行星地轨道和位置地数学解法
行星运动的规律与计算
行星运动的规律与计算引言：行星运动一直是天文学研究的重要领域之一。
了解行星运动的规律对于我们更深入地了解宇宙的构成和运行方式非常重要。
本文将介绍行星运动的规律，并探讨如何计算行星的运动轨迹。
一、行星运动的一般规律：1.开普勒三定律：(1)开普勒第一定律，也称为椭圆定律，指出行星运动轨道是椭圆形的，而太阳处于椭圆的一个焦点上。
(2)开普勒第二定律，也称为面积定律，指出在相同时间段内，行星与太阳连线所扫过的面积是相等的。
(3)开普勒第三定律，也称为调和定律，指出行星公转周期的平方与它距离太阳的平均距离的立方成正比。
这三个定律揭示了行星运动的基本规律，为我们进一步研究行星运动提供了重要的参考。
2.行星的运动速度：根据开普勒第二定律，行星距离太阳越远，运动速度越慢；距离太阳越近，运动速度越快。
此外，行星的运动速度还受到其质量和轨道长轴的影响。
二、行星运动轨迹的计算：行星运动轨迹的计算是天文学中重要的研究内容之一。
下面将介绍几种常用的计算方法。
1.数值模拟方法：通过数值模拟方法，使用计算机模拟行星运动的轨迹。
该方法可以考虑多个因素对行星运动的影响，比如引力、惯性等。
使用数值模拟方法可以精确地计算出行星在未来的运动轨迹。
2.开普勒方程法：根据开普勒第一定律和第二定律，我们可以得到开普勒方程，利用该方程可以计算行星的位置和速度。
开普勒方程的求解需要运用一些数学方法，比如牛顿迭代法。
3.行星观测数据分析法：行星观测数据分析法是通过观测行星的位置和速度数据，利用统计和数学分析方法来计算出行星的运动轨迹。
这种方法需要大量的观测数据以及高水平的统计和数学分析能力。
三、行星运动的实际应用：行星运动的规律和计算方法不仅有理论上的研究价值，还有实际的应用价值。
1.导航系统：导航系统（比如GPS）的定位功能是通过计算地球和卫星之间的相对位置来实现的。
行星运动的规律和计算方法可以用来精确计算出地球和卫星的相对位置，从而提高导航系统的定位精度。
轨道卫星运动位置计算
轨道卫星运动位置计算轨道卫星的位置计算是航天领域中的重要任务之一，它对于实现通信、导航、气象监测等功能起着至关重要的作用。
本文将介绍轨道卫星运动位置计算的基本原理和方法。
一、轨道卫星的运动模型轨道卫星的运动可以用开普勒运动模型来描述。
开普勒运动模型假设行星围绕太阳运动，且太阳是一个质点，不考虑行星之间的相互作用。
同样，我们也可以假设卫星围绕地球运动，且地球是一个质点，不考虑卫星之间的相互作用。
根据开普勒第一定律，轨道卫星围绕地球运动的轨道是一个椭圆。
椭圆的两个焦点分别为地球的中心和轨道中心。
卫星在轨道上运动时，地球的位置可以通过确定轨道的半长轴、半短轴、离心率和轨道的倾角等参数来计算。
二、轨道卫星位置计算方法轨道卫星的位置计算方法主要包括传统方法和现代方法。
传统方法主要是利用开普勒的数值解来计算卫星的位置。
现代方法主要是利用数值计算方法和遥测数据来进行计算。
1.传统方法传统的轨道卫星位置计算方法主要有两种：开普勒法和摄动法。
开普勒法是根据开普勒第三定律和数值解方法来计算卫星的位置。
它首先确定半长轴、离心率和轨道的倾角等参数，然后通过数值积分的方法来模拟卫星的运动，得到卫星的位置和速度。
摄动法是在开普勒法的基础上考虑了一些外力的作用，如地球引力、月球引力和太阳引力等。
这些外力会对卫星的轨道产生一定的影响，通过考虑这些影响可以提高计算的精度。
2.现代方法现代方法主要是利用数值计算方法和遥测数据来计算轨道卫星的位置。
数值计算方法主要是利用数值积分的方法来模拟卫星的运动。
通过数值计算模型，可以根据卫星的初始位置和速度来计算卫星在未来一些时刻的位置和速度。
遥测数据是通过各种测量手段来获取的卫星的相关数据，如卫星的位置、速度和加速度等。
通过分析这些数据，可以获得卫星的运动状态，并进一步计算出卫星的位置。
在实际的轨道卫星位置计算中，通常会结合使用传统方法和现代方法，以提高计算的准确性和稳定性。
三、轨道卫星位置计算的应用轨道卫星的位置计算应用广泛，主要包括通信、导航、气象监测和科学研究等领域。
数学实验——行星的轨道和位置
行星的轨道和位置一、实验目的本实验主要涉及常微分方程。
通过实验复习：微分方程的建模和解法，数值积分的计算。
另外还将介绍：建立数学模型时复坐标系的选取，微分方程的Runge-Kutta 法。
二、实际问题水星距太阳最远处（远日点）距离为6.982×1010m ，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s ，试求： （1）水星距太阳的最近距离； （2）水星绕太阳运转的周期；（3）画出水星绕太阳运行的轨道曲线；（4）在从远日点开始的第50天结束时水星的位置； （5）对以上（2）（4）两问各使用不少于两种方法求出结果，其中一种方法指定为Runge-Kutta 法。
三、数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O ,在时刻t ,行星位于()θi re t Z = ……………………………（１）所表示的点P 。
这里()t r r =，()t θθ=均为t 的函数，分别表示()t Z 的模和辐角。
于是行星的速度为dtd ire e dt dr dt dZ i i θθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dt d ir dtdre i θθ 其加速度为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθθ22222222 (2)而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2r mMG，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θi e r 2m MG -，其中()kg M 3010989.1⨯=为太阳的质量，m 是行星的质量，()2211/10672.6kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。
依Newton 第二定律，我们得到222-dt Z d m e r mMG i =θ (3)将式（5.2）代入式（5.3），然后比较实部与虚部，就有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+22222202r MG dt d r dtr d dt d dt dr dt d r θθθ………………（4,5） 这是两个未知函数的二阶微分方程组。
行星地轨道及位置地数学解法.doc
实用文案行星的轨道和位置的数学解法作者：石磊a，林川 b指导教师：乐经良 C 教授a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309885) , 电话： 54740807b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309880) , 电话： 54741769c : 上海交通大学理学院数学系摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。
研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的 Runge-Kutte 法。
特别对 Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。
并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。
关键词：微分方程数值方法Runge–Kutte法问题的重述17 世纪初，在丹麦天文学家 T.Brache 观察工作的基础上， Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致 Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律， Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t ，行星位于Z (t ) re i（4.1）所表示的点P。
这里r r (t),(t ) 均是t的函数，分别表示Z (t ) 的模和辐角。
于是行星的速度为dZ dr e i ire i d e i dr ir ddt dt dt dt dt其加速度为d 2Z i d 2rd 2d 2r dr di rdt 2erdt 22dt 2dtdt dt(4.2 ）而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为mMG ，方向由行星位置 P 指向太阳的r 2中心 O ，故为mMG e i ，其中 M 1.989 1030 ( kg) 为太阳的质量 ,m 是行星的质量，r 2G 6.672 1011( N m 2/ kg 2) 为万有引力常数。
第五章 小行星轨道方程计算问题
第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题 5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数,1,2,3,4,5;i a i =利用已知的数据，不妨设()1,2,3,4,5;i i x y i =欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。
开普勒第一定律百科
开普勒第一定律百科一、引言在天文学领域，开普勒定律是描述行星绕太阳运动的三大定律之一，其中开普勒第一定律尤为重要。
该定律揭示了行星运动轨道的基本特征，为后来天文学和物理学的发展奠定了坚实基础。
本文将对开普勒第一定律进行详细解读，包括其定义、历史背景、数学表达、实验验证以及在现代天文学中的应用。
二、开普勒第一定律的定义开普勒第一定律，又称轨道定律，指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
这一定律打破了古代天文学中行星运动轨道为圆形的观念，揭示了行星运动真实轨道的复杂性。
三、历史背景在开普勒之前，天文学家普遍接受地心说，即地球位于宇宙中心，其他天体围绕地球运动。
然而，随着观测数据的积累，地心说无法解释行星视运动中的一些现象，如行星逆行等。
16世纪，哥白尼提出日心说，将太阳置于宇宙中心，地球和其他行星围绕太阳运动。
虽然日心说更接近真相，但哥白尼仍认为行星运动轨道是圆形的。
开普勒在继承和发展哥白尼日心说的基础上，通过对第谷·布拉赫大量精确观测数据的分析，发现了行星运动三大定律。
其中，第一定律便是关于行星轨道形状的描述。
开普勒的研究成果为后来牛顿万有引力定律的发现提供了重要依据。
四、数学表达开普勒第一定律可以用数学语言精确描述。
在极坐标系中，以太阳为极点，行星位置向量r与极轴夹角为θ，则行星轨道方程可以表示为：r = a(1 - e²) / (1 + e·cosθ)其中，a为椭圆长半轴长度，e为椭圆离心率。
当e=0时，轨道为圆形；当0<e<1时，轨道为椭圆形；当e=1时，轨道为抛物线；当e>1时，轨道为双曲线。
然而，在实际的天体运动中，行星轨道离心率e通常非常小，因此行星轨道可以近似看作圆形。
五、实验验证开普勒第一定律提出后，天文学家们通过各种手段对其进行了验证。
其中最具代表性的是通过观测行星位置和速度的变化来推断其轨道形状。
随着观测技术的不断进步，现代天文学家已经能够精确测量出行星轨道参数，如长半轴、离心率等，从而验证开普勒第一定律的正确性。
太阳系行星轨道计算方法
太阳系行星轨道计算方法太阳系是地球上最接近的行星系，由太阳、八大行星以及许多其他小行星、彗星、太阳风等组成。
在这些行星中，每一个都有自己特定的轨道，这些轨道是重要的因素，能够影响行星之间互动的力量和引力，同时也是研究行星的基石。
因此，了解太阳系行星轨道计算方法是十分重要的。
今天我们就来学习一下太阳系行星轨道计算方法。
太阳系行星轨道的基础知识在学习太阳系行星轨道计算方法之前，我们需要了解一些基础知识。
天体力学是研究天体在物理学意义下的运动和相互作用的学科。
研究者需要了解万有引力定律和他们运用该理论的四个基本方程，即：牛顿定律、万有引力定律、运动定律、角动量守恒定律。
现代行星理论称行星运动是围绕一主星运动的运动问题。
主星是太阳，行星是木星等。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳公转的运动是椭圆轨道，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，行星绕太阳分别绕行完整的椭圆轨道。
而根据开普勒第二定律，行星以等面积速率绕行太阳，在相等的时间内，行星沿椭圆轨道从太阳距离最远处到最近处所扫过的面积相等。
根据开普勒第三定律的公式，T^2= a^3 / (m_1 + m_2 )，T代表公转周期，a代表半长轴的长度，m_1和m_2代表两个天体的质量。
行星轨道计算方法根据以上理论，我们可以推导出太阳系行星轨道计算的方法：1. 计算太阳引力太阳引力是影响行星运行的最主要因素，因此第一步是计算太阳引力对行星的作用。
太阳对行星的引力可以用下面的公式表示：fg = G * m1 * m2 / r2其中，G是万有引力常数，m1和m2是行星的质量和太阳的质量，r是它们之间的距离。
2. 计算行星加速度行星的加速度可以使用牛顿第二定律来解决。
F = m * a其中，F是行星所受的太阳引力，m是行星质量，a是它的加速度。
因此，我们可以通过计算行星受到的引力来计算行星的加速度。
3. 计算位移和速度一旦我们计算出了加速度，我们就可以使用运动定律来计算行星的位移和速度。
轨道6根数坐标系
轨道6根数坐标系轨道6根数坐标系是描述天体运动状态的一种数学模型，通常用于描述行星、恒星、人造卫星等天体的运动。
不同于笛卡尔坐标系，轨道6根数坐标系不直接描述天体的位置，而是描述其运动状态。
根数是指轨道几何形状和位置的关键参数，有6个：轨道长半轴a、轨道离心率e、轨道倾角i、升交点赤经Ω、近地点参数ω和真近点角f。
这6个参数可以完整描述天体在轨道上的位置和运动状态。
以下是详细解释：1. 轨道长半轴a轨道长半轴是轨道形状的一个关键参数，表示椭圆轨道的长半径长度，单位通常是千米。
轨道长半轴的值与轨道周期和轨道速度相关，是轨道计算中最基本的参数之一。
2. 轨道离心率e轨道离心率是轨道形状的另一个关键参数，表示椭圆轨道的偏心程度。
轨道离心率的值越接近0，轨道越接近圆形，而值越接近1，则轨道越椭圆。
轨道离心率对于确认天体运动状态至关重要，例如高离心率的行星轨道可能会出现与其他天体碰撞的风险。
3. 轨道倾角i轨道倾角是指轨道与基准平面的夹角，基准平面通常是太阳系中大多数天体所在的平面（也称为黄道面）。
轨道倾角的值越大，轨道越向极端倾斜，越难以观测到，但对于轨道稳定性的研究有很大的帮助。
4. 升交点赤经Ω升交点赤经是指轨道与基准平面交点在天球上的经度，通常用度数表示。
它确定了轨道的方向和定位，对于计算天体位置和运动状态很重要。
5. 近地点参数ω近地点参数是指轨道与基准平面交点最靠近太阳的点在天球上的经度，也称为近地点经度。
近地点参数和升交点赤经一起，可以确定轨道在空间中的方向和定位。
6. 真近点角f真近点角是指天体在轨道上的实际位置与近地点之间的夹角，又称为“真近点角距离”。
它是一个角度值，对于计算天体在轨道上的速度、高度和加速度等物理参数很有帮助。
总之，轨道6根数坐标系是天文学中非常重要的一种数学模型，可以帮助我们理解天体运动状态和位置。
通过对这个模型的研究和计算，天文学家可以更好地了解宇宙中的天体运动规律，对太空探索和应用有很大的帮助。
开普勒行星运动三定律
《开普勒行星运动三定律》讲与练一、内容第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律（速率定律）：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
其数学表达式为：，式中k是只与太阳有关的常量。
二、推广推广之一：行星绕太阳的圆周运动行星绕太阳运动的椭圆轨道的长、短半轴的长度相差不太大。
因此，可将行星绕太阳的椭圆轨道运动视为圆周轨道运动。
这样，开普勒行星运动三定律可叙述如下：1．所有行星围绕太阳运动的轨道，是半径不同的同心的圆，太阳处在圆心上；2．行星绕太阳的运动，是匀速圆周运动；3．所有行星的轨道的半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
其数学表达式为：。
推广之二：任何天体的圆周运动开普勒行星运动三定律，还可推广到任何天体的环绕运动。
即一个天体环绕另一个天体的运动都是匀速圆周运动，圆周轨道的半径与公转周期满足。
此处的与原式中的k不同，它与运动天体所环绕的天体有关，对于不同的环绕天体不同。
三、重难点1．正确理解开普勒行星运动定律，要注意以下几点：①行星速度的变化：第一定律说明了行星绕太阳运动的轨道的几何形状及太阳所处的位置，所有行星的椭圆轨道的一个焦点是重合的。
由于是椭圆轨道，运动中行星到太阳的距离将发生变化，太阳对其的万有引力将发生变化，做功情况也将变化。
从近日点向远日点运动，太阳的万有引力做负功，行星的引力势能增大，动能或速度变小；从远日点向近日点运动，太阳的万有引力做正功，行星的引力势能减小，动能或速度变小。
因此，行星经过近日点时的速度最大，经过远日点时的速度最小。
第二定律说明了运动中行星的速度大小随位置变化的规律。
由于在相等的时间里，行星与太阳连线扫过相等的面积，运动中，行星离太阳的距离变化，使得扇形的半径变化。
因此，相等时间里行星运动经过的弧长变化，线速度变化。
行星的轨道和位置
⾏星的轨道和位置⾏星的轨道和位置⾼路（船舶海洋与建筑⼯程学院 5120109107）⼀、背景介绍16世纪以前，⼈们都认为⾏星绕太阳旋转的轨迹是圆。
17世纪初，在丹麦天⽂学家T.Brache观察⼯作的基础上，Kepler提出了震惊当时科学界的⾏星运动三⼤定律：1.⾏星运⾏的轨道是以太阳为⼀个焦点的椭圆；2.从太阳指向某⼀⾏星的线段在单位时间内扫过的⾯积相等；3.⾏星运动周期的平⽅与其轨道椭圆长轴的⽴⽅之⽐值是不随⾏星⽽改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton发现了著名的万有引⼒定律，⽽同时，应⽤万有引⼒定律，Kepler的⾏星运动三⼤定律得到了理论上的推导。
由于⾏星间引⼒的存在，基于万有引⼒定律的计算表明：⾏星的轨道应该是稍偏于以太阳为焦点的椭圆。
计算结果与天⽂学家测得的实际结果在⽊星、⼟星等⾏星的轨道上相当吻合，然⽽在天王星的轨道上却存在着不容忽视的误差。
当时⼈们只发现了太阳系的七⼤⾏星，天王星是其中最后发现的（1781年），于是科学家们猜想：还存在影响天王星运⾏轨道的其他⾏星。
1864年，Adams（英）与Leverrier（法）分别推算出这颗可能存在的⾏星的位置，同年，天⽂学家就在他们推算的⽅位上找到了海王星。
由于这颗⾏星的发现⾸先依赖于根据万有引⼒定律的计算，因此它被称为“铅笔尖上的⾏星”。
此后，仍是类似的猜想和推算导致了质量较⼩的冥王星被发现，这充分说明了Newton万有引⼒定律这样⼀个数学模型的正确性和重要性。
⼆、实际问题⽔星距太阳最远处（远⽇点）距离为6.982×1010m，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s，试求：（1）地球距太阳的最近距离；（2）地球绕太阳运转的周期；（3）在从远⽇点开始的第50天结束时，地球的位置与速度。
三、数学模型设太阳中⼼所在位置为复平⾯之原点O,在时刻t,⾏星位于()θi reZ=……………………………（１）t所表⽰的点P 。
三体问题的求解方法
三体问题的求解方法在力学中，三体问题指的是三个物体相互作用的问题。
虽然在日常生活中，我们不时会遇到涉及三个物体相互作用的问题，但是实际上，三体问题却是非常棘手的，因为没有任何一种通用的解法。
三体问题中的三个物体通常是指行星或者卫星等天体，而这些天体之间的相互作用往往由万有引力来描述。
然而，由于万有引力的非线性特性以及天体之间的相互作用方式复杂，使得三体问题成为了一个被众多天文学家和物理学家研究的难题。
尽管三体问题没有一个通用的解法，但是在过去的几个世纪里，人们已经发明了各种各样的求解方法。
下面就让我们来了解一下其中最重要的几种方法。
1. 径向速度法径向速度法是最早被提出来的一种三体问题求解方法。
在该方法中，三个行星被视为在一个平面内运动，且所有的运动仅限于平面内的直线运动。
这意味着，在任何时候，行星之间都是满足轨道方程的。
由于二元行星问题的解法已经被广泛的研究，因此径向速度法的难度主要在于求解第三个行星的运动方程。
该方法早期的版本要求算术精度非常高，但是随着计算机技术的迅速发展，径向速度法已经成为了一种非常可靠的方法。
2. 多项式级数法多项式级数法是一种比较新的三体问题求解方法，最初由P. A. Lauber在20世纪90年代提出来的。
该方法的核心思想是将三体问题转化为多项式级数问题。
该方法要求首先将所有天体之间的相互作用分离成单独的X、Y和Z方向上的作用力，然后将时间和位置表示成多项式级数形式。
之后，通过运算得出行星在不同时间点的位置和速度。
多项式级数法可以极大的提高算法的速度和精度，但是它也有一些缺点，比如不能精确地模拟出包括运动细节在内的所有行星运动。
3. 散射角法散射角法是一种用来求解三体问题的数值方法。
该方法的核心思想是将三体问题转化为一个二元散射角问题。
在该方法中，三个行星之间的相互作用可以看作是由一组二元组合而成的。
该方法要求首先在三个行星间进行随机散射，并记录下每个散射过程中的初始抛物线状态。
行星运动的数学模型及轨道分析
行星运动的数学模型及轨道分析引言：行星运动一直以来都是人们关注和研究的话题之一。
通过数学建模和轨道分析，我们可以更深入地了解行星运动的规律和特性。
本文将探讨行星运动的数学模型以及轨道分析的方法。
一、行星运动的数学模型行星运动的数学模型是基于牛顿万有引力定律的。
该定律表明，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
根据这一定律，我们可以用以下公式表示行星的运动：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是行星和太阳的质量，r是行星和太阳之间的距离。
数学模型的关键是求解行星的运动轨迹，通常使用数值模拟的方法。
将行星的质量、初始位置和速度输入计算机程序，利用欧拉法或其他数值计算方法，我们可以得到行星在各个时间点上的位置和速度，并通过连续的计算得到整个行星运动轨迹。
二、行星轨道的分析行星轨道分析的目的是了解行星运动的规律和特性。
通过分析行星的轨道，我们可以研究行星的运动周期、轨道形状以及行星之间的相互影响。
1. 运动周期行星的运动周期是指行星绕太阳完成一次运动所需的时间。
根据开普勒第三定律，行星的运动周期与它的轨道半长轴的立方成正比。
因此，通过观测行星的运动轨迹，我们可以计算出它的运动周期，并进一步了解行星运动的规律。
2. 轨道形状行星的轨道形状通常是椭圆。
根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过测量行星在不同时刻的位置和速度，利用椭圆的方程，我们可以确定行星的轨道参数，如椭圆的长轴、短轴以及离心率等，从而推测行星的轨道形状。
3. 相互影响行星之间的相互影响是行星运动的另一个重要方面。
根据牛顿引力定律，行星之间的引力会影响它们的运动轨道。
特别是在行星相互靠近的时候，它们的轨道可能会发生变化。
通过数值模拟和轨道计算，我们可以研究行星之间的相互作用，进一步了解行星运动的规律。
星球轨道知识点归纳总结
星球轨道知识点归纳总结一、星球轨道的基本概念1. 星球轨道是指行星或者其他天体沿着围绕太阳或者其他恒星运动的轨道。
2. 根据开普勒定律，星球在椭圆轨道上绕着太阳运动，太阳位于轨道的一个焦点上。
3. 星球的轨道呈椭圆形，离太阳最近的点称为近地点，离太阳最远的点称为远地点。
4. 太阳和星球之间的引力是使星球保持在轨道上运动的主要力量。
二、星球轨道的要素1. 近地点和远地点：轨道上离太阳最近的点称为近地点，离太阳最远的点称为远地点。
2. 轨道倾角：轨道平面与参考面的夹角，如果倾角为0度则表示轨道在参考面上，如果倾角大于0度则表示轨道被倾斜了。
3. 椭圆轨道的离心率：指轨道形状的一个属性，衡量椭圆形轨道的圆心和两个焦点之间的距离的比值。
4. 轨道周期：星球运动绕太阳一周所需要的时间。
5. 平均轨道半径：星球轨道的平均半径，用来衡量轨道的大小。
三、星球轨道的形成和演化1. 星球的轨道形成：在太阳系形成的早期，大量的气体和尘埃围绕太阳旋转，随着时间的推移，这些物质逐渐凝聚成了行星和卫星，它们环绕太阳运行形成了轨道。
2. 星球的轨道演化：星球轨道的演化受到多种因素的影响，包括引力相互作用、碰撞、潮汐效应等。
四、星球轨道的稳定性和变化1. 星球轨道的稳定性：根据开普勒三定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动，保持着稳定的轨道运动。
2. 星球轨道的变化：由于诸如其他天体引力干扰等外力作用，星球轨道可能会发生变化，这种变化会导致轨道的形状、倾角、周期等发生改变。
五、星球轨道的研究方法1. 天文观测：通过望远镜观测星球在轨道上的位置和运动状态，从而获取轨道的参数和运动规律。
2. 计算模拟：利用数学模型和计算机模拟的方法，对星球轨道的运动进行模拟和预测，以便研究轨道的演化和变化。
六、星球轨道的应用1. 太阳系探测：通过研究星球轨道的参数和运动规律，可以指导太空探测器的发射和轨道选择，以实现对太阳系内天体的探测和研究。
2. 太空导航：星球轨道的研究对于太空导航和飞行器的轨道规划具有重要的意义，可以确保飞行器的安全和高效的运行。
如何计算行星的运动轨道与周期
如何计算行星的运动轨道与周期行星的运动轨道与周期是天文学中的重要研究内容，它们的计算需要一些基本的天文学知识和数学方法。
本文将介绍如何计算行星的运动轨道与周期的基本方法和公式。
一、行星的运动轨道行星的运动轨道可以用椭圆来描述，在椭圆轨道中，有两个焦点，行星运行在椭圆的一个焦点处，太阳在另一个焦点处。
行星的轨道可以由其半长轴a和离心率e来确定。
1. 半长轴a：椭圆的半长轴是椭圆中心到椭圆的边界（最远点和最近点）的距离的一半。
行星轨道的半长轴可以通过观测行星的运动轨迹和位置来计算得到。
2. 离心率e：离心率描述了椭圆轨道的形状，它的范围是0到1之间。
当离心率为0时，椭圆退化为一个圆；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
对于行星轨道，离心率一般接近于0。
二、行星的运动周期行星的运动周期是指行星绕太阳一周所需的时间。
根据开普勒定律，行星的运动周期和半长轴的关系是确定的。
根据开普勒第三定律，行星的运动周期T和半长轴a的关系可以表示为：T^2 = k * a^3其中，k是一个常数，对于太阳系内的行星来说，k的值接近于常数。
通过观测行星的运动周期和半长轴，可以计算出k的值。
三、计算行星的运动轨道与周期的步骤1. 观测行星的位置和运动轨迹，获取行星的半长轴a值。
2. 根据行星的位置和半长轴a值，计算出离心率e。
可以使用以下公式进行计算：e = (r_max - r_min) / (r_max + r_min)其中，r_max和r_min分别为行星轨道上最远点和最近点与太阳的距离。
3. 根据行星的半长轴a和离心率e，计算出单位质量的行星运动周期T。
可以使用以下公式进行计算：T^2 = k * a^34. 根据行星的质量，可以计算出真实的行星运动周期。
计算方法是将单位质量的运动周期T乘以行星的质量m，即可得到行星的真实运动周期。
五、总结通过观测行星的位置和运动轨迹，以及计算半长轴和离心率，我们可以计算出行星的运动轨道与周期。
行星运动轨迹的一种简单推理方法
L=T V = （11）
则：
= = （12）
将（11）带入（12）并化简可得：
=const（13）
= （14）
如果对（14）进行一次积分并整理带入初始条件可得：
2GM( )= 系统的能量守恒，因此可以不列拉格朗日方程而根据能量方程直接给出。对于（13），带入初始条件可得： = ，易得这就是行星的角动量守恒，对应于开普勒行星运动的第二定律，也就是行星和恒星的连线在相同的时间扫过相同的面积。
将（19）除以（20）并整理可得：
=± （21）
设：
2q= （22）
则（22）带入（21）并整理可得：
=± （23）
现在对（23）进行研究如下：
1、如果 ，则必然有S=q。
也就是：
= （24）
S=q 也就是：
= （25）
很明显，（24）（25）表明万有引力正好能提供向心力，行作匀速圆周运动，高中时候已经研究很多，在此不作说明。
r= （29）
因为在极坐标中圆锥曲线统一方程（对应于远日点，至于为什么，在此省略）为：
r= （30）
那么应该将（29）化成：
r= （31）
可得 e= 大于0小于1，因此其轨迹应该为椭圆。
至于关于椭圆的各个参数，讨论较为简单，在此省略
=
=
由以上所有计算而可得出两个重要方程：
2GM( )= + （15）
= （16）
如何解（15）和（16）是问题的关键之一。我们不关心r，θ和时间t之间的关系，关心的是r和θ之间的关系，这才是求得轨迹方程的关键。
设：
r= （17）
则：
=- （18）
将（18）带入（15）（16）并整理可得：
轨道卫星运动位置计算
1）计算平均角速度n已知卫星轨道长半轴a ，利用23n a μ=计算平均角速度。
2）计算平近点角M 和偏近点角E已知卫星过近地点时刻τ和卫星轨道离心率e ，利用平近点交M 和时间t 的关系式()M n t τ=-计算平近点角M 。
利用开普勒方程sin E M e E =+计算偏近点角E 。
3）计算卫星向径的模r利用式(1cos )r a e E =-计算。
4）计算卫星真近点角f 利用2(1)1cos 1cos a e P r e f e f-==--计算。
21(1)cos 1/a e f e r -⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦5）计算卫星在轨道平面直角坐标系中的坐标（x ’,y’）利用式cos (cosE )sin sin (1cosE)x r y r f a e f b E E r a e =⎫⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭⋅=-⋅===-计算，其中r 已计算出，如下''cos (cosE )sin sin x r y r f a e f b E E =⎫⎪⎬=⎪⎭⋅=-⋅== 注意此处可以通过偏近点角E 和椭圆参数直接计算坐标。
6）卫星在天球坐标系中的位置由轨道倾角i ，升交点赤经Ω和近升角距ω三个轨道参数，可以计算出卫星在天球坐标系中的位置。
()()313,,()()()',','T T x y z R R i R x y z ω=-Ω--此处R 下标1、2、3对应的为x ’、y’、z’的坐标轴，负号表示顺时针旋转。
7）卫星在瞬时地球坐标系中的位置上面所求的坐标或速度，一般为惯性坐标系J2000.0。
要实现天球坐标系到地球坐标系的转换，应该首先考虑岁差和章动的影响先转换到瞬时真天球坐标系中。
但在实际应用中，如GPS 导航电文的轨道根数提供的轨道根数，所求的上述结果已对应于瞬时天球坐标系，因而只需进行Z 轴旋转GAST(t)，就转换到瞬时地球坐标系。
()[]()3X,,GAST(t),,T T Y Z R x y z = (0.1)8）卫星在协议地球坐标系中的位置若考虑极移的影响，有()()21X,,(x )(y )X,,T T p p CTS Y Z R R Y Z =-- (0.2) 以上就完成了卫星位置的计算。
《开普勒三定律》课件
03
开普勒三定律在天文学领域的应用，也促进了数学、物理学等
其他相关学科的发展。
对物理学的影响
开普勒三定律为牛顿力学的发展奠定了基础
牛顿在开普勒三定律的基础上，提出了万有引力定律和三大运动定律，建立了完整的经典 力学体系。
开普勒三定律推动了物理学中理论模型的发展
开普勒三定律的发现促使人们更加重视理论模型在科学研究中的作用，推动了物理学中理 论模型的发展。
推导过程
总结词
通过观察和计算行星的轨道数据，开普勒提出了开普勒第二定律的数学表达式，并进行了详细的推导 。
详细描述
开普勒通过对行星轨道数据的观察和计算，提出了开普勒第二定律的数学表达式。他通过几何学和代 数学的方法，对行星轨道半径和时间的关系进行了详细的推导。推导过程中，开普勒考虑了行星在椭 圆轨道上的运动规律，以及时间与行星位置之间的关系。
实例和行和科 学研究等领域有着广泛的应用。
详细描述
通过开普勒第三定律，我们可以计算出行星 的公转周期，进而了解行星的运动规律和轨 道参数。这对于研究行星运动、太阳系演化 以及探测外太空等领域具有重要意义。此外 ，开普勒第三定律也是研究其他天体系统的
基础之一，如恒星、星系等。
开普勒三定律的提出是科学革命的重要里程碑，它标志着人们对宇宙的理解从地心 说转向日心说。
开普勒的生平
约翰尼斯·开普勒出生于德国威 斯巴登，是文艺复兴时期的天文
学家、数学家和哲学家。
开普勒在年轻时曾追随第谷·布 拉赫进行天文观测，并成为其门
徒。
开普勒提出了行星运动的第一和 第二定律，即椭圆轨道定律和面 积定律。他还在数学和光学方面
做出了重要贡献。
02
开普勒第一定律：椭圆轨道定 律
根据轨道根数来计算卫星位置
根据轨道根数来计算卫星位置之欧侯瑞魂创作
二、计算卫星在轨道坐标系中的位置
首先建立一个轨道坐标系, 该坐标系的坐标原点位于地心
位于轨道平面上
.轨道坐标系是一个右手坐标系.计算步伐如下：
1.
, 用下式计
算：
,
2.
解算时采纳角度制
.
代入开普勒方程反复迭代,
3.
4.
5.计算卫星在轨道坐标系中的坐标
或跳过3、4
三、轨道坐标和年夜地坐标的换算
将上式化算到年夜地坐标系中去, 一是用地心空间直角坐
, 二是用经纬度和年夜地高
, 只要确定椭球体的参数和定位,
.
重合.
,
交点）., .
,这两个坐标系就重合了P25,
图2-1X方向的夹角, 即为格林尼治
于是有
其中：
四、地心坐标系与地舆经纬度坐标系间转换
或写为：
五、地舆坐标与舆图坐标间的转换（略）
六、作业
已知卫星的规道根数如下,
和（速度）。
轨道设计的解析法公式的推导
轨道设计的解析法公式的推导轨道设计中的解析法公式是描述航天器在特定轨道上的运动轨迹的数学表达式。
推导这些公式通常涉及到牛顿运动定律、万有引力定律和一些基础的数学知识。
下面我们将以地球上的低轨道为例，详细介绍推导解析法公式的过程。
首先，我们需要了解一些基本的常量和符号。
在地球上的轨道设计中，我们通常使用以下常量和符号：- M：地球质量（5.972 × 1024 kg）-r：地球半径（6.371×106m）-h：轨道高度-v：轨道速度-T：轨道周期接下来，我们可以通过运用牛顿的第二定律来分析轨道上的物体运动。
根据牛顿的第二定律，物体所受到的力等于质量乘以加速度。
对于轨道上的物体来说，主要受到两个力的作用：万有引力和向心力。
万有引力导致物体受到向地心方向的加速度，而向心力导致物体受到垂直于速度方向向轨道中心的加速度。
据此，我们可以得到以下方程：-向心力：Fc=m*v^2/r（1）-万有引力：Fg=G*M*m/(r+h)^2（2）根据万有引力的方程，我们可以得到物体所受到的加速度：-Fg=m*a=G*M*m/(r+h)^2-a=G*M/(r+h)^2（3）为了计算轨道速度，我们可以利用向心力和质量的关系：-Fc=m*v^2/r-m*a=m*v^2/r-a=v^2/r（4）将方程（3）和（4）结合起来，我们可以得到轨道速度的方程：-G*M/(r+h)^2=v^2/r通过简单的代数运算，我们可以将该方程重排为：- v = sqrt(G * M / r) * sqrt(2 * (r + h) / (r + h)) （5）接下来，我们可以计算轨道周期T，它可以通过轨道的周长和速度得到。
-T=周长/速度=2π(r+h)/v将方程（5）的速度代入上述方程中，可以得到：- T = 2π(r + h) / (sqrt(G * M / r) * sqrt(2 * (r + h) / (r+ h)))通过对上述方程的简化和化简，我们可以得到轨道周期的简化表达式：- T = 2π * sqrt((r + h)^3 / (G * M)) （6）以上就是推导地球上低轨道的解析法公式的过程。
行星几何距离计算公式
行星几何距离计算公式在天文学中，我们经常需要计算行星之间的距离。
这些距离可以用来帮助我们了解行星之间的相对位置，以及它们在太阳系中的运动。
为了计算这些距离，我们需要使用一些基本的几何知识和公式。
本文将介绍如何使用行星几何距离计算公式来计算行星之间的距离。
首先，我们需要了解一些基本的天文学知识。
在太阳系中，行星的运动轨迹可以近似看作是椭圆形的。
这意味着我们可以使用椭圆的几何性质来计算行星之间的距离。
其中，椭圆的焦点是一个非常重要的概念。
对于椭圆轨道，太阳位于椭圆的一个焦点上。
行星运动的轨迹可以用椭圆方程来描述：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别代表椭圆的长轴和短轴，x和y分别代表椭圆上任意一点的坐标。
这个方程可以帮助我们确定行星在椭圆轨道上的位置。
为了计算行星之间的距离，我们可以使用行星的轨道参数来确定它们在椭圆轨道上的位置。
行星的轨道参数包括半长轴a、离心率e和轨道倾角i。
半长轴a代表椭圆的长轴长度，离心率e代表椭圆的偏心程度，轨道倾角i代表椭圆轨道与参考平面的夹角。
通过这些轨道参数，我们可以计算出行星在椭圆轨道上的位置。
行星几何距离计算公式可以表示为：d = a(1 e^2) / (1 + ecos(θ))。
其中，d代表行星之间的距离，a代表椭圆轨道的半长轴，e代表椭圆轨道的离心率，θ代表行星在椭圆轨道上的真近点角。
这个公式可以帮助我们计算行星之间的几何距离，而不需要考虑它们的运动速度和方向。
在实际计算中，我们可以通过测量行星的位置和轨道参数来确定行星之间的距离。
例如，我们可以通过观测行星的视角位置和运动轨迹来确定它们在椭圆轨道上的位置。
然后，我们可以使用行星的轨道参数来计算出它们之间的几何距离。
除了行星之间的距离，行星与太阳之间的距离也是天文学中一个重要的参数。
我们可以使用相似的方法来计算行星与太阳之间的几何距离。
通过测量行星的位置和轨道参数，我们可以确定行星与太阳之间的几何距离，从而帮助我们了解行星在太阳系中的运动轨迹。
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行星的轨道和位置的数学解法作者：石磊a，林川b指导教师：乐经良C教授a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309885) , 电话：54740807b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309880) , 电话：54741769c : 上海交通大学理学院数学系摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。
研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的Runge-Kutte 法。
特别对Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。
并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。
关键词：微分方程 数值方法 Runge – Kutte 法问题的重述17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache 观察工作的基础上，Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3. 行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O ，在时刻t ，行星位于θi re t Z =)( （4.1）所表示的点P 。
这里)(),(t t r r θθ==均是t 的函数，分别表示)(t Z 的模和辐角。
于是行星的速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=dt d ir dt dre dt d ire e dt dr dt dZ i i i θθθθθ 其加速度为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt r d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθ22222222(4.2）而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2rmMG，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θi e rmMG 2-，其中)(10989.130kg M ⨯=为太阳的质量,m 是行星的质量，)/(10672.62211kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。
依Newton 第二定律，得到222dtZd me r mMG i =-θ （4.3）将（4.2）代入（4.3），然后比较实部和虚部，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+22222202r MG dt d r dtr d dt d dt dr dtd r θθθ(4.4)(4.5)如设0=t 时，行星正处于远日点，远日点位于正实轴上，距原点O 为0r ,行星的线速度为0v ,那么就有初值条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========000000000r v dtd dt dr r r t t t t θθ (4.6）(4.7）(4.8）(4.9）方程(4.4) ~ (4.9)就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。
将式（4.4）乘以r ，即得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛dt d r dt d θ 常数）( 12C dtd r =⇒θ（4.10） 其中 001v r C =这样，有向线段OP 在时间t ∆内扫过的面积等于22112t C dt dt d r tt t∆=⎰∆+θ(4.11) 而这正是Kepler 第二定律。
将式(4.10)改写后代入式(4.5)232122rMGr dt r d C -=- 由此得到行星运动的较为简单形式的数学模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====-=-===00000021232122t t t dt drr r r C dt d r MG r dtr d C θθ实验任务1． 在求解方程(4.24)时,试用矩形法、梯形法和Simpson 法来计算数值积分，并对所得的结果加以比较？解答：由于行星的运动满足Kepler 第二定律式(4.11),改写该式为t C d r ∆=⎰∆+12θθθθ()t d e C p =-⇒⎰θθθ0212cos 1 如果要求1T t =时相应的θ和r ，则意味着首先要解方程()211p T C F =θ 其中()()⎰-=θθθθ02cos 11d e F (4.24)利用矩形法计算次积分，并带入水星数据，得Clear r0,v0,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,r,,v; h0.0001;r00.69821011;v0 3.886104;M 1.9891030;G 6.6721011;c1r0v0;p c12M G;e1p r0;T150243600;k0;For F0,F c1T1p2,k,1k h;F F h1e Cos12;r p1e Cos1;c1r2;v r;Print h,"",k1,"",1,"",r,"", ,"",v,"";计算得到数据利用梯形法计算此积分并代入水星数据，得Clear r0,v0,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,r,,v;h0.05;r00.69821011;v0 3.886104;M 1.9891030;G 6.6721011;c1r0v0;p c12M G;e1p r0;T150243600;k0;For F0,F c1T1p2,k,1k h;2k1h;F F h21e Cos121e Cos22;r p1e Cos2;c1r2;v r;Print h,"",k1,"",2,"",r,"",,"",v,"";计算得到数据：用Simpson法计算，并代入水星数据Clear r0,v0,G,M,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,3,r,,v;h0.0001;r00.69821011;v0 3.886104;M 1.9891030;G 6.6721011;c1r0v0;p c12M G;e1p r0;T150243600;k0;For F0,F c1T1p2,k,1k h;2k0.5h;3k1h;F F h61e Cos1241e Cos221e Cos32; r p1e Cos2;c1r2;v r;Print h,"",k1,"",2,"",r,"",,"",v,"";计算得到数据：从上面计算得到的数据进行比较可以明显看出，矩形法在所取步长下未得道精确数据，梯形法在步长为0.00001时得到精确数据，而Simpson法在步长为0.00005就得到了精确数据。
显然，梯形法比矩形法精确，Simpson法又比梯形法精确，而我们随后将要用的Runge-Kutte法则比Simpson法更精确。
分别利用矩形法，梯形法，Simpson法计算此积分，并带入冥王星数据得到数据：矩形法梯形法Simpson法20.00005 12871 0.6436 6.98684*10^125.56820*10^-13890.41 0.00001643590.64366.98684*10^12 5.56820*10^-103890.412．水星到太阳的最远距离为0.6982*1011m ，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886*104m/s ，试求：1） 水星到太阳的最近距离； 2） 水星绕太阳运行的周期；3） 求从远日点开始的第50天（地球天）结束时水星的位置。
解答：1 － 基于压缩映射的求根方法首先，回到水星的轨道曲线，我们引进轨道椭圆的参数方程求解。
由于椭圆的半长轴21epa -=，半短轴21e p b -=，从而中心到焦点的距离为ae b a =-22。
于是得到参数方程()ϕϕsin ,cos b y e a x =+=它们与θ,r 的关系为θtan ,222==+xyr y x这样由于ϕθd yx x y y x d 22+'-'=，从而上式改写成 ()()()[]()⎰⎰⎰∆+∆+∆++=--+='-'=∆ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕd e ab d a b b e a d x y y x t C 1cos sin sin cos cos 1()[]ϕϕϕϕ∆+-∆+=∆ab e e ab t C sin sin 1于是，我们要求T1=50天时的水星位置就意味着要求解方程abT C e 11sin =+ϕϕ记()ϕλϕλsin ,11e g abT C -==，不妨取00=ϕ，于是依照迭代格式得到 ()ϕg 的不动点及上式唯一的根为ϕ。
据参数方程可以将ϕ转化到相应的θ，即由)cos (sin tan ϕϕθ+=e a b得649021.0=θ此时的距离r 和线速度v 分别为[][]⎪⎩⎪⎨⎧===⨯=++=m/s56918.71060159.4sin cos (11022r C r v mb e a r θϕϕ从数据结果来看，显然，这里机遇不动点的快速收敛迭代格式具有不容置疑的优势，即快速而且精确。
针对水星，有Clear r0,v0,M,G,c1,p,e,r1,T,T1,,1,,r,v ;r00.69821011;v0 3.886104;M 1.9891030;G 6.6721011;c1r0v0;p c12M G;e 1p r0;Print "水星轨道的偏心率:",e ;r1p 1e ;Print "水星到太阳的最近距离:",r1,"m";T 2p 2c11e 232606024;Print "水星运行周期:",T,"天";T150243600;c1T11e 232p 2;0;For1e Sin ,1,1;1e Sin;;ArcTan Sin 1e 2eCos;rp1e 2e Cos2p1e 2Sin 2;vc1r;Print "第50天水星的位置:",r,"m";Print "第50天水星的速度:",v,"m s";ParametricPlotp Cos 1e Cos107,p Sin 1e Cos 107,,0,2,AspectRatio Automatic,AxesLabel "x 10^7m ","y 10^7m ",PlotLabel"水星绕太阳的运行轨道";得答案为：水星轨道的偏心率: 0.205499 水星到太阳的最近距离：m 101060159.4⨯水星运行周期: 87.9914 天 第50天水星的位置：m 101076681.4⨯ 第50 天水星的速度: 56918.7 m/s2 － Runge-Kutte 法试用行星绕太阳运行的数学模型 (4.12) ~ (4.16),令dtdrq =,可以得到一阶微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====-====000000212321t t t dt dr r r r C dt d q dtdr r MG r dt dq C θθ 利用四阶Runge-Kutte 法迭代格式()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=+++432114321143211226226226N N N N h L L L L h r r K K K K h q q k k kk k k θθ 在迭代过程中出现的12个参数表示为()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=233321422322132131212232112222hL r MG hL r K hL r MG hL r K hL r MG hL r K r MG r K k k k k k k k k C C C C⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+==342312122hKq L hK q L hK q L q L k kk k()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==23142213211221122hL r C N hL r C N hL r C N r C N k k k k在代入计算前需要注意的是这12个参数的计算顺序，计算K 2需要先计算L 1，而计算L 1则需要计算K 1，在计算N 2时同样需要先计算L 1，依此类推，正确的计算顺序应为：NN N N L K L K L K L K 432144332211,,,,,,,,,,,利用Microsoft Visual C++ 6.0编制程序（程序代码见附件） 程序名：Runge1.cpp最后得到答案为：⎩⎨⎧=⨯d 87.9914T m 104.6015910＝m r这与第一种方法得到的答案完全一致。