初三相似三角形几何证明各题型考法汇总

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初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。

点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。

证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。

证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。

8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明：AG∶GB=CP∶PD。

1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。

九年级数学相似三角形证明题中的解题技巧

九年级数学相似三角形证明题中的解题技巧一、证明相似三角形常见的几种类型1、' A ' 字型如图所示，在△ABC 中，若DE∥BC ，则有△ADE∽△ABC 。

2、' A' ' 型如图所示，△ADE 和△ABC 有公共角∠A ，若还有一组对应角相等，则有△ADE ∽△ABC 。

3、' 8 ' 字型如图所示，若AB∥CD ，则有△AEB∽△DEC 。

4、” 蝴蝶“ 型如图所示，若∠A = ∠C （或∠B = ∠D ），则有△AEB∽△CED 。

5、“ 双垂直” 型如图所示，若AC⊥BC ，（∠ACB = 90° ）CD⊥AB ，（∠CDB = 90° ），则有三组相似三角形：① △ADC∽△ACB ；② △BDC∽△BCA ；③ △ADC∽△CDB 。

双垂直结论：射影定理：① 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；② 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

⑴ ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD → CD^2=AD·BD ；(2) ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC →AC^2=AD·AB ;(3) CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC →BC^2=BD·AB ;结论1：⑵ ÷ ⑶ 得 AC^2 ： BC^2 = AD ：BD ；结论2：面积法得AB·CD = AC·BC →比例式，证明等积式(比例式)策略。

二、证明相似三角形常见的几种方法1、直接法：找同一三角形两条边和两边的夹角；变化为等号同侧的两边是同一三角形中的两条边，“三点定形法”。

2、间接法：⑴ 3种代换：① 线段代换；② 等比代换；③ 等积代换；⑵ 创造条件：① 加平行线——创造“A”字型、“8”字型；② 先证其它三角形相似——创造边、角条件。

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比（相等）。

(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题

初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。

的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段．注：①比率线段是有次序的，若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项，那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。

（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1）基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2）更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理：若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理：两条直线被三条平行线所截，若是在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

初中相似三角形几何证明技巧

初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是初中几何中的重要知识点，它们在计算和证明中都有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的相似三角形几何证明技巧。

一、基本比例法基本比例法是证明两个三角形相似时最常用的方法之一、根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的相等角或者已知的比例关系。

2.如果找到了已知的相等角或者比例关系，就利用比例法来证明它们相似。

3.如果找不到已知的相等角或者比例关系，就要通过辅助线的方式来寻找这样的关系。

例如，在证明两个三角形相似时，如果能找到一个已知的相等角，可以直接利用对应边的比例关系来证明它们相似。

二、全等三角形法全等三角形法是证明相似三角形时的另一种常用方法。

根据全等三角形的性质，如果两个三角形的三个顶角分别相等，那么这两个三角形就是全等的，从而它们也是相似的。

具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的全等三角形或者已知的相等角。

2.如果找到了已知的全等三角形，就可以直接利用全等三角形的性质来证明相似性。

3.如果找不到已知的全等三角形，就要通过辅助线的方式来构造出全等三角形。

三、角平分线法角平分线法是一种常用的求解相似三角形的方法。

根据角平分线的性质，在一个三角形中，角的平分线把对边分成两个比例相等的线段。

具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有共有的角的平分线。

2.如果找到了共有的角的平分线，可以利用平分线的性质来形成比例关系，从而证明它们相似。

3.如果找不到共有的角的平分线，就要通过辅助线的方式来构造出共有的角的平分线。

四、辅助线法辅助线法是证明相似三角形时常用的辅助手段。

通过在图形中加入新的辅助线，可以改变原有的几何形状，从而发现一些隐藏的相等角、比例关系等。

具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，思考需要找到哪些已知的相等角、全等三角形或者比例关系。

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。

判断这两个三角形是否相似。

解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。

所以△ABC∽△A'B'C'。

2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。

解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。

又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。

但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。

因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。

相似三角形模块知识点及题型整理

特殊三角形和相似一、章节目录二、地位和作用构成三角形的是边和角, 全等三角形涉及的是等边等角的三角形, 相似三角形涉及的则是等角的三角形. 全等是相似的特殊情况, 相似是对全等关系条件放宽, 按照相似关系将三角形进行分类,同一类三角形只有大小不一样,但保留了边与边之间的比值关系(形状). 因此本模块内容主要是两部分, 一是相似的基本概念,性质与判定; 二是特殊三角形(每一类特殊三角形都是相似关系)和三角函数(在相似的关系下一个角的三角函数是不变量) 考点上,相似三角形和全等在分布和难度上都类似, 选择题和填空题主要考察基本概念,判定以及性质; 大题综合考察, 也会与函数结合, 需要总结方法和思路; 特殊三角形单独考察一般是小题, 更多的是结合在其他证明题中作为条件出现, 需要对特殊三角形的性质烂熟于心; 解直角三角形会有一道大题, 主要是勾股定理应用, 方程法等等.三、知识点总结（一）特殊三角形1、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”）等腰三角形关于顶角中线对称.（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个等角所对的边相等.2、等边三角形（1）概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. （2）性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.（3）等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形（1）性质：直角三角形的两个锐角互余.（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）三角形斜边的中线性质：三角形斜边上的中线是斜边的一半.证明：倍长中线构造全等.（4）两个特殊直角三角形：30°，60°，90°：30°所对直角边是斜边的一半.45°，45°，90°：等腰直角三角形，顶角中线把三角形又分为两个等腰直角三角形4、勾股定理（1）定理内容：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方. （a2+b2=c2）.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形中有两个边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形是直角三角形.5、直角三角形全等判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.6、反证法证明一个命题是真命题：①假设命题的结论不成立；②从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果，知假设不能成立，从而说明命题的结论是正确的.讲反证法这类逻辑上的内容,可以多结合生活中的例子,从现实中体会其核心思想.（二）图形的相似1、比例线段（1）四条线段之间的关系:在四条线段a,b,c,d 中, 如果线段a 与b 的比等于线段c 与d 的比, 即a b=c d, 就称这四条线段为成比例线段, 简称比例线段, 我们也称这四条线段成比例.（2）比例线段的基本性质①如果ab=c d, 那么ad =bc .②如果ad=bc , 那么ab=cd(b,d =≠0)（3）黄金分割C 是线段AB 上的一个点，如果有ACAB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点，ACAB称为黄金分割比.黄金分割比即：全线段：较长边=较长边：较短边. 黄金分割比为常数√5−12, 约为0.618.2、平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的线段成比例. 如图所示l1//l2//l3, 则AB:BC=DE:EF.将这个事实应用于三角形后：（2）推论：平行于三角形的一边截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.（ADAB =AEEC）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形对应边成比例.（ADAB =AEAC=DEBC，第三边证明方法是过D作AC平行线.）3、相似三角形（1）概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. 若△ABC与△DEF相似，记作△ABC∼△DEF, A和D，B和E，C和F是对应点.（2）相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线与另外两边构成的三角形与原三角形相似.思路指导：遇平行找相似.②三条边分别成比例③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两组角对应相等的两三角形相似.注意课本中后四个判定的证明方法，判定①是最简单、基本的那个，后三个相似判定都是通过转化为①的情况加以证明的，由平行构造出的相似三角形也是最简单的相似模型.（“A”字形和“8”字形）（3）相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例.②对应的中线、高线、角平分线之比为相似比，周长之比也为相似比.③面积比为相似比的平方.（4）相似模型：①“A”字形相似和“8”字形相似.（一组等角和两条邻边判定.）A字形相似是由直线截得的相似，在已知一个三角形的情况下，用一条直线截这个三角形，使得直线与三角形边的夹角等于已知三角形的一个角，进而通过两个角对应相等判定截得的三角形与原三角形相似.8字形也是由直线截得的，与A字形不同的是，在这里直线截的是△ABC的两条边所在的直线，最终截得的图如下：②射影定理（三个直角三角形三组相似）如图所示△ABC是直角三角形，CD⊥AB, 则三个直角三角形两两相似，根据相似关系可得：AC2=AD⋅ABCB2=BD⋅BACD2=AD⋅DB③共线三等角（两组角对应相等）共线三等角是如图给出的相似，由∠ACB+∠DCE=180○−α=∠ACB+∠A，得∠A=∠DCE, 从而△ABC∼△CED.④旋转相似如上图,△AED,△ACB是任意三角形,ED//CB,将△AED经过旋转至图2后,形成的△ACE∼△ABD.旋转相似是前面全等三角形手拉手模型的推广,可以看到,当AC=AB时,相似比为1,也就是两个三角形全等.4、相似三角形的应用：间接测量（测旗杆）利用△ABO∼△CBD,测量BD,BO得相似比，通过CD求得OA.（测河宽）由C作AB平行线构造相似.（三）解直角三角形1、锐角三角函数锐角三角函数：在相似的意义下，三角形自身边的比值是一个不变量，因此定义一个研究这类比值的量，就是三角函数.（1）概念在直角三角形中，A是其中一个锐角：)①正弦函数sin ∠A：∠A的对边与斜边的比.(sin∠A=ac②余弦函数cos ∠A:∠A的邻边与斜边的比.(cos∠A=b)c)③正切函数tan∠A: ∠A的对边与邻边的比.(tan∠A=ab注意：2sin∠A2=sin(∠A2),sin2∠A=(sin∠A)（2）锐角三角函数的值当锐角A确定，所有以A为一个锐角的直角三角形都是相似的关系，因此他们三边之间的比值都是相等的, 因此A的角度唯一决定了三角函数的值. 即sin∠A,cos∠A,tan∠A都是A的函数.（3）锐角三角函数的性质设∠A与∠B互余，放在同一个直角三角形内，由它们各自三角函数的定义可得：①sin∠A=cos∠B②tan∠A ⋅tan∠B=1同角的三角函数有两个常用性质：①tan∠A=sin∠Acos∠A②sin2∠A+cos2∠A=1（4）几个特殊角度的三角函数值.2、锐角三角函数的计算这里涉及到计算的考点主要是上面特殊角的三角函数值，与正常的实数计算没有区别，把其中的三角函数换成对应的值就是一个普通的计算题了.3、解三角形直角三角形中，三条边和两个锐角共五个元素，知道其中两个（至少一个是边，一边一角或两边就可以确定这个直角三角形）就可以求出另外三个元素. 求解的过程就叫做解三角形.（1）斜三角形内作高构造直角三角形向外高构造直角三角形（2）俯仰角、方位角、坡度仰角：进行测量时，向上看时视线与水平线夹角α.俯角：向下看时视线与水平线夹角β.方位角：指的是南或北方向线与目标方向线所成的锐角.名称如图所示.坡度（坡比）：坡面的垂直高度（h）和水平宽度（l）的比叫坡度，以i表示.坡角：坡面与水平面的夹角（α）i=tanα四、常考题型（一）特殊三角形1、等腰三角形和等边三角形出题方向：填空题或者选择题，一般为图形计算，等腰作为条件出现，需要利用等腰所具有的性质进行计算. 或者在证明题中作为条件, 利用等腰三角形的性质构造辅助线.A若等腰三角形的周长为10cm, 其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为:_____ 考点:等腰三角形;分类讨论;三边关系.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36○, BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC考点: 等腰三角形的性质,以及判定. 顶角为36°的等腰三角形也是常考的一个图形.AB的长为半径画圆,两弧如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3, 以A,B两点为圆心, 大于12相交于M,N,连接MN与AC相交于点D,则ΔBDC的周长为:_____.考点:等腰三角形的性质; 尺规作图. 在计算ΔBDC周长时,需要通过分析转化为求AC与BC的和, 这也是在三角形计算中经常会考到的一个思想.如图,已知AD⊥BC于点D, AE⊥CE于E, ∠ACE =∠B, AD=AE,求证: D是BC的中点.考点: 结合全等等腰三角形判定; 三线合一性质如图,点D、E在Δ ABC的BC边上, AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.考点：三线合一,利用中线性质作辅助线进行证明. 不需要证明全等.在等腰三角形中三线合一,因此顶角中线(高线/角平分线)是一条重要的辅助线.如图:RtΔABC中, ∠BAC=90○, AB=AC, D是BC的中点,AE=BF.求证:DE=DF.考点:全等三角形证明;其中等腰是条件,需要想到作出高线构造全等.如图:已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=_____度.考点：等边三角形和等腰三角形的性质;外角性质.B如图, 在ΔABC中,AB=AC, AD,CE是两条中线,P是AD上的一个动点, 则BP+EP的最小值是:_____.考点: 三角形顶角中线的性质(对称性), 与将军饮马模型结合.如图,ΔABC是等边三角形, 延长BC到D, 使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为_____.考点:等腰、等边三角形; 特殊三角形已知2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为（）A. 10B.14C.10或14D.8或10.考点:等腰三角形和方程结合;分类讨论;三边关系.AC, 则等腰ΔABC底角的度数等腰ΔABC中, BD⊥AC, 垂足为点D, 且BD=12为:_____.考点:等腰三角形;分类讨论;特殊三角形等腰三角形中分类讨论的特点: ①没有图. ②若给出三角形的两个边,则这两个边都可以作为腰, 因此分类讨论; 又同时必须满足三边关系, 得出结果也要进行取舍.如图,已知点O是∠APB内的一点,M、N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A，PB分别相交于点E、F,已知MN=6cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM、PN，若∠APB=α, 求∠MPN(用含α的代数式表示)(3)在(2)的条件下,若α=30°,判定△PMN的形状,并说明理由.考点:几何证明大题,其中涉及了等边三角形的判定. 也是一类动点题的经典考法.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE, AD与CE交于点F.(1)求证AD=CE(2)求∠DFC的度数考点: 正多边形中的“弦图”，利用的是正多边形中心旋转对称性.2、直角三角形A如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_____.考点：涉及到直角三角形的简单计算题.已知：在△ABC中，AD⊥BC,∠1=∠B, 求证：△ABC是直角三角形.考点：直角三角形判定如图，在△ABC中，∠ACB=90○,∠ABC=60○，BD平分∠ABC,P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为_____.考点：直角三角形中线的性质.如图所示，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，BD ⊥ AC，若∠DBC=20○,则∠BED 为______考点：应用直角三角形中线的性质，连接中线后构造出等腰三角形.B如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=_____°（点A,B,P是网格线交点）考点：直角三角形判定；外角性质. 作法是加倍延长AP后连接终点与B，构造出的三角形是等腰直角三角形.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A’与点A重合，点C’落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90○，AC=BC=3,则B′C的长为_____.考点：主要是勾股定理的应用.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90○，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN；（2）若∠BAD=60○,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.考点:直角三角形中线性质;中位线性质;等腰直角三角形性质.如图,在Rt△ABC中, ∠A=90○,AB=AC,BC=√2+1,点M、N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B, 使点B的对应点B’始终落在边AC上. 若△MB′C为直角三角形，则BM的长为：_____.考点:动点问题,一般有两个特征:一是列代数式,列方程的思想; 二是分类讨论.本题还与折叠问题相结合.看似M、N都是动点，实际上N是随M取定而确定的.3、勾股定理勾股定理在三角形的计算中起着非常重要的作用，前面给出的部分例题也有涉及，勾股定理最常见的是作为一个方法与直角三角形相关的问题紧密结合.在一个直角三角形中，如果其中两条边分别是6和10，那么第三条边的长度是：_____.考点：直角三角形的勾股定理已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式√c2−a2−b2+|a−b|=0,则△ABC 的形状为_____.考点：勾股定理的逆定理，判定直角三角形如图，△BCD中，AB=4，AD=3, BC=13, CD=12, 且∠BAD=90○, 求△BCD的面积.考点：勾股定理的逆定理. 首先求出BD，得出△BDC是直角三角形.（二）相似三角形1、几类经典的相似模型（1）A字形相似和8字形相似如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为:_____.注意是“截得”的三角形，那么对应前面的总结，应当考虑的是截线与边的夹角∠AMN 与∠B 或∠C对应，要分类讨论,两种情况下对应关系不同，就能求出两个结果.如图，已知在△ABC中，AB=20,BC=12,D是AC上一点，过点D作DE//BC交AB于E，作DF//AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形.①求菱形的边长②求菱形BEDF面积与△ABC的面积之比.如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若AFEF =3，求CDCG的值.①尝试探究：在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则易求ABEH 的值是:_____,CGEH的值是:_____, CDCG的值是:_____.②类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFEF =m(m>0), 则CDCG的值是:_____(用含m的代数式表示)，写出解答过程;③拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若ABCD =a,BCBE=b(a>0,b>0),则AFEF的值是：_____（用含a、b的代数式表示.）写出解答过程构造相似，其思路是结合已知条件（线段的比），使之称为相似三角形中的对应边.（2）射影定理已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图，求证:△CEF∼△CBA.如图，在△ABC中，∠ACB=90○,AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：AD⋅PB=AB⋅BD.3、共线三等角（1）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60○,则AE的长为：_____.将条件标上，应该就能找到相似模型了.（2）△ABC中，∠C=90°, AC=3, BC=4,O是AB上的一个点,且AOAB =25,点P是AC上的一个动点,PQ⊥OP交线段BC于点Q(不与B、C重合)，已知AP=2，求CQ的长.思路是由O作垂线构造三等角模型.4、旋转相似（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=∠CAD.证明：①△ACE∼△ADF②EA=EF.（2）1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB;3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB=HA:AE=m:n，此时HD:GC:EB 的值与2）中结果相比有变化吗？如果有，写出变化后的结果.（三）解三角形1、锐角三角函数（1）如图所示小正方形网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cosA的值为：_____.（2）在△ABC中，∠C=90°，AB=√6,BC=√3,则∠A的度数为：_____.（3）计算题在△ABC中，若,∠A、∠B都是锐角，求∠C的度数.2、解三角形（1）如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,∠A=120°，求BC的长.解三角形的一个重要方法是作高线构造直角三角形，然后利用勾股定理..求BC和AC的长.（2）如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=2√2,tanC=23（3）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面水平放置一个平面镜E，使得B，E，D处在同一水平线上，如图所示. 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）,在F处观测旗杆顶A 的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3○≈10.02）（4）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A,C两港之间的距离为：_____（5）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD=60°,坡长AB=20米,为增强水坝强度,将坡底从A处向后水平延伸到E处,使新的背水坡的坡度为1:2,求AE 的长度.(结果精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732).。

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理A两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CFAB AC=． ABC E FFEC BA平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC=，则有EF//BC ．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的定义3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，∽△△ABC A B C '''，则有 A A '∠=∠，B B C C ''∠=∠∠=∠，．②相似三角形的对应边成比例．如图，∽△△ABC A B C '''，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，△ABC ∽△A B C '''，AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线，A M ''、A H ''和A D ''是△ABC '''中B C ''边上的中线、高线和角平分线，则有AB BC AC AM AH ADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC ∽△A B C '''，则有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，△ABC ∽△A B C '''，则有 △△ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H 2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅24．相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果AB BC ACA B B C A C ==''''''，则 △∽△ABC A B C '''．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果AB ACA B A C =''''，'A A ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．五、“A ”字和“8”字模型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，E 、F 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则有：△∽△ADG ABC ，DG ANBC AM=．特别地，当BAC ∠=90︒时，有△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC ．NM GFE DCB AGFEDCBA七、“A ”字和“8”字模型的构造“A ”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：G EDCAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBAGA HDFBECAGDF BEC八、斜“8”模型九、斜“A”模型十、射影定理十一、三平行模型十一二、三垂直模型十三、角平分线定理十四、线束模型题型一比例的性质和成比例线段的概念例题1 （1）已知::::x y z =135，则x y zx y z+3--3+的值是_______．（2）若x y z 234==．则x y z x y-+3=3-_______．（3）若a b c 2=3=4，且abc ≠0，则a bc b+-2的值是_______．解析（1）设x k =，y k =3，z k =5．∴x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53；（2）113；（3）-2 巩固1：（1）如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ．123x y = D ．1314x y +=+ （2）已知：23a c e b d f ===，求值：①a cb d++；②2323a c e b d f -+-+．（3）已知b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+++的值．解析：（1）A 为合比性质，B 为分比性质，C 显然正确，D 错误，由于11x y ≠，不能用等比定理．故答案为D ．（2）由等比性质直接可以得到23a c b d +=+；232233a c eb d f -+=-+．（3）当0a bc ++≠时，()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++ 于是：2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=，()()()a b b c a c abc+++=8．当0a b c ++=时，()()()()()()a b b c a c c a b abc abc+++-⋅-⋅-==-1．本题答案为1-或8．题型二平行线分线段成比例定理例题2（1）如图2-1，已知∥∥l l l 123，用面积法证明：AB DEBC EF=．（2）如图2-2，∥∥AD BE CF ，若AB =4，AC =10，DE =5，则DF =______．（3）如图2-3，∥∥l l l 123，AB =3，BC =5，DF =12，则_______DE =，______EF =．A D BECF l 12l 3lAD B ECFA DBECF l 12l l 3图2-1 图2-2 图2-3（1）如图所示，连接AE ，BD ，BF ，CE ．△△ABECBES AB BC S =∴． ∥AD BE ∵，∥BE CF ，△△ABE DEB S S =∴，△△CBE FEB S S =．△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DEBC S S EF===∴．（2）252；（3）92，152．巩固2：（1）如图2-1，直线∥∥l l l 123，已知.cm AG =06，.cm BG =12，.cm CD =15，CH =_____．（2）如图2-2，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若AD BD 2=3，AE =3，则AC =______（3）如图2-3，AB ∥DE ，AE 与DB 交于C ，AC =3，BD =3，CD =2，则CE =______A CH GDBl 1l 2l 3B ADEABC图2-1 图2-2 图2-3解析：（1）0.5cm ；（2）152；（3）6 题型三相似三角形的定义、性质和判定例题3如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC =90︒，∥AD BC ，点E 在BC 上，点F 在AC上，∠∠DFC AEB =．（1）求证：△∽△ADF CAE ．（2）当AD =8，DC =6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．解析：（1）∵∥AD BC ，∴∠∠DAF ACE =，∵∠∠DFC AEB =，∴DFA AEC ∠=∠，∴△∽△ADF CAE（2）∵AD =8，DC =6，∴AC =10，又∵F 是AC 的中点，∴AF =5 ∵△∽△ADF CAE ，∴AD AF CA CE =，∴CE 85=10，∴CE 25=4，∵E 是BC 的中点， ∴BC 25=2，∴直角梯形ABCD 的面积125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭A D BECF l 12l 3l F EDCBA巩固3：（1）下列所给条件中，可以判断△ABC 与△DEF 相似的是（） A ．90A ∠=︒，90F ∠=︒，5AC =，13BC =，10DF =，26EF = B ．85C ∠=︒，85E ∠=︒，AC DEBC DF=C ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，8EF =，10DE =，16FD = D ．46A ∠=︒，80B ∠=︒，45E ∠=︒，80F ∠=︒（2）如图1，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，交BA 于点E ，EC 与AD 相交于点F ．求证：△∽△ABC FCD ．（3）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，BD CE BC 21⋅=2，求证：△∽△ACE DBA ．AEF DADB CE图1 图2解析：（1）D ；（2）AD AC =∵，FDC ACB ∠=∠∴；DE ∵垂直平分BC ，EB EC =∴， ∴ABC FCD ∠=∠，△∽△ABC FCD ∴.（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ．题型四 “A ”字和“8”字模型例题4 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105．（2）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固4：（1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为．（2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAAB CEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型五与内接矩形有关的相似问题例题5（1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=．由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固5：如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF ABGFED CBA H MACDEG BIHHPED CB A解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24．由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37．法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型六 “A 字和“8”字模型的构造例题6如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，AH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， ∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3．还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固6：如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点．（1）若BK KC 5=2，求CDAB的值；（2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ，∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ，∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2，ABDECC DEKBA而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-．题型七斜“A ”和斜“8”模型例题7如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB =，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固7：（1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅．（2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．FECDBAA DEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2．方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥，又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅，又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2．总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找ADEF CM123ED CAB巩固8：在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明．（2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）图3图2图1lP FEDCB AFP EDC BAlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC BA图3lPFED CB A 图8-1 图8-2 图8-3 解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下： ∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△．（2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型八射影定理例题8如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅．解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅，又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固9：（1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅． GHFED CB ACAEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△．（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅，于是仅需证明AB FDAC ED=，由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证．题型九三垂直模型例题9如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠，又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固10：（1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB AByD E OAxC图10-1 图10-2EDCG FBM A解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==， ∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =，又∵4EF =，∴CE =，CF =BC，AB ， ∴矩形ABCD的周长为（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===，设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-，解得45x =，故45CG =，125DF =，求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固11：如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ．（1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠，又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△．（2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PAa =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十三平行模型例题10 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ．（1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．DFAPQFEMDCBA解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥．（2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．巩固12：如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点．由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+．题型十一角平分线定理例题11 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- ∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固13：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD ACDB BC ==，由于5AB ==，31577AD AB ==∴ B AED（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+．巩固14：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．P DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴，又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴．题型十二线束模型例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =．法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ，由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法．法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ，交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3，即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN DEFQP GABCMNDEF巩固15：（1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． FED NMCBA（2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=；（2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点；（3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅．题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t 2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60． ②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴tt t23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固16：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

相似三角形的判定十大题型

在△BPG 中，∵∠B＝45°，
∴∠AGB＝∠CPF，
∴∠BPG+∠BGP＝135°，
∵∠B＝∠C，
∴∠BGP＝∠CPF，
∴△PBG∽△FCP．
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP；
【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
【例 4】四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，连接 DE，CE．（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形 ABCD 为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求 AE 的长．（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断 AE 和 BE 的数量关系并说明理由．
解：（1）∵D、E 分别是 AC、BC 的中点， ∴DE∥AB，DE= 12AB＝5， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B， ∴∠DEC＝∠F， ∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠CDE＝∠F， ∵∠CED＝∠DEF， ∴△CDE∽△DFE．
出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似？（只考
虑以点 A、O 为对应顶点的情况）
解：（1）C（3，4），D（9，4）；
（2）易知：OB＝AB＝10；
∵C 点坐标为（3，4），
∴点 C 到 x 轴的距离为 4
①当点 D 在线段 OA 上，即 0＜t≤6 时，OD＝2t；
则：S=
12OD×4=
1 2
×2t×4＝4t；
②当 D 在线段 AB 上，即 6≤t＜11 时，BD＝OA+AB﹣2t＝22﹣2t；

(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）

九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。

一、相似三角形的概念如图所示：在△ABC 和△A'B'C' 中，如果则△ABC 和△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作“相似于” 。

注：当相似比为1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。

二、相似三角形的判定方法（4种方法）1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见图形及其变换四、例题讲解例题1、下列说法错误的是（ C ）A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；B、全等的两个三角形一定相似；C、对应角相等的两个多边形相似；D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似。

例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点G 。

① 求证：△ABE∽△DEF；② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。

注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。

例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。

初三数学相似三角形经典题型

初三数学相似三角形经典题型相似三角形是初中数学中常见的一个重要概念，也是一种经典的题型。

相似三角形的性质和应用在数学学习和实际问题中都具有很大的意义。

本文将介绍相似三角形的定义、判定方法以及相关的经典题型。

一、相似三角形的定义与判定相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

在数学中，我们可以通过以下两种方法判定两个三角形是否相似。

1. AAA（全等对应角）判定法:如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. AA（对应角）判定法:如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

此时，我们还需要知道两个对应角的两边比例是否相等。

例如，如果角A等于角D，角B等于角E，而且边AB与边DE的比例等于边AC与边DF的比例，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

以上两种判定法在实际解题中非常有用，也是帮助我们分析和解决问题的基础。

二、相似三角形的经典题型1. 求相似三角形的边长比例:已知两个相似三角形的某一个边长比例，求另一个边长的比例。

例如，已知相似三角形ABC与三角形DEF的边长比例为AB：DE = 2：3，BC：EF = 5：6，求AC：DF的比例。

解题思路：首先，我们可以假设AC：DF的比例为x：y。

根据相似三角形性质，我们可以列出一个等式：AB：DE = AC：DF2：3 = 5：6根据等式可以得出2y = 3x，5y = 6x。

进一步求解该等式，可以得到x：y的比例为2：5/3。

2. 利用相似三角形求解实际问题:有时候，我们需要利用相似三角形的性质来解决实际问题。

例如，一根高杆和一根矮杆在地面上的距离是30米，两杆的视角是60°和30°。

如果两根杆的高度之差是6米，求高杆的高度。

解题思路：我们可以设高杆的高度为h，矮杆的高度为h-6。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE

初中九年级相似相似三角形知识点总结及经典例题解析

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册

【分析】在△ABC 的边 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可．【详解】证明：在△ABC 的边 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′
【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM．【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠ BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似．【变式】（2022 秋·九年级课时练习）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．
【例 3】（2022 秋·九年级课时练习）已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
AB AB
BC BC
AC AC