课时跟踪检测 (二十四) 对数的运算

课时跟踪检测 （二十四） 对数的运算
层级(一) “四基”落实练
1．若3a ＝2，则log 38－2log 36用含a 的代数式可表示为( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2
D ．3a －a 2
解析：选A 由3a ＝2得a ＝log 32，所以log 38－2log 36＝log 323－2log 3(2×3)＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.
2．化简 (log 23)2－4log 23＋4＋log 21
3
得( )
A ．2
B ．2－2log 23
C ．－2
D ．2log 23－2
解析：选B
(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23.
∴原式＝2－log 23＋log 23－1＝2－2log 23.
3．(多选)若x ＞0，y ＞0，则下列各式中，恒等的是( ) A ．lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y ) B ．lg x 2＝2lg x C.lg x n ＝lg x n
D ．lg x 1n
＝lg x
n
解析：选BD A 项，lg x ＋lg y ＝lg(xy )，B 项，lg x 2＝2lg x ，C 项，lg x
n ＝lg x －lg n ，D
项，lg x 1n
＝1
n lg x .
4．已知3x ＝4y ＝k ，且2x ＋1
y ＝2，则实数k 的值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2
D ．6
解析：选D 由3x ＝4y ＝k 得x ＝log 3k ，y ＝log 4k ， 所以1x ＝log k 3，1
y
＝log k 4，
所以2x ＋1
y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 36＝2， 所以k 2＝36，又k ＞0， 所以k ＝6.故选D.
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥0，f (x ＋2)，x ＜0，则f ⎝⎛⎭
⎫log 21
5＝( ) A.5
16 B ．54
C.52
D ．5
解析：选A ∵log 21
5＜0，
∴f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫log 215＋2＝f ⎝⎛⎭⎫log 245， ∵log 24
5
＜0，
∴f ⎝⎛⎭⎫log 245＝f ⎝⎛⎭⎫log 245＋2＝f ⎝⎛⎭⎫log 2165， ∵log 2165
＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 2165＝⎝⎛⎭⎫122log 16
5
＝(2－1)
2
log 165
＝2
2
log 165
＝
5
16
，故选A. 6．已知⎝⎛⎭⎫17a ＝1
3，log 74＝b ，则log 4948＝________(用含a ，b 的式子表示)． 解析：由⎝⎛⎭⎫17a ＝13，得a ＝log 73，又b ＝log 74， ∴log 4948＝lg 48lg 49＝lg 3＋2lg 42lg 7＝log 73＋2log 742＝a ＋2b 2.
答案：
a ＋2
b 2
7．已知函数f (x )＝
13x ＋1
，则f (log 2
3)＋f ⎝⎛⎭⎫log 419＝________. 解析：∵log 23＋log 41
9＝log 23－log 23＝0，
f (－x )＋f (x )＝13－x ＋1＋13x ＋1＝3x 3x ＋1＋1
3x ＋1＝1.
∴f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 41
9＝1. 答案：1
8．已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝2
3(lg E －11.4)．若A 地地震级
别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，则A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的________倍．
解析：设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，
则9＝23(lg E 1－11.4)，8＝2
3
(lg E 2－11.4)，
所以lg E 1＝24.9，lg E 2＝23.4，从而lg E 1－lg E 2＝1.5，即lg E 1E 2＝1.5，所以E 1
E 2
＝101.5＝1010，
即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍． 答案：1010 9．计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40
；
(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1. 解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg
5
4
lg 54＝1.
(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1
＝lg 2(lg(2)2＋lg 5)＋
(lg 2－1)2
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.
10．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)．
解：设抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a ， 则a (1－60%)n ＜0.1%a ，即0.4n ＜0.001， 两边取常用对数，得n ·lg 0.4＜lg 0.001， ∴n ＞lg 0.001
lg 0.4＝－32lg 2－1
≈7.5.
故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
层级(二) 素养提升练
1．函数f (x )＝ax 5－bx ＋1，若f (lg(log 510))＝5，则f (lg(lg 5))的值为( ) A ．－3 B ．5 C ．－5
D ．－9
解析：选A lg(log 510)＝lg ⎝⎛⎭⎫
1lg 5＝－lg(lg 5)， 设t ＝lg(lg 5)，则f (lg(log 510))＝f (－t )＝5. 因为f (x )＝ax 5－bx ＋1， 所以f (－t )＝－at 5＋bt ＋1＝5， 则f (t )＝at 5－bt ＋1， 两式相加得f (t )＋5＝2，
则f (t )＝2－5＝－3，即f (lg(lg 5))的值为－3.
2．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近
3361
10 00052
的是(lg 3≈0.477)( )
A ．10－37
B ．10
－36
C ．10
－35
D ．10
－34
解析：选B 据题意，对336110 00052取对数可得lg 3361
10 00052
＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，即可得3361
10 000
52
≈10－35.8. 分析选项：B 中10－36与其最接近，故选B. 3．方程lg(4x ＋2)＝lg 2x ＋lg 3的解是________．
解析：原方程可化为lg(4x ＋2)＝lg(2x ×3)，从而可得4x ＋2＝2x ×3，令t ＝2x ，则方程可化为t 2＋2＝3t ，即t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1或t ＝2，即2x ＝1或2x ＝2，所以x ＝0或x ＝1.经检验，x ＝0与x ＝1都是原方程的解．
答案：x ＝0或x ＝1
4．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p 的值． (2)求证：1z －1x ＝1
2y
.
解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (k ＞1)． 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p log 3k
log 34.
∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34. (2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1
log 3k
＝log k 6－log k 3＝log k 2.
又∵12y ＝12
log k 4＝log k 2，∴1z －1x ＝12y .
5．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1
2
.
又∵a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1
2.
∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )
＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭
⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b
＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b
lg a ·lg b
＝2×22－2×
12
1
2
＝12，
即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。