高等数学中的数形结合

浅谈高等数学中的数形结合思想

数学系数学与应用数学专业

04090135 李彪指导老师毛旭华

摘要在高等数学学习中运用数形结合，能使抽象的问题直观、简单、明了，使学习轻松有趣。文章从概念、定理的理解以及解题等方面归纳总结了数形结合思想在高等数学中的应用。

关键词数形结合；图形思维；几何直观；形象思维

1. 引言

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。根据数学的这一定义，我们可以说数学是研究“数”与“形”的科学，“数”就是抽象的数学语言，而“形”就是直观的图像语言。“数”与“形”是一对矛盾，是数学自始至终就一直存在的一对矛盾，它们各有自己的侧重面，数形结合思想的就是充分利用数与形的结合来学习，考查及研究数学一种思想，由此我们可以看出数形结合思想是重要的数学思想之一。

数就是抽象的数学语言，有着逻辑，严谨的个性，一般较为抽象，难懂。而形就是图像语言，直观，形象，一般是较为简单易懂。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉,形少数时难入微”。从这句话中，我们可以体味到数形这一对矛盾的对立双方是缺一不可的。

高等数学是一门高度抽象的学科，在知识的广度和深度上，在思维能力上，都有极高的要求。数形结合思想在学习高等数学过程中解决这些问题上有着重要的作用，首先数形结合思想能培养各方面的思维能力，包括形象思维和逻辑思维。深化对数学概念的理解，提高解题速度和效率，数与形的结合增加数学的实用意义，数与形的巧妙而和谐地结合，增强解题中的求简意识，而且在学习高等数学大量的抽象复杂的数学语言之余，图形的简单而新奇的方法给学习带来了不少乐趣，可增强我们学习的自信心，促使我们更加努力学习。

本文就数形结合思想在高等数学中就对概念的理解，对定理的掌握及证明，以及对

解题的作用作一次探讨，谈谈高等数学中的一些数形结合思想的应用。

2. 利用数形结合深化对概念的理解

利用数形结合便于对概念的理解。与空间形式巧妙而和谐地结合起来，可增强解题中的求简意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关图学数学应加强数形结合能力的培养。任何知识的产生和发展都来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，更是如此。通过数形结合提高对数学知识的认知能力。数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，深入理解数学知识的内涵和外延，并提高解决问题的能力和自主学习能力。

2.1 数形结合对概率论中概念的理解作用

维恩图能够清晰、准确生动地说明A∪B，A∩B，等问题。在概率论中事件也可以用集合来表示，如果我们结合维恩图来理解事件之间的关系，利用维恩图来计算事件发生的概率，比用公式进行推导、计算要简单、直观的多，且不容易出错。来看一个维恩图表示的条件概率的例子。

定义：设A与B是样本空间Ω中的两事件，若P(B)>0,则称

P(AB)

P(A|B)=

P(B)

为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

为此我们画出一个图，设样本空间Ω中含有25个等可能的样本点，事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，如图1所示：

图1

这时有

P(A)＝2515，P(B)＝257，P(AB)＝25

5. 则在事件B 发生的条件下A 的条件概率为 P(A|B)=P(B)

P(AB)＝7/255/25＝75. 此结果也可以如此考虑：事件B 发生，表明事件B 不可能发生，因此B 中的18个

样本点可以不予考虑，此时B 中7个样本点中属于A 的只有5个，所以P(A|B) ＝7

5.这意味着，在计算条件概率P(A|B)时样本空间缩小为B Ω＝B.

类似地

P(B|A)＝

P(A)

P(AB)＝15/255/25＝31. 它也可以作如上解释。

上面的公式比较复杂，如果要证明，也比较麻烦，如果死记也比较难以记住，但是如果能够结合图来理解记忆它，就一目了然，容易记得清楚、记得牢。

2.2 数形结合在微积分中对概念的理解作用

间断点定义：设函数f 在某()00x U 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不连续，则称0x 为函数f 的间断点或不连续点。

间断点的分类（我们借助函数图形来看，如图2）：

图2

1. 可去间断点：

若k ＝0

x x lim →)(x f ＝A ，而f 在点0x 无定义，或有定义但)(0x f ≠A ，则称0x 为f 的可去间断点。（如图2中的点x ＝a ）

2. 跳跃间断点：

若函数f 在0x 有左、极限都存在，但()x f x +0x →lim ≠()x f x -0

x →lim ，则称0x 为函数f 的跳跃间断点。（如图2中的点x ＝b ）

3. 第二类间断点：

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是函数在该点的左右极限都存在。函数的所有的其他形式的间断点，即使得函数到少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点。（如图2中的点x ＝c ）

这里使用直观形象的函数图像来帮助对概念的理解认识，使人能一下明白概念中所蕴含的真正意义，并能容易区分出相似概念之间的细微差别，深入理解数学知识的内涵和外延，加深对概念的印象，从而大大改进我们的学习效率及能力。

这种利用图形思维的方式，较好地体现出“化繁为简，化难为易”的数学思想，能弄清问题的实质，又让人轻松的能接受，使学习过程变得轻松有趣。

应用数形结合的方法帮助对概念的理解认识的例子在高等数学中还有很多，如用距离的变化来描述增量间的变化并以此刻画极限概念；用切线的斜率来说明导数概念；用直角三角形与曲边三角形边的关系来刻画微分是导数的近似，等等。利用数形结合思想方法来阐述，其难度就降低许多。

3. 利用数形结合思想加强对定理的理解与证明

应用数形结合的方法能帮助对概念的理解认识，同样应用数形结合的方法帮助对定理的理解认识，帮助定理的证明，也有极其重要的作用。

3.1 概率论中的数形结合的例子：

对偶率(德莫根公式)：事件并的对立等于对立的交：B A ⋃ ＝A ∩B ,(1)

事件交的对立等于对立的并：B A ⋂＝A ∪B .(2)

我们先用集合论的语言先证明(1)式：

设ω∈B A ⋃，即ω∉B A ⋃，表明ω不属于A ，也不属于B ，这意味着ω∉A 和ω∉B 同时成立，所以ω∈A 与ω∈B 同时成立，于是ω∈A ∩B ，这说明B A ⋃ ⊂A ∩B .