矩阵函数及其应用
矩阵论-第六章矩阵函数及其应用2012
1第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 邱启荣华北电力大学数理系QQIR@第六章矩阵函数及其应用2第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR§6.1 矩阵幂级数3第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 2)(rA A +≤ρ因此||||||||||k k k k c A c A ≤⋅2()||()kk A r c ρ+≤4第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR5第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 6第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR10()kk A E A +∞−==−∑10.90.70.30.4−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠0.40.71000.30.957⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠7第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=901571525118443210A 是行对角占优,不是列对角占优。
8第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0..................0 01...00............0...100...01 00............0...00 (0221)222222111111122211nnn nnn n nn a a a a a a aa a a a a a a a A ()E B Λ=+9第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR §6.2 矩阵函数∑∞=⋅⋅⋅++++==032!31!21!1k k A A A A E A k e ∑∞==0)(k kk A c A f ⋅⋅⋅+−+−=642!61!41!21cos A A A E A 10第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR∑∞=⋅⋅⋅++++==032!31!21!1k k AA A A E A k e ⋅⋅⋅+−+−=642!61!41!21cos A A A E A 11第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 例6.2.1求微分方程组112212113214221dx x x dt dx x x dt dx x x dt ⎧=−++⎪⎪⎪=−++⎨⎪⎪=+−⎪⎩))(()(00∫−+=tAt At dt t f e C e t x 12第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR2342111234()!!!E At t t t A =+++++⋅⋅⋅21()t E At e t A =++−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−++−−=t t t e t e e t t t t t 121012402113第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR dt e e t e e t t ttt e t e e t t tt t t x t t t t tt t t ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+−−+−−++⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−++−−=∫−−−012112101240211111210124021)(120142101212110t t t ttt t t t t e e t e ⎛⎞−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠121()t t e ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠14第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR例6.2 已知sin53sin 2sin52sin sin5sin 1sin sin5sin 2sin52sin sin5sin 4sin53sin 2sin52sin sin53sin t tt tt t At t tt t t t t tt t t t +−−⎛⎞⎜⎟=−+−⎜⎟⎜⎟+−+⎝⎠15第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR1)()(−=P J Pf A f ),,,()(02010∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⋅⋅⋅==k m s k k mk k m k k k k J c J c J c diag J c J f ))(),...,(),((21s J f J f J f diag =ii k k i i ii J ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅=λλλ1..1..ii k k i H ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅=01..010..ii i H E J −=λ16第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅=00.1.....100......2i H ""0,,p i i H p k =≥ki k i k z k f z f )(!)()(0)(λλ−=∑+∞=ki i k i k i E J k f J f )(!)()(0)(λλ−=∑+∞=ki i k k i k E J k f i)(!)(0)(λλ−=∑=kik k i k i H k f E f i∑=+=1)(!)()(λλii i k k i i i i i k i i i f f f k f f f J f ×−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′⋅⋅−⋅⋅⋅′=)(!1)(.....)()!1()(!1)()()(..)1(λλλλλλ17第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR (3) 求1)()(−=P J Pf A f 18第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR19第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2cos 002sin 2cos 022cos 2sin 2cos cos J 1)(cos cos −=PJ P A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−+−−−+−−−+=2sin 52sin 2sin 32cos 5.02sin 72cos 2sin 2cos 2sin 42cos 5.02sin 102cos 22sin 22sin 62cos 220第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200120002J ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010001)4sin(J π⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22220000e e ee e J 21第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100010001⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛22201000e e e ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22220000e e e e e J 22第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR1−=P Pe e J A )(21)det()det(A tr J A e e e e n ===+⋅⋅⋅++λλλ（2）由于Ee e e e A A A A ===−−0AA e e −−=1)(23第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR §6.3 矩阵函数的一般定义及其计算24第六章矩阵函数及其应用Made By QQIRsms m )...()()(11λλλλλϕ−−=25第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 26第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR)()()()(z r z h z z g +=ϕ27第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 求矩阵函数的待定系数法28第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR3)2()(−=λλϕ。
实对称矩阵的两个特征值函数及其应用
摘
要： 针 对 较 高 维数 矩 阵 的 特 征 值 求 解 问题 ， 定 叉 实对 称 矩 阵 的 两 个 特 征 值 函 数 ， 分 别 用 来 求 解 实 对 称 矩 阵 的 前
Ｐ 个 最 大特 征值 和 最 小 特征 值 的 和 ； 讨论 了这 两 个 特 征 值 函 数 的 性 质 ， 列举 这 两个函数在 现代控 制理论 等领域 中
矩阵 的特 征值 是矩 阵理 论 中非常 重要 的概 念之 一 ， 在 管理 科 学 、 数理 经 济学 、 控 制 科 学 与 工 程 等 领 域 应
ｗｅ ｒ ｅ ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｗｅ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｍ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｐ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｍ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｐ ｍｉ ｎ ｉ —
（１ ． Ｃｏｌ ｌ ｅ ｇｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎｄ Ｓｙｓ ｔ ｅ ｍｓ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ， Ｓｈａ ｎ ｄｏ ｎｇ Ｕ ｎｉ ｖｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏｆ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏｌ ｏ ｇｙ，
第 ３ ４卷 第 ５期
２ ０ １ ５年 １ ０月
Ｖ ＯＩ ３ ４ Ｎｏ ５ Ｏｃ ｔ ２ Ｏ１ ５
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｏ ｓ ｏｌ ｖ ｅ ｔ ｈｅ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈｅ ｒ ｄｉ ｍｅ ｎｓ ｉ ｏ ｎ ａｌ ｍａｔ ｒ ｉ ｘ， ｔ ＷＯ ｅ ｉ ｇｅ ｎ ｖ ａｌ ｕｅ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｆ ｏｒ ｒ ｅ ａ ｌ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｍ ａｔ ｒ ｉ ｘ
矩阵理论（PDF）
§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。
因而可以逐项求导。
t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。
矩阵的函数
矩阵的函数中的特定函数1. 矩阵的函数在数学中，矩阵的函数是指将一个矩阵作为输入，并返回一个矩阵作为输出的函数。
矩阵函数在许多领域中都有广泛的应用，如线性代数、微积分、数值计算等。
它们在计算机科学、物理学、工程学和经济学等领域都起着重要的作用。
矩阵函数可以看作是将一个或多个实数变量映射到一个或多个矩阵变量的映射。
它们可以描述线性和非线性关系，并且可以用于解决一系列问题，如求解线性方程组、计算特征值和特征向量、求解微分方程等。
2. 特定函数2.1 线性变换在线性代数中，线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并保持加法和标量乘法运算。
在矩阵函数中，线性变换可以表示为：f(A)=A⋅B+C其中A是输入矩阵，B和C是参数矩阵。
线性变换的作用是将输入矩阵与参数矩阵相乘，并加上一个常数矩阵。
线性变换在计算机图形学中有广泛的应用，可以用于图像处理、计算机动画等领域。
它可以实现平移、旋转、缩放等操作，从而改变图像的位置、大小和形状。
2.2 矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
在矩阵函数中，矩阵乘法可以表示为：f(A,B)=A⋅B其中A和B是输入矩阵，⋅表示矩阵乘法运算。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法在线性代数中有重要的地位，它可以描述线性变换和复合线性变换。
在计算机科学中，矩阵乘法广泛应用于图像处理、人工智能、机器学习等领域。
2.3 逆矩阵逆矩阵是指对于一个给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得A⋅B=B⋅A=I，其中I是单位矩阵。
在矩阵函数中，逆矩阵可以表示为：f(A)=A−1逆矩阵的计算是求解线性方程组的重要方法之一。
它在数值计算和工程应用中具有重要意义。
2.4 特征值和特征向量特征值和特征向量是描述线性变换的重要概念。
对于一个给定的方阵A，如果存在实数λ和非零向量x，使得A⋅x=λ⋅x，则称λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
矩阵系数函数
矩阵系数函数一、矩阵系数函数的定义矩阵系数函数是指定义在矩阵上的一类特殊函数，它们具有与矩阵相乘的性质。
矩阵系数函数在数学、工程学和物理学等领域有着广泛的应用。
矩阵系数函数通常用于描述矩阵与向量之间的线性关系，以及矩阵之间的乘积运算。
二、矩阵系数函数的性质矩阵系数函数具有以下性质：1.线性性质：矩阵系数函数与矩阵的线性运算相容，即满足分配律和结合律。
2.乘法性质：当两个矩阵相乘时，矩阵系数函数满足相应的乘法性质。
3.对称性质：当矩阵是对称的时，矩阵系数函数也具有对称性质。
4.微分性质：矩阵系数函数在某些条件下具有微分性质，即它们的导数和偏导数满足一定的关系。
5.唯一性：对于给定的矩阵和向量，与其相关的矩阵系数函数是唯一的。
三、矩阵系数函数的应用矩阵系数函数在许多领域都有应用，以下是几个常见的应用实例：1.控制系统：在控制系统的分析和设计中，矩阵系数函数用于描述系统的状态方程和输出方程，以及系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
2.线性代数方程组：在求解线性代数方程组时，矩阵系数函数用于描述方程组中的系数矩阵和常数项向量，以及它们之间的关系。
3.数值分析：在数值分析中，矩阵系数函数用于描述数值算法中的系数矩阵和向量，如线性方程组的迭代解法和数值积分等。
4.工程学：在工程学中，矩阵系数函数用于描述结构分析、流体动力学、振动分析等领域的物理现象和数学模型。
5.量子力学：在量子力学中，矩阵系数函数用于描述量子态和测量过程，以及它们之间的概率关系。
四、总结与展望矩阵系数函数作为数学和工程学中的重要概念，已经得到了广泛的研究和应用。
在未来，随着科学技术的不断发展，矩阵系数函数的应用领域将会更加广泛和深入。
特别是在大数据处理、人工智能和机器学习等领域，矩阵系数函数将会有更多的应用场景和挑战。
此外，随着数学和其他学科的交叉融合，新的矩阵系数函数和性质将会不断涌现，为解决实际问题提供更多的方法和工具。
因此，我们需要进一步深入研究矩阵系数函数的性质和应用，以期在未来的科学研究和工程技术领域取得更多的成果和突破。
矩阵函数的特征值问题
矩阵函数的特征值问题矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个非常重要的研究方向。
在许多科学和工程问题中，矩阵函数的特征值对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
本文将介绍矩阵函数的特征值问题，并探讨其在不同领域中的应用。
1. 矩阵函数的概念在矩阵理论中，矩阵函数是指将一个矩阵映射到另一个矩阵的函数。
常见的矩阵函数包括指数函数、正弦函数、余弦函数等。
矩阵函数的特征值问题即是研究如何求解给定矩阵函数的特征值及其对应的特征向量。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过矩阵函数的特征方程来求解。
特征向量是与特征值相关联的，它表示矩阵函数在特定方向上的变化情况。
3. 矩阵函数的计算方法求解矩阵函数的特征值问题可以通过多种方法进行。
一种常见的方法是通过矩阵的特征值分解来获得矩阵函数的特征值和特征向量。
另一种方法是使用数值计算技术，如迭代法和矩阵运算等。
4. 矩阵函数的应用矩阵函数的特征值问题在许多领域中都有着重要的应用。
例如，在物理学中，矩阵函数的特征值问题可以用于描述量子力学中的能级结构和波函数演化。
在工程学中，矩阵函数的特征值问题可以应用于系统的稳定性分析和控制设计。
此外，矩阵函数的特征值问题还在信号处理、图像处理和数据挖掘等领域中得到广泛应用。
5. 矩阵函数的扩展问题除了求解矩阵函数的特征值问题，还存在着许多与之相关的扩展问题。
例如，矩阵函数的奇异值问题、矩阵函数的寻优问题等。
这些问题在实际应用中具有重要的意义，对于深入理解矩阵函数的性质和应用具有重要价值。
总结：矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个重要的研究方向，它对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
在实际应用中，矩阵函数的特征值问题被广泛应用于物理学、工程学、信号处理等领域。
未来，随着科学技术的不断发展，矩阵函数的特征值问题仍将继续引起学术界和工程界的关注，并在更多领域中发挥重要作用。
（注：本文所述内容仅为一般性介绍，未对具体的矩阵函数特征值问题及其解法进行详细讨论。
矩阵函数的泰勒展开及应用
矩阵函数的泰勒展开及应用矩阵函数的泰勒展开是将一个矩阵函数表示为一个无穷级数的形式，类似于实数函数的泰勒展开。
矩阵函数的泰勒展开在物理、工程和数学领域有广泛的应用。
首先，我们来看矩阵函数的定义。
一个矩阵函数是将一个矩阵映射到另一个矩阵的函数。
例如，标量函数f(x)将一个实数x映射到另一个实数，而矩阵函数F(A)将一个n×n矩阵A映射到另一个n×n矩阵。
矩阵函数可以是多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。
矩阵函数的泰勒展开是将一个矩阵函数表示为一个幂级数的形式。
假设F(A)是一个n×n矩阵函数，我们希望将它展开为一个级数的形式。
泰勒展开给出了一个方法来实现这一目标。
如果一个矩阵A是一个n×n矩阵，那么它有特征值λ1，λ2，...，λn，以及它的特征向量v1，v2，...，vn。
根据线性代数的理论，我们可以使用这些特征值和特征向量来表示这个矩阵。
对于一个可以通过对角化的矩阵，我们可以写出矩阵A的特征值和特征向量的关系式为A = PDP^-1，其中P是一个由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是特征值。
根据泰勒展开的原理，我们可以将矩阵函数F(A)表示为幂级数的形式F(A) =F(PDP^-1) = PF(D)P^-1 = P(F(D))P^-1。
在这个幂级数中，矩阵函数F(D)可以用特征值的函数来表示。
根据F(D) = diag(f(λ1), f(λ2), ..., f(λn))，其中f(λ1)，f(λ2)，...，f(λn)是特征值λ1，λ2，...，λn的函数。
将这个表达式代入幂级数F(A) = PF(D)P^-1中，我们得到F(A) = P(diag(f(λ1), f(λ2), ..., f(λn)))P^-1。
矩阵函数的泰勒展开有许多应用。
首先，它可以用于矩阵方程的求解。
对于给定的矩阵方程AX = B，我们可以将矩阵A的矩阵函数展开为幂级数形式，然后将其代入方程，得到一个无穷级数的形式。
矩阵指数函数及其应用
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4
矩阵的函数范文
矩阵的函数范文矩阵函数是指将一个矩阵作为输入，返回一个新的矩阵作为输出的数学函数。
矩阵函数在许多领域中都有重要的应用，如线性代数、微积分、图论等等。
本文将探讨矩阵函数的定义、性质以及一些常见的矩阵函数的应用。
一、矩阵函数的定义和性质：1.定义：矩阵函数可以定义为一个从矩阵空间到矩阵空间的映射，即对于一个给定的矩阵A，矩阵函数f(A)返回一个新的矩阵B。
一般来说，矩阵函数可以是任意的，它可以是线性的或非线性的，可以是单值的或多值的。
2.线性矩阵函数：线性矩阵函数是指满足以下两个性质的矩阵函数：(1)f(A+B)=f(A)+f(B)：对于任意的矩阵A和B，有f(A+B)=f(A)+f(B)；(2) f(cA) = cf(A)：对于任意的矩阵A和标量c，有f(cA) = cf(A)。
3.非线性矩阵函数：非线性矩阵函数是指不满足线性性质的矩阵函数。
非线性矩阵函数的性质较为复杂，常常需要利用数值方法进行计算。
4.特殊矩阵函数：特殊矩阵函数是指具有一些特定性质的矩阵函数，如对称函数、正定函数等。
特殊矩阵函数在各个领域中都有广泛的应用。
5. 矩阵函数的迹和行列式：对于一个矩阵函数f(A)，其迹和行列式可以定义为其矩阵的迹和行列式的函数，即tr(f(A))和det(f(A))。
二、常见的矩阵函数：1.幂函数：幂函数f(A)=A^k将一个矩阵A自乘k次。
2. 指数函数：指数函数f(A) = e^A将一个矩阵A进行Taylor展开，得到一个无限级数。
3. 对数函数：对数函数f(A) = ln(A)将一个矩阵A进行类似于指数函数的Taylor展开，得到一个无限级数。
4. 三角函数：三角函数sin(A)、cos(A)和tan(A)分别将矩阵A中的每个元素作为角度计算其三角函数值。
5. 反三角函数：反三角函数asin(A)、acos(A)和atan(A)分别将矩阵A中的每个元素作为三角函数值计算其对应的角度。
6. 矩阵修正函数：矩阵修正函数f(A) = max(0, A)将矩阵A中的每个元素与0进行比较，将小于0的元素修正为0。
矩阵论-矩阵函数及其计算
f (Js (s ))
0
,
Js (s )
f (J1(1))
则f
(A)
P
0
0
P
1,
其中
f (Js (s ))
f
(i )
f (Ji (i ))
0
f '(i ) f (i )
f '(i )
Sylvester公式
(ni
1 1)!
f
( (ni 1) i
)
,1 i s.
f '(i ) f (i )
第四节 矩阵函数及其计算
一、矩阵函数的定义及例子
定义1：设幂函数 cmzm的收敛半径为R，且当 z R时，幂函数 m0
收敛于函数f(z)，即
f(z)= cmzm, z R. m0
若A Cnn，满足(A) R,称收敛的矩阵幂级数 cmAm的和为 m0
矩阵函数，记为f (A).即f (A)= cmAm，特别地，当R=+时， m0
5)若AB=BA，则eAeB =eBeA =eA+B; 6)一般的，eAeB，eBeA，eA+B互不相等; 7)eAeA =eAeA =I，即(eA )1 eA.(注A，eA总是可逆的)
证明：1）-4）可直接验证，6）可见书上反例，7）为5）的推论. 下证5），只需验证eAeB =eA+B，
eAeB
f (z) cm zm的收敛半径为R.若( A) R，则f (A) cmAm可表
m0
m0
为A的l-1次多项式p(A),即存在p()=0 1 l1l1, 使得
f (A) 0I 1A l1Al1=p(A),
且p( )是唯一的.
将f (A)表示为一个矩阵多项式的步骤：
矩阵的迹函数
矩阵的迹函数矩阵的迹函数是指将一个方阵的主对角线上的元素相加得到的结果。
在线性代数中，矩阵的迹函数是一个重要的概念，它在矩阵计算和矩阵性质的研究中具有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍矩阵的迹函数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、矩阵的迹函数的定义和性质矩阵的迹函数可以表示为Tr(A)，其中A是一个n阶方阵。
迹函数的计算方法是将矩阵A的主对角线上的元素相加，即Tr(A) = a[1][1] + a[2][2] + ... + a[n][n]。
迹函数具有以下性质：1. Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)，即矩阵的迹函数满足加法的性质；2. Tr(kA) = kTr(A)，其中k是一个常数，即矩阵的迹函数满足数乘的性质；3. Tr(AB) = Tr(BA)，即矩阵的迹函数满足矩阵乘法的交换性。
二、迹函数在矩阵计算中的应用1. 迹函数与矩阵的特征值有关。
根据矩阵的特征值和迹函数的关系，可以推导出矩阵的特征值之和等于矩阵的迹函数，即λ1 + λ2 + ... + λn = Tr(A)，其中λ1, λ2, ..., λn是矩阵A的特征值。
这个结论在矩阵的谱分解和对角化等问题中有重要应用。
2. 迹函数与矩阵的行列式有关。
根据矩阵的行列式和迹函数的关系，可以推导出矩阵的行列式等于矩阵的特征值之积，即|A| = λ1 * λ2 * ... * λn = Tr(A)。
这个结论在矩阵的行列式计算和特征值求解中起到了重要的作用。
3. 迹函数与矩阵的幂有关。
根据矩阵的幂和迹函数的关系，可以推导出矩阵的幂的迹函数等于矩阵的特征值的幂的和，即Tr(A^k) = λ1^k + λ2^k + ... + λn^k。
这个结论在矩阵的幂运算和矩阵的特征值计算中具有重要意义。
三、迹函数在实际问题中的应用1. 迹函数在图像处理中的应用。
图像可以表示为一个像素矩阵，通过计算图像矩阵的迹函数，可以得到图像的平均亮度。
这个应用在图像增强和图像分析中具有重要作用。
矩阵函数的性质及其应用
矩阵函数的性质及其应用-1-矩阵函数的性质及其应用摘要本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其多种矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事半功倍的作用，文章末尾还给出了其在实际中的应用，为解决实际问题带来很多方便。
关键词:矩阵级数矩阵函数 Jordan标准型线性微分方程Matrix function calculus and its applicationAbstractThis paper, from the polynomial and power series two aspects of the matrix function are given two definition way, is derived from the definition of some properties of matrix function and the method, the method of according to choose appropriate, rise to get twice the result with half the effect, the article also gives the end in the actual application, to solve practical problems bring many convenient Keywords: Matrix series Matrix function Jordan canonical formLinear differential equation-I-目录摘要 (I)关键词 ........................................................... I 第一章引言 ................................... 错误～未定义书签。
矩阵的自相关函数
矩阵的自相关函数矩阵的自相关函数是一种可以帮助我们分析和理解矩阵特性的数学工具。
它可以帮助我们确定矩阵的结构、相似性、奇异值以及其他一些关键参数。
本文将分步骤阐述矩阵的自相关函数及其应用。
第一步，我们需要了解什么是矩阵的自相关函数。
矩阵的自相关函数可以被理解为矩阵与其自身的转置相乘得到的结果。
它通常用来描述矩阵在自身平面上的分布和相似性。
自相关函数还可以用来检测矩阵中的周期性模式，并提供用于解决线性方程组和最小二乘问题的数学模型化方案。
第二步，我们需要了解如何计算矩阵的自相关函数。
让我们假设矩阵A的大小为m x n，则它的自相关函数可以计算如下：R = AA-T。
其中AA-T代表矩阵A乘以其自身的转置，结果为一个大小为m x m的矩阵。
矩阵的自相关函数可以用各种数学工具进行多种分析，例如奇异值分解（SVD）、特征值分解和矩阵多项式等。
第三步，我们需要了解矩阵自相关函数的应用。
矩阵自相关函数在信号处理、图像处理、机器学习、计算机视觉和金融分析等领域中都有广泛的应用。
例如，在图像处理中，我们可以使用矩阵自相关函数来检测和识别图像中的重复模式和结构。
在机器学习和计算机视觉中，矩阵自相关函数可以用于特征提取和数据压缩，并提供有关数据集的结构和相似性的信息。
在金融分析中，矩阵自相关函数可以用于投资组合分析和风险管理。
通过计算投资组合中不同资产的自相关函数，我们可以确定它们之间的相似性和关联性，并帮助投资者制定更好的投资决策。
总之，矩阵的自相关函数是一种非常有用的数学工具。
它可以帮助我们了解矩阵的结构和特性，提供有关数据集的结构和相似性的信息，并为我们在多个领域中解决实际问题提供了数学模型化方案。
矩阵函数计算
矩阵函数计算
矩阵函数计算是一项重要的数学研究，旨在从矩阵的结构推断出其中的函数关系。
它有助于我们更好理解和利用矩阵的性质。
本文将详细介绍矩阵函数计算的基础理论，以及其中的一些重要概念和应用技术。
矩阵函数计算可以被认为是一种矩阵代数技术，它利用矩阵的性质和结构建立函数关系，从而实现矩阵计算。
矩阵函数计算的基本思想是，矩阵被分解成多个矩阵，每个矩阵可以用函数表示，组合在一起的这些函数就是矩阵的函数计算。
矩阵函数计算有三种基本方法：统计学矩阵函数计算、几何矩阵函数计算和微分矩阵函数计算。
统计学矩阵函数计算是一种利用统计技术来推断函数关系的方法，其中涉及到回归方程和极大似然估计等。
几何矩阵函数计算是一种基于空间几何的方法，它利用几何的性质来推断函数关系。
微分矩阵函数计算是利用微分方程确定函数关系的方法。
矩阵函数计算的应用非常广泛，它可以用于数值计算、科学计算、图像处理、信息处理等领域。
例如，在数值计算中，矩阵函数计算可以用来求解非线性方程组；在图像处理中，矩阵函数计算可以用来实现图像的锐化和变形；在信息处理中，矩阵函数计算可以用来估计信号的强度和抑制噪声。
此外，矩阵函数计算还可以用于模式识别，比如，机器学习领域中的神经网络就使用矩阵函数计算来实现特征抽取，从而实现模式识
别。
综上所述，矩阵函数计算是一项重要的数学研究，它具有广泛的应用前景，能够实现精确的数值计算和科学计算，在图像处理、信息处理、模式识别等领域都有重要的应用价值。
研究者可以结合实际应用，运用矩阵函数计算技术，为人们的工作和生活提供更加便捷的服务。
函数和矩阵：矩阵的运算和应用
函数和矩阵：矩阵的运算和应用函数和矩阵是数学中重要的概念和工具。
函数是描述变量之间关系的一种数学表达方式，而矩阵则是一种方阵形式的数组，可用于表示多个变量和它们之间的线性关系。
本文将介绍函数和矩阵的基本概念，并讨论它们在数学和实际应用中的运算和应用。
一、函数的定义和性质函数是将一个数集映射到另一个数集的规则。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是显式定义的，也可以是隐式定义的。
例如，y = f(x) = 2x+1是一个显式函数，而x^2 + y^2 = 1则是一个隐式函数。
函数具有许多重要性质，包括定义域、值域、单调性等。
定义域是函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的可能取值。
单调性描述了函数的增减情况，可以分为递增和递减两种。
二、矩阵的定义和运算矩阵是一个按照长方形排列的数表，可以用于表示线性关系和进行线性变换。
矩阵由行和列组成，通常用大写字母表示。
例如，A是一个m行n列的矩阵，可以表示为A=[a_ij]，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。
矩阵加法是将两个矩阵对应位置的元素相加得到新矩阵，矩阵减法则是将对应位置的元素相减。
矩阵乘法是将矩阵的行与列按照一定规则相乘并相加得到新矩阵。
三、矩阵的应用矩阵在数学和实际应用中有广泛的应用。
在数学中，矩阵可用于求解线性方程组和描述线性变换。
通过矩阵求解线性方程组可以简化计算过程，而线性变换可应用于几何、物理等领域的模型建立和分析。
在实际应用中，矩阵可用于数据处理和图像处理。
例如，矩阵与向量的乘法可用于对数据进行线性变换，提取数据的特征。
矩阵还可以表示图像的像素值，通过矩阵运算可以对图像进行模糊、锐化等处理。
另外，矩阵还可应用于网络分析和优化问题。
例如，在社交网络中，矩阵可用于描述用户之间的关系，通过矩阵运算可以发现社交网络中的影响力节点和社群结构。
在优化问题中，矩阵可用于表示约束条件和目标函数，通过矩阵运算可以求解最优解。
矩阵exp(at)的扑策计算公式及其应用
矩阵exp(at)的扑策计算公式及其应用
矩阵exp(at)表示将矩阵at求指数函数，即
exp(at)=∑n=0∞(at)n/n!。
但是直接使用该公式计算往往需要大量时间和计算资源。
为了更高效地计算矩阵指数函数，可以采用扑策计算公式。
扑策（Pade）方法是一种常见的有理逼近技术，它通过选取合适的函数，用有理函数最小二乘逼近原函数，从而减少计算量。
扑策逼近公式可以表示为f(x)≈R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)为两个多项式，且P(x)和Q(x)的次数不超过k。
扑策计算矩阵指数函数的公式为Rm,n(tA)=Pm,n(tA)[Qm,n(tA)]^-1，其中A表示待求矩阵，t为实数，m和n为多项式次数，Pm,n(x)和Qm,n(x)分别为多项式序列。
当m=n时，该公式被称为扑策逼近阶数为m的矩阵指数函数。
扑策方法的优点在于，随着逼近次数的增加，逼近精度可以显著提高，同时也可以将计算复杂度降低到O(k^3)。
扑策计算矩阵指数函数的应用很广泛，例如可以用于求解常微分方程组、线性系统的解、以及量子力学中的时间演化算符等问题。
总之，扑策计算矩阵指数函数是一种高效、精确的计算方法，具有广泛的应用前景。
矩阵的迹函数
矩阵的迹函数矩阵的迹函数是一种非常常见且重要的运算，在线性代数中经常会用到。
它在矩阵的性质分析、矩阵的相似性判断、行列式的计算等方面有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的迹函数，并介绍它的定义、性质以及一些实际应用。
让我们来介绍矩阵的迹函数的定义。
给定一个n阶方阵A，我们将矩阵A的主对角线上的元素相加得到的结果称为矩阵A的迹，记作tr(A)。
即tr(A) = a11 + a22 + ... + ann。
其中，a11, a22, ..., ann分别表示矩阵A的主对角线上的元素。
矩阵的迹函数具有以下几个重要的性质：性质一：对于任意两个n阶方阵A和B，有tr(A + B) = tr(A) + tr(B)。
这个性质直观上可以理解为，将两个矩阵相加后再求迹，等于先分别求两个矩阵的迹再相加。
性质二：对于任意一个n阶方阵A和一个标量k，有tr(kA) = k * tr(A)。
这个性质表明，将一个矩阵乘以一个标量，再求迹，等于先求矩阵的迹再乘以这个标量。
性质三：对于任意两个n阶方阵A和B，有tr(AB) = tr(BA)。
这个性质表明，两个矩阵的乘积的迹等于它们的乘积的逆序乘积的迹。
这个性质在矩阵的相似性判断中有着重要的应用。
除了上述性质外，矩阵的迹函数还有一些其他有用的性质。
例如，对于任意一个n阶方阵A，有tr(A) = tr(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置。
这个性质的意义是，矩阵的迹不受转置操作的影响。
矩阵的迹函数在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在图像处理中，可以利用矩阵的迹函数来度量图像的对比度。
对于一个n×n的灰度图像，可以将它表示为一个n阶方阵A，其中A的元素aij表示图像中第i行第j列的像素值。
通过计算矩阵A的迹，可以得到图像的对比度，从而对图像进行分析和处理。
矩阵的迹函数还可以用于判断矩阵的相似性。
两个n阶方阵A和B 被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B。
矩阵函数的原理与应用
矩阵函数的原理与应用1. 矩阵函数的基本概念矩阵函数是指将一个矩阵作为输入，并输出另一个矩阵的函数。
矩阵函数的输入和输出可以是任意维数的矩阵，且可以进行各种运算。
矩阵函数的原理主要基于线性代数的理论。
2. 矩阵函数的推导与定义矩阵函数的推导过程涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵函数的定义和性质。
常见的矩阵函数包括指数函数、对数函数、幂函数等。
3. 矩阵函数的应用领域矩阵函数在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
以下列举几个典型的应用领域：•线性方程组求解：矩阵函数可以通过求解线性方程组来解决实际问题，如物理模拟、数据拟合等。
•信号处理：矩阵函数可以用于处理信号，如图像处理、音频处理等。
•优化问题：矩阵函数可以用于求解优化问题，如最小二乘法、最大似然估计等。
•自动控制：矩阵函数可以用于设计和分析控制系统，如PID控制、模糊控制等。
•机器学习：矩阵函数在机器学习算法中有着重要的应用，如主成分分析、支持向量机等。
4. 矩阵函数的算法与实现矩阵函数的求解算法有多种，常见的有幂法、矩阵对角化等。
矩阵函数的实现可以通过各种编程语言和数值计算库来完成，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。
5. 矩阵函数的性质与扩展矩阵函数具有一些基本性质，如可逆性、对角化等。
此外，还存在一些特殊的矩阵函数，如矩阵的广义逆、矩阵的广义特征值等。
6. 总结矩阵函数作为线性代数的一个重要分支，在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
通过对矩阵函数的理解和应用，可以更好地解决实际问题，并推动科学技术的发展。
以上是矩阵函数的原理与应用的简要介绍，希望对读者有所帮助。
深入学习和掌握矩阵函数的原理和应用，将有助于扩展自己的专业知识和提升解决实际问题的能力。
微积分中的矩阵函数应用
微积分中的矩阵函数应用矩阵是数学中的一个重要概念，矩阵函数则是矩阵中的一类重要运算。
矩阵函数运算的作用是将矩阵与一个函数进行组合，得到一个新的矩阵。
在微积分中，矩阵函数应用极为广泛，本篇文章将对微积分中的矩阵函数应用进行简要介绍。
一、矩阵函数的定义及特点矩阵函数是指将矩阵与一个函数进行组合得到一个新的矩阵的运算，记作$f(A)$，其中$f(x)$是一个函数，$A$是一个矩阵。
矩阵函数的特点是：矩阵函数是一个矩阵，其元素为函数值，而不是常数。
例如，设$f(x)=x^2$，$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$f(A)=\begin{bmatrix} 1^2 & 2^2 \\ 3^2 & 4^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 16 \end{bmatrix}$。
二、矩阵函数的求导及应用对于可导函数$f(x)$，矩阵函数$f(A)$的导数也存在。
其中，矩阵函数$f(A)$的导数定义为$\frac{d}{dA}f(A)$，表示当$A$沿某个方向变化时，矩阵函数的变化率。
矩阵函数的导数是一个矩阵，其元素为函数的导数。
例如，设$f(x)=x^2$，$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$\frac{d}{dA}f(A)=\begin{bmatrix}\frac{df(A)}{dA_{11}} & \frac{df(A)}{dA_{12}} \\\frac{df(A)}{dA_{21}} & \frac{df(A)}{dA_{22}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2A_{11} & 2A_{12} \\ 2A_{21} &2A_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$。
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二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
(λ= 1,2,",s)
均有意义，则称矩阵函数 f(A)有意义，且
f(A)= Pf(J)P -1 = P ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1) f(J2 ) %
]m×n
b
b
∫ ∫ A(t)dt = [ aij (t)dt]m×n
a
a
四，矩阵函数的应用
1、微分方程组的一般形式 X ' （t）=A（t）X（t）+f（t） X（t 0 ）=C。
⎧⎪⎪齐次：f（t）= 0
求解： X ' （t）=AX（t）
X（t 0 ）=C。
定理 5、11 ： 上述方程组的解为：
2D 对于 J 的各 Jordan 块Ji求出 f(Ji)，即计算出
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
并按照顺序构成 f(Ji)，
( ) f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
" %
mi1-1!f⎛⎜⎜⎜⎜⎝mi-1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(λi)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦mi×mi
2!
2!
=I+(A + B)+ 1 (A2 + 2AB + B2 )+ 1 (A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 )+"
2!
3!
=I+(A + B)+ 1 (A + B)2 + 1 (A + B)3 +" = eA+B
2!
3!Βιβλιοθήκη (A + B)2 =(A + B)(A + B)= A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩cc01
=
=
cost sint
4o
f(A)= m(A)= c0I+ c1A = ⎡⎢⎢⎢⎣co0st = ⎡⎢⎢⎢⎣-csoisntt scionstt⎤⎥⎥⎥⎦
co0st⎤⎥⎥⎥⎦ + ⎡⎢⎢⎢⎣-s0int
si0nt⎤⎥⎥⎥⎦
x(t)= etAx(0)= ⎡⎢⎢⎣⎢-csoisntt scionstt⎤⎥⎥⎦⎥ ⎡⎣⎢⎢rr12 ⎤⎦⎥⎥ = ⎢⎢⎡⎣rr12ccoosstt+-rr21ssiinntt⎥⎥⎤⎦ = ⎡⎢⎢⎢⎣xx12((tt))⎤⎥⎥⎥⎦
且
t＝0
时， x(t)= e0Ac =Ic = c = x(0)
表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
例：求解微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
dx1 dt dx2 dt
= =
x2 -x1
，
初始条件为 ⎡⎣⎢⎢xx12((00))⎥⎥⎤⎦ = ⎡⎢⎢⎣rr12 ⎤⎥⎥⎦
解： A = ⎡⎢⎢⎢⎣-01 01⎥⎥⎤⎥⎦ ，须计算 f(A)= eAt →
三，矩阵函数的微分和积分
• 我们讨论的矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n，
• 分析性质包括连续微分积分等；
A（t）连续、可微分、可积分 ⇔ 每一个 aij（t）连续、可微分、可积分。
•
lim t→t0
A(t
)
=
[lim t→t0
aij
(t
)]m×n
dA(t) dt
=
[
daij (t) dt
第十六讲 矩阵函数
一、 矩阵函数的定义与性质
以矩阵为自变量的” 函数“
如: eA , sinA, cosA
1，如何定义？
∑ ①我们知道, ez = 1+ z + 1 z2 + " = ∝ 1 zn
2!
n=0 n!
∑∝
sin(z)=
(-1)n
z2n+1
n=0 (2n + 1)!
∑ cos(z)= ∝ (-1)n z2n
=
∝ n=0
1 An n!
∑ sin
A=
∝ (-1)n A2n+1 n=0 (2n + 1)!
∑ cos
A=
∝ (-1)n A2n n=0 (2n)!
。
∑ ②我们知道，
1 1−
z
= 1+
z
+
z2
+"=
∝ n=0
zn
∑ ln(1+ z ) = z - z2 + z3 " = ∝ (-1)n+1 zn
f(λ)= etλ
1o 求出 A 的特征多项式，ϕ(λ)= λ
-1 =(λ2 +1)=(λ-i)(λ+i)，阶数
1λ
为2
2o 定义待定系数的最小多项式 m(λ)= c0 + cλ1
3o 解方程
f(λ1)= eit = cost +isint = m(λ1)= c0 +ic1 f(λ2 )= e-it = cost -isint = c0 -ic1
2， 如果 A 与 t 相关，即变系数矩阵方程
dx dt
=
A(t)x(t)（解法不要
求）
二、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩#ddddddxxxttt1n2
= a11x1(t)+ a12x2(t)+"+ a1nxn(t)+ f1(t) = a21x1(t)+ a22x2(t)+"+ a2nxn(t)+ f2(t)
23
n=1
n
在| z |<1时收敛（？，收敛半径），于是其对应的矩阵级数，当 ρ( A ) <1，有
∑ ∑ ∝ An , ∝ ( −1 )n+1 An 收敛，
n=0
n=1
n
那么将他们收敛到的矩阵记作 ( I − A )−1 ,ln( I + A )
由上面的①，②给出矩阵函数的定义：
∑∝
设级数 ak zk 的收敛半径为 R，且收敛到 f(z);如果对于矩阵 A ∈ Cn×n 的谱半径
n=0 (2n)!
均为整个复平面上收敛的级数（？，收敛半径）, 故对任何的方阵 A
∑∝ 1 An
n=0 n!
∑∝ (-1)n A2n+1
n=0 (2n + 1)!
∑∝ (-1)n A2n
n=0 (2n)!
均收敛，那么我们将他们收敛到的矩阵分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、
∑ 矩阵余弦函数，记作 eA
(A + B)3 = " = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
同理, 有 eBeA = eA+B .
[推论 1]
cos(A ±B)= sin(A ±B)=
scionsAAccoossBB±± csoisnAAssiinnBB⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
←
AB
=
BA
[推论 2] eAe-A = e-AeA = e0 =I, (eA )-1 = e-A,(eA )m = emA,eA 总存在逆阵
eA(t−s) f (s)ds
例： {X ′(t) = ⎡⎢⎢⎣14 32⎤⎥⎥⎦ X (t) + ⎡⎢⎢⎣−11⎤⎥⎥⎦
t0
X (0) = ⎡⎢⎢⎣12⎤⎥⎥⎦
1，一阶线性其次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩#ddddddxxxttt1n2
= a11x1(t)+ a12x2(t)+ " + a1nxn(t) = a21x1(t)+ a22x2(t)+ " + a2nxn(t)
∑ eA+B
=I+(
∝ n=1
1 2n-1)(A n!