第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。

解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。

定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。

2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。

启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。

由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。

将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。

因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。

设为λ-，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.0)()(,0)()()()()()( ''2''2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ将边界条件代入),(t x u 得,0)()()()0(==t T l X t T X此时，必有,0)()0(==l X X这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量目标：分离变量形式的解)()(),(t T x X t x u =结果：得到函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程，.0)()0(,0)()(''===+l X X x X x X λ条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的现在我们求解函数)(x X 满足的常微分方程定解问题。

我们发现：方程中含有待定常数λ，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同：并非对任一的λ，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解；只有当λ取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。

有非零解的λ称为该问题的特征值 相应的非零解称特征函数而)(x X 满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。

第二步：求解特征值问题1) 若0<λ，方程的通解形式为xxBe Aex X λλ---+=)(由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。

2) 若0=λ，方程的通解形式为B Ax x X +=)(由边界条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。

3) 若0>λ，方程的通解形式为x B x A x X λλsin cos )(+=代入边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧==,...3,2,1 ,)(,00sin ,02n l n A l B A πλλ 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,...3,2,1 ,sin )(,...3,2,1 ,)(2n x l n B x X n ln n n n ππλ 第三步：求特解，并叠加出一般解求解了特征值问题后，将每特征值n λ代入函数)(t T 满足的方程可得出相应的解,...3,2,1 ,sin cos)(''=+=n at ln D at l n C t T n n n ππ 因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解,...)3,2,1( ,sin )sin cos (),(=+=n x ln at l n D at l n C t x u n n n πππ注：这样的特解有无穷多个每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法找到n n D C ,满足)(sin ),(sinx x ln l a n D x x l n C n n ψππϕπ==。

把全部特解叠加起来,sin )sin cos(),(1∑∞=+=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则),(t x u 也满足齐次边值问题。

下面选择合适的n n D C ,使),(t x u 满足初始条件，即∑∑∞=∞===11).(sin ),(sinn nn n x x ln l a n D x x ln C ψππϕπ第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数 事实上，我们知道⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒==⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰∞=∞=dx l n x a n D dx l n x l C xdx l m x xdx l m x l n l a n D dx l m x xdx l m x l n C l n l n l n l n l n l n 00010010sin )(2,sin )(2.sin )(sin sin,sin )(sin sin πψππϕπψππππϕππ补充内容：f(x)的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n lx n b l x n a a x f ππ其中⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--l l n l ln n dx l xn x f l b n dx l x n x f l a )2,1,0(,sin )(1)2,1,0(,cos )(1 ππ总结：利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤： 第一步：分离变量这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐次的。

而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件，即特征值问题； 第二步：求解特征值问题；第三步：求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）； 第四步：利用特征函数的正交性确定叠加系数。

严格来说，上面得到的还是形式解，对于具体问题，还必须验证：1) 这样得到的),(t x u 是否满足偏微分方程，换句话说，级数解是否可以逐项求二阶导数；2) 是否满足 边界条件，即是否连续； 3) 确定系数时，逐项积分是否合理。

关于上三个问题，都涉及到级数解的收敛性，由于系数n n D C ,都是由)( )(x x ψϕ决定的，因而)( )(x x ψϕ的性质就决定了上三个问题的回答。

可以证明若 )(x ϕ三次可微，)( x ψ二次可微，0)()0()()0()()0(''''======l l l ψψϕϕϕϕ，则问题解存在，且此解可用上面的级数形式给出（见复旦大学《数学物理方程》）。

从理论上讲，分离变量法之所以成功，要取决于下列几个条件： 1) 特征值问题有解；2) 定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备的；3) 特征值函数一定具有正交性。

以后适当回答这些问题。

解的物理意义 先看特解xln t A x ln at l n D at l n C t x u n n n n n n πθωπππsin )cos( sin )sin cos(),(-=+=其中nn n n n C D l an D C A arctan , ,n n 22==+=θπω。

),(t x u n 代表一个驻波驻波：频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。

波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。

x ln A n πsin表示弦上各点的振幅分布n ω是振动的固有频率，称为弦的固有频率或特征（本征）频率n θ为初相位，由初始条件决定在n m nlmx lm a n ,...2,1,0 ,===即ππ的各点上，振动振幅恒为零，称为波节（节点），包含两个端点共有1+n 个节点在1,...2,1,0 212l ,212－＋即＋n m nm x m l a n ===ππ的各点上，振幅绝对值恒为最大，称为波峰（腹点），共有n 个满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加，因此也称分离变量法为驻波法就两端点固定的弦来说，固有频率中有一最小值，即laπω=1，称为基频，其他频率都是其倍数，称为倍频。

实际例子：弦的基频决定了声音的音调。

在弦乐器中，当弦的质料一定时，可以通过改变弦的绷紧程度，调解1ω的大小。

● n n D C ,的相对大小，决定了声音的频谱分布，即决定了音色。

● 和数∑+][222n n D C n 与弦的能量成正比，决定了声音的强度。

分离变量法举例例题 1. 有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为1000)10()(x x x -=ϕ，求弦作微小横振动的位移。

解：设位移为),(t x u ，它的定解问题.100 ,0u ,1000)10(u 0,,0u ,0u 0, ,010 ,0t010022222≤≤=-=>==><<∂∂=∂∂====x x x t t x x u a t u t t x x的解。

给定100002=a ，显然，这个问题的傅立叶级数解可由sin )sin cos(),(1∑∞=+=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 给出，其系数为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-===⎰⎰为奇数。

，当为偶数，当n 54n0, )cos 1(52sin 5000)10(sin )(2,033331000πππππϕn n n xdx l n x x dx x l n x l C D l n n因此，所求的解为10)12(sin )12(10cos 12154),(033∑∞=+++=n x n t n n t x u πππ）（ 例题2. 解定解问题.0 ,0u ,2u 0,,0x u,0u 0, ,0 ,0t20022222l x lx x t t l x x u a t u t t lx x ≤≤=-=>=∂∂=><<∂∂=∂∂====解：运用分离变量可得)()(,0)()(''2''=+=+x X x X t T a t T λλ将边界条件代入可得.0)( ,0)0('==l X X相应的特征值问题.0)( ,0)0(,0)()('''===+l X X x X x X λ重复前面的解法，知当0>λ时，特征值问题有解，此时通解形式为x B x A x X λλsin cos )(+=代入边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+==⇒⎩⎨⎧==,...)2,1,0( ,212,00cos ,02n l n A l B A πλλλ 从而求得一系列特征值和特征函数,...)2,1,0( ,212sin )(,...)2,1,0( ,2122=+==⎪⎭⎫⎝⎛+=n x ln B x X n l n n n n ππλ与这些特征值相对应得0)()(2''=+t T a t T λ的通解表示为at ln D at l n C t T n n n 2)12(sin 2)12(cos)(''ππ+++= 于是，所求定解问题的形式解可表示为,2)12(sin )2)12(sin 2)12(cos(),(0∑∞=++++=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 利用初始条件确定其中的系数得,)12(322)12(sin )2(2033202ππ+-=+-==⎰n l xdx l n lx x l C D l n n故所求的解为,2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0332∑∞=+++-=n x l n at l n n l t x u πππ。