2.1 等式性质与不等式性质
2.1等式性质与不等式性质说课课件(人教版)
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（六）布置作业 必做题：P42复习巩固与综合运用 选做题：P43拓广探索 设计意图：
必做题安排学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用。 选做题是比较难的，发展尖子生思维，分层教学。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（三） 例题讲解 1. 证明性质 6 如果 a b 0 ， c d 0 ， 那么 ac bd ． 证明： a b 0 ， c d 0那么 ac bc ，
a b 0 ， c d 0那么 bc bd ，所以 ac bd
性质 5：如果 a b ， c 0 ， 那么 a b ；（可除性） cc
设计意图：引导学生用同 样的方法去发现不等式的 性质。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
模块3：等式性质1 模块4：等式性质2 模块5：等式性质3 模块6：等式性质4
说教材
说课内容 教材分析 学情分析 教学目标 教学重难
点
认知基础
学生是某一重点中学的 普通班，学生处于中上 层次。在初中阶段学生 会灵活运用不等式的基 本性质；会解一元一次 不等式与一元一次不等 式组；掌握利用相等关 系、不等关系构建方程、 不等式（组）解决数学 内的应用问题。
情感基础
学生大多来自广州市市区， 接触面较广，个性较活跃， 数学基础的差异不大，所 以可以采用启示、讨论、 参与的教学方式和自主、 合作、探究的学习方式。 但学生缺乏自主合作探究 的经验，学生学习的自主 性、主动性不够，学习有 依赖性，自主研究学习的 信心不足。
人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
习题2.1 第7、10题
等式2 + 2 ≥ 2;
2.习题2.1 第2、3、8题
0,要证
>
0,求证
1
,即证
证： 因为 > > 0,
1
1
所以
< ,
又因为 < 0,
所以
> ,
得证.
<
1
.
>
.
LOGO
例2：求解本节问题2所列不等式 8 −
解： 8 −
−0.5
0.1
−0.5
0.1
× 0.2 ≥ 20
× 0.2 − 20 ≥ 0
−2 2 + 13 − 20 ≥ 0
f≥2.5%,g≥2.3%
2
连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线
段最短。
CD<CE
3
三角形两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边；
a+b>c;a-b<c
LOGO
情景导入
某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可
提价后的销售总收
入≥2 x 1 x 4
作差
变形
定号
结论
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边的长为, .
> 4△
= 4△
=
（1）如图，可得不等式
2
+
2
> 2
2.1等式性质与不等式性质(共2课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
1 比较两数(式)的大小
目 录
01 新知探究
问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
01 新知探究
问题2 常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言
大于
大于 等于
小于
小于 等于
至多
至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤≤
≥ ≥≤
问题3 在初中阶段如何比较两个实数的大小关系呢？
还有其他方法吗
A
B
C
－4 －3 －2 －1
0
1 2 3 4 5x
实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。
01 新知1——比较两数(式)的大小
1.两实数大小关系的基本事实 作差法
B
A
b
x
A（B）
（b）
x
A
B
b
x
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
练一练
练一练
例 2.已知a≥1,试比较 M a 1 a
解 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70， 用不等式表示为1_0_y_＋__x_>_7_0____.
解 ∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
04 题型1－作差法比较大小
例3 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0， ∴x＋122＋34≥34>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
2.1 等式性质与不等式性质高一数学(人教A版2019必修第一册)
2.1等式性质与不等式性质【考点梳理】考点一：比较大小的方法依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小考点二：重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三：等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .考点四二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>bc>0⇒ac>bcc的符号a>bc<0⇒ac<bc5同向可加性a>bc>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正【题型归纳】题型一：已知条件判断所给不等式的大小1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知,a b R∈，且a b>，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．11a b<B ．||||a b >C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-3．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若110a b<<，则下列不等式正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．3311a b >D ．a b ab+<题型二：不等式的性质比较数的大小4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）已知实数,a b 满足0a b >>，则“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．b aa b>B ．11b b a a +>+C ．11a b b a->-D ．11ba>6．（2022·山东青岛·高一期末）已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e ea c d b+>--D ．()ea d c b->题型三：作差法或作商法比较不等式的大小7．（2022·甘肃张掖·高一期末）若(1)(3)a x x =++，22(2)b x =+，则下列结论正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．a b≥D ．a ，b 大小不确定8．（2021·山东·泰安一中高一期中）设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q>B ．p q<C ．p q≥D ．p q≤9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则22a c b d ->-B ．若a ，b ∈R ，则2ab ba +≥C ．若0ab >>，0m n >>，则b b ma a n+<+D ．若||a b >，则22a b >题型四：利用不等式求取值范围10．（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤11．（2022·江苏·高一）已知23,21<<-<<-a b ，则2a b -的取值范围为（）A ．(0,2)B ．(2,5)C ．(5,8)D ．(6,7)12．（2021·全国·高一专题练习）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．10x -<<C ．01x <<D ．1x >题型五：由不等式性质证明不等式13．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若a b <，0c <，则()0a b c ->；(2)若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<．14．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且a ，b 同号，0c >，则c ca b<；(3)若0a b >>，且0c d >>，则a bd c>．15．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）（1）已知a ，b ，c ，d 均为正数.求证：()a b +()()()16b c c d d a abcd+++≥（2）已知0xy >.求证：1x <1y的充要条件为x >y 【双基达标】一、单选题16．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>17．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y>B ．x y<C ．x y=D ．无法确定18．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，c d <，则a c b d -<-B ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd <C ．若0a b >>，则2211a b >D ．若0a b c >>>，则c c a b>19．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数a b c d ,,,，给定下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b <，则11a b>20．（2022·湖南·高一课时练习）已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是（）A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定21．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)()21m -与()21m +；(2)()()222121x x x x ++-+与()()2211x x x x ++-+．22．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若0a b <<，0c d <<，则ac bd >；(2)若0a b >>，0c d >>，则22a c b d >．【高分突破】一：单选题23．（2022·湖南永州·高一期末）若m n >，则下列不等式一定成立的是（）A ．m c n c->-B ．m n>C ．mc nc>D ．11m n<24．（2022·北京顺义·高一期末）已知||||0m n >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．m n >B ．||0m n +>C ．0m n +<D ．11m n<25．（2022·山西运城·高一期末）如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>26．（2022·湖南·高一期末）已知1,0a b c >>>，则下列不等式一定成立的是（）A ．1a bcb ac c+<+B ．1a bcb ac a+<+C ．a bcc b ac+<+D ．a bca b ac+<+27．（2021·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b>D ．若a b >，则22a b >28．（2022·山东滨州·高一期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g 黄金，售货员先将6g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g 的砝码放在天平右盘中，再取出y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（）A ．12x y +>B ．12x y +=C ．12x y +<D ．以上选项都有可能29．（2022·上海虹口·高一期末）设a 、b 都是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要30．（2022·北京平谷·高一期末）已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若a b >，0ab <，则11a b>D ．若22a b >，0ab >，则11a b<二、多选题31．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一）下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd>32．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b<B ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >33．（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+34．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A ．若0b a >>，则11a b>B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d+>+D ．若22ac bc >，则a b>35．（2022·辽宁·育明高中高一期末）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（）A ．若1a >，则log 2a ab >B ．若0ab ≠，则11a b>C ．若0a >，则2211b a a b>++D ．22ac bc <36．（2022·湖南衡阳·高一期末）下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b <，c d <，则ac bd<D ．若0a b c <<<，则b bc a a c+<+37．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a ，b ，c ，d R ∈，那么（）A ．若a b >，则11a b<B ．若22ac bc >，则a b>C ．若a b >，c d >，则ac bd>D ．若a b >，c d >，则a c b d+>+38．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）下列命题是真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <C ．若11a b>，则a b <D ．若0a b c >>>，则a c ab c b+<+39．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数a ，b ，c ，正确的命题是（）A ．若a b >，则2a ba b +>>B ．若0a b >>，则a ab b >>C ．若11a b>，则0a >，0b <D ．若0a b >>，0c >，则a a cb b c+>+40．（2022·湖南张家界·高一期末）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则a c b c ->-B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，则22a ab b >>三、填空题41．（2022·全国·高一）下列四个代数式①4mn ，②224+m n ，③224m n +，④22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）．42．（2022·全国·高一）已知14a -<<，12b <<，则-a b 的取值范围是__________．43．（2022·全国·高一）若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是__________．(填序号)44．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）比较大小：239x x -+___(2)(1)x x --.（填;≤≥<>；；）45．（2021·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①*()n n a b a b n N >⇒>∈；②*||()n n a b a b n N >⇒>∈；③110a b a b<<⇒>；④110a b a b a <<⇒>-．其中真命题的序号是________．46．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A 元，1个足球的价格为B 元，则A ___________B （填“>”､“<”或“=”）.47．（2022·江苏·高一）若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b <，④1a b>，⑤11a b a >-，⑥a b >-中，正确结论的序号是_______．四、解答题48．（2021·湖北·车城高中高一）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.49．（2021·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+；（2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>--50．（2021·全国·高一）已知0a b >>，0c d <<，0m <，求证：(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.51．（2021·全国·高一）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：a bb+≤c dd+；（2）已知c>a>b>0，求证：a bc a c b>--；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由【答案详解】1．D 【详解】对A ，当2,1a b ==-时，11a b<不成立，故A 错误；对B ，当1,2a b ==-时，||||a b >不成立，故B 错误；对C ，当1,2a b ==-时，22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为3y x =为增函数，故a b >时33a b >一定成立，故D 正确；故选：D 2．D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b >，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.3．D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】110a b<<0b a ⇔<<a b ⇒<，A 错，B 错；331111()()a b a b <⇒<即3311a b<，C 错；0a b ab +<<，D 正确．故选：D ．4．A 【解析】【分析】由11a b a b ab++=，()11a c b c ab c b c a a b ++=+-+--，依题意可得只需比较()c b c a --与0的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为11a b a b ab++=，()()()11a c b c a c b a a b a b c ab c b c +==+--+++--+又0a b >>，则0a b +>，所以要比较11a b +与11a c b c++-的大小，即比较1ab 与()1ab c b c a +--的大小，即比较()c b c a --与0的大小，当0a b >>且0b c >>时()0c b c a --<，且()()0a c b c +->，即()0ab c b c a ab <+--<，所以()11ab ab c b c a <+--，即1111a b a c b c+<++-，故充分性成立，当0c b >>时()()0c b c a c a b c ⎡⎤--=---<⎣⎦，此时也满足1111a b a c b c+<++-，故必要性不成立；即“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”充分不必要条件；故选：A 5．D 【解析】【分析】利用不等式的性质可判断ABD ，取特殊值可判断C 选项.【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b>⋅，220a b >>所以a bb a>，故A 错误；选项B ：因为0a b >>，则0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b ba a+>+，故B 错误；选项C ：当11,23a b ==时，此时0a b >>，115322a b -=-=-，115233b a -=-=-，11b aa b -<-，故C 错误；选项D ：因为0a b >>，所以0a b >>，则11b a >，故D 正确.故选：D.6．C【详解】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d <--，所以e e a c b d >--，即0e e a c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2e a d c b-==，故D 错误.故选：C.7．B【详解】解：因为22(2)(1)(3)b a x x x -=+-++()2228843x x x x =++-++245x x =++()2210x =++>，所以a b <．故选：B.8．D【解析】【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小.()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++ ⎪⎭+⎝=+++，22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+=()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A ：令2a =，1b =；1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故A 错误；B ：a ，b 异号时，不等式不成立，故B 错误；C ：()()()()b m b b m a b a n ma nb a n a a n a a n a++-+--==+++，0a b >>，0m n >>，0am bm ∴->，即b m b a n a+>+，故C 正确；D ：令1a =，2b =-，22a b >不成立，故D 错误.故选：C10．A【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C12．A【解析】【分析】根据给定条件解不等式2x x <，再分类等价转化即可求解作答.【详解】因21x x x<<，则有2x x <，解得：0x <或1x >，当1x >时，22311x x x x x ⇔<<<<，显然21x <不成立，无解，当0x <时，22311x x x x x⇔>><<，不等式31x >恒成立，解21x >得1x <-或1x >，则有1x <-，所以使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是1x <-.故选：A13．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）可知0a b ->，而0c <，即可得证；（2）可知2101b b >>>>-，而0a <，即可得证；(1)证明：a b >，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；(2)证明：10b -<<，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又0a <，2a ab ab ∴<<．14．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据a ，b 同号，得10ab >，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a b d c >>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为a ，b 同号，所以0ab >，10ab >，故11ac bc ab ab ⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c >>，又0a b >>，所以0a b d c>>，故a b d c >.15．详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由x y >，0xy >可得1x <1y ，由1x <1y，0xy >，可得x y >，即证.【详解】（1）∵a ，b ，c ，d 均为正数，∴20,a b ab +≥>当且仅当a b =时取等号，同理可得20,20,20b c bc c d cd d a da +≥>+≥>+≥>，∴()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥，当且仅当a b c d ===时取等号；（2）充分性，因为x y >，0xy >，10xy >，∴1x <1y，必要性，因为1x <1y ，0xy >，所以x y >，综上，1x <1y的充要条件为x >y .16．D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.17．B【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B18．B【解析】【分析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若a b >，c d <，则c d ->-，故a c b d ->-，A 错；对于B 选项，若0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，所以，ac bd ->-，故ac bd <，B 对；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，C 错；对于D 选项，若0a b c >>>，则110b a >>，所以，c c a b<，D 错.故选：B.19．C【解析】【分析】利用特殊值判断A 、B 、D ，根据不等式的性质证明C ；【详解】解：对于A ：当0c =时，若a b >则0ac bc ==，故A 错误；对于B ：若0a =，1b =-，1c =-，10d =-，满足,a b c d >>，则1a c -=，9b d -=，a c b d ->-不成立，故B 错误；对于C ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故C 正确；对于D ：若1a =-，1b =满足a b <，但是11a b<，故D 错误；故选：C20．B【解析】【分析】采用作差法，将M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1相减，根据条件判断差的符号，即可比较大小.【详解】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选：B.21．(1)22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+【解析】【分析】利用作差法得出大小关系.(1)()()()()221121214m m m m m m m --+=-+-++=-因为0m ≥，所以22(1)(1)0m m --+≤，当且仅当0m =时，取等号.即22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；（2）由0a b >>，知220a b >>，利用0c d >>，即可证得结论；(1)0a b <<Q ，两边同乘以0c <，则ac bc>又0c d <<，两边同乘以0b <，则bc bd>即ac bd>(2)0a b >>，两边同乘以0a >，得20a ab >>；两边同乘以0b >，得20ab b >>，所以220a ab b >>>又0c >，则220a b c c >>，又0cd >>，则22b c b d >，即22a c b d>23．A【解析】选项A.根据不等式的基本性质可判断；选项B.当,m n 为负数时，根式无意义可判断；选项C.当0c ≤时的情况可判断；选项D.举特例可判断.【详解】选项A.由m n >，根据不等式的基本性质可得m c n c ->-成立，故选项A 正确.选项B.当,m n 为负数时，根式无意义，则m n >不成立.故选项B 不正确.选项C.当0c ≤时，mc nc >不成立.故选项C 不正确.选项D.取2,1m n ==-，显然m n >满足，但11m n <不成立，故选项D 不正确.故选：A24．B【解析】【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，分0,0n n ><两种情况判断【详解】对于A ，若2,1m n =-=时，满足||||0m n >>，而不满足m n >，所以A 错误，对于B ，当0n >时，则||0m n +>一定成立，当0n <时，由||||0m n >>，得m n >-，则||0m n +>，所以B 正确，对于C ，若2,1m n ==时，满足||||0m n >>，而不满足0m n +<，所以C 错误，对于D ，若2,1m n =-=-时，则满足||||0m n >>，而不满足11m n<，所以D 错误，故选：B25．D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b <，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.【解析】【分析】通过作差法来判断每一个选项.【详解】对于A ，()()()2211b c a bc ac bc b ac b ac c b ac c b ac c -++---==+++，当1c >时，()()210b c b ac c ->+，即1a bc b ac c +>+，则A 错误；对于B ，()()()()211a a c b ac a bc a abc b ac b ac a b ac a b ac a-+-++---==+++，当1a c >>时，0,1a c ac ->>，则()()()10a a c b ac b ac a -+->+，即1a bc b ac a+>+，则B 错误；对于C ，()221a c a bc a bc bc ac c b ac b ac b ac -++---==+++，当01c <<时，210c ->，则()210a c b ac ->+，即a bc c b ac+>+，则C 错误；对于D ，()()221a b b a c a bc a bc ab a c a b ac b ac b ac -+-++---==+++，因为1,0a b c >>>，所以()()210,0a b b a c -<-<，所以()()210a b b a cb ac -+-<+，即a bc a b ac+<+，则D 正确.故选：D27．D【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.28．A【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，利用杠杆的平衡原理可得16a m b=，26b m a =，再利用作差法比较12m m +与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，由杠杆的平衡原理：16bm a =⨯，26am b =⨯，解得16a m b =，26b m a=，则1266a b m m b a +=+，下面用作差法比较12m m +与12的大小，212666()()1212a b b a m m b a ab-+-=+-=，又a b ≠，∴26()0b a ab->，1212m m ∴+>，∴顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A ．29．A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a 、b 都是实数，若1a >且2b >，由不等式性质得：3a b +>且2ab >成立，若3a b +>且2ab >成立，取1,52a b ==，而1a >且2b >不成立，所以“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的充分非必要条件.故选：A30．C【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】A ．若a b >，当0c =时，22ac bc =，所以A 不成立；B ．若a b c c>，当0c <时，则a b <，所以B 不成立；C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则11a b >，所以C 成立D ．若22a b >且0ab >，当00a b <⎧⎨<⎩时，则a b <，所以11a b >，则D 不成立．故选：C ．31．ABC【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b <<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b >.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC32．ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m b a m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC33．AB【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c c a b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a cbc +=+，所以a a c b b c +>+.故D 错误.故选：AB34．ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B 中c 为0的情况.【详解】选项A ：0b a >>，0.ab ∴>在不等式b a >两边同除以ab 得11a b>，A 正确；选项B ：当0c =时，ac bc =，B 错误；选项C ：同向不等式相加，不等号方向不变，C 正确；选项D ：22ac bc >，20c ∴>，两边同除以2c 得，a b >，D 正确.故选：ACD.35．AC【解析】【分析】直接利用不等式的性质、构造函数、作差法等进行逐项判断即可．【详解】对于A ：由于1b a >>，∴22log 2log log log 0a a a aab ab ab a a -=-=>，故A 正确；对于B ：由于a b <，且0ab ≠，则b －a ＞0，∴11b a a b ab --=不一定大于0，故B 错误；对于C ：设2()(1)f x x x =+，由于函数在(0,)+∞上单调递增，故f (b )＞f (a )，可得2211b a a b>++成立，故C 正确；对于D ：当0c =时，22ac bc =，故D 错误．故选：AC ．36．AC【解析】【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用不等式的性质判断，对于D ，利用作差法判断【详解】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，c d >，所以由不等式的性质可得a c b d +>+，对于C ，若2,1,1,2a b c d =-=-==，则2ac bd =-=，所以C 错误，对于D ，因为0a b c <<<，所以()0,()0c a b a a c ->+>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b b c a a c+<+，所以D 正确，故选：AC37．BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A 、C ，根据不等式的基本性质即可判断选项B 、D.【详解】A ：令11a b ==-，，满足a b >，但11a b>，故A 错误；B ：因为2220ac bc c >>，，所以a b >，故B 正确；C ：令11a b ==-，，11c d ==-，，满足a b >，c d >，但ac bd =，故C 错误；D ：因为a b >，c d >，由不等式的性质，得a c b d +>+，故D 正确.故选：BD38．BD【解析】【分析】举出反例可判断AC ，利用不等式的性质即可判断B ，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A ，若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，若0a b >>，且0c d <<，则0c d ->->，所以ac bd ->-，所以ac bd <，故B 正确；对于C ，若11a b>，当1,1a b ==-时，a b >，故C 错误；对于D ，若0a b c >>>，则()()()()()0b a c a b c c b a a c a b c b b b c b b c +-+-+-==<+++，所以a c a b c b+<+，故D 正确.故选：BD.39．ABD【解析】【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a b b +--=>，所以2a b a b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>，1aaab b =>，所以a ab >，因为1ab a b b=>，所以ab b >，即a ab b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <.对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，故D 正确.故选：ABD40．ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若a b >，则+()()a c b c ->+-，即a c b c ->-，A 对，取2,1,1,2a b c d ===-=-，则a b >，c d >，=ac bd ，B 错，因为a b >，所以0a b ->，所以2332223=()()()024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫---+=--+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(当且仅当0a b ==时等号成立)，而a b >，故33a b >，C 对，因为0a b >>，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，D 对，故选：ACD.41．③【解析】【分析】利用作差法比较大小即可．【详解】∵0m n >>，令②-①得：()2224042mn m n m n -=-+＞，∴②＞①，令③-②得：22222244330m n m n m n +--=-＞，∴③＞②，令③-④得：22222430m n m n m +--=＞，∴③＞④，∴代数式的值最大的是③.故答案为：③42．()3,3-【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.【详解】因为14a -<<，12b <<，则21b -<-<-，所以1241--<-<-a b ，即-a b 的取值范围是33a b -<-<．故答案为：()3,3-.43．①②【解析】【分析】利用作差法及不等式性质，即可作出判断.【详解】①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，正确；②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，正确；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不正确；④若a ＜0，则a ＋1a＜0不正确.∴①②一定成立.故答案为：①②44．>【解析】【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】()()()2223921393270x x x x x x x x -+---=-+--+=>，所以()()23921x x x x -+>--故答案为：>45．②③【解析】【分析】利用不等式的基本性质及特殊值法，判断命题的真假即可．【详解】解：①当1a =-，2b =-，2n =时，满足a b >，当时n n a b <，所以①不正确；②因为0b >，所以*||()n n a b a b n N >⇒>∈，所以②正确；③1100a b a b <<⇒>>；所以③正确；④110a b a b a<<⇒>-．反例2a =-，1b =-，满足条件但是结论不成立．所以④不正确；故答案为：②③．46．>【解析】【分析】依题意可得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，再根据不等式的性质即可得到25A B ->，即可判断；【详解】解：由题意得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，所以4540063450A B A B -->-⎧⎨+>⎩，所以250A B ->>，则A B >.故答案为：>47．①④⑥【解析】【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.【详解】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故①正确；由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab ⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确；由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a-<-，即11a b a <-，故⑤错误；由0a b <<可得，a b b >=-，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.故答案为：①④⑥.48．（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y <<，32∴-<-<-y又23x <<，11∴-<-<x y 23y <<，11132y <<又23x <<，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y 49．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由不等式的性质，先得到c ad b ≥，两边同时+1，即得证；（2）由不等式的性质，先得到11a b <，两边乘以c,可得c c a b <，两边同时-1，可得c a c b a b --<，再两边取倒数，即得证.【详解】证明：（1）∵bc ≥ad ，bd >0，∴c ad b ≥，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a b b +≤c d d+.（2）∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴11a b <又∵c >0，∴c c a b <，∴c a c b a b--<，又c －a >0，c －b >0，∴a b c a c b >--.50．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.(1)证明：因为0a b >>，0c d ->->，所以0a cb d ->->所以11a c b d <--；(2)证明：由（1）得11a c b d <--，又0m <，所以m m a c b d>--.51．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【详解】证明：（1）因为0bd >，所以10bd >，又0bc ad -≥，即bc ad ≥，所以c a d b ≥，所以11c a d b +≥+，即a b b +≤c d d+；（2）因为0c a b >>>，所以0,0,c a c b c a c b ->->-<-，11a b <，所以c a c b a b --<，所以a b c a c b>--；（3）解：①成立，证明如下：∵a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，又a 1≤a 2，b 1≤b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)≥0，即a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3。
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
2.1 等式性质与不等式性质
() () () ()
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化
课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式组表示就是
()
x≥95， A.y≥380，
z＞45
x≥95， B.y>380，
z≥45
C.xy>>39850，， z＞45
D.xy>≥39850，， z＞45
2．不等式性质
性质
别名
1
对称性
2
传递性
3
可加性
性质内容 a＞b⇔_b_＜__a__ a＞b，b＞c⇒_a_＞__c___ a＞b⇔_a_＋__c_＞__b_＋__c__
注意 可逆 不可逆 可逆
4
可乘性
a＞b，c＞0⇒ac＞bc a＞b，c＜0⇒__a_c_＜__b_c __
c 的符号
5
同向可加性 a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d__
________；3x＋2y 的取值范围为________．
解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y ＜2.由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，所以 1＜3x＋ 2y＜18. 答案：－4＜x－y＜2 1＜3x＋2y＜18
3 3．[证明不等式]已知 a＞b＞0，c＜d＜0，求证：
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
2.1 等式性质与不等式性质
a>b>0 ⇒___a_n>_b_n__
(n∈N,n≥2)
a>b>0 ⇒__n_a___n_b_
(n∈N,n≥2)
⇒
⇒
a,b同 为正数
4.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言
大于，高 于，超过
小于，低 于，少于
大于等于， 小于等于，
至少，不低 至多，不多
于
于，不超过
符号 语言
＞
＜
≥
≤
5.不等式的基本性质列表
性质
（1） （2） （3）
（4）
具体名称
对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容
a>b ⇔ __b_<__a_
a>b,b>c ⇒ _a_>_c_ a>b ⇔_a_+__c>__b_+_c_
a b
c
0
⇔
_a_c_>_b_c__
a b
c
0
⇔
_a_c_<_b_c__
特别提醒
⇔ ⇒ ⇔
注意c 的符号
性质 具体名称 （5） 同向可加性 （6） 同向同正
可乘性 （7） 可乘方性 （8） 可开方性
性质内容
特别提醒
a c
b d
⇒
_a_+_c_>_b_+_d_
ab cd
00⇒
_a_c_>_b_d_
同正时才成立 !
(可乘方性)
(8) a b 0 a b.
同正时才成立 !
(可开方性)
学以致用
P42/练习2. 用“>”或“<”填空：
(1)若a b, c d 则a c __＞__ b d; (2)若a b 0, c d 0, 则ac __＜__ bd;
高中数学必修一(人教版)《2.1 等式性质与不等式性质》课件
解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
法二：(特殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
答案：C
()
2．已知 c＞a＞b＞0，则c－a a________c－b a.(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：因为 c＞a，所以 c－a＞0，又因为 a＞b，所以c－a a＞c－b a. 答案：＞
[答案] D
[方法技巧] 利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误 的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值 要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
角度(二) 证明不等式
3
3
【对点练清】 1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
题型二 比较实数(式子)的大小 【学透用活】
[典例2] 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．
2.1 等式性质与不等式性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教a
ac>bd，
0>a>b⇒/ c>d>0
ac>bd.
2.已知 a>b>0，c<d<0，e<0， 求证：a－e c>b－e d.
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又∵a>b>0， ∴a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， ∴0<a－1 c<b－1 d，
又∵e<0，
∴a－e c>b－e d.
ab
ab
即1 1 ba
由c 0, 得 c c . ab
反思总结
反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:
(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不 要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.
(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题 设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
由题意得,
f p
2.5% 2.3%
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不 等关系吗?
(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边; 你能写出其他的可能情况吗?
设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂
线段最短．
C
(5)a>b>0，c>d>0⇒
a d>
bc；
(6)ac2>bc2⇒a2>b2.
人 教 A版 必 修 第 一 册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不 等关系吗? (1)某路段限速40km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂 线 段最短．
等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)
2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
高中数学人教A版必修第一册课件：2.1等式性质与不等式性质
注意：不等式中任何一项可以改变符号后移到不 等号的另一边.
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc. （乘法单调性） 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意： 不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
性质5 如果a>b,c>d,则a+c>b+d. (同向可加性) 同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
（4）
a
b
0,
1 a2
<
1 b2
题型二：列不等式组
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸 盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是 磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、 硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等 式组把此实例中的不等关系表示出来。
2.1等式性质与不等式的性质
生活中的不等关系
轻重 大小
长短
高矮
数学中的不等关系
1.两点之间线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边； 3.开口向上的抛物线有最小值； 4.实数的平方是非负数；
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃， 明天白天的最高温度为13℃；
4. 若a>b,那么 n a n b ,(n∈N,n≥2)
5.若a b,则 1 1 ab
×
×
6.若a<b<0,则 1 1 √
ab
变式训练
用不等号“>”或“<”填空： （1）a b, c d a c > b d
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a
b1a__>__
b
a
作商法
b
1
a
__=__ b(a
R，b
0).
a b
1
a
__<__ b
自主预习，回答问题
阅读课本39-42页，思考并完成以下问题 1.重要不等式是？ 2.等式的基本性质？ 3. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？
知识清单 3、重要不等式
B.A<B
C.A=B D.A,B的大小关系不确定
答案：A
(2) a b ac2 bc2 ( )
(3) a b, c d ac bd ( (5) a b a2 b2 ( )
)
(4)
a c2
b c2
a
b
(
)
(6)a b a2 b2 ( )
(7) a b 0, c d 0 a b ( ) cd
一般的，a, b R, 有a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时，等号成立.
一般的，a, b R, 有ab a2 b2 2
当且仅当 a b 时，等号成立.
4、不等式的基本性质
①、对称性：a b b a传递性：a___b_,_b___c_ a c ②、 a b, c R，a+c＞b+c （可加性） ③、a＞b， c 0， 那么ac＞bc； （可乘性）
所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)
解题方法（比较法的基本步骤）
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
2.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股
四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥
拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于
1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应 用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范 围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法， 将除法转化为乘法）；
自主预习，回答问题
阅读课本37-38页，思考并完成以下问题 1. 举例说明生活中的不等关系. 2.不等式的基本性质是？ 3. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？
5,那么这个直角三角形面积的最大值等于
.
解题方法（重要不等式的应用及多项式的取值范围）
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解 决相应的问题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相 乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）
1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃 馨所需费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用 之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元,购买3只康乃 馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是( ) A.A>B
答案：A
答案：A
3. 用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2
bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b
a.
(3)若a>b,c<d,则a-c
b-d.
答案(1)≥ (2)< (3)>
题型分析
举一反三
题型一 不等式性质应用
例1 判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( )
a＞b， c 0，那么ac＜bc
④、a＞b＞0，c d 0那么，ac＞bd （乘法法则）
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 n N, n 2 ） （乘方性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b（条件 n N, n 2 ）（开方性）
小试身手
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 400 元,请瓦工共需付 工资每人 500 元,现有工人工资预算不超过 20 000 元,设木工 x 人, 瓦工 y 人,x,y∈N*,则工人满足的关系式是( ) A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200 C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
人教A版 必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
课程目标
1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用 其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实 数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、 乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养
答案：（1）× （5）×
（2） × （6） √
（3）×
（4）√
（7 ）×
解题方法（不等式性质应用）
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.
[跟踪训练一]
答案：（1） > （2） <
（3） <
（4） <
题型二 比较大小
例2：(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4) =2>0，
知识清单
1、不等式的基本性质
AB
B
A
ab b>a
b
a
a>b
a>ba-b>0
基本不等式
a<ba-b<0
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小的依据
2、两个实数比较大小的方法
a b 0 a __>__ b 作差法a b 0 a __=__ b(a,b R);
a b 0 a __<__ b