第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法

偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。

解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数

一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题

对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题

§2.1 有界弦的自由振动

什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。

定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为

.0 ),(u ),(u 0,

,0u ,0u 0, l,0 ,0

t

0022

222l x x x t t x x

u a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ

分析：

1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。

2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，

由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。 启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。

由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：

)()(),(t T x X t x u =

的非零解。

将),(t x u 代入方程，可得

)

()

()()()()()()(2'''''

'2

'

'x T a x T x X x X t T x X a t T x X =

⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。设为λ-，则有

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.

0)()(,0)()()()()()( '

'2

'

'2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ

将边界条件代入),(t x u 得

,0)()()()0(==t T l X t T X

此时，必有

,0)()0(==l X X

这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量

目标：分离变量形式的解)()(),(t T x X t x u =

结果：得到函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程，

.

0)()0(,

0)()(''===+l X X x X x X λ

条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的

现在我们求解函数)(x X 满足的常微分方程定解问题。我们发现：方程中含有待定常数λ，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同：

并非对任一的λ，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解；

只有当λ取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。 有非零解的λ称为该问题的特征值 相应的非零解称特征函数

而)(x X 满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。

第二步：求解特征值问题

1) 若0<λ，方程的通解形式为

x

x

Be Ae

x X λλ--

-+=)(

由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。 2) 若0=λ，方程的通解形式为

B Ax x X +=)(

由边界条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。

3) 若0>λ，方程的通解形式为

x B x A x X λλsin cos )(+=

代入边界条件得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧===⇒⎩⎨⎧==,...3,2,1 ,)(,00sin ,02n l n A l B A πλλ 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====,...3,2,1 ,sin )(,...3,2,1 ,)(2n x l n B x X n l

n n n n ππλ 第三步：求特解，并叠加出一般解

求解了特征值问题后，将每特征值n λ代入函数)(t T 满足的方程可得出相应的解

,...3,2,1 ,sin cos

)('

'

=+=n at l

n D at l n C t T n n n ππ 因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解

,...)3,2,1( ,sin )sin cos (),(=+=n x l

n at l n D at l n C t x u n n n π

ππ

注：

这样的特解有无穷多个

每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件

一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法

找到n n D C ,满足

)(sin ),(sin

x x l

n l a n D x x l n C n n ψπ

πϕπ==。

把全部特解叠加起来

,sin )sin cos

(),(1

∑∞

=+=n n n x l

n at l n D at l n C t x u π

ππ 我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则),(t x u 也满足齐次边值问题。 下面选择合适的n n D C ,使),(t x u 满足初始条件，即

∑∑∞

=∞

===1

1).(sin ),(sin

n n

n n x x l

n l a n D x x l

n C ψπ

πϕπ