7、排列组合问题之全错位排列问题(一个通项公式和两个递推关系)
全错位排列——精选推荐
全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。
则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。
由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。
递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。
全错位排列
全错位排列与多个特殊元素特殊位置（C ．T ）T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)错位排列问题题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）.题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置)例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种；第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。
由分步乘法原理得14C 44A =96种站法。
解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）这样得到共有：55A －44A ＝96种。
例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。
第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有〔〕A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是〔〕A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边〔,A B可以不相邻〕那么不同的排法有〔〕A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有〔〕A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例5.〔1〕有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是〔〕A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种〔2〕12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，假设每个路口4人，则不同的分配方案有〔〕A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.〔1〕4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？〔2〕5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为〔〕A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
行测技巧：排列组合问题之错位重排.doc
行测技巧：排列组合问题之错位重排公务员行测考试主要是考量大家的数学推理能力和逻辑分析能力，下面由我为你精心准备了“行测技巧：排列组合问题之错位重排”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测技巧：排列组合问题之错位重排公务员考试中虽然数量关系的题目比较难，但是有些特殊的题型是可以直接套用固定公式的。
这些题型解题的关键就在于区分题型以及记住相应结论。
错位重排就是这种题型。
接下来就给大家介绍一下什么是错位重排，以及这类题型该如何作答。
错位重排是一个排列组合问题。
是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。
【题型表述】编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?【解析】这个问题如果数量比较少时还比较简单，比如说n=1时，0种;n=2时，1种。
但是n一旦比较大时就比较麻烦了。
其实对这类问题有个固定的递推公式，如果记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)(n>2)。
其实在考试中n一般不会超过5，也就是说我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。
我们只需要记住结论，进行计算就可以。
我们来看一下考题是如何考察的。
【例1】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。
问共有几种不同的尝法?A.6种B.9种C.12种D.15种【解析】答案：B。
记住结论D4=9。
直接锁定答案。
【例2】办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。
问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?A.78B.96C.112D.146【解析】答案：C。
8个人有3个坐错了，我们首先得确定哪3个坐错了。
即C(8，3)=56。
3个人坐错相当于3个人都没有坐在他原来的位置上，也就说相当于三个元素的错位重排，一共有2种。
再用分步相乘得到一共有56X2=112种。
全错位排列
全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。
现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n ＝m 时亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。
全错位排列数的求法
其对立事件“没有一个人抽到自己的礼物”的概率为
1 P( B1 B2 ... Bn ) 1 1
根据题意可以知道全错位的排列数为
1 1 1 1 ... (1) n 2! 3! 4! n!
n Dn An 1 P( B1 B2 ... Bn )
证明完毕。
参考文献
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2004 [2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社，2000 [3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数.北京：高等教育出版社，1999
5
n 1 Ann11 Ann12 Ann13 ... (1)n1 An01 Ann22 Ann23 Ann24 ... (1)n2 An02
化简上式，我们可以得到：
4
1 1 1 1 n 1 上式 n 1 n 1 ! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 n 2 ! ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 n 1 n 1 ! n 1 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! (1) n 1! 1 1 1 1 1 1 n n 1 ! ... (1) n 1 (1) n 2! 3! 4! n 1 ! n 1 ! n 1 1 1 1 n ! ... (1) n n ! 2! 3! 4! n n 1 n2 n 3 n4 0 An An An An An ... (1) n An
全错位排列
全错位排列n个相异的元素排成一排，，...，。
则(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数N为公式证明：设Ai表示元素ai在第i个位置。
不难得出N=n!-(A1∪A2∪A3……∪An)根据容斥原理（文章最后有简单说明）展开得=证毕.全错位排列的递推公式（真的有递推公式，当时只是感觉应该会出现递推的。
不过这个递推公式貌似推导不出结果的）第一个位置有n-1种可能。
设a2在第一个位置，那么如果a1在第二个位置，就是剩下的n-2个元素的全错位排列记为N（n-2）。
所以N=（n-1）*（N（n-2））+X那么a1不在第二个位置呢？此时我们把a1看成a2，既然a1不在第二个位置，我们有理由相信这相当于a2（由a1充当），a3，a4，……an，的全排列数。
即N（n-1）也就是X=（n-1）*N（n-1）所以N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）当然这并不难的出，关键是要从这个递推关系中推出通项公式。
比较复杂了。
（瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707－1783)按一般情况给出了这个递推公式）此问题也被称为Install the wrong envelope problem（装错信封问题）N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）公式可重新写成N(n)-nNf(n-1)=-[N(n-1)-N(n-1)f(n-2)] (n>2)于是可以得到N(n)-nN(n-1)=-[N(n-1)-(n-1)N(n-2)]=((-1)^2)[N(n-2)-(n-2)N(n-3)]=((-1)^3)[N(n-3)-(n-3)N(n-4)]=……=[(-1)^(n-1)][N(3)-3N(2)]=[(-1)^(n-2)][N(2)-2N()]通过列举可知N(1)=0 N（2）=1 N(3)=2 N(4)=9最终可以得到一个更简单的递推式N(n)=nN(n-1)+(-1)^(n-2)等价于N(n)=n*N(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……（前几项验证成立）这个递推公式按现在的知识还不够推导出结果。
全错位排列
全错位排列 先看下面例子：例15个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有 A55种不同的排法，然后除去甲排第一(有 A44种)与乙排第 二(也有A44种)，但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55 — 2A44 + A33 = 78 种。
现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同 的站法。
仿上分析可得： A55 — 3A44 + 3A33 — A22 = 64种这与全错位排列很相似。
全错位排列一一即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3 5个人站成一排，其中 A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位, E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有 m ( men)不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素(m en)不排在相应位置的排列种数共有：从 而这个问题可能用上面的公式得出：n 1n 2 n _2 A n -C m 入」C m 入之这个公式在n = m 时亦成立A55 — C(5,1)?A44 + C(5,2)?A33 — C(5,3)?A22 + C(5,4)?A11 — C(5,5)?A00 = 44 种(注意 A00 = 0! = 1)再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡， 先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺 年卡不同的分配方式有(A)6 种(B)9 种 (C)11 种 (D)23 种解析：由上面公式得：A44 — C(4,1)?A33 + C(4,2)?A22 — C(4,3)?A11 + C(4,4)?A00 = 9 种，.••选择 B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元 素不在第n 位的排列数为： n 1 n 4 2 A n -C^A n. C n *A 这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题, 可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助将n 个编号为1、2、3...n 的小球投入到编号为1、2、3...n 的n 个盒子中，其中第i 号球不 投到第i 号盒子中(i = 1,2,3,...n )的投法数为全错排列问题.这个问题是由瑞士的数学家欧拉解决的，公式为：其中n >2on•C^A 这实际上是公式一的特殊情况。
排列组合错位重排
排列组合错位重排 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】排列组合-错位重排题型概述：错位重排作为排列组合的一种模型，原理很复杂，但是应用上面很简答。
那我们就通过几个例题来学习下这种题型。
题型要点：错位题型最直接的就是记住公式：一个元素错位重排的时候情况为0（因为只有一个，不可能排错），两个元素错位重排情况为1，三个为2，四个为9，五个为44，…………。
从0,1,2,9,44可以看出后面的数为前面两数和的倍数，那我们后面的情况也就不难推导出来。
Dn =（n-1）（Dn-2+Dn-1），（D1=0，D 2=1，D3=2）。
如果从排列组合的角度展开，我们分别看下：三个错排：三个全排列−三个序排−一个序排=A33−1−A31=2四个错排：四个全排列−四个序排−两个序排−一个序排=四个全排列−四个序排−两个错排−三个错排=A44−1−A42×1−A41×2=9五个错排：五个全排列−五个序排−三个序排−两个序排−一个序排=五个全排列−五个序排−两个错排−三个错排−四个错排=A55−1−A52×1−A52×2−A54×9=44………………………………例题：1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法？（11年浙江）A.6种B.9种C.12种D.15种2.五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有多少种？（07年北京）A.60B.46C.40D.203.要把A、B、C、D四包不同的商品放到货架上，但是，A不能放在第一层，B不能放在第二层，C不能放在第三层，D不能放在第四层，那么，不同的放法共有（）种。
（09年云南）A.6B.7C.8D.9。
不错 排列组合问题之全错位排列问题
则当 时，由上面的递推关系式可得：
所以，当 时， 式也成立。
由以上过程可知 个元素全错位排列的排列数为， ， ， 可得：
； ； ；
于是猜想：
证明：由上面已证明的全错位排列数通项公式可知：
右边
左边
所以 。
由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法。
二、全错位排列数的递推关系式之一：
①定义：一般地，设 个编号为 、 、 、… 、 、…、 、…、 的不同元素 、 、 、…、 、…、 、…、 ，排成一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的全错位排列数为 ，则 ； ； ， 。
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。
问题 、五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有多少种？
解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；
第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；
第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置。
对于第一类，就是全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。
设 个元素全错位排列的排列数为 ，则对于问题 ，第一类全错位排列的排列数为 ；第二类先确定一个排原来位置的同学有 种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为 ；第三类先确定两个排原位的同学，有 种可能，其余三个同学全错位排列，所以第三类的排列数为 ，因此问题 的答案为： 。
㈠探索：规定 ，试计算以下各式的值：
① ； ② ； ③ 。
很容易计算三式的值依次为 ， ， 。而这与利用上面的递推关系式得到的 ， ， 刚好吻合。即
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
全错位排列dn的公式
全错位排列dn的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全错位排列是排列组合中的一种特殊情况，它是指将一组元素进行重新排列，使得每个元素都位于原始位置以外。
全错位排列也称为dn排列，其中n表示元素的个数。
在全错位排列中，没有任何元素位于原始位置上，这使得全错位排列在排列组合中具有独特的特性。
在数学中，全错位排列的计算方法可以用一个公式来表示，这个公式可以帮助我们计算任意元素个数的全错位排列数量。
下面我们就来详细介绍全错位排列的公式及其推导过程。
假设有n个元素需要进行全错位排列，首先我们可以计算出n个元素的所有排列数量，这个数量可以用n!来表示，表示的是n的阶乘。
然后我们来计算n个元素的全错位排列数量。
假设第一个元素A有n-1种错误排列方法(把n-1个数安均在一起得到n个数的错位排列数)，那么就有n-1种排法。
假设元素A固定在第一个位置，那么剩下的元素就剩下n-1个元素。
这n-1个元素就要错位排列(错位排列其实就是将元素A与其他元素进行交换得到不同的排列)。
由于有n种情况可以选择元素A在第一个位置，所以总共就有n*(n-1)种情况。
现在我们来考虑其他的元素B，如何计算B在排列中的错位情况呢？实际上第一个元素A和其他元素B、C……之间的错位情况是相互独立的。
即当A的错位情况确定时，B的错位情况是无法受到A的影响的。
B在错位情况上有(n-1)*(n-2)种可能。
同样的道理，对于C，C有(n-2)*(n-3)种可能，以此类推，最后一个元素有1*0种可能。
根据乘法原理，n个元素的全错位排列总数为：(n-1)! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^(n-1)/n!)这个公式表示了n个元素的全错位排列数量，其中n!表示n的阶乘，(n-1)!表示n-1的阶乘，以此类推。
而其中的每一项都是错位排列的一部分，通过不断累加可以得到n个元素的全错位排列数量。
通过这个公式，我们可以计算出任意元素个数的全错位排列数量，这对于解决一些排列组合问题具有重要的意义。
全错位排列数公式的推导与化简
全错位排列数公式的推导与化简一、提出问题装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2.二、递推关系式对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法.1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9.对于Dn，推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法.12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况.若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2）对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，则此时有nDn-1种放法，所以Dn+1=nDn+nDn-1，n≥2.三、全错位排列数公式利用递推关系式Dn-nDn-1=（-1）n，各项同除以n！，得Dnn！-Dn-1（n-1）！=（-1）nn！，构造数列bn=Dnn！，并利用数列恒等式bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）有Dnn！=01！+（-1）22！+（-1）33！+…+（-1）nn！，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].下面根据Dn=nDn-1+（-1）n利用分步迭代法推导Dn.D2=2D1+（-1）2，D3=3D2+（-1）3=3×2D1+3（-1）2+（-1）3.由于D1=0，则D4=4D3+（-1）4=4×3（-1）2+4（-1）3+（-1）4，D5=5D4+（-1）5=5×4×3（-1）2+5×4（-1）3+5（-1）4+（-1）5=5！2！（-1）2+5！3！（-1）3+5！4！（-1）4+5！5！（-1）5，…，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].还有一种方法：利用递推关系式Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2），设Dk=k！pk，k=1、2、3、…、n，则p1=0，p2=12.当n≥3时，由Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）得n！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）（n-2）！pn-2，即n（n-1）！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）！pn-2，可知npn=（n-1）pn-1+pn-2，即npn=npn-1-pn-1+pn-2，则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n，pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1，……，因此有pn-pn-1=（-1n）（-1n-1）（-1n-2）…（p2-p1）=（-1）n1n！，pn-1-pn-2=（-）n-11（n-1）！，…，p2-p1=（-1）212！.各式两边相加得pn=12！-13！+…+（-1）n1n！.所以Dn=n！pn=n！[1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！].四、化简公式由于e-1=1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！+…，e=2.71828.即e-1=pn+（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…余项为Rn=（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…=（-1）n+11（n+1）！（1-1n+2）+…那么该余项取值范围如何呢？由泰勒中值定理可知，在含有x0的某个开区间（a，b）内，函数f（x）可表示为（x-x0）的一个n次多项式pn（x）与一个余项Rn（x）之和，此和是关于（x-x0）的幂级数即泰勒级数，其中pn（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f （n）（x0）n！（x-x0）n，余项为Rn（x）=f （n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.ξ在x与x0之间.若将函数f（x）=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数，由于x0=0，f （n+1）（x）=ex，则ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+….对于任何有限的x、ξ（ξ在0与x之间），余项为Rn （x）=eξ（n+1）！xn+1.而函数f（x）=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f （n+1）（ξ）（n+1）！xn+1=ex（n+1）！xn+1，可见二者形式相似.由于x=-1，因此e-1的幂级数的余项为Rn（-1）=（-1）n+1eξ（n+1）！，且ξ∈（-1，0）.因此Dn=n！e-1-（-1）n+1eξn+1.设λ=|n！Rn|=|（-1）n+1eξn+1|=eξn+1，由于eξ∈（1e，1），当n=1时，λ。
全错位排列公式
全错位排列公式什么是错位全排列问题？其实很简单，在生活中可能都会遇到：“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这 n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？为了解决这个看似简单的问题，我们从数学的角度出发，尝试几个常用的方法。
记装错 n 封信的种类为 D_n ，并且有 n 封信a_1,a_2,...,a_n（1）枚举法（Enumeration method）计算种数当 n 的值较小时，可以利用枚举法：n=1 时，不可能装错信，则 D_1=0 ；n=2 时，显然装错信时，只可能为两者调换位置，则D_2=1 ；n=3 时，有 (a_2,a_3,a_1) ， (a_3,a_1,a_2) 两种装法，则D_3=2 ；n=4 时，装法如下：(a_2,a_1,a_4,a_3) ， (a_2,a_3,a_4,a_1) ，(a_2,a_4,a_1,a_3) ，(a_3,a_1,a_4,a_2) ，(a_3,a_4,a_1,a_2) ， (a_3,a_4,a_2,a_1) ，(a_4,a_1,a_2,a_3) ， (a_4,a_3,a_2,a_1) ，(a_4,a_3,a_1,a_2) ，则 D_4=9 。
当 n 的值越来越大时，枚举会变得异常复杂。
可以考虑用排列数（Permutation）和组合数（Combination），来得到错位全排列的计算公式。
（2）排列组合计算种数显然， n 封信的组合方式共有 A_n^n=n! 种装法，接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类，保证计数“不重不漏”。
假设第一封信装对，即为剩下的 n-1 个元素的一个全排列（All permutation），则有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法；并且当第二封信装对时，也有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ，以此类推，每一封信装对时，都有 (n-1)! 种装法。
高中数学排列组合：全错位排列问题详解
利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值： （1） A42 A41 A40 ； （2） A53 A52 A51 A50 ； （3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位 排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位
全错位排列递推公式
全错位排列递推公式全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。
在数学中，我们可以使用递推公式来计算全错位排列的数量。
本文将介绍全错位排列的概念，并给出相应的递推公式。
一、全错位排列的定义全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。
换句话说，对于一个长度为n的序列，全错位排列的每个元素i必须满足pi ≠ i，其中pi表示元素i的位置。
例如，对于长度为3的序列{1, 2, 3}，其全错位排列可以是{2, 3, 1}或者{3, 1, 2}等，但不能是{1, 2, 3}，因为其中元素1在其原始位置上。
二、全错位排列的数量为了计算全错位排列的数量，可以使用递推公式。
假设Dn表示长度为n的序列的全错位排列数量，则有以下递推公式：Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)其中D1 = 0，D2 = 1。
根据递推公式，我们可以通过计算Dn来得到长度为n的序列的全错位排列数量。
下面是具体的计算过程：D1 = 0D2 = 1D3 = (3-1)(D2 + D1) = 2(1 + 0) = 2D4 = (4-1)(D3 + D2) = 3(2 + 1) = 9D5 = (5-1)(D4 + D3) = 4(9 + 2) = 44依此类推，我们可以得到长度为n的序列的全错位排列数量。
三、应用举例全错位排列的概念和递推公式在实际问题中有着广泛的应用。
下面举例说明两个应用情景。
1. 座位安排问题：假设有n个人参加一个会议，会议的座位是按照1到n的顺序排列的。
为了增加交流和合作，组织者希望每个人坐在与其原始位置不同的位置上。
那么，可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种座位安排方式。
2. 文件排序问题：假设有一组文件需要根据一定的顺序进行排序，但不能按照文件原始顺序进行排序。
可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种文件排序的可能性。
通过以上两个应用举例，我们可以看到全错位排列的概念和递推公式在实际问题中起到了重要的作用，帮助我们解决座位安排和文件排序等问题。
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ）,,,,A B C D E ,A B B A A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有（ B A ,A B ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、种B 、种C 、种D 、种4441284C C C 44412843C C C 4431283C C A 444128433C C C A 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合中的错排问题
错位排列定义：一般地，设排列τ是由1,2,3,,n 组成的有序数组，则τ的一个错位排列就是排列1i ,2i ,…,n i ，其中j i j ≠，n j ,,2,1 =。
定理一：设排列τ的错位排列数为n D ，且1≥n ，则n D 满足下面的递推关系：2112(1)(),301n n n D n D D n n N D D --≡-+≥∈⎧⎪=⎨⎪=⎩且 证明：易得10D =，21D =；设3≥n ，考虑排列1,2,3,,n 的所有的错位排列。
第一步：排列中的第一位的数字可以是2,3,,n ，共11-n C 类，令n d 表示第一位是2的错位排列数，则有nnn d C D 11-=； 现在考虑n d 中的排列，则n d 是2，2i ，…，n i 形式的错位排列数，其中j i j ≠),3(n j =。
此时：若12≡i ，则在这种情况下34,,,n i i i 就是一个2-n 级的排列的错位排列，排列数为2-n D ；若12≠i ，记此时排列2，2i ，…，1，…，n i 的错位排列数为nd '。
设1,3k i k =≥，对上述每一种错位排列调换1i 与k i 位置，形成新的排列1，2i ，…，2，…，n i ，则在此排列中，除第一位外，其他位置不改变其错位排列的特性，而此时2i ，…，2，…，n i 就是一个1-n 级的错位排列，错位排列数为1-n D ，故1nn d D -'=。
因此12n n n d D D --≡+，从而()1112n n n n D C D D ---=+，即()()121n n n D n D D --=-+，3≥n ，故定理一得证。
定理二： 设排列τ的错位排列数为n D ，且1≥n ，则()1111!111!2!3!!n n D n n ⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭证明：由定理一知：当3≥n 时，有()()121n n n D n D D --=-+()()1211n n n D n D --=-+- 即 ()[]2111------=-n n n n D n D nD D 所以 ()()()nn n n a a nD D 1122121-=--=---所以()11!!!nn n D nD n n n ---=即()()11!1!!nn n D D n n n ---=-所以()()()()11211!2!1!n n n D D n n n -----=---()33213!2!3!D D --= 累加可得()()()()132111!2!!1!3!nn n D D n n n -----=+++- 所以()()32111!2!3!!nn D D n n-=+++-所以 ()111!12!3!!nn D n n ⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦ 又因为 当1=n 时1D 2n ,021===，时当D 所以 ()1111!111!2!3!!n n D n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ 定理二得证。
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排列组合问题之全错位排列问题 （一个通项公式和两个递推关系）
一、问题引入：
问题1、4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有多少种？
问题2、将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有多少种不同的放法？
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。
问题3、五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有多少种？
解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置。
对于第一类，就是全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。
设n 个元素全错位排列的排列数为n T ，则对于问题3，第一类全错位排列的排列数为
5T ；第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第
二类的排列数为45T ；第三类先确定两个排原位的同学，有2
510C =种可能，其余三个同学
全错位排列，所以第三类的排列数为310T ，因此问题3的答案为：543510109T T T ++=。
由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法。
二、全错位排列数的递推关系式之一：
()()121n n n T n T T --=-+ ()3n ≥
①定义：一般地，设n 个编号为1、2、3、… 、i 、…、j 、…、n 的不同元素1a 、
2a 、3a 、…、i a 、…、j a 、…、n a ，排成一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位
置，这样的全错位排列数为n T ，则 21T =；32T =；()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。
②递推关系的确立：
显然当1n =、2时，有10T =，21T =。
当3n ≥时，在n 个不同元素中任取一个元素i a 不排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下1n -个位置之一，所以i a 有1n -种排法。
对i a 每一种排法，如i a 排在j 位，对应j 位的元素j a 的排位总有两种情况： 第一种情况：j a 恰好排在i 位上。
此时，i a 排在j 位，j a 排在i 位，元素i a ，j a 排位已定。
还剩2n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为2n - 个元素全错位排列数，应有2n T -种。
第二种情况：j a 不排在i 位上。
此时，i a 仍排在j 位，j a 不排在i 位，则j a 有1n -个位置可排。
除i a 外，还有1n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为1n -n 个元素全错位排列数，应有1n T -种。
由乘法原理和加法原理可得：()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。
利用此递推关系可以分别算出49T =，544T =。
问题3的答案为：4459102109+⨯+⨯=。
三、全错位排列数的通项公式之一：
()11
1!12!3!
!n n T n n ⎡⎤=-++-⋅⎢⎥⎣⎦ ()2n ≥
㈠探索：规定()
01n A n N *
=∈，试计算以下各式的值：
①210444A A A -+； ②32105555A A A A -+-； ③43210
66666
A A A A A -+-+。
很容易计算三式的值依次为9，44，265。
而这与利用上面的递推关系式得到的4T ，
5T ，6T 刚好吻合。
即
4T =210444A A A -+；5T =32105555A A A A -+-；6T =4321066666
A A A A A -+-+。
㈡猜想：
根据上面的探索，我们可以猜想n 个元素全错位排列数为
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()2n ≥ ()*
为了更容易看清其本质，我们对这个式子进行变形，得到：
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()!!!12!3!!
n n n n n =
-++- ()11
1!12!3!
!n n n ⎡⎤=-++-⋅⎢⎥⎣⎦ 。
㈢证明（数学归纳法）：
当2n =，3时，()*式显然成立。
假设n k =，1k -时，()*式成立。
则当1n k =+时，由上面的递推关系式可得： ()11k k k T k T T +-=+
()()()()1111111!11!12!3!!2!3!1!k k k k k k k -⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=-++-+--++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭
()()()()11111111!112!3!!2!3!1!k k k k k k k -⎧⎫⎡⎤⎪⎪
⎡⎤=--++-+-++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭
()()()11111!112!3!1!!k k k k k k k k k -⎡⎤
+++=-++-+-⎢⎥-⎣⎦ ()()()()()111111!11112!3!1!!!k k k k k k k k k k k -⎡⎤
+++=-++-++---⎢⎥-⎣⎦ ()()()()()()111111!11112!3!1!!1!k k k
k k k k k k k k k -⎡⎤++++=-++-++---⎢⎥-+⎣⎦ ()()()()()()1111111!11112!3!1!!1!k k k k k k k k k k k k -+⎡⎤
++++=-++-++-+-⎢⎥-+⎣⎦ ()()()()()()11
111111!1112!3!1!!1!k k k k k k k -+⎡⎤=+-++-+-+-⎢⎥-+⎣⎦
所以，当1n k =+时，()*式也成立。
由以上过程可知n 个元素全错位排列的排列数为：
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()!!!12!3!!
n n n n n =
-++- ()11
1!12!3!
!n n n ⎡⎤=-++-⋅⎢⎥⎣⎦ ()2n ≥
四、全错位排列数的递推关系式之二：
()11n
n n T nT -=+-
由21T =，32T =，49T =，544T =，6265T =可得： 3231T T =-；4341T T =+；5451T T =-；6561T T =+ 于是猜想：()11n
n n T nT -=+-
证明：由上面已证明的全错位排列数通项公式可知：
右边()()()()11
111!112!3!
1!n n n n n -⎡⎤=--
++-⋅+-⎢
⎥-⎣⎦
()()()1111!
!112!3!1!!n n n n n n -⎡⎤=-++-⋅+-⎢⎥-⎣⎦
()11
1!12!3!
!n n n ⎡⎤=-++-⋅=⎢⎥⎣⎦ 左边
所以()11n
n n T nT -=+-。