勾股定理与旋转

1 如图正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上的一点，DE=1,以点A 为中心，把∆

时针旋转90º得∆ABE ´，连接EE ´，则EE ´的长为＿＿＿＿＿

2如图，P 为等边三角形内一点，PC=5,PB=12, ∠BPC=150º （1）求PA 的长

（2）将⊿BAP 绕点B 顺时针旋转60º，请画出旋转后的图形，并标出相应点的字母，

连接CA ＇,则∆BA ´P 为＿＿三角形，∆PA ´C 为＿＿三角形，PA ´=＿＿＿

(3) PC ， PA ´ ，A ´C 之间有何等量关系

3 ∆ABC 中，∠BAC=90º AB=AC ∠EAD=45º （1）当点在线段上时，求证BE ²＋CF ²=EF ²

(2)将∆ABE 绕＿＿点＿＿时针旋转＿＿度,得∆ACE ´，连接DE ´，则∠E ´CD=＿＿∠1＋∠2=＿＿＿ ∠E ´AD=∠2＋∠3=＿＿＿ ∆ AED ≌∆＿＿

（3）当点E 在线段BC 上时，D 在BC 延长线上时，上述结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由

B

C

D

E

E

A

B

C P

A

B

C

D

E

4, ∆ABC 中， ∠ACB=90º，AC=BC ，点P 是∆ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的

度数

5、 P 是正方形ABCD 内一点，连接PA,PB,PC （1）将∆PAB 绕点B 顺时针旋转90º到∆P ´CB 的位置，若PA=2，PB=4，∠APB=135º ,求PP ´及PC 的长

6 如图，Rt ∆ABC 中，AC=BC ， ∠ACB=90º ，AP ²+QB ²=PQ ²，将∆ACP 绕点C 逆时针旋转90º得∆CBP ´，连QP ´（1）求证PQ=P ´Q （2）求证∆CPQ ≌CP ´Q （3）求∠PCQ

B

C

A

P

C

D

B

A

P

B

C

Q

P

A

P

7 正∆ABC 中，P 为内部一点（1）若PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB （2）若PA ²＋PB ²=PC ²，求∠APB

8、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。

9、如图：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则 APB 的度数是________.

A C

P 34

5

10、 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。

A B C

D

P

A

B

P

P C

A

P

B

C

11、请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD 的边长．

12、正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。．

13．如图（4-1），在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。

1

2

3

A

B C P

14、 如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，

将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（ ）

A ．②④；

B ．①④；

C ．②③；

D ．①③

15、：.阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图(10)，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB 的度数． (2)、请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF=45°，求证：EF 2

=BE 2

+FC 2

．

B C

D E F A