解析几何教学指南

《空间解析几何》教学指南

说明：

1．课程性质

空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。

2．教学目的

本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。

（1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一；

（2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。

3．教学内容与学时安排：

第一章矢量与坐标 20学时

第二章轨迹与方程 6学时

第三章平面于空间直线 18学时

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时

第五章二次曲线的一般理论 22学时

第六章二次曲面的一般理论 4学时

4．课程教学重点与难点：

重点：基本概念；矢量计算；做图能力；

难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。

5．教学方法

本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。

6. 课程考核方法与要求：

本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。

内容：

第一章矢量与坐标（20学时）

1. 主要内容

（1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。

（2）矢量的加法及其运算法则。

（3）数量乘矢量及其运算法则。

（4）矢量的线形运算及矢量的分解。

（5）行列式与线形方程组。 （6）标架与坐标。

（7）矢量在轴上的射影。

（8）两矢量的数性积与矢性积。 （9）三矢量混合积。

(10)三矢量的双重矢性积。 2. 基本要求

1）正确理解矢量、单位矢量的概念，相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢量的 定义。决定一个矢量的两要素（模长与方向），标架、坐标系、矢量及点的坐标定义。方向角与方 向余弦的定义。矢量乘法（叉积，点积，混合积，双重矢性积）的定义。矢量线形相关与矢量共 线、共面之间的关系。射影矢量与射影的定义。

2）掌握横矢量的运算律。理解矢量运算的几何意义，矢量的各种运算与重要几何性质的关系 ，矢量的分解与所在空间的维数无关，矢量代数与实数代数的异同。

3）熟练掌握矢量加、减、数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算。矢量线性相关的等 价条件，三矢量线形相关的等价条件，定比分点坐标的表示。方向角与方向余弦的计算。 4）掌握用矢量法证明三点共线与三线共点，理解三矢量的双重矢性积，拉格朗日恒等式。 3. 习题解答

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点

2. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点

但 OB

OD OC OA +=+-=-∴=-=-=

由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而不平行于，

∴0=+=+OB OD OC OA ，

从而OA=OC ，OB=OD 。

3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).

在A i G i 上取一点P i ，使i i A ＝3i i G P , 从而i ＝3

13++i

i OG OA ，

设A i (x i , y i , z i )(i ＝1, 2, 3, 4)，则

G 1⎪⎭

⎫

⎝

⎛++++++3,3

,34324

324

32

z z z y y y x x x

,

G 2⎪⎭⎫

⎝

⎛++++++3,3,

34314

31431z z z y y y x x x , G 3⎪⎭⎫

⎝

⎛++++++3,3

,34214

214

21

z z z y y y x x x , G 4⎪⎭

⎫

⎝

⎛++++++3,3

,33213

213

21

z z z y y y x x x , 所以

P 1(

31334321+++⋅

+x x x x ,31334321+++⋅+y y y y ,3

1334

32

1+++⋅+z z z z ) ≡P 1(

4

4321x x x x +++,44321y y y y +++,44

321z z z z +++).

同理得P 2≡P 3≡P 4≡P 1，所以A i G i 交于一点P ，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

第二章 轨迹与方程（6学时）

1. 主要内容

1）曲面方程、母线平行与坐标轴的柱面方程。 2）空间曲线的方程。 2. 基本要求

1）正确理解曲面方程，点球，虚曲面，曲面的参数方程、柱面、准线、曲线的一般方程，曲 线的坐标式参数方程。

2）理解曲线方程的系数的意义，掌握二次柱面的方程，曲线的矢量式参数方程。

3）熟练掌握曲面方程的导出。母线平行于坐标轴的柱面方程，F （x ，y ）=0，F （x ，z ）=0， F （y ，z ）=0。空间曲线的一般方程及坐标式参数方程。 4）曲面与空间的矢量式参数方程一般理论。 3. 习题解答

1、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

（1）⎩⎨⎧+==-+1022x z z y x ;（2）⎩⎨⎧=+-==-+--+0

100332322z y z x yz z x

（3）⎩⎨⎧=--=++71023562z y x z y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1

)1()1(1

2

222

22z y x z y x 解：（1）从方程组⎩⎨⎧+==-+1

022x z z y x

分别消去变量z y x ,,，得：0)1(2

2

=-+-z y z

亦即： 0132

2

=+-+z y z （Ⅰ）

01=--x z （Ⅱ）

0122=--+x y x （Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程；