课时跟踪检测 (二十四) 对数的运算

课时跟踪检测 （二十四） 对数的运算

层级(一) “四基”落实练

1．若3a ＝2，则log 38－2log 36用含a 的代数式可表示为( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2

D ．3a －a 2

解析：选A 由3a ＝2得a ＝log 32，所以log 38－2log 36＝log 323－2log 3(2×3)＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.

2．化简 (log 23)2－4log 23＋4＋log 21

3

得( )

A ．2

B ．2－2log 23

C ．－2

D ．2log 23－2

解析：选B

(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23.

∴原式＝2－log 23＋log 23－1＝2－2log 23.

3．(多选)若x ＞0，y ＞0，则下列各式中，恒等的是( ) A ．lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y ) B ．lg x 2＝2lg x C.lg x n ＝lg x n

D ．lg x 1n

＝lg x

n

解析：选BD A 项，lg x ＋lg y ＝lg(xy )，B 项，lg x 2＝2lg x ，C 项，lg x

n ＝lg x －lg n ，D

项，lg x 1n

＝1

n lg x .

4．已知3x ＝4y ＝k ，且2x ＋1

y ＝2，则实数k 的值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2

D ．6

解析：选D 由3x ＝4y ＝k 得x ＝log 3k ，y ＝log 4k ， 所以1x ＝log k 3，1

y

＝log k 4，

所以2x ＋1

y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 36＝2， 所以k 2＝36，又k ＞0， 所以k ＝6.故选D.

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥0，f (x ＋2)，x ＜0，则f ⎝⎛⎭

⎫log 21

5＝( ) A.5

16 B ．54

C.52

D ．5

解析：选A ∵log 21

5＜0，

∴f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫log 215＋2＝f ⎝⎛⎭⎫log 245， ∵log 24

5

＜0，

∴f ⎝⎛⎭⎫log 245＝f ⎝⎛⎭⎫log 245＋2＝f ⎝⎛⎭⎫log 2165， ∵log 2165

＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 2165＝⎝⎛⎭⎫122log 16

5

＝(2－1)

2

log 165

＝2

2

log 165

＝

5

16

，故选A. 6．已知⎝⎛⎭⎫17a ＝1

3，log 74＝b ，则log 4948＝________(用含a ，b 的式子表示)． 解析：由⎝⎛⎭⎫17a ＝13，得a ＝log 73，又b ＝log 74， ∴log 4948＝lg 48lg 49＝lg 3＋2lg 42lg 7＝log 73＋2log 742＝a ＋2b 2.

答案：

a ＋2

b 2

7．已知函数f (x )＝

13x ＋1

，则f (log 2

3)＋f ⎝⎛⎭⎫log 419＝________. 解析：∵log 23＋log 41

9＝log 23－log 23＝0，

f (－x )＋f (x )＝13－x ＋1＋13x ＋1＝3x 3x ＋1＋1

3x ＋1＝1.

∴f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 41

9＝1. 答案：1

8．已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝2

3(lg E －11.4)．若A 地地震级

别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，则A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的________倍．

解析：设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，

则9＝23(lg E 1－11.4)，8＝2

3

(lg E 2－11.4)，

所以lg E 1＝24.9，lg E 2＝23.4，从而lg E 1－lg E 2＝1.5，即lg E 1E 2＝1.5，所以E 1

E 2

＝101.5＝1010，

即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍． 答案：1010 9．计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40

；

(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1. 解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg

5

4

lg 54＝1.

(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1

＝lg 2(lg(2)2＋lg 5)＋

(lg 2－1)2

＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.

10．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)．

解：设抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a ， 则a (1－60%)n ＜0.1%a ，即0.4n ＜0.001， 两边取常用对数，得n ·lg 0.4＜lg 0.001， ∴n ＞lg 0.001

lg 0.4＝－32lg 2－1

≈7.5.

故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.

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