静电场的边界条件
静电场的边界条件
∴ n (D1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n D1 n D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
c
E2t
Tangential
E
c
dl
E1
l
E2
l
0
l = s n l
在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD dS q cE dl 0
边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD dS q
D S
பைடு நூலகம்
dS
D1
nS
D2
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
D2 = E2 = 0
分界面上的衔接条件变为：
n D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
Et 0
Φ c
结论：
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度
只能垂直与导体表面；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
E1 ( s n ) l = E2 ( s n ) l
s (n E1) = s (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
第2章 静电场(6) 分界面上的边界条件(P20)
电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，
r=9。设介质的厚度比d略小一点，留下一小的空 气隙。求放入介质板前后平行板间的电场强度。
解：放入介质板前，平行板间的电场为均匀电场：
E0
d
U d
方向：从正极板指向负极板。
20
下极板与空气的分界面上：
D1n D2 n
d 1
D1 E1
sin 1 sin 2 D2 2 E2 2500 sin 20 sin 8
12
E2 E1
6144(V / m)
8.854 10
6144 5.44 10 (C / m )
2
ห้องสมุดไป่ตู้
8
24
思考题
介电常数为的无限大均匀各向同性、 线性介质中的电场强度为 E ， 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝， 则缝中电场强度的大小为（ 垂直
（导体内场强为0）
E
D
D2
r 0
D0 9 0
0 U
9 0 d
U 9d
22
此即放入介质后平行板间的电场强度， 方向：从正极板指向负极板。
例2-13 P71
在聚苯乙烯（ =2.60 ）与空气的分界面两边，聚苯 乙烯中的电场强度E1=2500V/m，电场方向与分界面 法线的夹角是1=20°。 求：(1) 空气中电场方向与分界面法线的夹角2 ； (2) 空气中的电场强度E2和电位移D2 。
2 75.1
cos1 cos 2
由边界条件 D1 cos 1 D2 cos 2 可知
D2 D1 1 E1
2.6静电场的边界条件
D2n
用矢量表示 作的圆柱形表面。
将电场基本方程 D d S Q 用于所
s
n D1 D2 s
小圆 量柱 ，侧 该面 面积 积， 趋 于为 零无 穷 h
s为分界面上的自由电荷面密度
因为： D E
1E1n 2 E2n S
假设导体下标为2，介质下标为1。 导体内部有
E2 0,
D2 0
则在导体与电介质分界面上：
D1n D2n s
E1t E2t
D1n s
变为
E1t 0
2
2 1 1 S n S n S
1
1 S n S
1 2
1 2
2
E1
b
所以
tg1 E1t E2 n E2 n tg 2 E1n E2t E1n
E2 n D2 n
2 d
c
又由
2
E1n
D1n
E2t
1
D1n D2n ( s 0)
故
tg1 1 tg 2 2
可见，电场在分界面处发生了折射。
二、导体与电介质分界面上的边界条件
因为分界面上无电荷，故有边界条件 D1n D2n 60 0 所以 D1 0 (50i 60 j )
1
D1 E1 10i 12 j
【例2】 同心球电容器的内导体半径为a,外导体的内半径为b，
其间填充两种介质，上半部分的介电常数为 1 ，下半部分的介电 常数为 2 ，如图，设内外导体带电分别为q和-q。求各部分的电位 移矢量和电场强度。
当分界面上无自由电荷时
[理学]静电场边界条件证明
![[理学]静电场边界条件证明](https://img.taocdn.com/s3/m/def2f6fa112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada8f.png)
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程高斯通量定律
在分界面上取一小的矩形闭合路径，两个边
与分界面平行并分居于分界面
的两侧，高h为无限小量（如下图所示）。
对于此矩形回路，电场强度变量在此回路上的环量为零，可写作
是取矩形回路的边构成的矢量，其方向与介质1中绕行回路的方向一
取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为，则有
，代入
得
或改写成
图1.6.2 边界条件的证明2
因回路是任取的，对于不同的取向上式总成立，表明有
，
即
或写成
所以，在不同的介质分界面上的电场强度变量的切向分量应该是连续的。
电
场强度的切向分量连续的边界条件用电位函数表示时，可得到
表明
分界面上的电位函数也是连续的。
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程 高斯通量定律
首先在分界面上取一个小的柱形
闭合面，其上、下底面与分界面
平行并分居于分界面两侧，高h
为无 限小量（如图所示）。
对于
此闭合面，高斯通量定律写成
得
是分界面上的自由电荷密度。
当分界面上没有自由电荷时则有或
， 可得分界面上
的法向分量的边界
条件。
图1.6.1 边界条件的证明1。
2.6静电场的边界条件
1 2 lim E dl lim( E1n
12 1 d 0
2
d d E2 n ) 0 2 2
因此
图2.6.5电位的衔接条件
1 2
2 n
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
1 n
,
D2 n 2 E2 n 2
( D E )
E dl 0 D dS q
l
S
A 3 xe x 4 ye y 5 ze z ，
ey y Ay
试判断它能否表示个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,
ex A x Ax
ez Ay Ax Ax Az Az Ay z ( y z )e x ( z x )e y ( x y )e z 0 Az
D2 n D1n E1t E2 t
图2.6.3 导体与电介质分界面
D2 n E2 t 0
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分 量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
二、电位移矢量D的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ L 0）。 根据
D dS q
D1n S D2 n S S
D2 n D1n
则有
图2.6.1 在电介质分界面上应用高斯定律
分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当
0
时，D 的法向分量连续。
1 E1 2 E2
E1d1 E2 d 2 U0
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论赵东广（安徽大学 文典学院 安徽 合肥 230039）摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。
关键词：静电场，恒定磁场，边界面。
引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。
而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。
1 静电场的边界条件1.1 法向边界条件或 ，如果界面上没有自由电荷，即，边界条2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00n n n D D D D ⋅-=-=件变为 或 。
1.2 切向边界条件即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即 ，又因为所以法向分量的边界条件用电位表示为在 时，则即为静电场的折射定律。
导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为 。
2 恒定磁场的边界条件2121()0t tn E E E E ⨯-==21ϕϕ=nE D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==2222211111ϕεεϕεεSnnρϕεϕε=∂∂-∂∂22110S ρ=2121tan tan εεθθ=0=t E S n D ρ=2.1 法向边界条件 即 ，SB d s ⋅=⎰120B n S B n S -⋅∆+⋅∆=12n nB B =2.2 切向边界条件即 当分界面上没有自由电流时， ，当分界面两边为理想介质，分界面上无自由电流，则上式表面媒质两边的磁场方向与媒质本身特性有关。
下面我们讨论几种特殊情况l J l H l H S t t ∆=∆-∆21S t t J H H =-210S J = tt H H 21=12n H n H ⨯=⨯ 12n nB B =tt H H 21=1221112212tan tan μμθθ===nn nt n t H H H H H H1 若当媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质。
静电场的边界条件
E d E d U 1 1 2 2 0 2 U 0 E a 1 x d d 12 21
U 1 0 E a 2 x d d 12 21
S1 E ax 1 E 2
S1 S2 1 2
S S
1
电磁场理论基础第二章
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
2
和q0 ,
且填充介质为均匀的。图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板
（ a）
（ b）
解：忽略边缘效应 图（a）
s
1 1 n
图（b）
S S q S 1 1 S 2 2 0
n 1 1 2 2 S
2 1 2 1 S n n
E E n 1 1 2 2 S
E E 1 1 n 2 2 n S
1、两种媒质为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
.静电场的边界条件
或
D2 n D1n 0
第二章 静 电 场
图 2 - 10 切向边界条件
第二章 静 电 场
E dl E l E l 0 1 1 2 2
l
因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl, l°是单位矢量，上式变为
( E2 E1 ) l 0
注意到n⊥l°，故有
第二章 静 电 场 解：
E1 E2 Eer
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 (1 2 ) r 2 E q q E 2 (1 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
1q D1 er 2 2 (1 2 ) r 2q D2 er 2 (1 2 ) r 2
第二章 静 电 场 在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章 静 电 场 场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为
1 2 1 2 S n n
Dn S
第二章 静 电 场 例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的 介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部分的电位移矢量和电场强度。
静电场的边界条件公式
静电场的边界条件公式
物理学术语，指某种空间区域，其中具有一定性质的物体能对与之不相接触的类似物体施加一种力，如引力场、电场、磁场等。
电荷周围存在电场。
电荷和电荷之间有力的作用，这个作用就是依靠电场来传递的。
仅由相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
为了具体地度量电场，引入一个试验电荷。
试验电荷必须有三个性质：1.正电荷：统一电性。
2.点电荷：测量一点的电场。
3.电量足够小：不至于影响原电场。
把试验电荷放在电场中，它会受到一个力的作用，称为电场力。
实验证明，电场力的大小F与试验电荷的电量q成正比，定义电场强度(简称场强)Ē=F，它是矢量，方向和正电荷受到的电场力方向相同，单位为N/C或V/m.电场强度遵循矢量叠加规则。
试验电荷与电场强度在外加电场为Ē的地方放置一电量为Q的点电荷，则它受到外加电场的电场力F=Ē Q。
在三维空间中，对于一个确定的电场，每一点都对应一个电场强度矢量，可记为函数Ē(x，y,z，这是一个向量场，可以用多元微积分中的场论来研究它。
27-28静电场边界条件(10学时).
§2.8 导体系统的电容
电磁场与电磁波
1
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间 的关系。
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
2
边界的分类
边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法 导
电磁场与电磁波
8
介质分界面上电位的连续性
a1n
b
E1
a E2
a2 n
1 2
b a lim E dl lim Em h 0
ba b h0
a
b a
电磁场与电磁波
9
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n s
2. 切向：
a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程 积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 E E的分布。 电磁场与电磁波 12
2.7 静电场边界条件
s
界面上没有自由电荷时——
D1n D2n
1
1
n
2
2
n
导体表面 D2n 0
D1n s
电磁场与电磁波
6
2. 电介质的边界条件-切向
a1n
E1
做一条“闭合回路” —— h 0
1
a1n
Δl1
E1
2
a2n
E2
利用势能定理 E dl 0
a2n
E2
Δl2
1 2
c
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导
Hybrid Problems 混合问题
电磁场与电磁波
2
回忆：静电场中的导体
“法拉第圆筒(Faraday’s Cylinder)”试验
1. 导体本身：等势体
2. 导体表面： Et 0
En
s 0
3. 导体内部：电场为零
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
E1t E2t
1
1
E1
E11
sin1 E2 E1 cos1
sin 2 2 E2
cos
2
E2 2
2
tg1 1
tg2 2
电磁场与电磁波
11
例 2. 求电位时常会用到边界条件
已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?) 求：球外的电位？ 分析：
新问题：静电场中的电介质表面呢？
电介质表面是否等势面？
电磁场与电磁波
3
1. 电介质的边界条件-法向
1
D1
做一个很扁很扁的
“扁盒子” ——
2
D2
auss定理
静电场的边界条件
17
讨论：
1.当L→∞，带电直线为无限长直线
θ 1→0,θ 2→π 电场强度只有径向分量
Ez 0, Er 2 0r
2. rL, z L 当场点到带电直线的距离较之到直线两 端的距离小得多时,运用无限长带电直线的场强计算公式求解该 点场强，可以获得足够精确的结果。
3. L / r1, L / z 1 在远离长度为2L的带电直线处的电场强
4
二、电场强度
电场与电场强度
1. 电场强度的定义
微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点
电荷电量之比的极限，通常以 E 表示
E
lim
F
q0 q
Δq为正的试验点电荷的电量，国际单位制，单位为库仑(C)；
F 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。
E 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，国际单位制 单位为 伏特每米(V/m) 。
dEr
dE sin
dl 4 0R2
sin
R r / sin r csc
l z rctg
dl r csc2 d
l、R、θ对于不同的线电荷元都是变量，有联系
可统一用一个变量θ来表示
16
点P处场强的z轴分量Ez为
Ez
L
L dEz
2 r csc2 cosd
2 电介质边缘束缚电荷对电场的影响
分子极化示意
介质极化示意
32
3 高斯定理的修正
电介质中的高斯通量定理
考虑了介质边缘处的束缚电荷，可认为场中介质的 电容率为ε 0，或者考虑了介质边缘所出现的束缚电荷 之后，可认为电场处在真空媒质之中。
静电场的边界条件
0 2
1E 1 n S
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
C
E 1 t E 2t
第二章 静电场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 静电场的散度
2.3 静电场的旋度
2.4 电介质的极化
2.5 介质中静电场的基本方程 2.6 静电场的边界条件
2.7 静电场的能量
一、法向边界条件
n
1
S
D1
h
E 1 1
E 2 2
E E d,S,S, 1 1 2 2d, D D D n 或 D
1、两种媒质均为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
D n D n或 D 1 n D 2 n 1 2
2、媒质2为导体，媒质1为电介质。 n E 0 D 1 S 2
2 1 E E 1 1 n 2 2 n 2 1 n n
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
D 1t 0
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
5 恒定电场的边界条件
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
20
第三章 静电场分析
5. 恒定电场的边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
(1) J 的边界条件
(2) E 的边界条件 (3) 电位边界条件
S
ˆ 0 J1n J 2 n J dS 0 ( J1 J 2 ) n
电场。
传导电流(Conduction Current)：导电媒质中的恒定电流； 运动电流(Convection Current)：真空中电子或离子运 动形成的电流。 基本变量：电流密度 J 和电场强度 E ；
14
第三章 静电场分析
2. 基本方程
基本方程：
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
J dS 0 J 0 S E 0 E dl 0 C
7. 例题
21 2U 0 I 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
(a r c)
15~16
九、介质中的高斯定理 边界条件
2
a
1
c
b
(c r b )
同轴线单位长度带电量为l ，故单位长度电容为
C 21 2 Q U ln c ln b 2 1 a c
10
第三章 静电场分析
4.静电场的边界条件
6) 例题：球形电容器内导体半径为a， 外球壳半径为b。其间充满介电常数 为 1 和 2 的两种均匀媒质。设内导体 带电荷为q，外球壳接地，求球壳间
1 2
ˆE E dl 0 E n
l
ˆ E1t E2t n
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、引言静电场是指在空间中存在电荷分布，产生的电场。
在物理学中，研究静电场的性质和规律是非常重要的。
其中，边界条件是静电场研究中一个非常重要的概念。
二、什么是边界条件边界条件指的是不同介质之间或者同一介质中不同区域之间，在静电场分析中需要满足的一些条件。
这些条件可以用来解决在不同介质或者区域之间产生的电势差和电场强度等问题。
三、静电场的基本方程静电场基本方程包括高斯定律、库仑定律和泊松方程等。
其中，高斯定律描述了空间内任意闭合曲面上通过的总电通量与该曲面所包围的总电荷量之间的关系；库仑定律描述了点电荷产生的静电力与其它点电荷之间距离平方成反比；泊松方程则描述了空间内任意点处的电势与该点周围各个位置处的势能密度之和之差与该点周围各个位置处所包含的总电荷量成正比。
四、边界条件的分类在静电场分析中，边界条件可以分为两类：第一类是介质之间的边界条件，第二类是同一介质中不同区域之间的边界条件。
下面将对这两种边界条件进行详细讲解。
1.介质之间的边界条件当静电场存在于两种不同介质之间时，需要满足以下两个基本条件：（1）法向电场强度连续在两种不同介质之间的交界面上，法向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，交界面上空气一侧和另一侧的电场强度大小必须相等。
（2）切向电场强度不连续在两种不同介质之间的交界面上，切向方向上的电场强度不连续。
也就是说，在交界面上空气一侧和另一侧的电场强度方向可能会发生变化。
2.同一介质中不同区域之间的边界条件当静电场存在于同一介质中不同区域之间时，需要满足以下三个基本条件：（1）法向电势连续在两个不同区域之间的交界面上，法向方向上的电势必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电势大小必须相等。
（2）切向电场强度连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电场强度大小和方向必须相等。
（3）切向电势不连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电势不连续。
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1
Φ1 n
2
Φ2 n
1 = 2
四. 理想导体表面的边界条件
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
分界面上的衔接条件变为：
D2 = E2 = 0
n• D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
结论：
Et 0
Φ c
1导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度 只
第 2 章 静电场
2.5 静电场的边界条件
2.5.1 静电场的边界条件
• 介质表面存在的束缚电荷：
ps P • n s
n—介质的外法线方向
n
0
• 两种介质分界面上存在的束缚电荷：
n
ps P2 • n s P1 • ( n ) s (P2 P1) • n s
1 2
n—由介质2指向介质1
1
1
n
2
2
n
s
表明: 一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。
总结
不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为
特别注意：下式中 n 的方向为由介质2指向介质1
D1n- D2n = s E1t = E2t
（s= 0）
D1n= D2n E1t = E2t
1
Φ1 n
2
Φ2 n
s
1 = 2
（s= 0）
D2
•
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
∴ n • ( D 1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n • D1 n • D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
• ps 的存在使 E、D 发生突变，因而场量不连续
• 在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD • d S q c E • dl 0
• 边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD • dS q
D S
•dS
D1
•
nS
c
E2t
Tangential
E • dl
c
E1
• l
E2
• l
0
l = s n l
E1• ( s n ) l = E2• ( s n ) l
s • (n E1) = s • (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
-l
E1sin 1 = E2 sin 2 或 E1t = E2t
能垂直与导体表面；
2 导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
五．折 射 关 系
两种理想（完纯）介质的分界面上，
一般不存在自由电荷，s= 0
1
D1n= D2n
1E1 cos1 2 E2 cos2 2
E1t E2t
E1sin1 E2sin 2
E2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
三．用电位表示的介质分界面边界条件
1.切向:
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间
距为d，d →0, 则
1
2
lim 12
2
E
•
dl
1
ldim0(E1n
d 2
E2n
d 2
)
0
∴ 1 2
2.法向:
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。Fra bibliotekD1n
1E1n
1
1
n
,
D2n
2E2n
2
2
n
D1n- D2n = s
n
E1
1
2