三角函数的值域与最值-张素云
三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值： （1）x x ycos sin 32⋅=（2）xysin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y（4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈-解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ）A ．212- B ．221+-C ．－1D ．221-3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π)解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xx y sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图 而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y （2）21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1]于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23即y 的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数的值域与解析式
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
3.6三角函数的图像与性质(二)-张素云
课后 反思
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
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T ．
点评：求三角函数的周期一般有两种： （1）化为 A sin( x ) 的形式特征，利用 公式求解； （2）利用函数图像特征求解．
1 π 例 4.已知函数 f ( x) cos 2 x ， g ( x) 1 sin 2 x ． 2 12
（I）设 x x0 是函数 y f ( x) 图象的一条对称轴，求 g ( x0 ) 的值． （II）求函数 h( x) f ( x) g ( x) 的单调递增区间．
f 2 2 3．函数 （x） sin （x ） sin （x ） 的最小正周期是_______． 4 4 （ ，0） 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称． 3 3 1 0 5. 已知函数 y tan x 在（－ ， ）内是减函数，则 的取值范围是 2 2 ______________．
6
x 2k
7 且 x k , x k , k Z } 2 6
2 log 1 x 0, 0 x 4, 2 （2） 即 k x k 2 . tan x 0.
故函数的定义域为 (0, ) [ , 4] ． 2
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1 1 π 所以 g ( x0 ) 1 sin 2 x0 1 sin(kπ ) ． 2 2 6
1 π 1 3 当 k 为偶数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ， 2 6 4 4
1 π 1 5 当 k 为奇数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ． 2 6 4 4
三角函数最值或值域地求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,xx这一有界性求最值。
例1：求函数xx ysin 21sin 的值域。
解：由xx ys in 21s in 变形为(1)si n 21y x y ，知1y ，则有21sin 1y xy，由21|sin |||11y x y22221||1(21)(1)1y yyy203y ，则此函数的值域是2[,0]3y类型二：x b x a y cos sin 型。
此类型通常可以可化为22sin cos ()y a x b x ab x求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(xxy（R x）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy ，∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β解法2：xxycos 213sin 213∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析3：观察发现角)3(x 与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。
解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy )12sin(2x∴函数的最大值为2，最小值为2。
类型三：)0(sin sin 2a c xb xa y型。
此类型可化为)0(2a c bt aty在区间]1,1[上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2x xy（R x）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：49)23(sin 1sin 3sin 122x x xy∴函数的最大值为49，最小值为4325例4：求函数1sin 3cos 2x a xy （R a，R x）的最大值。
解：1sin 3cos 2x a xy转化为2sin 3sin 2y xa x配方得：243)23(sin 22aa x y①当123a ，即332a 时，在sinx=1，即)(22z kk x时，13maxa y ②当123a时，即332a 时，在sinx=－1，即)(22z k k x时，13maxa y ③当1231a，即332332a时，在a x23sin ，即a kx 23arcsin 2或)(23arcsin2z ka k x 时，2432maxay 综上：2max2331()3323232()4332331()3a ay a aa a类型四：)0(cos sin sin 2ac xx b xa y 型。
3.9解三角形的应用-张素云
120 A 2 105 A 1
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120 方向的 B2 处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结 A1B2 ，由已知 A2 B2 10 2 ，
2 中心位于城市 O（如图）的东偏南 （ cos ）方向 10
O 海 岸
北 东 O
O
300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45 线 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km， 并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始 受到台风的侵袭？ 分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件， 设出时间，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解． r(t) 解法一： 如图(1)，设经过 t 小时后台风中心为 Q，此时台风 侵袭的圆形区域半径为 10t 60 (km) ．若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则 OQ 10t 60 ．
102 (1 3)2 (10 2)2 2 10(1 3) 10 2
2(1 3) 200 ． 4
B1B2 10 2 ，乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行 30 2 海里．
10 2 ． 60 30 2 （海里/小时） 20
点评： 解法二也是构造三角形的一种方法， 但计算量大， 通过比较二种方法， 学生要善于利用条件简化解题过程． 例 3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风
5 2 3 a 3 5 2 3 a． 3
答：线段 AC 的长为 【范例解析】
高考一轮数学复习理科课件人教版专题研究三角函数的值域与最值
CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性 质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及 相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值 的方法，如配方法、换元法、不等式法等 。
三角函数了三角函数值域与最值在解 决数学问题中的应用，如代数、几何等领 域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域 ，常常需要求解三角函数的最值或值 域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的 性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利 用几何意义求出三角函数的最值或 值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结 合函数的单调性求出三角函数的最 值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将 自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调 性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其 他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为 更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用 图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实 例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已 知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。
函数的单调性-张素云
-第 3
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当 0 x1 x2 1 ，则 x1 x2 0 ， x1 x2 1 0 ， x1 x2 0 故 ( x1 x2 )
x1 x2 1 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) ． x1 x2
R 上是增函数；
④定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (, 0] 上是增函数，在区间 (0, ) 上也是增函数，则函数 f ( x ) 在
R 上是增函数．
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【范例解析】
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其中正确命题的序号有_____②______．
3 4
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明： （1）对于区间 (, ] 内的任意两个值 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， 因为 f ( x1 ) f ( x2 ) 2x12 3x1 1 (2x22 3x2 1) 2x22 2x12 3x1 3x2
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤： （1）在给定区间内任意取两值 x1 ， x2 ； （2） 作差 f ( x1 ) f ( x2 ) ，化成因式的乘积并判断符号； （3）给出结论． 例 2.确定函数 f ( x)
1 的单调性． 1 2x
分析：作差后，符号的确定是关键． 解：由 1 2 x 0 ，得定义域为 (, ) ．对于区间 (, ) 内的任意两个值 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， 则
专题——三角函数值域与最值
三角函数的值域和最值1.正弦函数y=sinx 定义域是R ，值域是[-1,1]，在x=2k π-π/2(k ∈Z)时取最小值-1，在x=2k π+π/2(k ∈Z)时，取最大值1 .2.余弦函数y=cosx 定义域是R ，值域是[-1，1]，在x=2k π(k ∈Z)时，取最大值1，在x=2k π+π(k ∈Z)时，取最小值-13.正（余）切函数y=tanx 定义域是(k π-π/2，k π+π/2)(k ∈Z)，值域是R ，无最值.4. asinx+bcosx 型函数)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中 ab arctan =ϕ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 练习题1．.若sin x ≥1/2，则x 的范围是____________________________；若√3+2cos x ＜0，则x 的范围是 ；若tanx ≤1,则x 的范围是________________________；若sin2x ＞cos2x ，则x 的范围是__________________________( 2k π+π/6≤x ≤2k π+5π/6，k ∈Z ；2k π+5π/6<x<2k π+7π/6，k ∈Z ；k π-π/2<x ≤k π+π/4，k ∈Z ；k π+π/4<x<k π+3π/4，k ∈Z )2．函数y=√3sin x+cos x,x ∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]【x 有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)24.设 0cos sin,cos sin 33<+=+ααααt ，则t 的取值范围是( ) B (A) ()()∞+-，，303 (B) [)02，-(C) ()()3101，， - (D) [)33，- 5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b ]上是增函数，且f(a)=-M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b ]上( ) B(A)是增函数 (B)可以取得最大值M(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M6．已知△ABC 中， 324tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，求使⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin 2y 2πB B 取最大值时∠C 的大小.【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a 、b 、c 、d 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解 另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x ∈[0，π/2]呢？【此为sinx+cosx 与sinx·cosx 型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx ，sinx·cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t 的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】8．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 【此为dx c b x a y ++=sin sin 型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos 21sin 2-+=x x y 的值域呢? 】 9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a ＞0，求a,b 的值【上述两题为y=asin2x+bsinx+c 型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c 在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】10．.在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上．(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形面积Q(2)当θ变化时求P /Q 的最小值．【此题为 xa x sin sin +型三角函数．当sin x ＞0且a ＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】。
高考数学文优化方案一轮复习第第五三角函数的值域与最值苏教江苏专用-资料.ppt
[－___2_， ____2__]___上的最值求解．
5．对于函数 y＝acssiinnx＋＋db，根据正弦函数的有界性也可转化为斜
率问题求解．
又∵sinx≤1，∴－23≤sinx≤1.
∴siny－cos 2x＝13－sinx－ (1－s in2x )
＝ (sinx－12)2－1112.
当
sinx＝12时，siny－cos
2x
有最小值－11， 12
当 sinx＝－23时，siny－cos2x 有最大值94.
考点二 利用有界性求三角函数的最值
的值域是________．
答案：[－1，
2 2]
4．f(x)＝2cos2x＋ 3 sin2x＋a(a 为常数)在区间[0， π2]上的最小值为－4，那么 a 的值等于________．
答案：－4
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 可化为二次函数的三角函数求最值
将所给的三角函数转化为二次函数，通过配 方法．结合数形结合方法求得函数的值域与 最值问题．
【解】 (1)f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2(x－1π2) ＝ 3sin(2x－π6)＋1－cos2(x－1π2)
＝2[ 23sin2(x－1π2)－12cos2(x－1π2)]＋1
＝2s in[2 (x－1π2)－π6 ]＋ 1 ＝2s in(2x－π3)＋1 .
∴T＝22π＝ π. (2)当 f(x)取最大值时，sin(2x－π3)＝1，
解：y＝21(1－cos2x)＋ 23sin2x－1
三角函数的最值与值域
三角函数的最值与值域[知识扫描]含三角的函数值域的常见类型和方法 （1） 复合型：“一次型”：b x a y +=sin “二次型”：c x b x a y ++=sin sin 2“指”型：xay sin =“对”型：xay sin log=“勾”型：)0(sin sin >+=a xa x y（2）分式型：dx c b x a y ++=sin sin （分离常量或反解）d x c b x a y ++=cos sin （引入辅助角）22221121tan tantan tan c x b x a c x b x a y ++++=（判别式法）（3）x b x a y cos sin +=（引入辅助角）（4）x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=（换元x x t cos sin +=）点拨：求含三角的函数值域时，能化简的先化简，将复杂的式子尽量转化为上述基本类型，变形时注意不改变函数的定义域，换元法求解时，注意新元的取值范围。
［典例精析］例1、 求下列各函数在相应定义域下的值域（1）2cos 4sin 3-+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]2,0[π，则值域为 。
（2）x x x x y 22cos3cos sin 2sin ++=若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]4,0[π，则值域为 。
（3）4sin 32cos -+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]6,0[π，则值域为 。
（4）已知αβαsin 2sin 2sin 322=+求βα22coscos+=y 的取值范围。
（5）1cos 2cos +=x x y（6）xx y cos 2sin 2--=（7）xx y sin 1sin +=（8）xx y 2sin 4)2sin 2(2+=（9）x xx x y 2sin cos sin 12sin +--=（10）xxx y sin 1cos sin 22+=（11）xxy sin 3sin 32log +-=例2、 求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
三角函数的值域
作业：
1.求函数y 2 sin 2 x , x , 的值域. 6 6 2 2.求函数y cos x sin x 2, x R的值域.
利用cos x 1 sin x将原函数化为
2 2
y A sin x B sin x C的形式求解 .
2
1形如y A sin x B的函数最值或值域问题 ，
当x R时一般利用正弦函数的 有界性求解； 当x a, b时，借助正弦函数的图 象求解
课堂小结
2形如y A sinx B，x a, b的最值
练习 1
1 y 3 2 cos x的最大值为：
2 2 y 1 2 cos x, x , 的值域为： 6 3
例2.求函数y 2 sin 2 x 1在下列条件下的值域： 3 1x R
2x , 6 6
余弦函数的最值及值域 y
1
y cos x ，x R .
2
3 5 2
2 3
2
2
O
1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当 最小值：当
x 0 2k 时， 有最大值 y 1
x
有最小值 y 1 2k 时，
y cos x, x R的值域 -1,1
2
方法技巧：形如 y A sin 2 x B sin x C的最值 注意t的 或值域问题，利用换元 法，令t sin x 取值范围 2 转化为二次函数 y At Bt C在给定区间上 的最值或值域问题 .
练习2.求函数y 1 2 cos2 x 4 sin x在下列条件下的最值 . 1x R 2 2x , 6 3
3.2同角三角函数关系及诱导公式-张素云
求值： （1）
解：由 sin( k ) 2cos( k ) ，得 tan 2 ．
tan 4 1 ； 5 tan 2 6 1 2 2 1 2 sin cos 2 tan 2 5 5 7 ． （2）原式= 4 2 4 2 2 sin cos tan 1 25 点评：已知 tan 的值，解关于 sin ， cos 的齐次式化简，求值问题，
【基础练习】 3 1. tan600°=______．
5 2. 已知 是第四象限角， tan ，则 sin 13______． 12
5
3 3.已知 cos ，且 ，则tan － 3 ＝______． 2 2 2
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 2 2 1 3 5.已知 cos(75 ) ，且 180 90 ，则 cos(15 ) ______． 3 【范例解析】 8 例 1.已知 cos( ) ，求 sin( 5 ) ， tan(3 ) 的值． 17 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值． 8 8 解：由 cos( ) ，得 cos 0 ， 是第二，三象限角． 17 17 15 若 是 第 二 象 限 角 ， 则 sin( 5 ) sin ， 17 15 tan(3 ) tan ； 8 15 若 是 第 三 象 限 角 ， 则 sin( 5 ) sin ， 17 第 1 页 共 3 页
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原式=－1． （2） 证明： 左边=
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江苏南化一中高三数学一轮教案三角函数的值域与最值
§4.6 三角函数的值域与最值【复习目标】根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域；运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。
【重点难点】化归思想及其运用途径【课前预习】函数y =32sin x cos x 的最大值是_____，最小值是_____；函数y =24(cos )5x -＋1615的最大值是_____，最小值是_____；函数y 的最大值是 ，最小值是 。
若||4x π≤，2()c o s s i n f x x x =+的最小值是 （ ）AB．- C ．－1 D函数y =x sin —2sin x 值域是 （ ）A ．[—3 ，—1]B ．[—1，3]C ．[0 ，3]D ．[—3 ，0]函数y =log 2 (1＋sin x ) ＋log 2 (1—sin x )，当x ∈[—6π，4π] 时的值域为 （ ）A ．[—1 ，0]B ．(]1,0- C ．[)0,1 D ．[0 ，1]求下列函数的值域 （1）3s i n 4c o s y x x =- （2）s i n o s ()22y x x ππ=-≤≤【典型例题】例1 求下列函数的最值 （1）y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 （x ∈R ）；（2）y =2sin 1sin 3+-x x例2 求 y = 1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的最值例3 扇形AOB 的半径为1，圆心角为3，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。
【巩固练习】已知方程sin 2x ＋cos x ＋a = 0有实数解，则a 的取值范围是______________。
y =3sin （x +200 ）+5 sin (x +800 )的最大值是 （ ）A 、211B 、637C 、7D 、8【本课小结】【课后作业】设函数 y = a cos x ＋b （a 、b 为常数）的最大值为1，最小值为—7，求函数a cos x ＋b sin x 的最大值和最小值。
3.10三角函数与解三角形的单元测试-张素云
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高三数学学科电子教案
课题：3.10
教案编号 三
三角函数与解三角形的单元测试
备课人 张素云 使用时间
1.进一步理解掌握三角函数的图像与性质 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深 维 化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换 目 的能力． 标 3.利用正、余弦定理解决有关三角形问题。 1. 三角函数的图像与性质的运用。 教学重点 2. 利用正、余弦定理解决有关三角形问题。 综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化 教学难点 对三角公式和基础知识的理解 教学方法 测试、小组合作纠错 教 学 过 程
2 sin cos 1 1 1 5 tan 2 cos 2 3 2 6 1 1 解法二：由（1） tan ，得 sin cos ， 3 3 1 1 9 1 cos 2 cos 2 ∴ cos 2 ∴ sin 2 cos 2 9 9 10 4 于是 cos 2 2 cos 2 1 ， 5 2 3 sin 2 2 sin cos cos 2 3 5 3 9 sin 2 cos2 5 代入得 5 10 4 1 cos 2 6 1 5
本章自主测试 （总分 160 分，时间 100 分钟） 一．填空题（本大题共 14 小题，每小题 6 分，共 84 分． ） 24 4 1. 已知 x ( ,0), cos x , 则 tan 2 x ___________． 7 2 5 4 ) 2. 若 x 是 方 程 2cos( x ) 1 的 解 ， 其 中 ， (0, 23 ， 则 3 7 ． 5 1 3. 已知 x 0,sin x cos x ，则 sin x cos x =___________． 2 5 4. 函数 y sin(2 x ) cos(2 x ) 的最小正周期为________． 6 3 π 5.在 △ ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边．若 a 2, C ， 4
三角函数的图像与性质张素云
课题：3.5 三角函数的图像和性质（一）教案编号备课人 张素云 使用时间三维目标1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质；2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．教学重点画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质教学难点画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质及运用教学方法讲练结合教 学 过 程【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____ ___；初相ϕ=___ 6________． 2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________．3. 函数6π {2,}3x x k k Z ππ=±∈ )sin(4π+π-=x yx83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4y x π=+-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4y x π=+-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．分析：理解题意，建立函数关系式． 解：（1）由已知作图，过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 角ON 于M 点，当2πθ>时，2BOM πθ∠=-，0.8 4.8sin() 5.62h OA BM πθ∴=++=-+，经验证当02πθ≤≤，上述关系也成立．综上， 4.8sin() 5.62h πθ=-+．（2）因为点A 在圆O 上逆时针运动的速度是30π，所以t 秒转过的弧度数为30t π． 4.8sin() 5.6302h t ππ∴=-+，[0,)t ∈+∞． 点评：本题关键是理解题意，抽象出具体的三角函数模型，再运用所学三角知识解决，回答实际问题． 【反馈演练】 1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点 ①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移________个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=__2____；ϕ=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为hO BAθMN3π 3π 5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2、栏目字体：仿宋四号加粗3、内容字体：宋体小四。
用三角函数有界性求值域的两个误区
用三角函数有界性求值域的两个误区
张凤云
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2010(000)012
【摘要】在三角函数求值域时,利用正、余弦函数的有界性往往能起到事半功倍的作用,但由于受函数自身及外部条件的约束,函数值不能充满全部的有界区域,有些学生对此考虑不全面,思维不严谨,极易出现错解.常见有以下两个误区.
【总页数】1页(P86)
【作者】张凤云
【作者单位】河北省承德县上板城镇中,河北承德,067411
【正文语种】中文
【中图分类】G420
【相关文献】
1.利用三角函数有界性求函数的值域
2.求三角函数最值及值域常用的策略
3.求三角函数最值及值域常用的策略
4.求三角函数值域的变换技巧
5.求三角函数的值域(最值)题型例析
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4) ∴ 1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1， ．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转 化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及 运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 例 4．扇形 AOB 的半径为 1，中心角为 60 ， P Q R S 是扇形的内接矩形， 问 P 在怎样的位置时，矩形 P Q R S 的面积最大，并求出最大值． 分析：引入变量 AOP x ，建立目标函数． 解：连接 OP ，设 AOP x ，则 PS sin x ， OS cos x ，
是
___________________． 4.当 0 x
2
时，函数 f ( x )
1 cos 2 x 8 sin sin 2 x
2
x
的Hale Waihona Puke 小值为 14 ．．
5.已知 k＜－4，则函数 y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是
6. 若 2 ， 则 y co s 6 sin 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 第 1 页 共 4 页
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____2____． 【范例解析】
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例 1.（1）已知 sin x sin y
1 3
，求 sin y cos 2 x 的最大值与最小值．
（2）求函数 y sin x cos x sin x cos x 的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解： （1）由已知得： sin y
【基础练习】 1.函数 y sin x 3 cos x 在区间 [0, ] 上的最小值为
2 3
1 ．
．
2.函数 f ( x ) cos x 3. 函 数
y tan (
1 2
cos 2 x ( x R ) x) (
的最大值等于 4
4
2
4
x
且
( 的 值 ) x 0) , 1] [1, 域
π x 4 π π 3 co s 2 x ， x ， 4 2
．
第 2
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（I）求 f ( x ) 的最大值和最小值； （II）若不等式 f ( x ) m 2 在 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范 4 2 围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为 a sin x b cos x 形式． 解： （Ⅰ）∵ f ( x ) 1 cos
π 1 2 sin 2 x 3 π π π π
2 x 2 π
3 cos 2 x 1 sin 2 x
3 cos 2 x
．
π π 2π
π
又∵ x ， ，∴ ≤ 2 x ≤ ，即 2 ≤ 1 2 sin 2 x ≤ 3 ， 6 3 3 3 4 2
2 1 y
2
1 ，解得 y
2 co s x sin x
3
或 y 3 （舍） ，所以 y 的最小值为 3 ．
解法二：y
(0 x ) 表示的是点 A (0, 2 ) 与 B ( sin x , cos x ) 连线
的斜率，其中点 B 在左半圆 a 2 b 2 1( a 0) 上，由图像知，当 AB 与半 圆相切时， y 最小，此时 k AB 3 ，所以 y 的最小值为 3 ． 点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率 公式，结合图像求解． 例 3.已知函数 f ( x ) 2 sin 2
2 co s x sin x (0 x ) 的最小值．
分析：利用函数的有界性求解． 解法一： 原式可化为 y sin x cos x 2(0 x ) ， 1 y 2 sin ( x ) 2 ， 得 即 sin( x )
2 1 y
2
，
故
1 1 sin x
， sin y [ 1,1] ，则 sin x [ ,1] ．
3
2
3 11 1 2 2 sin y cos x (sin x ) ，当 sin x 时， sin y cos 2 x 2 12 2 2 4 11 ；当 sin x 时， sin y cos 2 x 有最小值 ． 3 9 12
∴ f ( x ) m ax 3， f ( x ) m in 2 ．
（Ⅱ）∵ f ( x ) m 2 f ( x ) 2 m f ( x ) 2 ， x ， ， 4 2
∴ m f ( x ) m ax 2
π π
且 m f ( x ) m in 2 ，
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点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的 函数关系式，这是解题的关键．
布置
学案
作业 板书 设计 课后 反思
基础练习 3.7 例1 解析 反馈演练 1.利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。 2.恒成立问题，利用参数分离转化为求最值问题．本节课主要考查三角函数和 不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 三角函数的值域与最值 例2 解析 例 3. 解析
2
有最小值
（ 2 ） 设 sin x cos x t ( 2 t 2 ) ， 则 sin x cos x
y 1 2 t t
2
t 1 2
，则
1 2
，当 t 2 时， y 有最大值为 2 ．
2
1
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为 二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例 2.求函数 y
R S cos x 3 3 3 3 3 3 sin x ．
B Q P
O
R
S 例4
A
S (cos x
sin x ) sin x
sin(2 x
6
)
3 6
，
0 x
3
，所以当 x
6
时， P 在圆弧中心位置， S m ax 第 3 页 共 4 页
3 6
．
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课题：3.7
教案编号
三角函数的值域与最值
张素云 使用时间
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1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最 值解决实际问题； 三 2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的 维 同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解； 目 （2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用 标 配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形 结合求解；（4）换元法． 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学重点 实际问题 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学难点 实际问题 教学方法 讲练结合 教 学 过 程
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
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