比k E /ε等于多少?解：由 2200mc h c m hv +=+υ)(00202υυυυ-=-=-=h h h c m mc E kυεh =∴5)(00=-=-=υυυυυυεh h E k已知2.10=λλ由2.10=∴=υυλυc 2.110=υυ则52.0112.110==-=-υυυ 16-11 波长ο0A 708.0=λ的X 射线在石腊上受到康普顿散射，求在2π和π方向上所散射的X 射线波长各是多大? 解：在2πϕ=方向上：ο1283134200A0243.0m 1043.24sin 1031011.91063.622sin 2Δ=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-=---πϕλλλc m h 散射波长ο0A 732.00248.0708.0Δ=+=+=λλλ 在πϕ=方向上ο120200A 0486.0m 1086.422sin 2Δ=⨯===-=-cm h c m h ϕλλλ散射波长 ο0A 756.00486.0708.0Δ=+=+=λλλ 16-12 已知X 射线光子的能量为0.60 MeV ，在康普顿散射之后波长变化了20%，求反冲电子的能量．解：已知X 射线的初能量,MeV 6.00=ε又有00,ελλεhchc=∴=经散射后 000020.1020.0λλλλ∆λλ=+=+= 此时能量为 002.112.1ελλε===hc hc反冲电子能量 MeV 10.060.0)2.111(0=⨯-=-=εεE 16-13 在康普顿散射中，入射光子的波长为0.030 οA ，反冲电子的速度为0.60c ，求散射光子的波长及散射角． 解：反冲电子的能量增量为202022020225.06.01c m c m c m c m mc E =--=-=∆由能量守恒定律，电子增加的能量等于光子损失的能量， 故有 20025.0c m hchc=-λλ散射光子波长ο1210831341034000A043.0m 103.410030.0103101.925.01063.610030.01063.625.0=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=------λλλc m h h 由康普顿散射公式2sin 0243.022sin 22200ϕϕλλλ∆⨯==-=c m h 可得 2675.00243.02030.0043.02sin2=⨯-=ϕ散射角为 7162'=οϕ16-14 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV 的光子． (1)试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级?(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上．解：(1)2eV6.13eV 85.0eV 75.12eV 6.13n-=-=+- 解得 4=n或者 )111(22n Rhc E -=∆ 75.12)11.(1362=-=n解出 4=n题16-12图 题16-13图(2)可发出谱线赖曼系3条，巴尔末系2条，帕邢系1条，共计6条.16-15 以动能12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能级?当回到基态时能产生哪些谱线?解：设氢原子全部吸收eV 5.12能量后，最高能激发到第n 个能级，则]11[6.135.12,eV 6.13],111[2221n Rhc n Rhc E E n -==-=-即得5.3=n ，只能取整数，∴ 最高激发到3=n ，当然也能激发到2=n 的能级．于是ο322ο222ο771221A6563536,3653121~:23A 121634,432111~:12A1026m 10026.110097.18989,983111~:13===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→=⨯=⨯⨯===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→-R R R n R R R n R R R n λυλυλυ从从从 可以发出以上三条谱线．题16-14图16-16 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率．解：巴尔末系是由2>n 的高能级跃迁到2=n 的能级发出的谱线．只有二条谱线说明激发后最高能级是4=n 的激发态．ο1983424ο101983423222324A 4872106.1)85.04.3(1031063.6A6573m 1065731060.1)51.14.3(10331063.6e 4.326.13e 51.136.13e 85.046.13=⨯⨯-⨯⨯⨯=-==⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=∴-=∴-==-=-=-=-=-=-=-----E E hc E E hc E E hc E E hch VE V E V E a mn m n βλλλλυ 基态氢原子吸收一个光子υh 被激发到4=n 的能态 ∴ λυhcE E h =-=14Hz 1008.310626.6106.1)85.06.13(15341914⨯=⨯⨯⨯-=-=--h E E υ 16-17 当基态氢原子被12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少倍?解： eV 09.12]11[6.1321=-=-n E E n 26.1309.126.13n=-51.16.1309.12.1366.132=-=n , 3=n 12r n r n =,92=n ,19r r n =轨道半径增加到9倍.16-18德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么?答：德布罗意波是概率波，波函数不表示实在的物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义,2φ仅表示粒子某时刻在空间的概率密度． 16-19 为使电子的德布罗意波长为0.1nm ，需要多大的加速电压? 解： oo A1A 25.12==uλ 25.12=U∴ 加速电压 150=U 伏16-20 具有能量15eV 的光子，被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收，形成一个光电子．问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长是多少? 解：使处于基态的电子电离所需能量为eV 6.13，因此，该电子远离质子时的动能为eV 4.16.13152112=-=+==E E mv E k φ 它的速度为31191011.9106.14.122--⨯⨯⨯⨯==m E v k -15s m 100.7⋅⨯= 其德布罗意波长为：o 953134A 10.4m 1004.1100.71011.91063.6=⨯=⨯⨯⨯⨯==---mv h λ 16-21 光子与电子的波长都是0.2nm ，它们的动量和总能量各为多少? 解：由德布罗意关系：2mc E =，λhmv p ==波长相同它们的动量相等．1-241034s m kg 103.3100.21063.6⋅⋅⨯=⨯⨯==---λhp 光子的能量eV 102.6J 109.9103103.3316824⨯=⨯=⨯⨯⨯====--pc hch λυε电子的总能量 2202)()(c m cp E +=,eV 102.63⨯=cp而 eV 100.51MeV 51.0620⨯==c m ∴ cp c m >>2∴ MeV 51.0)()(202202==+=c m c m cp E16-22 已知中子的质量kg 1067.127n -⨯=m ，当中子的动能等于温度300K的热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为多少? 解：kg 1067.127n -⨯=m ,S J 1063.634⋅⨯=-h ,-123K J 1038.1⋅⨯=-k中子的平均动能 mp KT E k 2232==德布罗意波长 o A 456.13===mkTh p h λ 16-23 一个质量为m 的粒子，约束在长度为L 的一维线段上．试根据测不准关系估算这个粒子所具有的最小能量的值．解：按测不准关系，h p x x ≥∆∆，x x v m p ∆=∆，则h v x m x ≥∆∆,xm h v x ∆≥∆ 这粒子最小动能应满足222222min22)(21)(21mL h x m h x m h m v m E x =∆=∆≥∆= 16-24 从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为4000οA ，测得谱线宽度为10-4οA ，求该激发能级的平均寿命．解：光子的能量 λυhch E ==由于激发能级有一定的宽度E ∆，造成谱线也有一定宽度λ∆，两者之间的关系为：λλ∆=∆2hc E由测不准关系，h t E ≥∆⋅∆，平均寿命t ∆=τ，则λλτ∆=∆=∆=c E h t 2s 103.51010103)104000(81048210----⨯=⨯⨯⨯⨯= 16-25 一波长为300nm 的光子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测不准量． 解： 光子λhp =，λλλλ∆=∆-=∆22hhp由测不准关系，光子位置的不准确量为cm 30A 103103000o 962=⨯=====-λλ∆λλ∆λ∆∆p h x16-26 波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化?解：不变．因为波函数是计算粒子t 时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则21、点的概率比值为：22212221φφφφD D =∴ 概率分布不变．16-27 有一宽度为a 的一维无限深势阱，用测不准关系估算其中质量为m 的粒子的零点能．解：位置不确定量为a x =∆，由测不准关系：h p x x ≥∆⋅∆，可得：x h P x ∆≥∆,xh P P x x ∆≥∆≥ ∴222222)(22ma h x m h m P E x x =∆≥=，即零点能为222ma h ． 16-28 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：axax 23cos1)(πψ=︒ )(a x a ≤≤- 那么，粒子在a x 65=处出现的概率密度为多少? 解： 22*)23cos1(ax aπψψψ==aa a a a a aa 21)21(14cos 1)4(cos 145cos 12653cos 122222===+===πππππ16-29 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：)sin(2)(ax n a x n πψ=)0(a x << 若粒子处于1=n 的状态，在0～a 41区间发现粒子的概率是多少? 解：x ax a x w d sin 2d d 22πψ== ∴ 在4~0a区间发现粒子的概率为： ⎰⎰⎰===4020244)(d sin 2d sin 2a a ax aa x a a x a x a dw p ππππ091.0)(]2cos 1[2124/0=-=⎰x ad a x a πππ16-30 宽度为a 的一维无限深势阱中粒子的波函数为x an A x πψsin )(=，求：(1)归一化系数A ；(2)在2=n 时何处发现粒子的概率最大? 解：(1)归一化系数⎰⎰==+∞∞-ax x 0221d d ψψ即⎰⎰=aa x an x a n A n a x x a n A 00222)(d sin d sin ππππ ⎰-=a x a n x a n A n a 02)(d )2cos 1(2πππ12222===A an A n a ππ ∴ =A a2粒子的波函数 x a n a x πψsin 2)(=(2)当2=n 时， x aa πψ2sin 22= 几率密度]4cos 1[12sin 2222x aa x a a w ππψ-=== 令0d d =x w ，即04sin 4=x a a ππ,即,04sin =x aπ， Λ,2,1,0,4==k k x aππ∴ 4ak x =又因a x <<0，4<k ，∴当4a x =和a x 43=时w 有极大值，当2ax =时，0=w ．∴极大值的地方为4a ，a 43处16-31 原子内电子的量子态由s l m m l n ,,,四个量子数表征．当l m l n ,,一定时，不同的量子态数目是多少?当l n ,一定时，不同的量子态数目是多少?当n 一定时，不同的量子态数目是多少? 解：(1)2 )21(±=s m Θ(2))12(2+l ，每个l 有12+l 个l m ，每个l m 可容纳21±=s m 的2个量子态． (3)22n16-32求出能够占据一个d 分壳层的最大电子数，并写出这些电子的s l m m ,值．解：d 分壳层的量子数2=l ，可容纳最大电子数为10)122(2)12(2=+⨯=+=l Z l 个，这些电子的：0=l m ，1±，2±，21±=s m 16-33 试描绘：原子中4=l 时，电子角动量L 在磁场中空间量子化的示意图，并写出L 在磁场方向分量z L 的各种可能的值． 解：ηηη20)14(4)1(=+=+=l l L题16-31图磁场为Z 方向，ηl Z m L =，0=l m ,1±，2±，3±，4±． ∴ )4,3,2,1,0,1,2,3,4(----=Z L η16-34写出以下各电子态的角动量的大小：(1)s 1态；(2)p 2态；(3)d 3态；(4)f 4态．解： (1)0=L (2)1=l , ηη2)11(1=+=L(3)2=l ηη6)12(2=+=L(4)3=l ηη12)13(3=+=L16-35 在元素周期表中为什么n 较小的壳层尚未填满而n 较大的壳层上就开始有电子填入?对这个问题我国科学工作者总结出怎样的规律?按照这个规律说明s 4态应比d 3态先填入电子．解：由于原子能级不仅与n 有关，还与l 有关，所以有些情况虽n 较大，但l较小的壳层能级较低，所以先填入电子．我国科学工作者总结的规律：对于原子的外层电子，能级高低以)7.0(l n +确定，数值大的能级较高．s 4(即0,4==l n )，代入4)07.04()7.0(=⨯+=+l n)2,3(3==l n d ，代入4.4)27.03(=⨯+s 4低于d 3能级，所以先填入s 4壳层．。