中考复习_一元二次方程的应用
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
2024年中考数学总复习专题05一元二次方程命题12一元二次方程的应用
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中考命题12 一元二次方程的应用
中考·数学
3．[2022 哈尔滨，8，3 分]某种商品原来每件售价为 150 元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 96 元，设 平均每次降价的百分率为 x，根据题意，所列方程正确的是
C ( )
A．150(1－x2)＝96 B．150(1－x)＝96 C．150(1－x)2＝96 D．150(1－2x)＝96
A．43 903.89(1＋x)＝53 109.85 B．43__903.89(1＋x)2＝53 109.85 C．43 903.89x2＝53 109.85 D．43 903.89(1＋x2)＝53 109.85
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中考·数学
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中考命题12 一元二次方程的应用
中考·数学
答案：B 解析：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为 x， 根据题意可列方程 43 903.89(1＋x)2＝53 109.85.故选 B.
元，2018 年的人均收入为 24 200 元．
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率；
解：(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增
长率为 x，
由题意，得 20 000(1＋x)2＝24 200，
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中考命题12 一元二次方程的应用
中考·数学
A 的平均增长率为 x，下列方程正确的是( )
A.5.76(1＋x)2＝6.58
B．5.76(1＋x2)＝6.58
C．5.76(1＋2x)＝6.58 D．5.76x2＝6.58
答案：A 解析：由题意，得 5.76(1＋x)2＝6.58.故选 A.
Байду номын сангаас
全国中考真题分类汇编 一元二次方程及其应用
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一元二次方程及其应用考点一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。
假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。
【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
中考总复习数学第3节 一元二次方程及其应用
边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2
5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将 解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的 范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2， 解得 x1＝－3，则 a 的值是 －1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产 企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这 两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学 中考总复习
第3节 一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运
2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精讲)(解析版)31
考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。
预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。
3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。
4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-±=即可。
5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。
6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。
中考数学《一元二次方程及应用》一轮专题复习2含答案解析
中考一轮数学专题复习：一元二次方程及应用测试题1．（来宾）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．【答案】A．试题分析：以，为根的一元二次方程，故选A．2．（贵港）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B．试题分析：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△==且，∴且，∴整数a的最大值为0．故选B．3．（钦州）用配方法解方程，配方后可得（）A．B．C．D．【答案】A．试题分析：方程，整理得：，配方得：，即，故选A．4．（成都）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】D．试题分析：∵是一元二次方程，∴，∵有两个不想等的实数根，则，则有，∴，∴且，故选D．5．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【答案】B．试题分析：解方程，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B．6．（达州）方程有两个实数根，则m的取值范围（）A．B．且C．D．且【答案】B．试题分析：根据题意得：，解得且．故选B．7．（南充）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．8．（佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8m C．9m D．10m【答案】A．试题分析：设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m．故选A．9．（安顺）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一【答案】D．试题分析：∵一元二次方程无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m ＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数的图象不经过第一象限，故选D．10．（山西省）我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想【答案】A．试题分析：我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．11．（枣庄）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【答案】A．12．（烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10【答案】B．13．（甘孜州）若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为．【答案】5．试题分析：方程，即，解得：，，则矩形ABCD的对角线长是：=5．故答案为：5．14．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．15．（广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数和关于x的一元二次方程中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．【答案】．试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入中得，，△=﹣4＜0，无实数根；将代入中得，，，有实数根，但不是一元二次方程；将代入中得，，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=．故答案为：．16．（毕节）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．【答案】20．试题分析：设每次倒出液体xL，由题意得：，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．17．（日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式= ．【答案】．考点：根与系数的关系．18．（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：，，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．19．（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：，解得，（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）（万平方米）答：建设了18万平方米廉租房．对应练习1．一元二次方程x2＝2x的根是( C )A．x＝2B．x＝0C．x1＝0, x2＝2D．x1＝0, x2＝－22．方程x2－4＝0的根是( C )A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝43．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( D )A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝04．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( D )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝235．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( D ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．37．当m 满足m <4.5时，关于x 的方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个不相等的实数根．8．方程2x 2＋5x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝12.9．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝1，另一根是－3.10．(四川宜宾)某城市居民每月最低生活保障在是240元，经过连续两年的增加，到提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20%.11．(山东滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为289(1－x )2＝256.12．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0. 解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0， (x －3)(x －3＋4x )＝0， (x －3)(5x －3)＝0.于是得x －3＝0或5x －3＝0，x 1＝3，x 2＝35.13．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和214．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p 、q 的值分别是( A )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,315．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种16．已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于－1.17．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a 、b ，则1a ＋1b的值是－65. 18．如图X2－1－4，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是 1或2m(可利用的围墙长度超过6 m)．图X2－1－4 C 级 拔尖题19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，且该三角形不是等边三角形，求三角形的周长．解：解方程x 2－6x ＋8＝0得x ＝2，x ＝4， ∴三角形的三条边的长只能是4,4,2， ∴周长是10.20．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14 000元/m 2下降到5月份的12 600元/m 2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000元/m 2？请说明理由．(参考数据：0.9≈0.95)解：(1)设4,5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得14 000(1－x )2＝12 600， 化简得(1－x )2＝0.9，解得x 1≈0.05，x 2≈1.95(不合题意，舍去)． 因此4,5月份平均每月降低的百分率约为5%.(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12 600(1－x )2＝12 600×0.9＝11 340>10 000，因此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m 2. 21．关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 解：(1)方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k )＞0，即4k >－9，解得k >－94.(2)若k 是负整数，k 只能为－1或－2. 如果k ＝－1，原方程为x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52.如果k ＝－2，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.22．如图X2－1－5，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm.动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动．(1)P 、Q 两点从出发开始多长时间，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2；(2)P、Q两点从出发开始多长时间，点P与点Q间的距离是10 cm.图X2－1－5解：(1)设P、Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则AP＝3x cm，PB＝(16－3x) cm，CQ＝2x cm，由梯形的面积公式，得[2x＋(16－3x)]×6÷2＝33，解得x＝5.所以P、Q两点从出发开始5 s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2.(2)过点Q作QH⊥AB，则HB＝BC＝6，HB＝QC＝2x，所以PH＝16－5x，在Rt△PHQ中，PQ2＝PH2＋HQ2＝(16－5x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，解得x1＝1.6，x2＝4.8.当x＝4.8时，16－5x＝－8，不符题意，舍去．所以P、Q两点从出发1.6s时，点P与点Q间的距离是10 cm.。
中考复习：一元二次方程在几何题型的应用
有关代数与几何的综合题一直是中考的热点.在解答一些几何问题时，若能立足于知识间的横向联系，依据题设找到图形的已知元素和未知元素之间的等量关系，恰当地建立一元二次方程模型，再借助方程的知识来解答，则可使问题化繁为简、化难为易.下面就如何根据题目的条件来构造一元二次方程举例予以说明.一、利用勾股定理构造一元二次方程勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.因此，在遇到与直角三角形有关的几何问题时，可以考虑利用勾股定理建立等量关系，构造一元二次方程来解题.例1如图1，在△ABC 中，AC =6cm ，BC =8cm ，点P 从A 点出发沿AC 边向C 点以1km/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以1.5cm/s 的速度移动，在点B 停止，点P ，Q 分别从A 、C 同时出发4秒钟后PQ =210cm ．（1）求证：∠ACB =90°；（2）若点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ =BQ ．分析：（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；（2）PC =6-x ，CQ =1.5x ，BQ =8-1.5x ，利用勾股定理和PQ =BQ 列出方程，求出答案．解：（1）P 、Q 同时出发4秒钟后：PC 2=(6-4×1)2=4，QC 2=(1.5×4)2=36，∴PC 2+QC 2=4+36=40，∵PQ =210，∴PQ 2=40，∴PC 2+QC 2=PQ 2，∴∠PCQ =90°，即∠ACB =90°；（2）设经过x 秒钟后PQ =BQ ，则PC =AC -AP =6-x ，CQ =1.5x ，BQ =8-1.5x ，而PQ =BQ ，∴PQ 2=BQ 2．∵PQ 2=PC 2+QC 2=(6-x )2+(1.5x )2，∴(6-x )2+(1.5x )2=(8-1.5x )2，解得：x 1=2，x 2=-14（不合题意，舍去）.答：经过2秒钟后，PQ =BQ ．评注：此题考查一元二次方程的实际运用.解题的关键是设出运动时间x ，并用x 表示相关线段的长，然后利用勾股定理构造出一元二次方程解题.另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．二、利用面积公式构造一元二次方程在解答几何图形的计算问题时，可以在面积或体积方面找相等关系，然后构造一元二次方程模型来解题.对于规则图形，如三角形、平行四边形、梯形等几何图形，我们可以直接套用面积公式.对于不规则的图形，我们可以通过分割或者补全的形式转化成规则图形，然后找出各部分面积之间的关系列出方程.例2如图2，△ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =4cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以2cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t (s).（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的图1图2中考复习：一元二次方程在几何题型的应用14，求t的值.（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为12×4×8=16，△PCQ的面积为12t(8-2t)，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出t 的值，但方程无解．解：（1）∵S△PCQ=12t(8-2t)，S△ABC=12×4×8=16，∴12t(8-2t)=16×14，整理得t2-4t+4=0，解得t=2．答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC 面积的14；（2）当S△PCQ=12S△ABC时，12t(8-2t)=16×12，整理得t2-4t+4=0，△=(-4)2-4×1×8=-16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．评注：本题考查一元二次方程和三角形的面积公式的应用.解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用面积公式和面积之间的关系建立等量关系，列出一元二次方程，再求解即可．三、利用相似比构造一元二次方程如果两个三角形相似，相对应的边的比值相等，且周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似三角形中的等量关系也可以为我们构造方程解题创造条件.对于一些平面几何问题，同学们在解题时要注意挖掘图形中的边角关系，证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质，根据线段间的比例关系构造一元二次方程使问题获解.例3如图3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.其中只要有一点到终点，运动即停止.问：几秒后PQ⊥DQ.分析：如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，对应边成比例，再设AP=y cm，QB=2y cm，求出y即可．解：设y秒后PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，∴∠BQP+∠DQC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠B=90°，∴∠BQP+∠QPB=90°，∴∠DQC=∠QPB，∴△BPQ∽△CQD，∴BP CQ=BQ CD，设AP=y，QB=2y，∴6-y12-2y=2y6，∴2y2-15y+18=0，解得：y=32或6，经检验y=32是原分式方程的根，y=6不是原分式方程的根，舍去．答：32秒后PQ⊥DQ．评注：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质.解题的关键是用含有未知数的代数式表示线段的长，然后根据相似三角形的性质，找出线段间的比例关系列出方程求解.图3。
中考数学总复习之一元二次方程及应用 课件
B．难题突破 8．(2020·临沂)一元二次方程 x2－4x－8＝0 的 解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
9．(2020·通辽)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有 实数根，k 的取值范围是( D )
(2)当 Δ＝0 时，原方程有 C．7x2－14x＋7＝0
两个相等的实数根； D．x2－7x＝－5x＋3
(3)当 Δ<0 时，原方程没
有实数根.
4.一元二次方程根与系 4.若方程 x2－5x＋2＝0
数的关系：
的两个根分别为 x1，x2，
若一元二次方程 ax2＋bx 则 x1＋x2－x1x2 的值为
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
A．夯实基础
1．(2018·柳州)一元二次方程x2－9＝0的解是
_x_1＝__3_，__x_2_＝__－__3_．
2．(2017·广东)如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0
的一个根，则常数k的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
3．(2020·邵阳)设方程 x2－3x＋2＝0 的两根分
A．1
B．－3
C．3
D．－4
2．(2020·常州)若关于x的方程x2＋ax－2＝0有 一个根是1，则a＝______1__．
3．(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9的根是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4__．
4．(2020·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0.
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0 于是得x－2＝0或者x－3＝0， x1＝2，x2＝3.
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
《一元二次方程及应用》复习(面向中考)
明
考点1
确
考
点
一元二次方程的概念
1.概念：能够整理成右端为0，左边是只含一个未 知数，并且未知数的最高次幂是2的二次多项式， 这样的方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是：
y=ax² +bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)
.
准确理解概念须知： ①必须通过整理后判断是否为一元二次方程.
x1 x2 =
-b ， x x = 1 2
c
.
考点5
一元二次方程的应用
常见数量关系： 1.增长率问题：设基础量为a，平均增长率(或下 降率)为x，n次增长(或下降)后的量为b， n a (1 ± x ) 则 =b. 2.利率问题：利息= 本金×利率×期数 .
3.利润问题： ①利润=进价×利润率 ②总利润=一件利润×数量 ③总利润=销售总价-全部成本 ④总利润=（售价-进价）×数量
解析：先根据四边形APCQ的面积=△ABC的面积-△ABC
的面积，列出方程，再根据解的情况作出判断.
解 ∵∠B=90°，AC=10，BC=6，∴AB=8.
∴BQ=x，PB=8-2x;
假设存在x的值,使得四边形APCQ的面积等于16m² ，则
1 1 68 x 8 2 x 16. 2 2 整理得：x² -4x+8=0
2x y 3
互为相反数，
（ A ） D.9
6.（2017•滨州）根据要求，解答下列问题 ：
(1)解下列方程(直接写出方程的解即可) ①方程x² -2x+1=0的解为 x1=x2=1 ； ②方程x² -3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ； ③方程x² -4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ； …… …… (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x² -9x+8=0的解为 x1=1，x2=8 ； -(n+1)9x+n=0 的解为x1=1，x2=n. ②方程 x² (3)请用配方法解方程x² -9x+8=0，以验证猜想的结果.
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。
它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。
本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。
1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。
设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。
这就是一元二次方程的典型应用之一。
2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。
例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。
通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。
3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。
例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。
通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。
4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。
假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。
根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。
综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。
因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
人教版初三数学下册 中考复习之一元二次方程应用题
一元二次方程应用题1、在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学．2、原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为．3、我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有人进入半决赛4、如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．5、如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．6、某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元，当x为多少，厂家每天可获利润20000元？7、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？8、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，设销售单价为x元，则x的值为多少？9、小洋准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）小洋认为这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．。
2023中考一轮复习：一元二次方程及其应用
考点05一元二次方程及其应用【命题趋势】一元二次方程这个考点是中考数学，特别是几何数学中计算的基础，像二次函数以及相似的问题中，经常需要用到解一元二次方程，其根的判别式以及韦达定理也经常在二次函数图形问题中占据重要地位。
但是，在浙江中考中，一元二次方程单独出题的几率却不是很大，单独出题时，也常以选择或者填空题考察其简单应用，偶尔会在简答题17题出一元二次方程的求解问题，综合题出一元二次方程则基本是和其他知识点结合在22题统一考察。
单独出题在一张试卷里占分并不大。
【中考考查重点】一、一元二次方程及其解法二、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根与系数的关系四、一元二次方程的简单应用考向一：一元二次方程及其解法1.一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2.一元二次方程的解法：1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．1﹣x ＝3xB ．ax 2+bx +c ＝0C ．x 2﹣2x ﹣1＝x 2D ．（x ﹣2）2+1＝02．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣2x +a 2﹣9＝0的常数项是0，则a ＝，方程的根为．3．用配方法解一元二次方程x 2﹣x ＝0，配方后的方程为（）A ．（x ﹣）2＝B ．（x +）2＝C ．（x ﹣9）2＝62D ．（x +9）2＝624．方程（5x ﹣1）2＝3（5x ﹣1）的解是．5．方程7x 2﹣6x ﹣5＝0的解为．6．用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣1）2＝9；（2）x 2+4x ﹣1＝0．（3）3（x ﹣5）2＝4（5﹣x ）．（4）x 2﹣4x +10＝0．2考向二：一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，(1)042＞ac b -方程有两个不相等的实数根(2)042=-ac b 方程有两个相等的实数根(3)42＜ac b -方程没有实数根【易错警示】【同步练习】1．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +2k ＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是（）A ．k ≤8B ．k ＜8C ．k ≥8D ．k ＞82．若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的系数满足ac ＜0，则方程根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法判断3．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）A ．x 2﹣8＝0B ．x 2﹣4x +4＝0C ．2x 2+3＝0D ．x 2﹣2x ﹣1＝04．如果关于x 的方程ax 2+2x +3＝0有两个相等的实数根，那么a ＝．5．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x +3＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．6．求证：无论m 取任何实数，关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0恒有实数根．考向三：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有a b x x -21=+，ac x x =∙21【同步练习】1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣3＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝5，则k 的值是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．12．如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A ．7B ．6C ．﹣2D ．03．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于（）A ．2020B ．2019C ．2029D ．20284．若a 、b 为方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不相等的实数根，则+的值为．5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．考向四：一元二次方程的实际应用列方程解应用题的一般步骤：【同步练习】1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝812．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．3．永德利商场某书包原价144元，连续两次降价a%后售价为81元，下列所列方程正确的是（）A．144（1+a%）2＝81B．144（1﹣a%）2＝81C．144（1﹣2a%）2＝81D．144（1﹣a2%）2＝814．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．5．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．1．（2021秋•越秀区校级期中）方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣22．（2021秋•越秀区校级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018B．2019C．2020D．20213．（2021秋•天津期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0，正确的变形为（）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝5C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝﹣54．（2021秋•兴平市期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣4B．m＞4C．m≤﹣4D．m＜45．（2021秋•偃师市月考）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．116．（2021秋•常州期中）中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%7．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣88．（2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或159．（2021春•永嘉县校级期末）方程x2﹣25＝0的解为．10．（2021秋•江岸区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．11．（2021秋•奉贤区校级期中）方程的根的情况是．12．（2014秋•东西湖区校级期末）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为．13．用合适的方法解下列方程（1）36x2＝81．（2）3x2﹣10x+6＝0；（3）（x﹣3）2﹣2（x+1）＝x﹣7．14．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？1.（2021·浙江丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝32.（2021·浙江台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜43.（2021·浙江舟山）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．4.（2021·浙江湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？1.（2020•绍兴月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝12.（2021•莲都区校级模拟）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无实数根3.（2021•吴兴区二模）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣34.（2021•余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（）A．9%（1﹣x）2＝8%B．8%（1﹣x）2＝9%C．9%（1+x）2＝8%D．8%（1+x）2＝9%5.（2021•嘉善县一模）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，则m的取值范围是．6.（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为．7.（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为．8．（2021秋•西城区校级期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为，可得x＝．9．（2021秋•西城区校级期中）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？10．（2021秋•奉贤区校级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？11。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5， 解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根， （1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
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一元二次方程的应用 一、选择题1. （2011四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题．分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x %）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 解答：解：当商品第一次降价x %时，其售价为173－173x %＝173（1－x %）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1－x %）－173（1－x %）x %＝173（1－x %）2．∴173（1－x %）2＝127． 故选C ．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．2. （2011•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为错误！未找到引用源。
平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）A 、11B 、12C 、13D 、14 考点：一元二次方程的应用。
专题：网格型。
分析：可设方格纸的边长是x ，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解． 解答：解：方格纸的边长是x ，21 x 2﹣错误！未找到引用源。
•x•错误！未找到引用源。
x ﹣错误！未找到引用源。
•错误！未找到引用源。
x•错误！未找到引用源。
x ﹣错误！未找到引用源。
•x•错误！未找到引用源。
x=错误！未找到引用源。
x 2=12．所以方格纸的面积是12，故选B ． 点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：根据题意得：每人要赠送x -1张相片，有x 个人，然后根据题意可列出方程． 解答：解：根据题意得：每人要赠送x -1张相片，有x 个人，∴全班共送：（x -1）x =2070， 故选：A ．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x -1张相片，有x 个人是解决问题的关键． 4. （2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，下列所列方程正确的是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a 的方程．解答：解：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）； 当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B ．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．5. （2011广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x ，依题意可列方程（ ）A ．72（x +1）2=50B ．50（x +1）2=72C ．50（x ﹣1）2=72D ．72（x ﹣1）2=50 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题．分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x ，则2月份的产值是50（1+x ），3月份的产值是50（1+x ）（1+x ），从而列方程即可． 解答：解：根据题意，得50（x +1）2=72． 故选B ．点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．6.（2011湖北黄石，8,3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．则n 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 考点：一元二次方程的应用。
专题：规律型。
分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n 个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n 个点时，就有2)1(-n n ，从而可得出n 的值． 解答：解：设有n 个点时，2)1(-n n =21 n=7或n=﹣6（舍去）． 故选C ．点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n 个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．二、填空题1. （2011•宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为 36（1﹣m%）2=25 ． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：等量关系为：原价×（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可． 解答：解：第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．故答案为：36（1﹣m%）2=25．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 2. （2011山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________． 考点：一元二次方程 专题：一元二次方程分析：设年平均增长率应为x ，根据题意列方程()2100011440x +=，解得，检验即可．解答：20%点评：增长率的基本关系式：()1na xb +=，其中a 为原有量，b 为现有量，n 为增长的次数，x为增长率．3.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．4.（2011云南保山，13，3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=4840考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．解答：解：设年平均增长率为x，那么2012年的房价为：4000（1+x），2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．故选B．点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．5.（2011•青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是20%．考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．解答：解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．根据题意，得100（1﹣x）2=64，即（1﹣x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为：20%．点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．6.（2011山东省潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．7.（2011•山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为．考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．解答：解：设年平均增长率为x，则1000（1+x）2=1440，解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去），故年平均增长率为20%；故答案为20%．点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．8.（2011四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .考点：一元二次方程的应用．分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=-220%（舍去）．故答案为：20%．点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．9.（2011•江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m （可利用的围墙长度超过6m）．考点：一元二次方程的应用。