四川省乐山市中考数学真题
2023年四川省乐山市中考数学试卷(含答案解析)045916
2023年四川省乐山市中考数学试卷试卷考试总分：148 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 下列计算正确的是（ ）A.2a +3b ＝5abB.5a −3a ＝2C.2a 2−3a ＝−aD.−2a 2b +3a 2b ＝a 2b2. 下列几何图形中，是棱锥的是( ) A. B. C. D.3. 若直线y =−x +m 与直线y =x +n 的交点坐标为(a,4)，则m+n 的值为( )A.4B.8C.4+aD.02a +3b 5ab5a −3a22−3aa 2−a −2b +3ba 2a 2b a 2y =−x+m y =x+n (a,4)m+n 484+a4. 2018年俄罗斯世界杯开幕式于6月14日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳81000名观众，其中数据81000用科学记数法表示为（ ）A.81×103B.8.1×104C.8.1×105D.0.81×1055. 在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个6. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.14B.7C.4D.3.57. 设α，β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，则αβ的值是 （ ）A.2B.1C.−2D.−18. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在格点上，2018614810008100081×1038.1×1048.1×1050.81×1052200515678ABCD AC BD O H AD ABCD 28OH14743.5α，β+2x−1=0x 2αβ21−2−15×41△ABC则sin ∠BAC 的值为( )A.45B.35C.34D.23 9. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点(−1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M =4a +2b +c ，则M 的取值范围是( )A.M <2 B.−2<M <0 C.M >−1D.−6<M <610. 已知⊙O 的半径为√3，点P 到圆心O 的距离为2，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 外B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 内D.无法确定二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）11. 不等式2x −1>5的解集为________.12. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：5×41△ABCsin ∠BAC 45353423y =a +bx+c(a ≠0)x 2(−1,0)(0,2)M =4a +2MM <2−2<M <0M >−1−6<M <6⊙O 3–√P O 2P ⊙OP ⊙OP ⊙OP ⊙O2x−1>57100数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为________． 13. 如图①，O 为直线AB 上一点，作射线OC ，使∠AOC =120∘，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O 处，一条直角边OP 在射线OA 上，将图①中的三角尺绕点O 以每秒6∘的速度按顺时针方向旋转(如图②所示)，在旋转一周的过程中第t 秒时，OP 所在直线恰好平分∠BOC ，则t 的值为________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE:EC =3:1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为_________.16. 对于抛物线y =4x −4x 2+7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为(2,−3)；③对称轴为直线x =12；④点(−2,−17)在抛物线上.其中正确的有________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17. 计算：(√3)2+|−2|−(π−2)018. 解方程组： {x −3y =7，4x −3y =10. 19. 如图1，已知AB =AC ，AB ⊥AC. 直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．(1)悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE =BD +CE ，现请你替悟空同学完成证明过程；(2)悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB =AC ，∠BAC =∠BDA =∠AEC ，则结论DE =BD +CE 还成立吗？如果成立，请证明之．1000123456789881211108981214100O AB OC ∠AOC =120∘O OP OA O 6∘t OP ∠BOC t =164ABCD E DC DE :EC =3:1AE BD F △DEF △BAFy =4x−4+7x 2(2,−3)x =12(−2,−17)(+|−2|−(π−23–√)2)0{x−3y =7，4x−3y =10.1AB =AC AB ⊥AC.m A B BD ⊥m D CE ⊥m E K(1)1DE =BD+CE(2)2AB =AC ∠BAC =∠DE =BD+CE20. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A ，B 重合的动点，PC//AB ，点M 是OP 的中点，连结AM 并延长，交PC 于点C ，连结OC ，BC ，AP ．（1）求证：四边形OBCP 是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP =________∘时，四边形AOCP 是菱形；②连结BP ，当∠ABP =________∘时，PC 时⊙O 的切线． 21. 甲种茶叶每100克的价格比乙种茶叶每100克的价格高8元，用80元买得的甲种茶叶克数等于用40元买得的乙种茶叶的克数，求甲、乙两种茶叶每100克的价格． 22. 根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：年龄x （岁）人数 男性占比x <20450%20≤x <30m 60%30≤x <402560%40≤x <50875%x >503100%(1)统计表中m 的值为________；(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x <40”部分所对应扇形的圆心角的度数为________；(3)在这50人中女性有________人；(4)若从年龄在“x <20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率． 23. 如图，直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x 相交于A(2,3)，B(m,−2)两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点C 是x 轴正半轴上一点，连接AO 、AC ，AO ＝AC ，求△AOC 的周长．DE =BD+CEAB O P A B PC//AB M OP AM PC C OC BC APOBCP∠BOP =∘AOCP BP ∠ABP =∘PC ⊙O1001008804010020206150x x <20450%20≤x <30m 60%30≤x<402560%40≤x <50875%x >503100%(1)m(2)30≤x <40(3)50(4)x <20422y x+b k 1y =k 2x A(2,3)B(m,−2)C x AO AC AO AC △AOC24. 如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB ＝80∘，求∠BOC 的度数；（2）若⊙O 的半径为13，且BC ＝10，求点O 到BC 的距离． 25. 已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，DB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，连接OD ，AC//OD ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AB 2=2AC ⋅OD ；(3)如图2，AB =√10，tan ∠ABC =13，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BC 交OD 于点F ，求EF 的长． 26. 如图，抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)经过点A(4,0),B(2,2)，连接OB ，AB ．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：△OAB 是等腰直角三角形．⊙O∠ACB 80∘∠BOC⊙O 13BC 10O BC 1AB ⊙O DB ⊙O C ⊙O OD AC//OD (1)DC ⊙O(2)A =B 22AC ⋅OD(3)2AB =10−−√tan ∠ABC =13AD ⊙O E BC OD F EF y =a +bx(a ≠0)x 2A(4,0),B(2,2)OB AB(1)(2)△OAB参考答案与试题解析2023年四川省乐山市中考数学试卷试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】合并同类项【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】认识立体图形【解析】根据棱锥的定义可以得出答案．【解答】解：根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形组成的几何体为棱锥，可知：只有D选项符合定义．故选D．3.【答案】B【考点】一次函数图象上点的坐标特征【解析】本题主要考查一次函数上点的坐标的特征．【解答】解：由题知{4=−a +m ，4=a +n ，两式相加，得m+n =8．故选B ．4.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【解答】解：81000用科学记数法表示为8.1×104.故选B.5.【答案】B【考点】用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】菱形的性质直角三角形斜边上的中线三角形中位线定理【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB ，菱形的对角线互相平分可得OB =OD ，然后判断出OH 是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH =12AB ．【解答】解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB =28÷4=7，OB =OD ，∵H 为AD 边中点，∴OH 是△ABD 的中位线，∴OH =12AB =12×7=3.5．故选D ．7.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由方程式两根之积公式x 1⋅x 2=ac ,可知x 2+2x −1=0的两根之积为α⋅β=−1.故选D.8.【答案】A【考点】解直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】解:如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90∘，∴AC =√AD 2+CD 2=√32+42=5．∴sin ∠BAC =CDAC =45．故选A ．9.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】将(−1,0)与(0,2)代入y ＝ax 2+bx +c ，可知b ＝a +2，利用对称轴可知：a >−2，从而可知M 的取值范围．【解答】解：将(−1,0)与(0,2)代入y =ax 2+bx +c ，∴0=a −b +c ，2=c ，∴b =a +2.∵−b2a >0，a <0，∴b >0，∴a >−2，∴−2<a<0，∴M=4a+2(a+2)+2=6a+6，∴−6<M<6.故选D.10.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”来求解．【解答】解：由⊙O的半径为√3，点P到圆心O的距离为2，得d>r，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外，故选：A．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）11.【答案】x>3【考点】解一元一次不等式【解析】不等式可化为2x>6，利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以2，不等号的方向不变．【解答】解：不等式2x−1>5，2x>5+1，2x>6，解得x>3.故答案为：x>3.9【考点】众数【解析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【解答】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多，所以众数为9．故答案为：9．13.【答案】25或55【考点】角平分线的定义【解析】如图1，如图2，根据平角的定义得到∠BOC =60∘，根据角平分线定义得到结论．【解答】解：∵∠AOC =120∘，∴∠BOC =60∘.∵OP 平分∠BOC ，∴∠BOP =12∠BOC =30∘，或∠BOP =180∘+30∘=210∘，∴t =120∘+30∘6∘=25，或t =180∘+30∘+120∘6∘=55．故t 的值为25或55．故答案为：25或55．14.【答案】幂的乘方与积的乘方【解析】利用幂的乘方求解.【解答】解：1634=(24)34=23=8.故答案为：815.【答案】9:16【考点】平行四边形的性质相似三角形的性质与判定【解析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC//AB ，∴△DFE ∼△BFA.∵DE:EC =3:1，∴DE:DC =3:4，∴DE:AB =3:4，∴S △DFE :S △BFA =9:16．故答案为：9:16.16.【答案】③④【考点】二次函数的性质抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】①根据二次项系数的符号即可判断出抛物线的开口方向；②根据x =−b2a 便可求出对称轴方程；③将②中对称轴方程横坐标代入解析式即可求出点的纵坐标，从而得到顶点坐标；④将点(−12,−9)代入抛物线解析式，若等式成立则点在抛物线上，否则点不在抛物线上；⑤根据抛物线交点个数与根的判别式的关系，求出△的值即可判断．【解答】解：∵y =4x −4x 2+7中，二次项系数−4<0，∴抛物线开口向下，故①错误；∵a =−4，b =4，c =7，∴对称轴为x =−42×−4=12，故③正确，②错误；将x =−2代入解析式得y =−8−16+7=−17，故④正确.故答案为：③④．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17.【答案】原式＝3+2−1＝4．【考点】实数的运算零指数幂【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝3+2−1＝4．18.【答案】解：{x −3y =7，①4x −3y =10，②所以方程组的解为{x=1，y=−2.【考点】加减消元法解二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：{x−3y=7，①4x−3y=10，②②−①得3x=3，x=1，把x=1代入方程①，解得y=−2，所以方程组的解为{x=1，y=−2.19.【答案】(1)证明：在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+DA=BD+CE．(2)解：成立．理由如下：∵∠BAC+∠BAD+∠EAC=180∘，∠ADB+∠BAD+∠ABD=180∘，∠BAC=∠BDA，∴∠ABD=∠EAC，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴ DE=AE+DA=BD+CE．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】【解答】(1)证明：在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+DA=BD+CE．(2)解：成立．理由如下：∵∠BAC+∠BAD+∠EAC=180∘，∠ADB+∠BAD+∠ABD=180∘，∠BAC=∠BDA，∴∠ABD=∠EAC，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴ DE=AE+DA=BD+CE．20.【答案】（1）证明：点M是OP的中点，∴OM=PM．∵PC//AB，∴∠AOM=∠CPM．在△AOM和△CPM中，{∠AOM=∠CPM,OM=PM,∠AMO=∠CMP,∴△AOM≅△CPM，∴PC=OA．∵OA=OB，∴PC=OB．又∵PC//OB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）①120,②45矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：点M是OP的中点，∴OM=PM．∵PC//AB，∴∠AOM=∠CPM．在△AOM和△CPM中，{∠AOM=∠CPM,OM=PM,∠AMO=∠CMP,∴△AOM≅△CPM，∴PC=OA．∵OA=OB，∴PC=OB．又∵PC//OB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，∴AO=AP，又∵AO=OP，∴△AOP是等边三角形，∴∠AOP=60∘，∴∠BOP=120∘．②∵PC//OB，∴∠CPB=∠OBP，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠OPB=∠BPC．∵PC是⊙O的切线，∴∠OPC=90∘∴∠ABP=∠OPB=45∘．21.【答案】解：设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是(x−8) 元，由题意，得80x=40x−8,解得x=16，经检验， x=16是原分式方程的解，且符合题意，所以16−8=8.分式方程的应用【解析】设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是 (x−8) 元，等量关系为：用80元买得的甲种茶叶的克数=用40元买得的乙种茶叶的克数；根据等量关系列出方程80x=40x−8，求出x的值，再检验即可．【解答】解：设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是(x−8) 元，由题意，得80x=40x−8,解得x=16，经检验， x=16是原分式方程的解，且符合题意，所以16−8=8.答：甲种茶叶每100克的价格是16元，乙种茶叶每100克的价格是8元．22.【答案】10180∘18(4)设两名男性用A1,A2表示，两名女性用B1B2表示，根据题意：列表：由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故P（恰好抽到2名男性）=212=16.【考点】统计表扇形统计图列表法与树状图法【解析】(1)用50−4−25−8−3可求出m的值；(3)分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；（4）年龄在“x <20的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A 1,A 2表示男性，用B 1,B 2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可．【解答】解：(1)m =50−4−25−8−3=10，故答案为：10.(2)360∘×2550=180∘，故答案为：180∘.(3)在这50人中女性人数为：4×(1−50%)+10×(1−60%)+25×(1−60%)+8×(1−75%)+3×(1−100%)=2+4+10+2+0=18，故答案为：18.(4)设两名男性用A 1,A 2表示，两名女性用B 1B 2表示，根据题意：列表：由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故P （恰好抽到2名男性）=212=16.23.【答案】把A(2,3)代入y =k 2x ，得k 2＝2×3＝6，∴双曲线的解析式为y =6x ，∵B(m,−2)在双曲线上，∴−2=6m ，解得，m ＝−3，∴B(−3,−2)．把A(2,3)、B(−3,−2)代入y ＝k 1x +b ，得{2k 1+b =3−3k 1+b =−2 ，解得{k 1=1b =1 ，∴直线的解析式为：y ＝x +1．如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，∵AO ＝AC ，∴OE ＝EC ，∴OC ＝2OE ＝4，√OE2+AE2=√22+32=√13，∴AO＝AC=∴△AOC的周长为4+2√13．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）先把A(2,3)代入y=k2x，求出双曲线的解析式，再利用A，B的坐标求出直线的解析式；（2）过点A作AE⊥OC于点E，根据等腰三角形的性质得出OC＝2OE＝4，再利用勾股定理求√OE2+AE2=√13，进而得到△AOC的周长．出AO＝AC=【解答】把A(2,3)代入y=k2x，得k2＝2×3＝6，∴双曲线的解析式为y=6x，∵B(m,−2)在双曲线上，∴−2=6m，解得，m＝−3，∴B(−3,−2)．把A(2,3)、B(−3,−2)代入y＝k1x+b，{2k1+b=3−3k1+b=−2 ，解得{k1=1b=1 ，得∴直线的解析式为：y＝x+1．如图，过点A作AE⊥OC于点E，∵AO＝AC，∴OE＝EC，∴OC＝2OE＝4，∵AE＝3，√OE2+AE2=√22+32=√13，∴AO＝AC=∴△AOC的周长为4+2√13．24.【答案】∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80∘，∴∠A＝180∘−80∘−80∘＝20∘，∴∠BOC＝2∠A＝40∘；作OH⊥BC于H，如图BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝，即点O到BC的距离为12．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答25.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA.∵AC//OD ，∴∠A =∠BOD ，∠ACO =∠COD ，∴∠COD =∠BOD ，∴△COD ≅△BOD(SAS)，∴∠OCD =∠OBD.∵DB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠OBD =90∘，∴∠OCD =∠OBD =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：连接BC ，如图1，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90∘.∵∠A =∠BOD ，∠ACB =∠OBD ，∴△ABC ∽△ODB ，∴ABOD =ACOB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅OB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅12AB ，∴AB 2=2AC ⋅DO.(3)解：如图2，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =∠ACB =90∘.∵∠ABD =90∘，∴△BDE ∽△ADB ，∴BDDE =ADBD ，∴BD 2=DE ⋅AD.∵AC//OD ，∴OD ⊥BC ，∴△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，∴BF 2=OF ⋅DF ，BD 2=DF ⋅DO.∵AB =√10，tan ∠ABC =ACBC =13，∴BC =3AC ，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴9AC 2+AC 2=10，∴AC =1，BC =3，∴OB =√102，BF =32，OF =12，∴DB =3√102，AD =√1302，DF =92，∵DF ⋅DO =DE ⋅AD ，∴DFAD =DEDO .∵∠EDF =∠ODA ，∴△DEF ∽△DOA ，∴DFAD =EFOA ，∴EF =DF ⋅OAAD =9√1326.【考点】圆的综合题切线的判定相似三角形的判定相似三角形的性质与判定【解析】（1）先判断出∠COD ＝∠BOD ，再判断出∠OBD ＝90∘，进而得出△COD ≅△BOD(SAS)，即可得出结论；（2）先判断出△ABC ∽△ODB ，得出AC ⋅OD ＝AB ⋅OB ，即可得出结论；（3）先判断出BD 2＝DE ⋅DA ，再判断出△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，得出BF 2＝OF ⋅DF ，BD 2＝DF ⋅DO ，进而求出AC ＝1，BC ＝3，进而判断出DF ⋅DO ＝DE ⋅DA ，即可判断出△DEF ∽△DOA ，即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA.∵AC//OD ，∴∠A =∠BOD ，∠ACO =∠COD ，∴∠COD =∠BOD ，∴△COD ≅△BOD(SAS)，∴∠OCD =∠OBD.∵DB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠OBD =90∘，∴∠OCD =∠OBD =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：连接BC ，如图1，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90∘.∵∠A =∠BOD ，∠ACB =∠OBD ，∴△ABC ∽△ODB ，∴ABOD =ACOB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅OB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅12AB ，∴AB 2=2AC ⋅DO.(3)解：如图2，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =∠ACB =90∘.∵∠ABD =90∘，∴△BDE ∽△ADB ，∴BDDE =ADBD ，∴BD 2=DE ⋅AD.∵AC//OD ，∴OD ⊥BC ，∴△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，∴BF 2=OF ⋅DF ，BD 2=DF ⋅DO.∵AB =√10，tan ∠ABC =ACBC =13，∴BC =3AC ，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴9AC 2+AC 2=10，∴AC =1，BC =3，∴OB =√102，BF =32，OF =12，∴DB =3√102，AD =√1302，DF =92，∵DF ⋅DO =DE ⋅AD ，∴DFAD =DEDO .∵∠EDF =∠ODA ，∴△DEF ∽△DOA ，∴DFAD =EFOA ，∴EF =DF ⋅OAAD =9√1326.26.【答案】(1)解：由题意，得{16a +4b =04a +2b =2.’解得 {a =−12b =2.∴该抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．(2)证明：如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．∵点A(4,0),B(2,2)，∴OC =BC =AC =2，∴∠BOC =∠OBC =∠BAC=∠ABC =45∘，∴∠OBA =90∘,OB =AB ，∴△OAB是等腰直角三角形．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题意，得{16a +4b =04a +2b =2.’解得 {a =−12b =2.∴该抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．(2)证明：如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．∵点A(4,0),B(2,2)，∴OC =BC =AC =2，∴∠BOC =∠OBC =∠BAC=∠ABC =45∘，∴∠OBA =90∘,OB =AB ，∴△OAB是等腰直角三角形．。
乐山数学中考试题及答案
乐山数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.33333...D. 1/3答案：B2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 14D. 16答案：B3. 如果一个二次函数的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，那么这个函数的解析式可能是？A. y = (x-1)^2 - 2B. y = -(x-1)^2 - 2C. y = (x-1)^2 + 2D. y = -(x-1)^2 + 2答案：B4. 已知一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A6. 一个角的补角是120°，那么这个角是多少度？A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°答案：A7. 一个等差数列的前三项分别是1，3，5，那么这个数列的第10项是多少？A. 19B. 21C. 23D. 25答案：A8. 一个正比例函数的图像经过点(2, 6)，那么这个函数的解析式可能是？A. y = 3xB. y = 2xC. y = 4xD. y = 6x答案：A9. 一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:5，那么这个三角形的三个内角分别是多少度？A. 30°，60°，90°B. 40°，60°，80°C. 50°，75°，105°D. 60°，80°，100°答案：C10. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 3D. 0答案：A 和 B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是________。
2022年四川乐山中考数学真题及答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S△ADE=S△ABE= ，
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO= ，
设点D(x，y) ，
∴S△ADO= OA×AD= xy= ，
∴k=xy=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE=S△ABE是解题的关键．
所以原不等式组解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
19. 如图，B是线段AC的中点， ，求证： ．
【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
故答案为：24．
【点睛】本题考查的知识点是菱形的面积公式，掌握求菱形面积的方法是解此题的关键．
14. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得 的值，进而代入代数式即可求解．
3. 点 所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．
四川省乐山市2022年中考[数学]考试真题与答案解析
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四川省乐山市2022年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1. 下面四个数中，比0小的数是（）A. -2B. 1C.D. π答案：A答案解析：解：，故选：A ．201π-<<<< 2. 以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.答案：D答案解析：A.不是轴对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，故B 错误；C.不是轴对称图形，故C 错误；D.是轴对称图形，故D 正确．故选：D ．3. 点所在象限是（）(1,2)P -A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B答案解析：解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．故选：B ．4. 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ）A. B. C. D. 14132334答案：A 答案解析：解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是．616184P ==+故选：A ．5. 关于x 的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（）2320x x m -+=1x =A. B. C. 1 D. 132313-答案：D答案解析：解：关于x 的一元二次方程有两根，其中一根为， 2320x x m -+=1x =设另一根为，则，2x 223x x +=，，故选：D 213x ∴=-213xx ∴=-6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）A. 88B. 90C. 91D. 92答案：C 答案解析：解：故选C9030%9260%8810%x =⨯+⨯+⨯91=7. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF 的长为（ ）A. 4B. 3C.D. 252答案：B答案解析：解：∵DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴S 平行四边形ABCD =DE×AB=2××AC×BF ，12∴4×6=2××8×BF ，12∴BF=3，故选：B ．8. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少答案：D 答案解析：A 项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A 项正确；B 项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B 正确；C 项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C 项正确；D 项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D 项错误；故选：D ．9. 如图，在中，，，点D 是AC 上一点，连接BD ．若Rt ABC 90C ∠=︒BC =，，则CD 的长为（ ）1tan 2A ∠=1tan 3ABD ∠=A. B. 3 C. D. 2答案：C答案解析：解：在中，，，Rt ABC 90C ∠=︒BC =∴1tan 2BC A AC ∠==∴2AC BC ==由勾股定理得,5AB ===过点D 作于点E ，如图，DE AB ⊥∵，，∴ ∴ 1tan 2A ∠=1tan 3ABD ∠=11,,23DE DE AE BE ==11,,23DE AE DE BE ==∴ 1123AE BE =∴ 32BE AE =∵5,AE BE +=∴ 352AE AE +=∴2,AE =∴,1DE =在中,Rt ADE ∆222AD AE DE =+∴AD ===∵ ∴故选：CAD CD AC +==CD AC AD =-==10. 如图，等腰△ABC 的面积为AB=AC ，BC=2．作AE ∥BC 且AE=BC ．点P 是线12段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）A. B. 3 C. D. 4答案：D答案解析：解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接CE ，∵AB=AC ，∴BD=DC=BC=1，12∵AE=BC ，∴AE=DC=1，12∵AE ∥BC ，∴四边形AECD 是矩形，∴S △ABC =BC×AD=，1212∴当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∵BC=2，，由勾股定理得BE=4，cos ∠EBC=，即，BC BE BE BF =244BF =∴BF=8，∵点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点，∴MN=BF=4，12∴点M 的运动路径长为4，故选：D ．二、填空题11. |－6|＝______．答案：6答案解析：，故答案为6．|66|=－12. 如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______．答案：40°##40度答案解析：解：∵a ∥b ，∴∠1=∠3=50°，∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．13. 已知菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为ABCD O 8AC cm =6BD cm =__________．2cm 答案：24答案解析：解：由题意得：211=862422S AC BD cm ⨯⨯=⨯⨯=菱形故答案为：24．14. 已知，则______．221062m n m n ++=-m n -=答案：4答案解析：解：，，221062m n m n ++=-2210620m n m n +-+∴+=即，，()()22310m n -++=3,1m n ∴==-，故答案为：．()314m n ∴-=--=415. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．答案：5答案解析：解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，∵“优美矩形”ABCD 的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b ，c=a+b ，d=a+c ，∴c=3b ，则b=c ，13∴d=2b+c=c ，则c=d ，∴4d+ d =26，∴d=5，533565∴正方形d 的边长为5，故答案为：5．16. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y=(k>0)上，且AD ⊥x 轴，CA k x的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =，则k=______．32答案：3答案解析：解：连接OD 、DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点B 、点D 到对角线AC 的距离相等，∴S △ADE = S △ABE =，32∵AD ⊥x 轴，∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO =，32设点D(x ，y) ，∴S △ADO =OA×AD=xy=，121232∴k=xy=3．故答案为：3．三、解答题17. 1sin 302-︒-答案：3答案解析：解：原式．113322=+-=18. 解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．答案：；；见详解；2x >-3x ≤23x -<≤答案解析：解：解不等式①，得，2x >-解不等式②，得，3x ≤把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：．23x -<≤19. 如图，B 是线段AC 的中点，，求证：．,AD BE BD CE ∥∥ABD BCE △≌△答案：证明过程见详解答案解析：证明∵B 是AC 中点，∴AB=BC ，∵，AD BE ∥∴∠A=∠EBC ，∵，BD EC ∥∴∠DBA=∠C ，在△ABD 和△BCE 中，，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△BCE(ASA)．20. 先化简，再求值：，其中．211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x =答案：1x +1+答案解析：21(1-121x x x x ÷+++21121(-)11x x x x x x +++=⨯++211(1)1x x x x+-+=⨯+，1x=+∵，x∴原式=．11x +=+21. 第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．答案：摩托车的速度为40千米/时答案解析：解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，依题意，得：，2020101.560x x -=解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．22. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A ．文学鉴赏，B ．越味数学，C ．川行历史，D ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序______．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A ．随机抽取八年级三班的40名学生B ．随机抽取八年级40名男生C ．随机抽取八年级40名女生D ．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．答案：（1）①③②④ （2）D（3）估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【小问1详解】解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．故答案为：①③②④；【小问2详解】解：取样方法中，合理的是：D ．随机抽取八年级40名学生，故选：D ；【小问3详解】解：1000名学生选择B ．越味数学的人数有：1000×=200（名），840200÷40=5(个)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．23. 如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l ′经k x 过点A ，且与l 关于直线x=−1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．答案：（1）反比例函数的解析式为y=； 3x（2）图中阴影部分的面积为7．【小问1详解】解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，∴点A 的坐标为(-1，3)，∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)，k x∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=；3x-【小问2详解】解：∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x=−1对称，∴设直线l ′的解析式为y=-x+m ，把A(-1，3)代入得3=1+m ，解得m=2，∴直线l ′的解析式为y=-x+2，直线1：y=x+4与x 轴的交点坐标为B(-4，0)，直线l ′：y=-x+2与x 轴的交点坐标为C(2，0)，与y 轴的交点坐标为D(0，2)，∴图中阴影部分的面积=S △ABC - S △OCD =×6×3-×2×2=9-2=7．1212．24. 如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，=，过点D 作DF ⊥AC ，垂 CDDE 足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG=DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，，延长AC 至点B ，使．求证：BD 是⊙O 3sin 5ACE ∠=4BC =的切线．答案：（1）见解析（2）见解析证明：连接AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，∵DF ⊥AC ，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF ，∵=，∴∠DCE=∠DAC ，∴∠DCE=∠FDC ，∴CG=DG ； CDDE 【小问2详解】证明：连接OD ，设OD 与CE 相交于点H ，∵=， CDDE ∴OD ⊥EC ，∵DF ⊥AC ，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE ，∵，3sin 5ACE ∠=∴sin ∠ODF=sin ∠OCH=，即=，35OF OH OD OC =35∴OF=，185由勾股定理得DF=，FC=OC-OF=，245125∴FB= FC+BC=，325由勾股定理得DB==8，405∴sin ∠B==，2458DF BD =35∴∠B=∠ACE ，∴BD ∥CE ，∵OD ⊥EC ，∴OD ⊥BD ，∵OD 是半径，∴BD 是⊙O 的切线．25. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．EG FH ⊥EG FH（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，，，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB m =BC n =AB 、BC 、CD 、DA 上，且．则______．EG FH ⊥EG FH=（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，，，，点E 、90DAB ∠=︒60ABC ∠=︒AB BC =F 分别在线段AB 、AD 上，且．求的值．CE BF ⊥CE BF答案：（1）1；证明见解析（2） （3n m 【小问1详解】，理由为：1EG FH =过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴；1EG FH【小问2详解】解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴，AM AB AN AD=∵，，AM ＝HF ，AN ＝EG ，AB m =BC AD n ==∴，HF m EG n=∴；EG n FH m =故答案为：n m【小问3详解】解：∵，，60ABC ∠=︒AB BC =∴是等边三角形，ABC ∆∴设，AB BC AC a ===过点，垂足为，交于点，则，CN AB ⊥N BF M 12AN BN a ==在中，，Rt BCN∆CN ===∵，，CN AB ⊥CE BF ⊥∴，，90ABF BMN ∠+∠=︒90ECN CMF ∠+∠=︒又∵，CMF BMN ∠=∠∴，ABF ECN ∠=∠∵，，CN AB ⊥90DAB ∠=︒∴，90DAB CNE ∠=∠=︒∴，NCE ABF ∆∆∽∴，即．CE CN BFAB=CE BF ==26. 如图1，已知二次函数的图象与x 轴交于点、，与y()20y ax bx c a =++>()1,0A -()2,0B 轴交于点C ，且．tan 2OAC ∠=（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的CD x ∥一个动点，连接PB 、PC ，若，求点P 的坐标；PBC BCD S S =△△（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示的值，并求的最大值．PQ OQ PQ OQ答案：（1）；22y x x =--（2）P （）或（）； （3）12【小问1详解】∵A （-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan ∠OAC=，2OC OA=∴OC=2OA=2即点C 的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a （x+1）（x-2），将C 点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；22x x --【小问2详解】设点P （a ，），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，22a a --∵B （2，0），C （0，-2），∴直线BC 的解析式为：y=x-2，∴当时，x=y+2=，∴PE==，∴S △PBC =PE·OC ，22y a a =--2a a -2a a a --22a a -12∵抛物线的对称轴为y=，CD ∥x 轴，C （0，-2），12∴点D （1，-2），∴CD=1，∴S △BCD =CD·OC ，∴PE·OC=CD·OC ，121212∴a 2-2a=1，解得a 1（舍去），a 2；当时，y=22a a --∴P （，），如图，当点P 在第一象限时，作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于F ，∴F （a ，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S △PBC =PF·OB=CD·OC ，22a a --22a a -1212∴=1，22a a -解得a 1，a 2（舍去）；当时，y=，∴P （），22a a --综上所述，P 点坐标为（）或（；【小问3详解】如图，作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，由题意可知，P （t ，），M （t ，t-2），22t t --∴PM=（t-2）-（）=-，22t t --22t t +又∵PN ∥OC ，∴△PQM ∽△OQC ，∴+，2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--12∴当t=1时，()最大=．PQ OQ 12。
(中考精品卷)四川省乐山市中考数学真题(原卷版)
乐山市2022年初中学业水平考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题1. 下面四个数中，比0小的数是（ ）A. -2B. 1C. D. π 2. 以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 点(1,2)P -所在象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 23 D. 345. 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A. 13 B. 23 C. 1 D. 13- 6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）A. 88B. 90C. 91D. 92是7. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A. 4B. 3C. 52D. 2 8. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少9. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，点D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）AB. 3D. 2 10. 如图，等腰△ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF的.中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）A. B. 3C. D. 4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11 |－6|＝______． 12. 如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．13. 已知菱形ABCD O ，8AC cm =，6BD cm =，则菱形的面积为__________2cm ．14. 已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．15. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．16. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =k x(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA.的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =32，则k =______．三、解答题17. 1sin 302-︒+18. 解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．19. 如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．20. 先化简，再求值：211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =． 21. 第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．的22. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序______．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．23. 如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．24. 如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上， CD= DE ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG =DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是⊙O 的切线．25. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH的值，并证明你的猜想． 在（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CE BF的值．26. 如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值。
2022年四川省乐山市中考数学试卷(解析版)
2022年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下面四个数中，比0小的数是()A．2-B．1C D．π【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．π>>>>-，【解答】解：102∴比0小的数是2-．故选：A．2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．3．（3分）点(1,2)P-在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：(1,2)-，纵坐标为：2，P-，横坐标为1P ∴点在第二象限．故选：B ．4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是()A ．14B ．13C ．23D ．34【分析】根据题意，可知存在61824+=种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．【解答】解： 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是661186244==+，故选：A ．5．（3分）关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为()A ．13B ．23C ．1D ．13-【分析】直接把1x =代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解： 方程的其中一个根是1，320m ∴-+=，解得1m =-， 两根的积为3m ，∴两根的积为13-，故选：D ．6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为()A ．88B ．90C ．91D ．92【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．【解答】解：李老师的综合成绩为：9030%9260%8810%91⨯+⨯+⨯=（分)；故选：C ．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过点B 作BF AC ⊥，垂足为F ．若6AB =，8AC =，4DE =，则BF 的长为()A ．4B ．3C ．52D ．2【分析】根据平行四边形的性质可得12ABC ABCDS S∆=平行四边形，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，12ABC ABCD S S ∆=平行四边形，DE AB ⊥ ，BF AC ⊥，∴1122AC BF AB DE ⋅=⨯⋅，6AB = ，8AC =，4DE =，864BF ∴=⨯，解得3BF =，故选：B ．8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是()A ．前10分钟，甲比乙的速度慢B ．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C ．甲的平均速度为0.08千米/分钟D ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少【分析】观察函数图象，逐项判断即可．【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8100.08÷=（千米/分），乙的速度是1.2100.12÷=（千米/分），∴甲比乙的速度慢，故A 正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B 正确，不符合题意； 甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2400.08÷=（千米/分钟），故C 正确，不符合题意； 经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D 错误，符合题意；故选：D ．9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC =，点D 是AC 上一点，连结BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为()A ．B ．3CD ．2【分析】过D 点作DE AB ⊥于E ，由锐角三角函数的定义可得5DE AB =，再解直角三角形可求得AC 的长，利用勾股定理可求解AB 的长，进而求解AD 的长．【解答】解：过D 点作DE AB ⊥于E ，1tan 2DE A AE ∠== ，1tan 3DE ABD BE ∠==，2AE DE ∴=，2BE DE =，235DE DE DE AB ∴+==，在Rt ABC ∆中，1tan 2A ∠=，BC =，∴512BC AC AC ==，解得AC =5AB ∴==，1DE ∴=，2AE ∴=，AD ∴==，CD AC AD ∴=-=，故选：C ．10．（3分）如图，等腰ABC ∆的面积为，AB AC =，2BC =．作//AE BC 且12AE BC =．点P 是线段AB 上一动点，连结PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为()A B ．3C ．D ．4【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ．当点P 与A 重合时，点F 与C 重合，当点P 与B 重合时，点F 的对应点为F ''，点M 的运动轨迹是ECF ∆''的中位线，12M M CF '''=''，利用相似三角形的性质求出CF ''可得结论．【解答】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ．当点P 与A 重合时，点F 与C 重合，当点P 与B 重合时，点F 的对应点为F ''，点M 的运动轨迹是ECF ∆''的中位线，12M M CF '''=''，AB AC = ，AH BC ⊥，BH CH ∴=，//AE BC ，12AE BC =，AE CH ∴=，∴四边形AHCE 是平行四边形，90AHC ∠=︒ ，∴四边形AHCE 是矩形，EC BF ∴⊥''，AH EC =，2BC = ，ABC S ∆=∴122AH ⨯⨯=AH EC ∴==，BFF ECB ECF ∠''=∠=∠'' ，90BEC CEF ∴∠+∠''=︒，90CEF F ∠''+∠''=︒，BEC F ∴∠=∠''，ECB ∴∆∽△F CE ''，2EC CB CF ∴=⋅''，262CF ∴''==，3M M ∴'''=故选：B ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）|6|-=6．【分析】根据绝对值的化简，由60-<，可得|6|(6)6-=--=，即得答案．【解答】解：60-<，则|6|(6)6-=--=，故答案为6．12．（3分）如图，已知直线//a b ，90BAC ∠=︒，150∠=︒．则2∠=40︒．【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出ACB ∠，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，150∠=︒，则905040ACB ∠=︒-︒=︒，//a b ，240ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：40︒．13．（3分）已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8cm 和6cm ．则菱形的面积为242cm ．【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．【解答】解： 菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8cm 和6cm ，∴菱形的面积是28624()2cm ⨯=，故答案为：24．14．（3分）已知221062m n m n ++=-，则m n -=4．【分析】根据完全平方公式得出m 和n 的值即可得出结论．【解答】解：221062m n m n ++=- ，2269210m m n n ∴-++++=，即22(3)(1)0m n -++=，3m ∴=，1n =-，4m n ∴-=，故答案为：4．15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为5．【分析】设正方形b 的边长为x ，则正方形a 的边长为2x ，正方形c 的边长为3x ，正方形d 的边长为5x ，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，再将其代入5x 中即可求出结论．【解答】解：设正方形b 的边长为x ，则正方形a 的边长为2x ，正方形c 的边长为3x ，正方形d 的边长为5x ，依题意得：(355)226x x x ++⨯=，解得：1x =，5515x ∴=⨯=，即正方形d 的边长为5．故答案为：5．16．（3分）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在(0)ky k x=>上，且AD x ⊥轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若32ABE S ∆=，则k =3．【分析】连接DE 、OD ，根据平行四边形的性质得到//AD BC ，根据三角形的面积公式得到ODE EBC S S ∆∆=，ADE ABC S S ∆∆=，进而求出OAD S ∆，根据反比例函数系数k 的几何意义解答即可．【解答】解：设BC 与x 轴交于点F ，连接DF 、OD ， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，ODF EBC S S ∆∆∴=，ADF ABC S S ∆∆=，32OAD ABE S S ∆∆∴==，3k ∴=，故答案为：3．三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）1sin 302-︒+-．【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．【解答】解：原式11322=+-3=．18．（9分）解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得2x >-．解不等式②，得．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得2x >-．解不等式②，得3x ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为23x -<，故答案为：2x >-，3x ，23x -<．19．（9分）如图，B 是线段AC 的中点，//AD BE ，//BD CE ．求证：ABD BCE ∆≅∆．【分析】根据ASA 判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明： 点B 为线段AC 的中点，AB BC ∴=，//AD BE ，A EBC ∴∠=∠，//BD CE ，C DBA ∴∠=∠，在ABD ∆与BCE ∆中，A EBC AB BCDBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABD BCE ∴∆≅∆．()ASA ．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）先化简，再求值：21(1121xx x x -÷+++，其中x =【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：21(1121x x x x -÷+++211(1)1x x x x+-+=⋅+2(1)1x x x x+=⋅+1x =+，当x =时，原式1=+．21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，依题意，得：2020101.560x x -=，解得：40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为40千米/小时．22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A ．文学鉴赏，B ．趣味数学，C ．川行历史，D ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序①③②④．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是．A ．随机抽取八年级三班的40名学生B ．随机抽取八年级40名男生C ．随机抽取八年级40名女生D ．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；（2）根据抽样调查的特点解答即可；（3）根据样本估计总体思想解答即可．【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，故答案为：①③②④；（2）根据抽样调查的特点易判断出：D ，故答案为：D ；（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：8100020040⨯=（人)，200405÷=，答：至少应该开设5个班．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）如图，已知直线:4l y x =+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点(1,)A n -，直线l '经过点A ，且与l 关于直线1x =-对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）将A 点坐标代入直线l 解析式，求出n 的值，确定A 点坐标，再代入反比例函数解析式即可；（2）通过已知条件求出直线l '解析式，用BOC ∆的面积ACD -∆的面积解答即可．【解答】解： 点(1,)A n -在直线:4l y x =+上，143n ∴=-+=，(1,3)A ∴-，点A 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，3k ∴=-，∴反比例函数的解析式为3y x=-；（2）易知直线:4l y x =+与x 、y 轴的交点分别为(4,0)B -，(0,4)C ，直线l '经过点A ，且与l 关于直线1x =-对称，∴直线l '与x 轴的交点为(2,0)E ，设:l y kx b '=+，则302k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，:2l y x ∴'=-+，l ∴'与y 轴的交点为(0,2)D ，∴阴影部分的面积BOC =∆的面积ACD -∆的面积114421722=⨯⨯-⨯⨯=．24．（10分）如图，线段AC 为O 的直径，点D 、E 在O 上， CDDE =，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG DG =；（2）已知O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是O 的切线．【分析】（1）证明CDG DCG ∠=∠可得结论；（2）证明COH BOD ∆∆∽可得90BDO ∠=︒，从而得结论．【解答】证明：（1）连接AD ，线段AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，90ADF CDG ∴∠+∠=︒，DF BC ⊥ ，90DFA DAF ADF ∴∠=∠+∠=︒，CDG DAF ∴∠=∠，CDDE =，DAF DCG ∴∠=∠，CDG DCG ∴∠=∠，CG DG ∴=；（2）连接OD ，交CE 于H ，CDDE =，OD EC ∴⊥，3sin 5OH ACE OC ∠== ，4BC = ，6OD OC ==，∴63645OD OB ==+，∴OH OD OC OB=，COH BOD ∠=∠ ，COH BOD ∴∆∆∽，90BDO CHO ∴∠=∠=︒，OD BD ∴⊥，OD 是O 的半径，BD ∴是O 的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，四边形ABCD 是正方形，90B DCF ∴∠=∠=︒，BC CD =．90BCE DCE ∴∠+∠=︒，CE DF ⊥ ，90COD ∴∠=︒．90CDF DCE∴∠+∠=︒．CDF BCE∴∠=∠，CBE DFC∴∆≅∆．CE DF∴=．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB m=，BC n=，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．则EGFH=n m．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，90DAB∠=︒，60ABC∠=︒，AB BC=，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE BF⊥．求CEBF的值．【分析】（1）过点A作//AM HF交BC于点M，作//AN EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB AD=，90ABM BAD ADN∠=∠=∠=︒求证ABM ADN∆≅∆即可；（2）过点A作//AM HF交BC于点M，作//AN EC交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD 中，BC AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒求证ABM ADN ∆∆∽．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C 作CM AB ⊥于点M ．设CE 交BF 于点O ．证明CME BAF ∆∆∽，推出CE CM BF AB=，可得结论．【解答】解：（1）结论：1EG FH =．理由：如图1中，过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ，AM HF ∴=，AN BC =，在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒，EG FH ⊥ ，90NAM ∴∠=︒，BAM DAN ∴∠=∠，在ABM ∆和ADN ∆中，BAM DAN ∠=∠，AB AD =，ABM ADN ∠=∠，()ABM ADN ASA ∴∆≅∆，AM AN ∴=，即EG FH =，∴1EG FH=；（2）如图2中，过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EC 交CD 的延长线于点N ，AM HF ∴=，AN EC =，在长方形ABCD中，BC AD=，90ABM BAD ADN∠=∠=∠=︒，EG FH⊥，90NAM∴∠=︒，BAM DAN∴∠=∠．ABM ADN∴∆∆∽．∴AM AB AN AD=，AB m=，BC AD n==，∴EG n FH m=．故答案为：n m；（3）如图3中，过点C作CM AB⊥于点M．设CE交BF于点O．CM AB⊥，90CME∴∠=︒，1290∴∠+∠=︒，CE BF⊥，90BOE∴∠=︒，2390∴∠+∠=︒，13∴∠=∠，CME BAF∴∆∆∽，∴CE CM BF AB=，AB BC=，60ABC∠=︒，∴3sin602 CE CMBF BC==︒=．26．（13分）如图1，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点(1,0)A -、(2,0)B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作//CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连结PB 、PC ，若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连结OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ 的最大值．【分析】（1）在Rt AOC ∆中求出OC 的长，从而确定点C 坐标，将二次函数设为交点式，将点C 坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情形．当点P 在第三象限时，设点2(,2)P a a a --，可表示出BCD ∆的面积，当点P 在第三象限时，作//PE AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得出E 点坐标，从而表示出PBC ∆的面积，根据PBC BCD S S ∆∆=，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN AB ⊥于N ，交BC 于M ，根据2(,2)P t t t --，(,2)M t t -，表示出PM 的长，根据//PN OC ，得出PQM OQC ∆∆∽，从而得出PQ PM OQ OC =，从而得出PQ OQ的函数表达式，进一步求得结果．【解答】解：（1）(1,0)A - ，1OA ∴=，90AOC ∠=︒ ，tan 2OC OAC OA ∴∠==，22OC OA ∴==，∴点(0,3)C -，设二次函数的解析式为：(1)(2)y a x x =+⋅-，1(2)2a ∴⋅⨯-=-，1a ∴=，2(1)(2)2y x x x x ∴=+⋅-=--；（2）设点2(,2)P a a a --，如图1，当点P 在第三象限时，作//PE AB 交BC 于E ，(2,0)B ，(0,2)C -，∴直线BC 的解析式为：2y x =-，∴当22y a a =--时，22x y a a =+=-，222PE a a a a a ∴=--=-，12PBC S PE OC ∆∴=⋅， 抛物线的对称轴为直线12y =，//CD x 轴，(0,2)C -，∴点(1,2)D -，1CD ∴=，12BCD S CD OC ∆∴=⋅，∴1122PE OC CD OC ⋅=⋅，221a a ∴-=，11a ∴=（舍去），21a =当1x =-时，221y a a a =--=-=(1P ∴-，，如图2，当点P 在第一象限时，作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F ，(,2)F a a ∴-22(2)(2)2PF a a a a a ∴=----=-，1122PBC S PF OB CD OC ∆∴=⋅=⋅，221a a ∴-=，11a ∴=，21a =-，当1a =22222112y a a a a a =--=-+-=++=(1P ∴+，综上所述：(1P +或(1，；（3）如图3，作PN AB ⊥于N ，交BC 于M ，2(,2)P t t t -- ，(,2)M t t -，22(2)(2)2PM t t t t t ∴=----=-+，//PN OC ，PQM OQC ∴∆∆∽，∴22211(1)222PQ PM t t t OQ OC -+===--+，∴当1t =时，1()2PQ OQ =最大．第２１页，共２１页。
精品解析：2022年四川省乐山市中考数学真题(原卷版)
16.如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y= (k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE= ，则k=______．
22.为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择工作步骤正确排序______．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．
A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
三、解答题
17.
18.解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
19.如图，B是线段AC的中点， ，求证： ．
20.先化简，再求值： ，其中 ．
21.第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施 正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
2022年四川省乐山市中考数学试卷(解析版)
2022年四川省乐山市中考数学试卷（真题）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）（2022•乐山）下面四个数中，比0小的数是（）A．﹣2 B．1 C．D．π2．（3分）（2022•乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）（2022•乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（）A．B．C．1 D．﹣6．（3分）（2022•乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A．88 B．90 C．91 D．927．（3分）（2022•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（）A．4 B．3 C．D．28．（3分）（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少9．（3分）（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC 上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2B．3 C．D．210．（3分）（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3 C．2D．4二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝．12．（3分）（2022•乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝．13．（3分）（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm 和6cm．则菱形的面积为cm2．14．（3分）（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．15．（3分）（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为．16．（3分）（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y ＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k ＝．三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．18．（9分）（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得．解不等式②，得．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为．19．（9分）（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．21．（10分）（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．22．（10分）（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG＝DG；（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．∴∠BCE+∠DCE＝90°，∵CE⊥DF，∴∠COD＝90°．∴∠CDF+∠DCE＝90°．∴∠CDF＝∠BCE，∴△CBE≌△DFC．∴CE＝DF．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．26．（13分）（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．2022年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）（2022•乐山）下面四个数中，比0小的数是（）A．﹣2 B．1 C．D．π【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．【解答】解：π＞＞1＞0＞﹣2，∴比0小的数是﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要利用了负数小于0．2．（3分）（2022•乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其特点是解题关键．4．（3分）（2022•乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可知存在6+18＝24种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．【解答】解：∵一个布袋中放着6个黑球和18个红球，∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是＝＝，故选：A．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．5．（3分）（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（）A．B．C．1 D．﹣【分析】直接把x＝1代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解：∵方程的其中一个根是1，∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，∵两根的积为，∴两根的积为﹣，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．6．（3分）（2022•乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A．88 B．90 C．91 D．92【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．【解答】解：李老师的综合成绩为：90×30%+92×60%+88×10%＝91（分）；故选：C．【点评】本题考查了加权成绩的计算．加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和．7．（3分）（2022•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（）A．4 B．3 C．D．2【分析】根据平行四边形的性质可得S△ABC＝S平行四边形ABCD，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC＝S平行四边形ABCD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴，∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4，解得BF＝3，故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键．8．（3分）（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少【分析】观察函数图象，逐项判断即可．【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；∵甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．9．（3分）（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC 上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2B．3 C．D．2【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝2DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．10．（3分）（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3 C．2D．4【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，利用相似三角形的性质求出CF″可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC2，∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．【点评】本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝ 6 ．【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．【解答】解：﹣6＜0，则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，故答案为6．【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|＝．12．（3分）（2022•乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝40°．【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠ACB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠1＝50°，则∠ACB＝90°﹣50°＝40°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACB＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．13．（3分）（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm 和6cm．则菱形的面积为24 cm2．【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，∴菱形的面积是＝24（cm2），故答案为：24．【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．14．（3分）（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．【分析】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据完全平方公式得出m和n的值是解题的关键．15．（3分）（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为10 ．【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入5x中即可求出结论．【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，解得：x＝2，∴5x＝5×2＝10，即正方形d的边长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（3分）（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y ＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k ＝ 3 ．【分析】连接DE、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k 的几何意义解答即可．【解答】解：设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE＝，∴k＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝3．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算．18．（9分）（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得x＞﹣2 ．解不等式②，得x≤3 ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．解不等式②，得x≤3．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（9分）（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝x+1，当x＝时，原式＝+1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．21．（10分）（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：﹣＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为10千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（10分）（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序①③②④．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是D．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；（2）根据抽样调查的特点解答即可；（3）根据样本估计总体思想解答即可．【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，故答案为：①③②④；（2））根据抽样调查的特点易判断出：D，故答案为：D；（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：×1000＝200（人），200÷40＝5，答：至少应该开设5个班．【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式即可；（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，∴n＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3），∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），设l′：y＝kx+b，则，解得：，∴l′：y＝﹣x+2，∴l′与y轴的交点为D（0，2），∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．24．（10分）（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG＝DG；（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．【分析】（1）证明∠CDG＝∠DCG可得结论；（2）证明△COH∽△BOD可得∠BDO＝90°，从而得结论．【解答】证明：（1）连接AD，∵线段AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，∵DF⊥BC，∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CDG＝∠DAF，∵＝，∴∠DAF＝∠DCG，∴∠CDG＝∠DCG，∴CG＝DG；（2）连接OD，交CE于H，∵＝，∴OD⊥EC，∵sin∠ACE＝＝，∵BC＝4，OD＝OC＝6，∴＝＝，∴＝，∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD，∴∠BDO＝∠CHO＝90°，∴OD⊥BD，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，切线的判定，垂径定理，直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，第二问证明△COH∽△BOD是解本题的关键，难度中等．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．∴∠BCE+∠DCE＝90°，∵CE⊥DF，∴∠COD＝90°．∴∠CDF+∠DCE＝90°．∴∠CDF＝∠BCE，∴△CBE≌△DFC．∴CE＝DF．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN 即可；（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．证明△CME∽△BAF，推出＝，可得结论．【解答】解：（1）结论：＝1．理由：如图1中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝BC，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴AM＝AN，即EG＝FH，∴＝1；（2）如图2中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN．∴＝，∵AB＝m，BC＝AD＝n，∴＝．故答案为：；（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．∵CM⊥AB，∴∠CME＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△CME∽△BAF，∴＝，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴＝＝sin60°＝．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．26．（13分）（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC＝S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵∠AOC＝90°，∴tan∠OAC＝＝2，∴OC＝2OA＝2，∴点C（0，﹣3），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），∴a•1×（﹣2）＝﹣2，∴a＝1，∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，∴S△PBC ＝PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y ＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），∴点D（1，﹣2），∴CD＝1，∴S△BCD ＝OC，∴PE•OC ＝•OC，∴a2﹣2a＝1，∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，当x＝1﹣时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，∴P（1﹣，﹣），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a﹣2）∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，∴S△PBC ＝OB ＝CD•OC，∴a2﹣2a＝1，∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），当a＝1+时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，∴P（1+，），第31页（共32页）综上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴＝＝﹣+，∴当t＝1时，（）最大＝．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．第32页（共32页）。
2022年四川省乐山市中考数学真题(解析版)
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 10 个小题
1. 下面四个数中，比 0 小的数是（ ）
A. -2
B. 1
【答案】A
【解析】
C. 3
【分析】根据负数比 0 小即可求解．
【详解】解： 2 0 1 3 ，
故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于 0 是解题的关键． 2. 以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3. 点 P(1, 2) 所在象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的
3 2
，以及
S△ADE=S△ADO=
3 2
，再利用反比例函数的比例系数
k
的几何意义求解即可．
【详解】解：连接 OD、DE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴点 B、点 D 到对角线 AC 的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE= 3 ， 2
∵AD⊥x 轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO=
【解析】
C. 5
D. 2
【分析】先根据锐角三角函数值求出 AC 2 5 ，再由勾股定理求出 AB 5, 过点 D 作
DE AB 于点 E，依据三角函数值可得 DE 1 AE, DE 1 BE, 从而得 BE 3 AE ，再由
2024年四川省乐山市中考数学真题卷及答案解析
乐山市2024年初中学业水平考试数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1. 不等式20x -<的解集是（ ）A. 2x <B. 2x >C. <2x -D. 2x >-2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）A. 带盖玉柱形器B. 白衣彩陶钵C. 镂空人面覆盆陶器D. 青铜大方鼎3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）A. 8410⨯B. 9410⨯C. 10410⨯D. 11410⨯4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）A. B. C. D.5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A. 100B. 200C. 300D. 4006. 下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. ,AB CD AD BC∥∥ B. ,AB CD AD BC ==C. ,OA OC OB OD== D. ,AB CD AD BC =∥7. 已知12x <<2x +-的结果为（ ）A. 1- B. 1 C. 23x - D. 32x-8. 若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A. 23- B. 23 C. 6- D. 69. 已知二次函数()2211y x x x t =--≤≤-，当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A. 02t <≤B. 04t <≤C. 24t ≤≤D. 2t ≥10. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）A.B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．4．本部分共16个小题，共120分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11. 计算：2a a +=______.12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．13. 如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠=______．14. 已知3a b -=，10ab =，则22a b +=______．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOCS S =△△______．16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；①3y x =-+；②2y x=；③221y x x =-+-．（2）若一次函数3y mx m =-图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为______．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．的17. 计算：()03π2024-+-．18. 解方程组：4{25x y x y +=-=19. 知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．20. 先化简，再求值：22142x x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m 的值为______；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．22. 如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．（1）求m 、n 值和一次函数的表达式；（2）连结AB ，求点C 到线段AB 的距离．23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；的（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．24. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D ，点E 为 CB 上一点，且 AC CE=．（1）求证：DC AE ∥；（2）若EF 垂直平分OB ，3DA =，求阴影部分的面积．25. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．（1）若1a =，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a 的取值范围；（3）若抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a 的取值范围．26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 长．解：如图2，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '△，连结ED '．的由旋转特征得BAD CAD '∠=∠，B ACD ∠=∠'，AD AD ='，BD CD '=．∵90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，∴45BAD EAC ∠+∠=︒．∵BAD CAD '∠=∠，∴45CAD EAC '∠+∠=︒，即45EAD '∠=︒．∴DAE D AE '∠=∠．在DAE 和D AE ' 中，AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，AE AE =，∴___①___．∴DE D E '=．又∵90ECD ECA ACD ECA B ''︒∠=∠+∠=∠+∠=，∴在Rt ECD '△中，___②___．∵3CD BD '==，4CE =，∴DE D E '==___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．知识迁移】如图3，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，满足CEF △的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，连结AE AF 、，分别与对角线BD 交于M 、N 两点．探究BM MN DN 、、的数量关的【系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且45EAF CEF ∠=∠=︒．探究BE EF DF 、、的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 、E 在边AC 上，且45DBE ∠=︒．设AD x =，CE y =，求y 与x 的函数关系式．乐山市2024年初中学业水平考试数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1. 不等式20x -<的解集是（ ）A. 2x <B. 2x >C. <2x -D. 2x >-【答案】A【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．移项可得一元一次不等式的解集．【详解】解：20x -<，解得，2x <，故选：A ．2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）A 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵C. 镂空人面覆盆陶器D. 青铜大方鼎【答案】D【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．得出各个选项中的几何体的俯视图即可．【详解】解：A ．俯视图是圆形，因此选项A 不符合题意；.B ．俯视图不是四边形，因此选项B 不符合题意；C ．俯视图不是四边形，因此选项C 不符合题意；D ．俯视图是正方形，因此选项D 符合题意；故选：D ．3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）A. 8410⨯ B. 9410⨯ C. 10410⨯ D. 11410⨯【答案】C【解析】【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定a n ，的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 的值为整数位数少1．【详解】解：40000000000大于1，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中4a =，10n =， ∴40000000000用科学记数法表示为10410⨯，故选：C ．4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）A.B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】边数为n 的多边形的内角和()2180n =-⨯︒，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到．【详解】解：三角形的内角和等于180︒四边形的内角和等于360︒五边形的内角和等于()52180540-⨯︒=︒六边形的内角和等于()62180720-⨯︒=︒所以三角形的内角和最小故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n 的多边形的内角和()2180n =-⨯︒是解此题的关键．5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案．【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为：3080040060⨯=（人），故选：D ．6. 下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. ,AB CD AD BC∥∥ B. ,AB CD AD BC ==C. ,OA OC OB OD== D. ,AB CD AD BC=∥【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【详解】解：A 、∵,AB CD AD BC ∥∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B 、∵,AB CD AD BC ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C 、∵,OA OC OB OD ==，∴四边形ABCD 平行四边形，故此选项不合题意；D 、∵,AB CD AD BC =∥，不能得出四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．7. 已知12x <<2x +-的结果为（ ）A. 1- B. 1 C. 23x - D. 32x -【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．a =化简二次根式，然后再根据12x <<去绝对值即可．212x x x +-=-+-， ∵12x <<，∴10,20x x ->-<，∴12121x x x x ----==++，21x +-=，故选：B ．8. 若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A. 23- B. 23 C. 6- D. 6【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=-⋅c a =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=-=-⋅=，然后通是分，11x +1221212x x x x x p+-==，从而得到关于p 的方程，解方程即可．【详解】解：121222,1x x x x p +=-=-⋅=Q ，121212112x x x x x x p+-∴+==，而12113x x +=，23p-∴=，23p ∴=-，故选：A ．9. 已知二次函数()2211y x x x t =--≤≤-，当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A. 02t <≤ B. 04t <≤ C. 24t ≤≤ D. 2t ≥【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =-=--，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11-，，当=1x -时，3y =，即()13-，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤-≤，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-=--，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11-，，当=1x -时，3y =，∴()13-，关于对称轴对称的点坐标为()33，，∵当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，∴113t ≤-≤，解得，24t ≤≤，故选：C ．10. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M 的运动路径．过点C 作CH AD ⊥交AD 于点H ，根据60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，算出1DH =，得出AH DH =，CH 垂直平分AD ，再证明PCM QCM V V ≌，得出PM MQ =，证明CM 垂直平分PQ ，点M 在CH 上运动，根据解直角三角形 tan 30CM BC '=⋅︒=．即可求解．【详解】解：过点C 作CH AD ⊥交AD 于点H ，∵60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，∴60ADC ∠=︒，1CD BC AB ===，∴30DCH ∠=︒，∴112DH CD ==，∴1AH AD DH =-=，∴AH DH =，∴CH 垂直平分AD ，∵点P 和点Q 关于点C 对称，∴PC QC =，∵90,PCM QCM CM CM ∠=∠=︒=，∴()PCM QCM SAS ≌，∴PM MQ =，∴CM 垂直平分PQ ，∴点M 在CH 上运动，当点P 与点B 重合时，点M 位于点M '，此时，∵60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，∴1302M BC ABC '∠=∠=︒，1BC =∴tan 30CM BC '=⋅︒=．故点M 的运动路径长为CM '=故选：B ．第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．4．本部分共16个小题，共120分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11. 计算：2a a +=______.【答案】3a【解析】【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．【详解】23a a a +=．故答案为：3a ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确把握运算法则是解题关键．12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．【答案】66【解析】【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．【详解】解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71，所以这组数据的中位数为66．故答案为：66．13. 如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠=______．【答案】120︒##120度【解析】【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．根据两直线平行同位角相等得到1360∠=∠=︒，再根据平角的定义得到23180∠+∠=︒，从而可计算出2∠．【详解】解：如图，a b ∥ ，1360∴∠=∠=︒，而23180∠+∠=︒，218060120∴∠=︒-︒=︒，故答案：120︒．14. 已知3a b -=，10ab =，则22a b +=______．【答案】29【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．根据()2222a b a b ab +=-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()22222321029a b a b ab +=-+=+⨯=，故答案为：29．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOCS S =△△______．【答案】19【解析】【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．为设AD BC ，的距离为d ，则112132ABDBCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；①3y x =-+；②2y x=；③221y x x =-+-．（2）若一次函数3y mx m =-图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为______．【答案】①. ③ ②. 102m -≤<或102m <≤【解析】【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．熟练掌握新定义，一次函数，反比例函数，二次函数图象上的点到坐标轴距特点，是解决问题的关键．（1）①3y x =-+中，取 1.5x y ==，不存在“近轴点”；②2y x=，由对称性，取x y ==，不存在“近轴点”；③()22211y x x x =-+-=--，取1x =时，0y =，得到()1,0是221y x x =-+-的“近轴点”；（2）()33y mx m m x =-=-图象恒过点()3,0，当直线过()1,1-时， 12m =，得到102m <≤；当直线过()1,1时，12m =-，得到102m -≤<．【详解】（1）①3y x =-+中，1.5x =时， 1.5y =，不存在“近轴点”；②2y x =，由对称性，当x y =时，x y ==，不存在“近轴点”；③()22211y x x x =-+-=--，1x =时，0y =，∴()1,0是221y x x =-+-的“近轴点”；∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；（2）()33y mx m m x =-=-中，3x =时，0y =，∴图象恒过点()3,0，当直线过()1,1-时，()113m -=-，∴12m =，∴102m <≤；当直线过()1,1时，()113m =-，∴12m =-，∴102m -≤<；∴m 的取值范围为102m -≤<或102m <≤．故答案为：102m -≤<或102m <≤．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：()03π2024-+-．【答案】1【解析】【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键．先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．【详解】解：()03π2024-+--313=+-1=．18. 解方程组：4{25x y x y +=-=【答案】详见解析【解析】【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程．【详解】解：①＋②，得39x =．解得3x =．把3x =代入②，得1y =．∴原方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，．19. 知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】利用SAS 证明CAB DAB ∆∆≌，即可证明C D ∠=∠．【详解】解：AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在CAB ∆和DAB ∆中，AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAB DAB ∴∆∆≌，C D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS 、AAS 、ASA 、SSS 等全等三角形的判定方法是解题的关键．20. 先化简，再求值：22142x x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】（1）③（2）12x +，15【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．【小问1详解】解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，应为：()()()()()()2222222222x x x x x x x x x x -----=+++-+；【小问2详解】解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--()()()()222222x x x x x x +=-+-+-()()2222x x x x --=+-()()222x x x -=+-12x =+当3x =时，原式15=21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m 的值为______；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．【答案】（1）240，35（2）见详解（3）16【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考音了统计图．（1）根据：该项所占百分比=该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：本次抽取的游客总人数为7230%240÷=(人)，84100%35%240m =⨯=，故答案为：240，35；【小问2详解】“甜皮鸭”对应的人数为240(487284)36-++=(人)，补全图形如下：的【小问3详解】假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A 、B 、C 、D ”，画树状图如图所示，共有12种等可能的结果数，其中抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”题目的结果数为2，∴抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是21126=．22. 如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．（1）求m 、n 的值和一次函数的表达式；（2）连结AB ，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）3m =，3n =，21y x =+（2）点C 到线段AB 【解析】【分析】（1）根据点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x=图象上，代入即可求得m 、n 的值；根据一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ，代入求得k ，b ，即可得到表达式；（2）连结BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CEAB ⊥，垂足为点E ，可推出 BC x ∥轴，BC 、AD 、DB 的长度，然后利用勾股定理计算出AB 的长度，最后根据1122ABC S BC AD AB CE =⋅=⋅ ，计算得CE 的长度，即为点C 到线段AB 的距离．【小问1详解】点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x =图象上∴3m =，3n =又 一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ∴31k b b +=⎧⎨=⎩解得：21k b =⎧⎨=⎩∴一次函数表达式为：21y x =+；【小问2详解】如图，连结BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为点E()0,1C ，()3,1B ∴BC x ∥轴，3BC = 点()1,3A ，()3,1B ，AD BC⊥∴点()1,1D ，2AD =，2DB =在Rt ADB 中，AB ==又 1122ABC S BC AD AB CE=⋅=⋅即113222CE⨯⨯=⨯∴CE =，即点C 到线段AB 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺（2）能，cos cos h OA βα=-【解析】【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．（1）如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B ．设秋千绳索的长度为x 尺．由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，得出4OB x =-．在Rt OA B '△中，由勾股定理解得14.5x =，即可求解；（2）由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==．在Rt OA P '△中，得出cos OP OA α=⋅，同理，cos OQ OA β=⋅．再根据OQ OP h -=，列等式即可求出OA ．【小问1详解】解：如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B ．设秋千绳索的长度为x 尺．由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，∴4OB OA AB x =-=-．在Rt OA B '△中，由勾股定理得：222A B OB OA ''+=∴()222104x x +-=．解得14.5x =．答：秋千绳索的长度为14.5尺．【小问2详解】能．由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==．在Rt OA P '△中，cos cos OP OA OA αα'=⋅=⋅，同理，cos cos OQ OA OA ββ''=⋅=⋅．∵OQ OP h -=，∴cos cos OA OA h βα⋅-⋅=．∴cos cos h OA βα=-．24. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D ，点E 为 CB 上一点，且 AC CE=．（1）求证：DC AE ∥；（2）若EF 垂直平分OB ，3DA =，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）3π-【解析】【分析】（1）如图1，连结OC ．则90OCD ∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒．由AB 为直径，可得90ACB ∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒．则1DCA ∠=∠．由OC OB =，可得12∠=∠．由 AC CE=，可得23∠∠=．则3DCA ∠=∠．进而可证DC AE ∥．（2）如图2，连结OE BE 、．由EF 垂直平分OB ，可得OE BE =．则OEB 为等边三角形．60BOE ∠=︒，120AOE ∠=︒．由OA OE =，可得30OAE OEA ∠=∠=︒．由DC AE ∥，可得30D OAE ∠=∠=︒．60DOC ∠=︒．证明AOC 为等边三角形．则60OCA ∠=︒，OA OC AC ==．30DCA ∠=︒．则D DCA ∠=∠．3DA AC OA OC OE =====．sin 60EF OE =⋅︒．12OAE S AO EF =⋅△．2120π3360OAE S ⨯=扇形，根据OAE OAE S S S =-阴影扇形△，计算求解即可．【小问1详解】证明：如图1，连结OC ．图1∵CD 为O 的切线，∴90OCD ∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒．又∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒．∴1DCA ∠=∠．∵OC OB =，∴12∠=∠．∵ AC CE =，∴23∠∠=．∴3DCA ∠=∠．∴DC AE ∥．【小问2详解】解：如图2，连结OE BE 、．图2∵EF 垂直平分OB ，∴OE BE =．又∵OE OB =，∴OEB 为等边三角形．∴60BOE ∠=︒，120AOE ∠=︒．∵OA OE =，∴30OAE OEA ∠=∠=︒．∵DC AE ∥，∴30D OAE ∠=∠=︒．又∵90OCD ∠=︒，∴60DOC ∠=︒．∵OA OC =，∴AOC 为等边三角形．∴60OCA ∠=︒，OA OC AC ==．∴30DCA ∠=︒．∴D DCA ∠=∠．∴3DA AC OA OC OE =====．∴sin 60EF OE =⋅︒=∴12OAE S AO EF =⋅=△．又∵2120π33π360OAE S ⨯==扇形，∴3πOAE OAE S S S =-=阴影扇形△∴阴影部分的面积为3π-【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的关键．25. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．的（1）若1a =，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a 的取值范围；（3）若抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,1（2）3522a ≤< （3）2152a <≤【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．（1）把1a =代入后再将抛物线化成顶点式为()222211y x x x =-+=-+，即可求顶点坐标；（2）根据整点个数的范围确定点A 纵坐标的范围；（3）结合图象确定有4个“完美点”时a 的最大和最小值，进而确定a 的范围．【小问1详解】解：当1a =时，抛物线()222211y x x x =-+=-+．∴顶点坐标()1,1．【小问2详解】令0x =，则2y a =，∴()0,2A a ，∵线段OA 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个．∵0a >，∴当“完美点”个数为4个时，分别为()0,0，()0,1，()0,2，()0,3；当“完美点”个数为5个时，分别为()0,0，()0,1，()0,2，()0,3，()0,4．∴325a ≤<．∴a 的取值范围是3522a ≤<．【小问3详解】根据()22221y ax ax a a x a =-+=-+，得抛物线的顶点坐标为()1,a ，过点()2,2P a ，()3,5Q a ，()4,10R a ．∵抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，显然，“完美点”()1,1，()2,2，()3,3符合题意．下面讨论抛物线经过()2,1，()3,2的两种情况：①当抛物线经过()2,1时，解得12a =此时，()2,1P ，53,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,5R ．如图所示，满足题意的“完美点”有()1,1，()2,1，()2,2，()3,3，共4个．②当抛物线经过()3,2时，解得25a =此时，42,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,2Q ，()4,4R ．如图所示，满足题意的“完美点”有()1,1，()2,1，()2,2，()3,2，()3,3，()4,4，共6个．∴a 的取值范围是2152a <≤．26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 的长．。
四川省乐山市中考数学真题试题含解析.docx
2019年四川省乐山市中考数学试卷注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-3的绝对值是（）A. 3B. −3C. 13D. −132.下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（）A. B. C. D.3.小强同学从-1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（）A. 15B. 14C. 13D. 124.-a一定是（）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上选项都不正确5.如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1=35°，那么∠2等于（）A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘6.不等式组{2x−6＜3xx+25−x−14≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.7.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A. 1，11B. 7，53C. 7，61D. 6，508.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A. 16B. 13C. 15D. 149.如图，在边长为√3的菱形ABCD中，∠B=30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A. √3−1B. 1C. 12D. √3210.如图，抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A. 3B. √412C. 72D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.-12的相反数是______．12.某地某天早晨的气温是-2℃，到中午升高了6℃，晚上又降低了7℃．那么晚上的温度是______℃．13.若3m=9n=2．则3m+2n=______．14.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，cos C=35．则AB边的长为______．15.如图，点P是双曲线C：y=4x（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x-2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是______．16.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是______．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）17.计算：（12）-1-（2019-π）0+2sin30°．18.如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为-2，xx+1，且点A、B到原点的距离相等．求x的值．19.如图，线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：∠B=∠C．20. 化简：x 2−2x +1x 2−1÷x 2−x x +1．21. 如图，已知过点B （1，0）的直线l 1与直线l 2：y =2x +4相交于点P （-1，a ）．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积．22. 某校组织学生参加“安全知识竞赛”，测试结束后，张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）张老师抽取的这部分学生中，共有______名男生，______名女生；（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是______；（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少．23. 已知关于x 的一元二次方程x 2-（k +4）x +4k =0．（1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x 1、x 2，满足1x 1+1x 2=34，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x 1、x 2，求Rt △ABC 的内切圆半径．24. 如图，直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，与⊙O 相交于点P ，OA =5．C 是直线l 上一点，连结CP 并延长交⊙O 于另一点B ，且AB =AC ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，求线段BP 的长．25. 在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ． （1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：xx xx +xx xx =1；（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．26.如图，已知抛物线y=a（x+2）（x-6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．且tan∠CAB=32（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：|-3|=-（-3）=3．故选：A．根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】D【解析】解：∵只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；故选：D．根据平移的性质解答即可．本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：在-1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有-1、0这两个，所以满足不等式x+1＜2的概率是=，故选：C．找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．4.【答案】D【解析】解：-a中a的符号无法确定，故-a的符号无法确定．故选：D．利用正数与负数定义分析得出答案．此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的定义是解题关键．5.【答案】C【解析】解：∵a∥b，∠1=35°，∴∠BAC=∠1=35°．∵AB⊥BC，∴∠2=∠BCA=90°-∠BAC=55°．故选：C．先根据∠1=35°，a∥b求出∠BAC的度数，再由AB⊥BC即可得出答案．本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】解：，解①得：x＞-6，解②得：x≤13，故不等式组的解集为：-6＜x≤13，在数轴上表示为：．故选：B．分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键．7.【答案】B【解析】解：设有x人，物价为y，可得：，解得：，故选：B．设有x人，物价为y，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：如图，设BC=x，则CE=1-x易证△ABC∽△FEC∴===解得x=∴阴影部分面积为：S△ABC=××1=故选：A．如图，易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可．本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答9.【答案】A【解析】解：在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=，∴BE=．根据折叠性质可得BF=2BE=3．∴CF=3-．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG=x，则，解得x=-1．故选：A．先利用30°直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据△ADG∽△FCG得出与CG有关的比例式，即可求解CG长．本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，解题的关键是找到与CG相关的三角形，利用相似知识求解．10.【答案】C【解析】解：连接BP，如图，当y=0时，x2-4=0，解得x1=4，x2=-4，则A（-4，0），B（4，0），∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ=BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC==5，∴BP′=5+2=7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．连接BP，如图，先解方程x2-4=0得A（-4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ=BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．11.【答案】12【解析】解：的相反数是，故答案为：．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．12.【答案】-3【解析】解：-2+6-7=-3，故答案为：-3由题意列出算式进行计算求解即可．本题主要考查有理数的加减法，正确列出算式是解题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵3m=32n=2，∴3m+2n=3m•32n=2×2=4，故答案为：4根据幂的乘方与积的乘方进行解答即可．此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．14.【答案】165【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=2，COSC=，∴=，∴CH=，∴AH===，在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°，∴AB=2AH=，故答案为．如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB=2AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】3【解析】解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x-2），∴PQ=-x+2，∴S△POQ=（-+2）•x=-（x-2）2+3，∵-＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．设P（x，），则Q（x，x-2），得到PQ=-x+2，根据三角形面积公式得到S△POQ=-（x-2）2+3，根据二次函数的性质即可求得最大值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y=（k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 16.【答案】10+2√3 【解析】解：∵∠B=30°，直线l ⊥AB ， ∴BE=2EF ， 由图可得， AB=4cos30°=4×=2，BC=5， AD=7-4=3，当EF 平移到点F 与点D 重合时，如右图所示， ∵∠EFB=60°， ∴∠DEC=60°， ∵DE=CE=2，∴△DEC 为等边三角形， ∴CD=2．∴四边形ABCD 的周长是：AB+BC+AD+CD=2+5+3+2=10+2， 故答案为：10+2．根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB 、BC 、AD 的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD 的长，从而可以求得四边形ABCD 的周长． 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17.【答案】解：原式=2−1+2×12，=2-1+1， =2． 【解析】根据实数的混合计算解答即可．此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答．18.【答案】解：根据题意得：xx +1=2， 去分母，得x =2（x +1）， 去括号，得x =2x +2， 解得x =-2经检验，x =-2是原方程的解． 【解析】根据题意得出分式方程解答即可． 此题考查解分式方程，关键是根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解答．19.【答案】证明：在△AEB 和△DEC 中， ∵{xx =xx∠xxx =∠xxx xx =xx ∴△AEB ≌△DEC ，∴∠B =∠C ． 【解析】根据AE=DE ，∠AEB=∠DEC ，BE=CE ，证出△AEB ≌△DEC ，即可得出∠B=∠C ． 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．20.【答案】解：原式=(x −1)2(x +1)(x −1)÷x (x −1)x +1， =(x −1)(x +1)×x +1x (x −1)， =1x ．【解析】首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键． 21.【答案】解：（1）∵点P （-1，a ）在直线l 2：y =2x +4上， ∴2×（-1）+4=a ，即a =2， 则P 的坐标为（-1，2），设直线l 1的解析式为：y =kx +b （k ≠0）， 那么{−x +x =2x +x =0，解得：{x =1x =−1．∴l 1的解析式为：y =-x +1．（2）∵直线l 1与y 轴相交于点C ， ∴C 的坐标为（0，1），又∵直线l 2与x 轴相交于点A ，∴A 点的坐标为（-2，0），则AB =3， 而S 四边形PAOC =S △PAB -S △BOC ，∴S 四边形PAOC =12×3×2−12×1×1=52．【解析】 （1）由点P （-1，a ）在直线l 2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a 值，再利用点P 的坐标和点B 的坐标可求直线l 1的解析式； （2）根据面积差可得结论．本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题． 22.【答案】40 40 27 【解析】解：（1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人） 女生：1+1+2+3+11++13+7+1+1=40（人） 故答案为40，40；（2）女生成绩27的人数最多，所以众数为27， 故答案为27； （3）（人），七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是396人．（1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人）女生：1+1+2+3+11++13+7+1+1=40（人）； （2）女生成绩27的人数最多，所以众数为27； （3）（人）．此题同时考查了条形统计图，考查了利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、认真分析、认真研究统计图，只有这样才能作出正确的判断，准确地解决问题．23.【答案】（1）证明：∵△=（k +4）2-16k =k 2-8k +16=（k -4）2≥0， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：x 1+x 2=k +4，x 1•x 2=4k ， ∵1x 1+1x 2=34，∴x 1+x 2x1⋅x 2=34， 即x +44x =34，解得：k =2；（3）解：解方程x 2-（k +4）x +4k =0得：x 1=4，x 2=k ， 根据题意得：42+k 2=52，即k =3，设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：（3-r ）+（4-r ）=5， ∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =3+4−52=1．【解析】（1）根据根的判别式△=（k+4）2-16k=k 2-8k+16=（k-4）2≥0，即可得到结论； （2）由题意得到x 1+x 2=k+4，x 1•x 2=4k ，代入，解方程即可得到结论；（3）解方程x 2-（k+4）x+4k=0得到x 1=4，x 2=k ，根据题意根据勾股定理列方程得到k=3，设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，根据切线长定理即可得到结论．本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 24.【答案】（1）证明：如图，连结OB ，则OP =OB ， ∴∠OBP =∠OPB =∠CPA ， AB =AC ，∴∠ACB =∠ABC ，而OA ⊥l ，即∠OAC =90°， ∴∠ACB +∠CPA =90°， 即∠ABP +∠OBP =90°， ∴∠ABO =90°， OB ⊥AB ，故AB 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO =90°， 而OA =5，OB =OP =3，由勾股定理，得：AB =4，过O 作OD ⊥PB 于D ，则PD =DB ，∵∠OPD =∠CPA ，∠ODP =∠CAP =90°，∴△ODP ∽△CAP ， ∴xx xx =xx xx ，又∵AC =AB =4，AP =OA -OP =2， ∴xx =√xx 2+xx 2=2√5， ∴xx =xx ⋅xx xx=35√5， ∴xx =2xx =65√5．【解析】 （1）连接OB ，由AB=AC 得∠ABC=∠ACB ，由OP=OB 得∠OPB=∠OBP ，由OA ⊥l 得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP ，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB 是⊙O 的切线； （2）根据勾股定理求得AB=4，PC=2，过O 作OD ⊥PB 于D ，则PD=DB ，通过证得△ODP ∽△CAP ，得到，求得PD ，即可求得PB ．本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．25.【答案】（1）证明：∵G 是△ABC 重心， ∴xxxx =12， 又∵EF ∥BC ，∴xxxx =xxxx =12，xxxx =xxxx =12， 则xxxx +xxxx =12+12=1；（2）解：（1）中结论成立，理由如下：如图2，过点A 作AN ∥BC 交EF 的延长线于点N ，FE 、CB 的延长线相交于点M ， 则△BME ∽△ANE ，△CMF ∽△ANF ， xx xx =xx xx ，xx xx =xxxx ， ∴xx xx +xx xx =xx xx +xx xx =xx +xxxx ， 又∵BM +CM =BM +CD +DM ，而D 是BC 的中点，即BD =CD ， ∴BM +CM =BM +BD +DM =DM +DM =2DM ， ∴xxxx +xxxx =2xxxx ， 又∵xxxx =xxxx =12， ∴xxxx +xxxx =2×12=1，故结论成立；（3）解：（1）中结论不成立，理由如下： 当F 点与C 点重合时，E 为AB 中点，BE =AE ， 点F 在AC 的延长线上时，BE ＞AE ，∴xxxx ＞1，则xxxx+xxxx＞1，同理：当点E在AB的延长线上时，xxxx +xxxx＞1，∴结论不成立．【解析】（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；（2）过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，得出比例式解答即可；（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE=AE；点F在AC的延长线上时，BE＞AE，得出，则，同理：当点E在AB的延长线上时，，即可得出结论．此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．26.【答案】解：（1）根据题意得：A（-2，0），B（6，0），在Rt△AOC中，∵xxx∠xxx=xxxx =32，且OA=2，得CO=3，∴C（0，3），将C点坐标代入y=a（x+2）（x-6）得：x=−14，抛物线解析式为：x=−14(x+2)(x−6)；整理得：y=-14x2+x+3故抛物线解析式为：得：y=-14x2+x+3；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），则PC2=22+（m-3）2，PQ2=m2+（n-2）2，CQ2=32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，即22+（m-3）2+m2+（n-2）2=32+n2，整理得：x=12(x2−3x+4)=12(x−32)2+78（0≤m≤4），∴当x=32时，n取得最小值为78；当m=4时，n取得最大值为4，所以，78≤x≤4；②由①知：当n取最大值4时，m=4，∴P（2，4），Q（4，0），则xx=√5，xx=2√5，CQ=5，设点P到线段CQ距离为h，由x△xxx=12xx⋅x=12xx⋅xx，得：x=xx⋅xxxx=2，故点P到线段CQ距离为2；③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：x=−34x+3，设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：x =−34x +3+x ，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时对应的点Q '的纵坐标为：−14(4+2)(4−6)=3， 将Q '（4，3）代入x =−34x +3+x 得：t =3，当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解{x =−14(x +2)(x −6)x =−34x +3+x得：−14(x +2)(x −6)=−34x +3+x ，化简得：x 2-7x +4t =0，由△=49-16t =0，得x =4916，∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，3≤x＜4916． 【解析】（1）由函数解析式，可以求出点A 、B 的坐标分别为（-2，0），（6，0），在Rt △OAC 中由tan ∠CAB=，可以求出点C 的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；（2）①抛物线的对称轴为：x=2，顶点M （2，4），在Rt △PCQ 中，由勾股定理得：PC 2+PQ 2=CQ 2，把三角形三边长用点P ，Q 的坐标表达出来，整理得：，利用0≤m≤4，求出n 的取值范围；②由，得：，求出点P 到线段CQ 距离为2；③设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：，联立抛物线方程，可求出x 2-7x+4t=0，由△=49-16t=0，得，∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．。
2022年四川乐山中考数学真题及答案
2022年四川乐山中考数学真题及答案一、选择题：本大题共10个小题1.下面四个数中，比0小的数是（）A.-2B.1C.D.π【答案】A 【解析】【分析】根据负数比0小即可求解．【详解】解：201π-<<<< ，故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于0是解题的关键．2.以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】A.不是轴对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，故B 错误；C.不是轴对称图形，故C 错误；D.是轴对称图形，故D 正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3.点(1,2)P -所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．4.一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（）A.14B.13C.23D.34【答案】A 【解析】【分析】由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是616184P ==+．故选：A．【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．5.关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（）A.13B.23C.1D.13-【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，设另一根为2x ，则223x x +=，213x ∴=-，213xx ∴=-，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6.李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A.88B.90C.91D.92【答案】C 【解析】【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解．【详解】解：9030%9260%8810%x =⨯+⨯+⨯91=故选C【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键．7.如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（）A.4B.3C.52D.2【答案】B 【解析】【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2×12×AC ×BF ，∴4×6=2×12×8×BF ，∴BF =3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键．8.甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A.前10分钟，甲比乙的速度慢B.经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C.甲的平均速度为0.08千米/分钟D.经过30分钟，甲比乙走过的路程少【答案】D 【解析】【分析】结合函数关系图逐项判断即可．【详解】A 项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A 项正确；B 项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B 正确；C 项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C 项正确；D 项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D 项错误；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．9.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，点D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A. B.3 C.D.2【答案】C 【解析】【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，∴1tan 2BC A AC ∠==∴2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∵1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∴11,,23DE DE AE BE ==∴11,,23DE AE DE BE ==∴1123AE BE =∴32BE AE =∵5,AE BE +=∴352AE AE +=∴2,AE =∴1DE =,在R t A D E ∆中,222AD AE DE =+∴AD ==∵AD CD AC +==∴CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．10.如图，等腰△ABC 的面积为，AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（）A.B.3C. D.4【答案】D 【解析】【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接CE ，∵AB =AC ，∴BD =DC =12BC =1，∵AE =12BC ，∴AE =DC =1，∵AE ∥BC ，∴四边形AECD 是矩形，∴S △ABC =12BC ×AD =12×2×AD ，∴AD ，则CE =AD 当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∵BC =2，CE ，由勾股定理得BE =4，cos∠EBC =BC BE BE BF =，即244BF=，∴BF =8，∵点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点，∴MN =12BF =4，∴点M 的运动路径长为4，故选：D．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11.|－6|＝______．【答案】6【解析】【分析】根据绝对值的意义，直接求解即可．【详解】|66|=－故答案为6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．12.如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a ∥b ，∴∠1=∠3=50°，∵∠BAC =90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，8AC cm =，6BD cm =，则菱形的面积为__________2cm ．【答案】24【解析】【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：211=862422S AC BD cm ⨯⨯=⨯⨯=菱形故答案为：24．【点睛】本题考查的知识点是菱形的面积公式，掌握求菱形面积的方法是解此题的关键．14.已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．【答案】4【解析】【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解： 221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n ∴==-，()314m n ∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．15.如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．【答案】5【解析】【分析】设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，分别求得b =13c ，c =35d ，由“优美矩形”ABCD 的周长得4d +2c =26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，∵“优美矩形”ABCD 的周长为26，∴4d +2c =26，∵a =2b ，c =a +b ，d =a +c ，∴c =3b ，则b =13c ，∴d =2b +c =53c ，则c =35d ，∴4d +65d =26，∴d =5，∴正方形d 的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．16.如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =kx(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =32，则k =______．【答案】3【解析】【分析】连接OD 、DE ，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S △ADE =S △ABE =32，以及S △ADE =S △ADO=32，再利用反比例函数的比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：连接OD 、DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点B 、点D 到对角线AC 的距离相等，∴S △ADE =S △ABE =32，∵AD ⊥x 轴，∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO =32，设点D (x ，y )，∴S △ADO =12OA ×AD =12xy =32，∴k =xy =3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是反比例系数的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S △ADE =S △ABE 是解题的关键．三、解答题17.1sin 302-︒+【答案】3【解析】【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】解：原式113322=+-=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．18.解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．【答案】2x >-；3x ≤；见详解；23x -<≤【解析】【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得2x >-，解不等式②，得3x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19.如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证．【详解】证明∵B 是AC 中点，∴AB =BC ，∵AD BE ∥，∴∠A =∠EBC ，∵BD EC ∥，∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．20.先化简，再求值：211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =．【答案】1x +1+【解析】【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解．【详解】21(1-)121x x x x ÷+++21121(-11x x x x x x+++=⨯++211(1)1x x x x+-+=⨯+1x =+，∵x =，∴原式=11x +=+．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．21.第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【解析】【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：2020101.560 x x-=，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序______．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．【答案】（1）①③②④（2）D（3）估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【解析】【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可；（2）根据抽样调查的可靠性解答可得；（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解．【小问1详解】解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．故答案为：①③②④；【小问2详解】解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生，故选：D；【小问3详解】解：1000名学生选择B ．越味数学的人数有：1000×840=200（名），200÷40=5(个)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23.如图，己知直线1：y =x +4与反比例函数y =k x(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为y =3x；（2）图中阴影部分的面积为7．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l ′的解析式为y =-x +2，再根据图中阴影部分的面积=S △ABC -S △OCD 求解即可．【小问1详解】解：∵直线1：y =x +4经过点A (-1，n )，∴n =-1+4=3，∴点A 的坐标为(-1，3)，∵反比例函数y =k x(x <0)的图象经过点A (-1，3)，∴k =-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y =3x -；【小问2详解】解：∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称，∴设直线l ′的解析式为y =-x +m ，把A (-1，3)代入得3=1+m ，解得m =2，∴直线l ′的解析式为y =-x +2，直线1：y =x +4与x 轴的交点坐标为B (-4，0)，直线l ′：y =-x +2与x 轴的交点坐标为C (2，0)，与y 轴的交点坐标为D (0，2)，∴图中阴影部分的面积=S △ABC -S △OCD =12×6×3-12×2×2=9-2=7．．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．24.如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上， CD= DE ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG =DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是⊙O 的切线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AD ，得到∠ADF +∠FDC =90°，由DF ⊥AC ，得到∠ADF +∠DAF =90°，再由 CD= DE ，可推出∠DCE =∠FDC ，即可证明CG =DG ；（2）要证明BD 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥BD ，只要证明BD ∥CE ，通过计算求得sin∠B =35，即可证明结论．【小问1详解】证明：连接AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，则∠ADF +∠FDC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠AFD =90°，则∠ADF +∠DAF =90°，∴∠FDC =∠DAF ，∵ CD= DE ，∴∠DCE =∠DAC ，∴∠DCE =∠FDC ，∴CG =DG ；【小问2详解】证明：连接OD ，设OD 与CE 相交于点H ，∵ CD= DE ，∴OD ⊥EC ，∵DF ⊥AC ，∴∠ODF =∠OCH =∠ACE ，∵3sin 5ACE ∠=，∴sin∠ODF =sin∠OCH =35，即OF OH OD OC ==35，∴OF =185，由勾股定理得DF =245，FC =OC -OF =125，∴FB =FC +BC =325，由勾股定理得DB =405=8，∴sin∠B =2458DF BD ==35，∴∠B =∠ACE ，∴BD ∥CE ，∵OD ⊥EC ，∴OD ⊥BD ，∵OD 是半径，∴BD 是⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．25.121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH 的值，并证明你的猜想．（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CE BF 的值．【答案】（1）1；证明见解析（2）n m （3）32【解析】【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可．（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证ABC ∆是等边三角形，设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，利用勾股定理求得CN 的长，然后证NCE ABF ∆∆∽，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．【小问1详解】1EG FH=，理由为：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴1EG FH=；【小问2详解】解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AB AN AD=，∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ，∴HF m EG n=，∴EG n FH m=；故答案为：nm 【小问3详解】解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，32CN a ===，∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽，∴CE CN BF AB =，即3322a CE BF a ==．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．26.如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ 的最大值．【答案】（1）22y x x =--；（2）P ；（3）12【解析】【分析】（1）在Rt△AOC 中求出OC 的长，从而确定点C 的坐标，将二次函数设为交点式，将点C 的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情况：当点P 在第三象限时，设点P （a ，22a a --），可表示出△BCD 的面积，作PE ∥AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得到E 点坐标，从而表示出△PBC 的面积，根据S △PBC =S △BCD ，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，根据P （t ，22t t --），M（t ，2t -），表示出PM 的长，根据PN ∥OC ，得出△PQM ∽△OQC ，从而得出PQ PM OQ OC =，从而得出PQ OQ 的函数表达式，进一步求得结果．【小问1详解】∵A （-1，0），∴OA =1，又∵∠AOC =90°，tan∠OAC =2OC OA=，∴OC =2OA =2即点C 的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y =a （x +1）（x -2），将C 点坐标代入得：a =1，∴y =（x +1）（x -2）=22x x --；【小问2详解】设点P （a ，22a a --），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，∵B （2，0），C （0，-2），∴直线BC 的解析式为：y =x -2，∴当22y a a =--时，x =y +2=2a a -，∴PE =2a a a --=22a a -，∴S △PBC =12PE ·OC ，∵抛物线的对称轴为y =12，CD ∥x 轴，C （0，-2），∴点D （1，-2），∴CD =1，∴S △BCD =12CD ·OC ，∴12PE ·OC =12CD ·OC ，∴a 2-2a =1，解得a 1，a 2；当x 时，y =22a a --=a ，∴P ，如图，当点P 在第一象限时，作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于F ，∴F （a ，a -2），∴PF =（22a a --）-（a -2）=22a a -，∴S △PBC =12PF ·OB =12CD ·OC ，∴22a a -=1，解得a 1a 2（舍去）；当a 时，y =22a a --，∴P ），综上所述，P 点坐标为（1+）或（1--；【小问3详解】如图，作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，由题意可知，P （t ，22t t --），（t ，t -2），∴PM =（t -2）-（22t t --）=-22t t +，又∵PN ∥OC ，∴△PQM ∽△OQC ，∴2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--+12，∴当t =1时，(PQ OQ )最大=12．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．。
2024年四川省乐山中考数学真题答案
乐山市2024年初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号12345678910答案A D C A D DB AC B第Ⅱ卷（非选择题共120分）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.3a ；12.66；13.120︒；14.29；15.19；16.（1）③；（2）102m -< 或102m < .注：16题第（1）空1分，第（2）空2分.三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：原式313=+-……………………………………………………………………………………6分1=.…………………………………………………………………………………………9分注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分.18.解：4,2 5.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②解法一：①+②，得39x =，解得3x =.……………………………………………………………3分将3x =代入①，得1y =.…………………………………………………………………6分31x y =⎧∴⎨=⎩.……………………………………………………………………………………9分解法二：由①，得4y x =-③.将③代入②，得2(4)5x x --=，解得3x =.…………………………………………3分将3x =代入③，得1y =.…………………………………………………………………6分31x y =⎧∴⎨=⎩.……………………………………………………………………………………9分19.证明：AB 是CAD ∠的平分线，CAB DAB ∴∠=∠.……………………………………………………………………………3分∴在ABC △和ABD △中，AC AD =，CAB DAB ∠=∠，AB AB =，ABC ∴△≌ABD △（SAS ）.………………………………………………………………7分C D ∴∠=∠.……………………………………………………………………………………9分20.解：（1）第③步开始出现了错误.……………………………………………………………………3分（2）2212142(2)(2)2x x x x x x x -=---+--……………………………………………………4分22(2)(2)(2)(2)x x x x x x +=-+--+…………………………………………5分22(2)(2)x x x x --=+-……………………………………………………………6分2(2)(2)x x x -=+-……………………………………………………………7分12x =+.……………………………………………………………………8分当3x =时，原式15=.…………………………………………………………………………10分21.解：（1）总人数为240人，m 的值为35.…………………………………………………………2分（2）如下图所示.…………………………………………5分（3）记A ：麻辣烫，B ：跷脚牛肉，C ：钵钵鸡，D ：甜皮鸭.解法一：由题可得树状图：…………………………………………8分P (选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”)16=.………………………………………………………10分解法二：由题可列表：第一次第二次A B C D A (,)B A (,)C A (,)D A B(,)A B (,)C B (,)D BC (,)A C (,)B C (,)D C D(,)A D (,)B D (,)C D …………………………………………8分P (选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”)16=.………………………………………………………10分22.解：（1） 点(1,)A m 、(,1)B n 在反比例函数3y x=图象上，3m ∴=，3n =.…………………………………………………………………………………2分又 一次函数y kx b =+过点(1,3)A ，(0,1)C ，3,1.k b b +=⎧∴⎨=⎩解得2,1.k b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………4分∴一次函数表达式为21y x =+.………………………………………………………………5分（2）如图，连结BC .过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为点E .(0,1)C ，(3,1)B ，BC x ∴//轴，3BC =.…………………………………………………………………………6分点(1,3)A ，(3,1)B ，AD BC ⊥，∴点(1,1)D ，2AD =，2DB =.在Rt ADB △中，AB ==.………………………………………………7分又1122ABC S BC AD AB CE =⋅=⋅ △，……………………………………………………8分即113222CE ⨯⨯=⨯，2CE ∴=，即点C 到线段AB 的距离为2.…………………………………………10分23.解：（1）如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B .设秋千绳索的长度为x 尺.由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，4OB OA AB x ∴=-=-.在Rt OA B '△中，由勾股定理得：222A B OB OA ''+=22210(4)x x ∴+-=.……………………………………………………………………………3分解得14.5x =.答：秋千绳索的长度为14.5尺.…………………………………………………………………5分（2）能.…………………………………………………………………………………………6分由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==.在Rt OA P '△中，cos cos OP OA OA αα'=⋅=⋅.……………………………………………7分同理，cos cos OQ OA OA ββ''=⋅=⋅.…………………………………………………………8分OQ OP h -= ，cos cos OA OA h βα∴⋅-⋅=.…………………………………………………………………9分cos cos hOA βα∴=-.…………………………………………………………………………10分24.证明：（1）如图，连结OC .CD 为O 的切线，点C 在O 上，90OCD ∴∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒.…………………………………………………1分又AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒.1DCA ∴∠=∠.…………………………………………………………………………………2分OC OB = ，12∴∠=∠.………………………………………………………………………………………3分AC CE= ,23∴∠=∠.………………………………………………………………………………………4分3DCA ∴∠=∠.DC AE ∴//.……………………………………………………………………………………5分（2）连结OE 、BE .EF 垂直平分OB ，OE BE ∴=.又OE OB = ，OEB ∴△为等边三角形.60BOE ∴∠=︒，120AOE ∠=︒.………………………………………………………………6分OA OE = ，30OAE OEA ∴∠=∠=︒.DC AE // ，30D OAE ∴∠=∠=︒.又90OCD ∠=︒ ，60DOC ∴∠=︒.OA OC = ，AOC ∴△为等边三角形.60OCA ∴∠=︒，OA OC AC ==.30DCA ∴∠=︒.D DCA ∴∠=∠.3DA AC OA OC OE ∴=====.……………………………………………………………8分33sin 602EF OE ∴=⋅︒=.19324OAE S AO EF ∴=⋅=△.又12093360OAE S ππ︒⨯==︒扇形，34OAE OAE S S S π∴=-=-阴影扇形△.………………………………………………………10分25.解：（1）当1a =时，抛物线2222(1)1y x x x =-+=-+.………………………………………2分∴顶点坐标(1,1).…………………………………………………………………………………3分（2）由题可知(0,2)A a .线段OA 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个.……………………………………………………………4分∴当“完美点”个数为4个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)；当“完美点”个数为5个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4).325a ∴< .……………………………………………………………………………………6分∴a 的取值范围是3522a < .…………………………………………………………………7分（3）易知抛物线的顶点坐标为(1,)a ，过点(2,2)P a ，(3,5)Q a ，(4,10)R a .显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况：1当抛物线经过(2,1)时，解得12a =.此时，(2,1)P ，5(3,2Q ，(4,5)R .如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)，共4个.…………………………………………………………………9分2当抛物线经过(3,2)时，解得25a =.此时，4(2,)5P ，(3,2)Q ，(4,4)R .如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,4)，共6个.…………………………………………………………………11分∴a 的取值范围是2152a < .…………………………………………………………………12分26.解：（1）①ADE △≌AD E '△；②222EC CD ED ''+=；③5.…………………………………3分（2）222DN BM MN +=.………………………………………………………………………4分证明：如图，将ABE △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ADF '△.过点D 作DH BD ⊥交边AF '于点H ，连结NH .由旋转的特征得AE AF '=，BE DF '=，BAE DAF '∠=∠.由题意得EF EC FC DC BC DF FC EC BE ++=+=+++，EF DF BE DF DF F F ''∴=+=+=.在AEF △和AF F '中，AE AF '=，EF F F '=，AF AF =，AEF ∴△≌AF F '（SSS ）.…………………………………………………………………5分EAF F AF '∴∠=∠.又BD 为正方形ABCD 的对角线，45ABD ADB ∴∠=∠=︒.DH BD ⊥ ，45ADH HDB ADB ∴∠=∠-∠=︒.在ABM △和ADH △中，BAM DAH ∠=∠，AB AD =，ABM ADH ∠=∠，ABM ∴△≌ADH △（ASA ）.………………………………………………………………6分AM AH ∴=，BM DH =.在AMN △和AHN △中，AM AH =，MAN HAN ∠=∠，AN AN =，AMN ∴△≌AHN △（SAS ）.………………………………………………………………7分MN HN ∴=.在Rt HND △中，222DN DH HN +=，222DN BM MN ∴+=.…………………………………………………………………………8分（3）22222BE DF EF +=.……………………………………………………………………10分（4）如图，将BEC △绕点B 逆时针旋转90︒，得到BE C ''，连结E D '.过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ，过点E '作EG BC ''⊥，垂足为G '.过点E '作E F BA '//，过点D 作DF BC //交AB 于点H ，E F '、DF 交于点F .由旋转的特征得BE BE '=，CBE C BE ''∠=∠，EG E G ''=，BG BG '=.90ABC ∠=︒ ，45DBE ∠=︒，45CBE DBA ∴∠+∠=︒.45C BE DBA ''∴∠+∠=︒，即45DBE '∠=︒.在EBD △和E BD '△中，BE BE '=，DBE DBE '∠=∠，BD BD =，EBD ∴△≌E BD '△（SAS ）.DE DE '∴=.90ABC ∠=︒ ，4AB =，3BC =，∴5AC ==.又AD x = ，CE y=5DE DE x y '∴==--.DF BC// ADH C ∴∠=∠，90AHD ABC ∠=∠=︒.AHD ∴△∽ABC △.5AH HD AD x AB BC AC ∴===，即45AH x =，35HD x =.445HB AB AH x ∴=-=-.同理可得45EG y =，35GC y =.45E G y ''∴=，335BG BG y '==-.E G AB ''⊥ ，90ABC ∠=︒，E G BC FD ''∴////.又E F AB '// ，90FHG AHD '∠=∠=︒，∴四边形FE G H ''为矩形.90F ∴∠=︒，45FH E G y ''==，3455DF DH FH x y =+=+43434(3)15555FE HG HB BG x y x y '''==-=---=-+.在Rt E FD '△中，222E F DF E D ''+=.()2224334(1)()55555x y x y x y ∴-+++=--.解得2160528x y x -=-.………………………………………………………………………………13分。
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义务教育基础课程初中教学资料四川省乐山市2016年中考数学试卷（解析版二）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．(2016·四川乐山)下列四个数中，最大的数是（ ）A．0 B．2 C．﹣3 D．4【分析】根据正数大于一切负数，数轴上右边的数总比左边的大即可确定最大的数．【解答】解：﹣3，0，2，4这四个数中最大的是4，故选：D．【点评】本题主要考查有理数大小比较的知识点，解答本题的关键是熟练掌握实数的知识．2．(2016·四川乐山)如图是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，画出图形即可得出答案．【解答】解：根据所给的图形可得，它的俯视图是：．故选B．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，同时也考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．3．(2016·四川乐山)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）A．35°B．95°C．85°D．75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．(2016·四川乐山)下列等式一定成立的是（ ）A．2m+3n=5mn B．2=m2﹣n2【分析】直接利用合并同类项以及幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式分别化简求出答案．【解答】解：A、2m+3n无法计算，故此选项错误；B、（m3）2=m6，正确；C、m2m3=m5，故此选项错误；D、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算和完全平方公式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．5．(2016·四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．6．(2016·四川乐山)不等式组的所有整数解是（ ）A．﹣1、0 B．﹣2、﹣1 C．0、1 D．﹣2、﹣1、0【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤，则不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的所有整数解是﹣1，0；故选A．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是本题的关键．7．(2016·四川乐山)如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．8．(2016·四川乐山)现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9的概率．【解答】解：由题意可得，同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），则所有结果之和是：2、3、4、5、6、7、3、4、5、6、7、8、4、5、6、7、8、9、5、6、7、8、9、10、6、7、8、9、10、11、7、8、9、10、11、12，∴所得结果之和为9的概率是：，故选C．【点评】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率．9．(2016·四川乐山)若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16【分析】a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a2﹣1）（b2﹣1）即可求解．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，∴可得a+b=4，ab=t﹣2，（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，∴（a2﹣1）（b2﹣1），=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，=（t﹣1）2﹣15，∵（t﹣1）2≥0，∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是﹣15，故选：A．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．10．(2016·四川乐山)如图，在反比例函数y=﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出，再由tan∠CAB==2，可得出CFOF=8，由此即可得出结论．【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．由直线AB与反比例函数y=的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴．∵tan∠CAB==2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AEOE=|﹣2|=2，CFOF=|k|，∴k=±8．∵点C在第一象限，∴k=8．故选D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CFOF=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．(2016·四川乐山)计算：|﹣5|= 5 ．【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．【解答】解：|﹣5|=5．故答案为：5【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．12．(2016·四川乐山)因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b） ．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．13．(2016·四川乐山)如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 2 ．【分析】由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，∴AD：AB=2：3，∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB﹣AD=2，故答案为：2．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．14．(2016·四川乐山)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．15．(2016·四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】阴影部分的面积等于三角形的面积﹣扇形的面积，根据面积公式计算即可．【解答】解：由旋转可知AD=BD，∵∠ACB=90°，AC=2，∴CD=BD，∵CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=∠CBD=60°，∴BC=AC=2，∴阴影部分的面积=2×2÷2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形和扇形的面积公式及三角函数值，关键是得到△BCD是等边三角形．16．(2016·四川乐山)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有 ①③ （写出所有正确结论的序号）．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解答】解：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值为2，故错误．故答案为：①③．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.17．(2016·四川乐山)计算：20160+﹣sin45°﹣3﹣1．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分母有理化，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+﹣﹣=．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．(2016·四川乐山)解方程：．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘x﹣2，得1﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣1），即1﹣3x+6=﹣x+1，整理得：﹣2x=﹣6，解得：x=3，检验，当x=3时，x﹣2≠0，则原方程的解为x=3．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．19．(2016·四川乐山)如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．【分析】欲证明CE=DF，只要证明△CEB≌△DFC即可．【解答】证明：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE=CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE=DF．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．20．(2016·四川乐山)先化简再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式===x（x+1）=x2+x，∵x2+x﹣2=0，∴x2+x=2，则原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．(2016·四川乐山)甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，回答下列问题：（1）甲的平均数是 8 ，乙的中位数是 7.5 ；（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．【解答】解：（1）甲的平均数==8，乙的中位数是7.5；故答案为：8；7.5；（2）；…（5分）=，=，∵，∴乙运动员的射击成绩更稳定．【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．(2016·四川乐山)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=ABcos60°=AB=6，AD=ABsin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.23．(2016·四川乐山)如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B （，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求m的值．【分析】（1）由点A在反比例函数的图象上，结合反比例函数图象上的点的坐标特征即可得出反比例函数的解析式；由点B的横坐标以及反比例函数的解析式即可得出点B的坐标，再由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数得解析式；（2）结合（1）中得结论找出平移后的直线的解析式，将其代入反比例函数解析式中，整理得出关于x的二次方程，令其根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（2，2）在反比例函数的图象上，∴k=4．∴反比例函数的解析式为．又∵点B（，n）在反比例函数的图象上，∴，解得：n=8，即点B的坐标为（，8）．由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线有且只有一个交点，令，得4x2+（m﹣10）x+4=0，∴△=（m﹣10）2﹣64=0，解得：m=2或m=18．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用根的判别式得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，由交点的个数结合根的判别式得出方程（或不等式）是关键．24．(2016·四川乐山)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．【分析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD==，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE==，可得到AE=x，接着表示出BE 得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD==，设OD=3x，则OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，∴AE=8x=x，∵BE=AB﹣AE=6x﹣x=x，∴x=，解得x=，∴AE==6，OD=3=，即⊙O的半径长为．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决（2）小题的关键．六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．(2016·四川乐山)如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．（1）当x为何值时，OP⊥AP？（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP 的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△OPC∽△PAB，根据相似三角形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；（2）证明△OCM∽△PCO，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；（3）过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，根据题意得到△EOA的面积=矩形OABC的面积，求出ED的长，根据相似三角形的性质求出PM，由（2）的解析式计算即可．【解答】解：（1）由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，∵OP⊥AP，∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，∴∠OPC=∠PAB，∴△OPC∽△PAB，∴，即，解得x1=4，x2=1（不合题意，舍去）．∴当x=4时，OP⊥AP；（2）∵BC∥OA，∴∠CPO=∠AOP，∵∠AOP=∠COM，∴∠COM=∠CPO，∵∠OCM=∠PCO，∴△OCM∽△PCO，∴，即，∴，x的取值范围是2＜x＜5；（3）假设存在x符合题意，过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，∴，∴ED=4，EF=2，∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA，∴，即，解得，∴由（2）得，，解得（不合题意舍去），∴在点P的运动过程中，存在，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握矩形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．(2016·四川乐山)在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD重叠部分面积的最大值．【分析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）．C1B2的解析式为y=x+t+，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+），再分两种情况进行计算即可．【解答】解：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．∴C（1，1）．设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有，∴∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2，（2）如图1所示，设直线PC与AB交于点E．∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，∴=或=3，过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．∴△BEF∽△BAO，∴．∴当=时，，∴EF=，BF=，∴E（﹣，）∴直线PC解析式为y=﹣x+，∴﹣x2+x+2=﹣x+，∴x1=﹣，x2=1（舍去），∴P（﹣，），当时，同理可得，P（﹣，）．（3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）．C1B2的解析式为y=x+t+，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+）．①如图2所示，当0＜t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．由，∴，∴Q（，）．∴S=S△QMO+S△QON=××+×（t+）×=﹣t2+t+．∴S的最大值为．②如图3所示，当≤t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G．∴G（1﹣2t，4﹣5t），∴D1H=+1﹣2t=，D1G=4﹣5t．∴S=D1H×D1G=××（4﹣5t）=（5t﹣4）2．∴当≤t＜时，S的最大值为．综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是分类计算，也是本题的难点．。