双曲线题型归纳含(答案)

二、典型例题选讲

（一）考查双曲线的概念

分别是双曲线的左、右焦点•若 | PF i | 3，则 |PF 2 |

(

B . 6

C . 7

分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出

| PF 2 |的值.

Q| PF 1 | 3,

|PF 2| 0, |PF 2 | 7.

故选C .

归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.

（二）基本量求解

则双曲线的离心率为（

B . 5

设P 是双曲线

2

x

~2

a

2

—

1上一点，双曲线的一条渐近线方程

为

9 3x 2 y 0，F 1、F 2

2

x

解析：双曲线—

a

2

y

b 2

1的一条渐近线为 y

b

x ，由方程组 a

— x

a ，消去 y ,得 x 2 1

x 2

b

x 1 a

0有唯一解，所以△

K 所以—

a

.5，故选D .

D . 9

a 的值，利用双曲线的定义求出

2

x

解： 双曲线V

a

2

才1

渐近线方程为y

=

3 x ，由已知渐近线为3x 2y 0 ,

a

a 2, ||PF 1|

| PF 21| 4 , |PF 2| 4 |PF i |.

例2（2009山东理）设双曲线 2

x

~

2 a

2

与 1的一条渐近线与抛物线

b 2

1只有一个公共点,

C .

归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关

系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.

因此选c.

合思想的应用.

（三）求曲线的方程

切,

2 x 例

3 （2009全国I理）设双曲线2

a

则该双曲线的离心率等于（）

2

y

b2

1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相

B.2

C. 5

y o

解析：设切点P（X o,y o），则切线的斜率为y |x X0 2x o •由题意有

y

。

X0

2X0 .又有

2 2

b

x

1，联立两式解得：x01, 2, e

a

(b)2

a .5 •

2 x 例4 （2009江西）设F-i和F2为双曲线一2

a 2 y

b21(a 0,b 0）的两个焦点, % F2 , P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（

B.

解析：由tan6

c

2b

f 有3c2 4b2 4(c2a2)，则e 2

，故选B.

归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, 从而得出tan

c '一3

2b 3，

体现数形结

D. 3

2 2

(1) 求双曲线C 的方程；

(2) 已知直线x y m 0与双曲线 C 交于不同的两点 A , B ,且线段 AB 的中点在圆

2 2

x y 5上，求m 的值.

(2)设A 、B 两点的坐标分别为

x i , y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为M

x 0,y 0 ,

另解：设A 、B 两点的坐标分别为 x 1,y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为M x 0,y 0 ,

联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出

m 的值.

2

a

解：(1)由题意，得

c 3 解得 a 1,c

/3.

c ‘3

a

2

.2 2 2

几

••• b c a 2,

•••所求双曲线

C 的方程为x 2

1

2

分析: 1 )由已知条件列出 a,b,c 的关系，求出双曲线 例5 (2009，北京)

已知双曲线C ：

b 2

1(a 0,b 0)的离心率为.3，右准线方程

C 的方程；(2)将直线与双曲线方程

2

由x

2

y

1 2

得x 2

2

2mx m 2 0 (判别式

x y m

…x 0 x 1 %

2

m,y 。 x 0 m 2m ,

•••点 M

x 0, y ° 在圆x 2

y 2 5上,

2

• m 2m 2 5 ,• m 1.

0),

2

1

1

1 ③

2

X i

由

2

X 2

由直线的斜率为1, X ) 霸竺』。工学 代入上式，得y 0 2x 0.

又M(y o ,x 。)在圆上，得y 。2 X 02 5，又M(y o ,x 。)在直线上，可求得 m 的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、

圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的

关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.

2 2

例6过M (1,1)的直线交双曲线 —

'

1于A, B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线

4

2

AB 的方程.

分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率•为此可设其斜率是 k ，利用M 为弦

AB 的中点，即可求得 k 的值，由此写出直线 AB 的方程•也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解.

解法一：显然直线AB 不垂直于X 轴，设其斜率是 k ,则方程为y 1 k (X 1) •

2 2

X _ y_ 1

由 4

2 消去 y 得(1 2k 2)x 2

4k(1 k)x 2k 2 4k 6 0 ①

y 1 k(x 1)

设Agy), B(X _, y _)，由于M 为弦AB 的中点， 所以x ^空兽1 k 1 •

2

1 2k

2 2

1 显然，当k

时方程①的判别式大于零.

2

1

所以直线AB 的方程为y 1

-(x 1)，即x 2y 1

0 •

解法二：设 A(X 1,yJ, B(X _, y _)，则

2 2

X _

y_ 4

2

1

X2)(X1 X2)

尹

y2)(y1 y2)

2 2

y 2

0.

，两式相减得(为

2 X

1

2 y

1