三角函数的值域与最值-张素云

4) ∴ 1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1， ．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转 化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及 运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 例 4．扇形 AOB 的半径为 1，中心角为 60 ， P Q R S 是扇形的内接矩形， 问 P 在怎样的位置时，矩形 P Q R S 的面积最大，并求出最大值． 分析：引入变量 AOP x ，建立目标函数． 解：连接 OP ，设 AOP x ，则 PS sin x ， OS cos x ，
是
___________________． 4.当 0 x

2
时，函数 f ( x )
1 cos 2 x 8 sin sin 2 x
2
x
的Hale Waihona Puke 小值为 14 ．．
5.已知 k＜－4，则函数 y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是
6. 若 2 ， 则 y co s 6 sin 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 第 1 页 共 4 页
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____2____． 【范例解析】
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高三数学学科电子教案
例 1.（1）已知 sin x sin y
1 3
，求 sin y cos 2 x 的最大值与最小值．
（2）求函数 y sin x cos x sin x cos x 的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解： （1）由已知得： sin y
【基础练习】 1.函数 y sin x 3 cos x 在区间 [0, ] 上的最小值为
2 3

1 ．
．
2.函数 f ( x ) cos x 3. 函 数
y tan (
1 2
cos 2 x ( x R ) x) (
的最大值等于 4

4

2

4
x
且
( 的 值 ) x 0) , 1] [1, 域
π x 4 π π 3 co s 2 x ， x ， 4 2
．
第 2
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（I）求 f ( x ) 的最大值和最小值； （II）若不等式 f ( x ) m 2 在 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范 4 2 围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为 a sin x b cos x 形式． 解： （Ⅰ）∵ f ( x ) 1 cos

π 1 2 sin 2 x 3 π π π π

2 x 2 π
3 cos 2 x 1 sin 2 x
3 cos 2 x
．
π π 2π
π
又∵ x ， ，∴ ≤ 2 x ≤ ，即 2 ≤ 1 2 sin 2 x ≤ 3 ， 6 3 3 3 4 2
2 1 y
2
1 ，解得 y
2 co s x sin x
3
或 y 3 （舍） ，所以 y 的最小值为 3 ．
解法二：y
(0 x ) 表示的是点 A (0, 2 ) 与 B ( sin x , cos x ) 连线
的斜率，其中点 B 在左半圆 a 2 b 2 1( a 0) 上，由图像知，当 AB 与半 圆相切时， y 最小，此时 k AB 3 ，所以 y 的最小值为 3 ． 点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率 公式，结合图像求解． 例 3.已知函数 f ( x ) 2 sin 2
2 co s x sin x (0 x ) 的最小值．
分析：利用函数的有界性求解． 解法一： 原式可化为 y sin x cos x 2(0 x ) ， 1 y 2 sin ( x ) 2 ， 得 即 sin( x )
2 1 y
2
，
故
1 1 sin x
， sin y [ 1,1] ，则 sin x [ ,1] ．
3
2
3 11 1 2 2 sin y cos x (sin x ) ，当 sin x 时， sin y cos 2 x 2 12 2 2 4 11 ；当 sin x 时， sin y cos 2 x 有最小值 ． 3 9 12
∴ f ( x ) m ax 3， f ( x ) m in 2 ．
（Ⅱ）∵ f ( x ) m 2 f ( x ) 2 m f ( x ) 2 ， x ， ， 4 2
∴ m f ( x ) m ax 2
π π
且 m f ( x ) m in 2 ，
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点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的 函数关系式，这是解题的关键．
布置
学案
作业 板书 设计 课后 反思
基础练习 3.7 例1 解析 反馈演练 1.利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。 2.恒成立问题，利用参数分离转化为求最值问题．本节课主要考查三角函数和 不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 三角函数的值域与最值 例2 解析 例 3. 解析
2
有最小值
（ 2 ） 设 sin x cos x t ( 2 t 2 ) ， 则 sin x cos x
y 1 2 t t
2
t 1 2
，则
1 2
，当 t 2 时， y 有最大值为 2 ．
2
1
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为 二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例 2.求函数 y
R S cos x 3 3 3 3 3 3 sin x ．
B Q P
O
R
S 例4
A
S (cos x
sin x ) sin x
sin(2 x

6
)
3 6
，
0 x

3
，所以当 x

6
时， P 在圆弧中心位置， S m ax 第 3 页 共 4 页
3 6
．
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课题：3.7
教案编号
三角函数的值域与最值
张素云 使用时间
备课人
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最 值解决实际问题； 三 2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的 维 同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解； 目 （2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用 标 配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形 结合求解；（4）换元法． 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学重点 实际问题 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学难点 实际问题 教学方法 讲练结合 教 学 过 程
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
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