ch8多元函数微分学习题课——知识总结
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第 193 页第八章 多元函数微积分本章主要知识点● 一阶偏导数计算 ● 可微与全微分 ● 二阶偏导数● 二重积分—直角坐标系 ● 二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。
（2）复合函数一阶偏导。
（3）隐函数一阶偏导数。
1．显函数的一阶偏导数例8.1．2sin()x y u xe=，求,u u x y∂∂∂∂。
解：()22sin 2sin 2cos()1cos x y x y xy ue xy x y e xy x y e x∂=+=+∂ 23sin 2cos x y ux e x y y∂=∂ 例8.2．()y y zu x y zx =++，求,,u u u x y z∂∂∂∂∂∂。
解：()11110y y y y y u yx y zx z yx yz x x ----∂=++=+∂，()()zx zy zy x x y u yz y ln ln 1++=∂∂-， 11ln ln 0--+=++=∂∂y y z y y z z yx y y z y x y y zu， 例8.3．(ln z x =＋yx ，求,u u x y∂∂∂∂。
解：111y y u yx yx x --⎛⎫∂=+=∂，ln ln y y z x x x x y ∂=+=∂。
2．复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。
例如()x xy y x f u sin ,,+=，其中f 为已知可微三元函数，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,。
第一步：变量z y x ,,的关系网络图123x y x u y x ⎧∨→⎪∆⎪⎪∨⎪→⎨∆⎪⎪→→∨⎪⎪⎩其中1，2，3分别表示x xy y x sin ,,+第二步：寻找与x 对应的路径()∨，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”1231231cos cos uf f y f x f f y f x x∂''''''=⋅+⋅+=+⋅+∂ 同理，寻找与y 对应的路径()∆，12121uf f x f f x y∂''''=⋅+⋅=+⋅∂。
高数下课件 ch8习题课
=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0， 所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+
高数多元函数微分学
设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学
多元函数微分知识点总结
多元函数微分知识点总结一、多元函数的梯度在多元函数微分学中，梯度是一个非常重要的概念。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最快的方向。
对于一个二元函数f(x, y)，梯度可以表示为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。
梯度的方向即为函数在该点变化率最快的方向，而梯度的模即为函数在该点的变化率。
因此，梯度可以帮助我们确定函数在某一点的最大变化率和变化的方向。
在实际应用中，梯度可以帮助我们求解多元函数的最值问题。
通过求解梯度为0的点，可以找到函数的极值点。
梯度的方向还可以告诉我们函数在某一点的最快下降方向，从而帮助我们优化函数的取值。
二、多元函数的链式法则链式法则是多元函数微分学中的一个重要概念。
链式法则是用来计算复合函数的导数的方法。
对于一个复合函数f(g(x)), 链式法则可以表示为：(d(f(g))/dx) = (dg/dx)*(df/dg)链式法则的应用十分广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而解决实际问题。
三、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是多元函数微分学中的一个基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x，而关于变量y的偏导数可以表示为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一点的变化率。
通过偏导数，我们可以确定函数在某一点的变化率和变化的方向，从而帮助我们解决实际问题。
四、多元函数的泰勒展开泰勒展开是多元函数微分学中的一个重要概念。
泰勒展开可以将一个函数在某一点处展开为一个无穷级数。
对于一个n次可导的函数f(x)，它在点a处的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!泰勒展开的应用非常广泛。
通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某一点处近似为一个多项式，从而方便我们进行数值计算和求解。
3chapter1(8)多元函数微分学小结
极值存在的充分条件
设z f ( x , y)在U ( P0 , )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ),
x x0 y y0 z z0 法线为 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
(4)曲面z f ( x , y )的切平面与法线
切平面 : f x ( x x0 ) f y ( y y0 ) ( z z0 ) 0,
(3) 最大最小值 1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值. 2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.
Chapter 1 多元函数微分学小结
第一部分: 内容小结 一、极限，连续，偏导数，全微分 1. 二元函数的定义 z f ( x , y ) 2. 二元函数的极限
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
3. 二元函数的连续性
(1)定义
( x , y )( x 0 , y0 )
( 3)曲面F ( x , y , z ) 0的切平面与法线
法向量为 : n { Fx , Fy , Fz }
切平面为 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) F y ( y y0 ) Fz ( z z0 ) 0
高等数学复习资料CH8-8
f ( 4,2 ) 64 ,
比较后可知 f ( 2 ,1 ) 4 为最大值,
f ( 4 , 2 ) 64 为最小值.
二、条件极值 拉格朗日乘数法
上面讲的函数极值问题中,对自变量除限制在 定义域内,没有其它限制—无条件极值问题. 而有的极值问题提出时,还有附加条件， 即对自变量有约束条件—条件极值问题 例如 : 在曲面 F ( x , y , z ) 0上找一点P ,
y y
f 1 ' y
f 2 ' y
e y f 1 ' e y ( xe y f 11 ' ' f 13 ' ' ) ( xe y f 21 ' ' f 23 ' ' ) e y f 1 ' xe 2 y f 11 ' ' e y f 13 ' ' xe y f 21 ' ' f 23 ' '
z f [ x , y ( x )]
z f ( x , y )在 ( x 0 , y 0 )处取得极值就是 z f [ x , y ( x )]在 x x 0的极值
' x ' y '
dz dx
x x0
0
即f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) y ( x0 ) 0
求函数z=f (x ,y)极值的一般步骤：
第0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y 0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步
定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
第八章_则多元函数微分学_习题课知识课件
求z,
2z ,
2z
.
y y2 xy
解
yzx3(f1xf21x) x4f1 x2f2 ,
y 2z 2x 4(f1 x 1f1 1 x 2)x 2(f2 x 1f2 1 x 2)
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x
2
x 2z2a2sia n x(b yc22)
x m m zam sia n xb ( ycm 2)
x m m 1zyam bsian xb ( ycm 2 2)
x m m n y znam bnsian x b ( y c(m 2n ))
例4 设z x3 f(xy, y),( f 具有二阶连续偏)，导数 x
例6 设 xyze (xy z) 求
2z 2z 2z x2 ,xy,y2
解一 记 F ( x ,y ,z ) x y z e ( x y z )
则 FxFyFz 1e(xyz)
z z 1 x y
x2z2 x2zyy2z2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
1ze(xyz)(1z)
x
x
(1z)1 [e(xyz)]0 x
2z 2z xy yx
x(x4f1x2f2)
4x3 f1x4[f11y f12(xy2)]2xf2 x2[f21yf22(xy2)]
4 x 3 f 1 2 x f 2 x 4 y f 1 1 y f 2 .2
例5 设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysix n,
(f,具有一阶连 )， 且续 偏 0,求 导 du . 数
称为全导数.
v
设 zfu (x ),v(x ,y),y u x
多元函数微分学习题解知识点与课后习题答案
第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xy x f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()zx y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u =解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
考研数学多元函数微分学的知识点总结讲解优秀版
点总结讲解优秀版2020 考研数学多元函数微分学的知识点总结讲解多元函数微分学是考研数学大题考查的重点，同学们在复习的过程中需掌握基本概念、公式及定量，并会熟练计算。
下面小编对该章的知识点进行总结性讲解，以帮助广大考生更好的复习掌握这部分知识。
二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.二次函数y a x h k =-+的性质3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. ①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）交点式：()()21x x x x a y --=。
已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a c x x ab x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221214.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小（2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴； ②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置. ①0=c ，抛物线经过原点；②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.（4）ac b 42-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数△①0 ∆，有2个交点②,0=∆ 有1个交点；③0 ∆，无交点5、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
高等数学第四章多元函数的微分知识点及习题
− − −
=
=
特别：曲线方程写成： = , 时，令 , , = , − 则在 , ,
的法向量为 = , , −
例题、求曲面 2 + 2 2 + 3 2 = 36在点
线方程。
。
三、全微分
全微分： = (, ) ,
= (, , ) ,
ⅆ =
ⅆ
ⅆ =
+
ⅆ
ⅆ
+
ⅆ
例题、计算 = ⅇ 在点 2,1 处的全微分。
+
ⅆ
例题、计算 = +
解：
=1
sin
2
+ ⅇ 的全微分。
求证
+
1
ln
= 2
例题、设 = arcsin
例题、设 = 1 +
，求 ， 。
2
2
+
，求 ， 。
例题、设 =
ln tan ，求 ， 。
例题、设 =
2
ⅇ
sin
1, −2,1 处的切线方程和法平面方程。
十一、曲面的切平面和法平面方程
曲面: , , = 在 , , 处的法向量
= , , , , , , , ,
切线方程：
− + − + − =
多元函数微分学知识点梳理2页
多元函数微分学知识点梳理2页一、偏导数定义：对于多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，当其自变量$x_i$在某一点固定而其他自变量发生变化时，函数值的变化量与$x_i$的变化量之比，称为$f$对$x_i$的偏导数，记为$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$。
计算方法：将$x_i$看作变量，其他自变量视为常数，对$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$以$x_i$为自变量求导。
二、全微分定义：当$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某一邻域内具有一阶连续偏导数时，存在常数$A,B$，使得$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$$其中$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow0}\alpha=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\beta=0$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，$\Delta z$称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量，$A\Delta x+B\Delta y$称为$\Delta z$的一次主部，记作$dz$，称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分。
计算方法：$$df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$$三、隐函数及其求导法定义：设有方程$F(x,y)=0$，如果在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内，恒有一函数$y=\varphi(x)$，使得$F(x,\varphi(x))=0$，则称方程$F(x,y)=0$在该邻域内以$x$为自变量，$y$为因变量确定着一函数$\varphi(x)$。
(整理)Ch8典型知识点.
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点等，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧ 如00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+ 例2．设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例3．设2222422,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1．讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
例2．求(,)(1,2)limx y x yxy →+ 例3．(,)(0,0)lim x y →4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则有000000000000(,)(,)(,)limx x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z fz f x y xx x=∆→=====+∆-∂∂====∂∂∆ （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
Ch8多元函数微分学 释疑解难
Ch8多元函数微分学释疑解难1．怎样理解二元函数的概念？解析：设有三个变量x 、y 和z ．如果变量x ，y 在一定范围内任意取定一对值时，变量z 按照一定的法则，总有确定的数值和它们对应，那么变量z 叫做变量x 、y 的二元函数，记作),(y x f z =，其中变量x 、y 叫做自变量，而变量z 叫做因变量．自变量x 、y 的变化范围叫做函数的定义域．二元函数的定义域，可以是整个xoy 平面，也可以是xoy 平面的一部分．例如函数221y x z --=的定义域是满足不等式122≤+y x 的点的全体，即xoy 平面内以原点为圆心，以1为半径的闭圆域；又如函数2ln(1)z x =-，作为二元函数，它的定义域是满足+∞<<-∞<<-y x ,11的点的全体，即xoy 平面内介于两条直线1±=x 之间的带形开区域．二元函数),(y x f z =的图形，我们可以用空间直角坐标系来表示它．设函数),(y x f z =在xoy 平面上某一区域D 内有定义，在区域D 内任取一点),(y x P ，由),(y x f z =求出相应的函数值z ，于是确定了空间一点),,(z y x M ，当点P 在区域D 内变动时，点M 就在空间相应变动，一般说来，它的轨迹是一个曲面．例如，22y x z +=是以原点为顶点，开口向上的圆锥面；又如)(x f z =是母线平行于y 轴的柱面．2．怎样理解二元函数的极限的概念？解析：设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在一个正数δ，使得对于适合不等式00||PP δ<=的一切点，都有|(,)|f x y A ε-<成立，那么常数A 叫做函数值),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作0lim (,)x xy y f x y A →→=，或),(),(00y y x x A y x f →→→．在上述二元函数极限的定义中，无论点),(y x P 以何种方式趋向点),(000y x P ，只要当点P 与点0P 的距离2020)()(y y x x -+-大于0小于δ时，所对应的函数值),(y x f 都满足不等式ε<-A y x f ),(，就能保证常数A 是函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限．即所谓二元函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时存在极限A ，是指点P 以任何方式趋近于点0P 时，函数),(y x f 都无限接近于同一数值A ，这里P 是点0P 的某一邻域内异于0P 的任意一点．如果点P 以某一特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋近于点0P 时，即使函数无限接近于某一数值，我们还不能由此断定二元函数的极限存在．例如，分析函数yx yx y x f -+=),(．当点),(y x P 沿x 轴趋近于点)0,0(时，1lim )0,(lim 0==→→xxx f x x ；当点),(y x P 沿y 轴趋近于点)0,0(时，11lim),0(lim 00-=-=→→yy f x y ．一般地，点),(y x P 沿直线kx y =趋近于点)0,0(时，有)1(11lim ),(lim 0≠-+=-+==→→=→k kkkx x kx x y x f x kx y x ．显然，k k -+11是随着直线的斜率k的不同而改变其数值的，因此，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在．3．如果一元函数0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续，那么二元函数),(y x f 在00(,)x y 一定连续吗？解析：不一定．我们知道，如果当00(,)(,)x y x y →时，函数),(y x f 的极限存在，并且等于它在点00(,)x y 处的函数值，即000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=，那么二元函数),(y x f 在点00(,)x y 处连续．这时，就有0000lim (,)(,)x x f x y f x y →=，0000lim (,)(,)y yf x y f x y →=，即一元函数0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续．反之，如果0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续，那么函数),(y x f 在00(,)x y 不一定连续．例如，函数2222,0(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪==⎩．因(,0)f x 恒等于零，它在0x =处连续，同样(0,)f y 也恒等于零，它在0y =处也连续；但是当点),(y x P 沿直线kx y =趋近于点)0,0(时，有001lim (,)lim 1)1x x y kx x kx kf x y k x kx k→→=→++==≠--，21k k +是随着k 的不同而改变的，因此，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在，所以函数),(y x f 在)0,0(是不连续的．4．任何二元连续函数都存在偏导数吗？解析：不一定．例如多元初等函数22(,)f x y x y =+在点)0,0(处连续且偏导数存在，但函数(,)f x y =在)0,0(连续但偏导数不存在．因为(,0)(0,0)x f x f x x∆∆∆∆-==，当0x ∆→+时，上式趋近于1；当0x ∆→-时，上式趋近于-1，所以偏导数(0,0)x f 不存在．同理，偏导数(0,0)y f 也不存在．5．如果函数),(y x f z =的偏导数z x ∂∂和zy∂∂在点),(000y x P 处都存在，那么),(y x f 在点0P 处一定连续吗？解析：我们知道，如果一元函数在某点有导数，那么它在该点一定连续．但是对于二元函数),(y x f z =来说，即使偏导数z x ∂∂和z y∂∂在点0P 处都存在，也不能保证),(y x f 在点0P 处一定连续．这时因为偏导数存在能保证点(,)P x y 沿着平行于坐标轴的方向趋近于点0P 时，),(y x f 无限接近于000(,)f x y ，而不能保证点(,)P x y 沿任何方式趋近点0P 时，),(y x f 都无限接近于000(,)f x y ．例如函数22222,0(,)0,0x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪==⎩，在点)0,0(对x 的偏导数为(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆∆∆∆∆→→--===，同样有(0,0)0y f =．但是，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在，所以函数),(y x f 在)0,0(是不连续的．如果函数),(y x f z =的偏导数z x ∂∂和z y∂∂在点),(000y x P 处存在且连续，那么),(y x f在点0P 处一定连续．这时因为根据拉格朗日中值定理，函数的全增量[][]00000000001000212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(0,1)x y z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y f x x y y x f x y y y ∆∆∆∆∆∆∆θ∆∆∆θ∆∆θθ=++-=++-+++-=++++<<当0ρ=，即0,0x y ∆∆→→时，有0z ∆→，所以，函数),(y x f 在点0P 处是连续的．6．如果函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数z x ∂∂和z y∂∂都存在，那么),(y x f 在点0P 全微分一定存在吗？解析：不一定．一元函数在某点可导与可微是等价的．但是，对于二元函数来说，情况就不同了，即使函数的偏导数存在，全微分可能不存在．全微分的定义可以理解为：如果函数),(y x f z =在点0P 的全增量z ∆与0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆∆+之差，当0ρ=时是一个比ρ较高阶的无穷小量，那么函数),(y x f 在点0P 可微；反之，如果z ∆与0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆∆+之差，当0ρ→时不是比ρ较高阶的无穷小量，那么函数),(y x f 在点0P 的全微分就不存在．例如函数(,)f x y =(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆∆∆∆∆→→--'===，同样(0,0)0y f '=．但是由于(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆∆∆-+=，当以特殊方式0x y ∆∆=→0=，即不是比ρ较高阶的无穷小量，从而),(y x f 在点(0,0)的全微分就不存在，也就是),(y x f 在点(0,0)处是不可微的．7．多元函数全微分的运算法则是怎样的？解析：多元函数全微分的运算法则与一元函数全微分的运算法则在形式上是相同的．即当u 与v 都是同一组自变量的具有连续偏导数的多元函数时，有()d cu cdu =（c 是常数）；()d u v du dv ±=±；()+d uv udv vdu =；2((0)u vdu udv d v v v -=≠．使用上述运算法则，可以计算多元函数的全微分．例如，22xz x y =+.22222222222222222222()()()()(22)()2.()()x y dx xd x y dz x y x y dx x xdx ydy x y y x xy dx dy x y x y +-+=++-+=+-=-++8．二元函数的极值点一定是驻点吗？解析：不一定．函数(,)f x y 的极值点是指使(,)f x y 取得极值的点；而函数(,)f x y 的驻点是指使00(,)x f x y ，00(,)y f x y 同时成立的点．可微函数),(y x f z =在点00(,)x y 有极值的必要条件为00(,)0x f x y '=、00(,)0y f x y '=，即可微函数),(y x f z =的极值点一定是驻点．但函数的偏导数中至少有一个不存在的点也可能是极值点．例如，在xoy平面下方的锥面方程z =(0,0)处有极大值，但在点(0,0)处的偏导数z x ∂∂和zy∂∂都不存在，点(0,0)并非函数的驻点，而是函数的偏导数不存在的点．9．二元函数的驻点一定是极值点吗？解析：不一定．例如，点(0,0)是函数z xy =的驻点，但不是极值点．这是因为z xy =在点(0,0)的任何邻域内总有函数值为正的点，也总有函数值为负的点；点(0,0)是函数22z x y =+的驻点，也是极值点，函数在这点有极小值．10．如果二元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值一定是函数在该区域的最大（小）值吗？解析：不一定．我们知道，如果一元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值就函数在该区域是的最大（小）值．但对于二元函数，却没有与之类似的结论．如果二元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值不一定是函数在该区域的最大（小）值．例如，考察函数322(,)42f x y x x xy y =-+-在矩形区域66x -≤≤，11y -≤≤上的最大值．令23820220x y f x x y f x y =-+=⎧⎨=-=⎩解这个方程组，得0,0;2, 2.x y x y ====但是点(2,2)不在所讨论的矩形区域内，于是函数(,)f x y 在该矩形区域内只有一个驻点．再求出二阶偏导数68xxf x ''=-，2xy f =，2xy f =-，在点(0,0)上，有(0,0)8xx A f ==-，=(0,0)2xy B f =，(0,0)2yy C f ==-因为2120B AC -=-<，而8A =-．根据二元函数极值的充分条件，函数(,)f x y 在点(0,0)处有极大值(0,0)0f =．然而，极大值零并不是函数(,)f x y 在矩形区域上的最大值，因为，例如在点(5,0)，有(5,0)250f =>．。
高等数学 第八章 多元函数微分学
例. 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求
z z , . x y
解：方法1.(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数， 用链式法则求F'x , F'y , F'z . F'x = F '12x+F '2 cosxy y = 2xF '1+ ycosxy F '2 F'y = F '12y+F '2 cosxy x = 2yF '1+ xcosxy F '2 F'z = F '12z
n ( Fx( x0 , y0 , z0 ), Fy( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 ))
例. 在曲面 平面 解: 设所求点为
y f ( x) 2) 与柱面交线. 空间光滑曲线 : z g ( x, y )
F ( x, y , z ) 0 3) 面交式曲线. 空间光滑曲线 : G ( x, y, z ) 0
切向量: S n1 n2
2. 曲面的切平面与法线 1) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量 n ( f x , f y , 1) 2) 隐式情况 . 空间光滑曲面 曲面 在点 的法向量
例. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz ) t k f ( x, y, z )
则称它为 k 次齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足 xf1( x, y, z ) yf 2( x, y, z ) zf3( x, y, z ) kf ( x, y, z ) 证: 记 u tx, v ty, w tz, f (tx, ty, tz ) t k f ( x, y, z ) 两边对 t 求偏导.
Ch8多元函数微分法及其应用
Ch8、多元函数微分法及其应用§1、多元函数的基本概念1、多元函数的定义（以二元函数为例）定义1：设D 为xoy 面上的点集，若对D 中任一点),(y x ，变量z 总有唯一确定的值与之对应，则称z 是y x ,的二元函数，记为),(),(y x z z y x f z ==或。
① 二元函数的定义域为xoy 面上的二维区域，二元函数),(y x f z =的几何图形为曲面。
例如，对二元函数221y x z --=，其定义域{}1),(22≤+=y x y x D 为xoy 面上的圆域，其图形为上半球面。
② 特别地，自变量x 与y 无关。
2、多元函数的极限定义2：A y x f y y x x =→→),(lim 00称为二重极限。
定理1：二重极限⇔=→→A y x f y y x x ),(lim 0),(y x 以任何方式趋于),(00y x 时，),(y x f 均趋于A 。
推论：若当),(y x 沿不同路径趋于),(00y x 时，),(y x f 趋于不同值，则),(lim 00y x f y y x x →→不存在。
例1、22),(y x xyy x f +=，证明),(lim 00y x f y x →→不存在。
证：当),(y x 沿)0(=y x 轴趋于)0,0(时，00lim),(lim ),(lim 2200000=+⋅===→=→→→x x y x f y x f y x y x y x ， 当),(y x 沿x y =趋于)0,0(时，21lim),(lim ),(lim 220000=+⋅===→=→→→x x x x y x f y x f xy x xy x y x ， 故),(lim 00y x f y x →→不存在。
或证：当),(y x 沿kx y =趋于)0,0(时，22200001)(lim),(lim ),(lim kkkx x kx x y x f y x f xy x kxy x y x +=+⋅===→=→→→， 与k 有关，故),(lim 0y x f y x →→不存在。
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一 ⑵ AC
B2 < 0时没有极
一 ⑶ 值；f (x, y)极值的一般步骤:
第一步 解方程组 fx (X, y) = 0, fy (x, y) = 0 求出
实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点(Xo, y o),
求出二阶偏导数的值4、B、C.
” , fx(X y)+初
(X
X
,
y
)
=0,
人幻 < fy (X, y)+
(X, y) = 0,
、 (p( x, y) = 0.
况 解出x,y
，其中X,y就是可能的极值点的坐标.
经济数学--微积分
谢谢
THANK YOU
设函数z = f(X,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且
在点(x0,yo)处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零：fx ( X 0, yo) = 0，
f
y
(
X
0,
yo)
= 0-
定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点.
注意 驻点
极值点
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七 定理2 (充分条件)
设函数 =f ( X , V)在点(％ Vo)的某邻
9x
9y 9y
929 =f( X
9y
yU
、 9 2 = fyy (X, y),
纯偏导
9 Z = fyx (x, y ). 9y9x
丿 dy
dxdy
定义 二阶及二阶以上的
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9・偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z = f (x, y)在(x, y)处偏导数 存在，
业 函数对X的相对改变量 =f (x + Ax, y)-f (x, y)
第三步 定出AC-B2的符号，再判定是否是极值.
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条件极值：对自变量有附加条件的极值.
拉格朗日乘数法
要找函数z = f(X, y)在条件0(x, y) = 0下的
可能极值点，
先构造函数 F ( x, y ) = f ( x, y ) + A(p( X , y )
， 其中4为某一常数，可由
如果函数々=f(x^y)在点(X, 丁)的全增量 Az = f(x + + Av) - f (x^y)可以表示为 Az = A Ax + BAy + o(p),其中 A,B 不依赖于 Ax,颂而仅与有关， p = J(Ax)2+(Ap)2,则称函数z = /(xj)在 点(x,y)可微分, AAx + BAy称为函数 z = f (x^y)在点(旳力的全微分，记为dz，即 dz=^4Ax + BAp.
点Po
PT4
处如连果续f .(x, V)在点Po( x 0, y°)处不连续，则 称 P0断是函数f (x, y)的间断点.
经济数学--微积分
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6.闭区域上连续函数的性质
(1) 有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的
有界函数・ (2) 最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.
域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
又
f
x
(Xo,
Vo)
= 0，
f (Xo,
Vo)
= 0，令
f
XX (X0
, V0 ) = A， f , xy (X0 V0 ) = B，f , yy (X0 V0 ) =
则C，f ( x, V )在点(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:
一 ⑴ A当CA < 0时B有2极> 大0时值有，极当值A,> 0时有极小值;
经济数学
微积分
知识总结
多元复合函数的偏导数与全微 分 （详细分析）
12.复合函数求导法则
定理 如果函数〃 =00）及卩=“0）都在点t可 导，函数z = 在对应点（払y）具有连续偏
导
数，则复合函数z = «/W）脚）］在对应点t可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz dz du dz dv
—=---1---.
（ ） 一映射为定义在D上的一个n元（实 值）函
数，记作/ : D u Rn T R 或y = f
X
= f（X”乂2,...，xn），xE D 其中X” X 2,…,
乂〃称为自变量，/称为因变量, D称为函数
定义域， D= f xx E D 称为函数
（ ） 值域，并且称Rn+1中的子集 X”X2,…,Xn,yy = f X,xE D
=A
x T x0 y T y。
(或 f (x,y) T A (p T 0)这里Q =\ PPJ \).
经济数学——微积分
经济数学
说明：
(1) 定义中p -> P0的方式是任意的；
(2) 二元函数的极限也叫二重极限lim f (x,y); x—
x0 y—
yo
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
为函数 y = f x（在D上）的图形（或图
像）。
微积分
3.多元函数的极限
定义 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其内点金边界点，如果对于任意 给 定的正数,总存在正数时使得对于适合不 等式0 v| PPo \=^l(x- xo) + (y- yo)2 v 8的_ 切点，都有\f (x,y) - A \v 成立，则称A为函 数z = f (x, y) 当x T x0，y T y0时的极限， 记为 lim f (x, y)
4.极限的运算
— 设 P Po 时，f (P) — A, f
(P) — B，则 (1)f ( P ) 土 g(P) - A 土 B; (2) f 微(积P分)・ g(P) - A ・ B;
5.多元函数的连续性
定义 设函数f (x, y)的定义域为点集
D, Po(x。,y。)是D的内点或边界点且Po e D， 如果lim f ( P ) = f (《)则称函数f ( x, y )在
经济数学——微积分
(2) 区域
连通的开集称为区域或开区域.
(3) n维空间
设〃为取定的一个正整数，我们称"元数组
(x1,x2< >xn)的全体为〃维空间，而每个〃元 数组
称为〃维空间中的一个点， 数£称为该点的爲，个 坐标.
经济数学
微积分
经济数学
2.多元函数概念
定义设D是更的一个非空子集，从D到实数集R 的任
的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算
dz dz du dz dv
= I---，
dx du dx dv dx dz dz du dz dv
=+.
dy du dy dv dy
微积分
13.全微分形式不变性
貿 无论z是自变量u、 的函数或中间变量
u、 的函数，它的全微分形式是一样的.
dz
=dv—. ddwu
就是x、y的函数，它就称为函数z = f(x,y)对 自
牛’知 变量x的偏导数， 记作半，
或厶(x
，2)・
ox ox
同理可以定义函数z = f{x.y)对自变量y的偏 导
数，记作*，孔或人3,丁).
高阶偏导数
函数z = f(X, y)的二阶偏导数为
、 ^(dz
dx dx
丿 ，丿 丿 dfdz )
|4=fxx (x, y),:dy 9
多元函数连续、可导、可微的关系
经济数学
微积分
函数可微 偏导数连续
11.全微分的应用
主要方面:近似计算与误差估计.
当|Ax|, \Ay\很小时，有
& « dz = fx ( x, y )Ax + fy ( x, y )Ay,
f (x + Ax, y + Ay)
f (x, y)+fx(x, y)寥+fy(x, y )颂.
(3) 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果
在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次.
微积分
知识总结
多元函数的偏导数与全微 分 （详细分析）
7■偏导数概念
定义设函数z = f(x,y)在点(x0,j0)的某一邻 域内有定义，当丿固定在儿而x在X。处有增量 Ax时，相应地函数有增量
+
dv
—
经济数学
微积分
14.隐函数的求导法则
⑴ F (x, y) = 0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点尸(X。J。)的
某一邻域内具有连续的偏导数，且歹(X°Jo) = O, 1(Xo5)
莉，则方程F(x,y) = 0在点P(x°』)的 某一邻域内恒
能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函 数j = /(x),它满足条件j0 = 并 /(x0), 有 虹里
同理可定义函数z = f (x, y)在点(x o, y o)处对
y 的偏导数，为
lim
Ay T
f
(x o,
y o + Ay) y o) Ay
-f
(x o,
O
记为
dz
dy
x
=
9
xo
df
, 9 dy x = x ) o y=y o
z
y
或 x = x o
f
y
x
(
o
o.
y
y=y o
=y y o
微积分
如果函数2 = 在区域与内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数
多元函数的极值
知识总结