3.4 菲涅尔衍射

P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观 点的振幅与P点的位置r 有关， 察屏， 点出现明暗交替变化； 察屏，P点出现明暗交替变化； 增大， 减小，菲涅耳衍射效应显著； 随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著源自文库 大到一定程度时， →∞，露出的波带数N 当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N 不变化， 不变化，且为
N =N
max 2 ρN = λR
称为菲涅耳数， 称为菲涅耳数，它是一个描述 圆孔衍射效应的很重要的参量。 圆孔衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r 的增大， 此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。 夫朗和费衍射区 而当r 很小时， 很大，衍射效应不明显。 而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小 到一定程度时，可视光为直线传播。 到一定程度时，可视光为直线传播。- -几何区
泊松亮点: 泊松亮点:1818年,巴黎科学院 年 巴黎科学院
举行了一次解释衍射的有奖竞赛, 举行了一次解释衍射的有奖竞赛 评委中许多著名科学家,如毕奥 如毕奥,拉 评委中许多著名科学家 如毕奥 拉 普拉斯,泊松等 泊松等,都是光的微粒学说 普拉斯 泊松等 都是光的微粒学说 的忠实拥护者。 的忠实拥护者。 年轻的菲涅耳报 告了“ 告了“应用子波叠加原理解释衍射 现象”的论文。会后， 现象”的论文。会后，泊松仔细审 阅了菲涅耳的论文，导出了“ 阅了菲涅耳的论文，导出了“园屏 衍射中心会出现一个亮点” 衍射中心会出现一个亮点”这一看 似离奇的结论， 似离奇的结论，使菲涅耳原理又面 临新的考验。不久， 临新的考验。不久，阿喇果在实验 中果然观察到了这一惊人现象（ 中果然观察到了这一惊人现象（又 阿喇果亮斑） 称为阿喇果亮斑）。这一发现对光 的波动学说提供了有力的支持。
自由空间传播的球面波 an →0 球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的 合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半强度 为1/4 a
An (P) =
1
2
二.振幅矢量法 考虑每一个半波带分为更小的子波带— 考虑每一个半波带分为更小的子波带 λ 一个均匀的振幅矢量对P点的贡献 一个均匀的振幅矢量对 点的贡献 iλ r +
• 条状波带面积随波带 序数N的增大而快速 减小。
(a)A(OC)是M0上边两个条状波 带M0M1、M1M2在P点的光场； (b)A(OZ)是M0上边所有条状波 带在P点的光场； (c)A(Z’Z)是所有条状波带在P 点的光场。 • 图中曲线称为科纽螺线。
2.菲涅耳直边衍射
• 根据振幅矢量法，可 以很方便地讨论菲涅 耳直边衍射图样。 ① 讨论右图中P0点 –光源与直边边缘连 线上的观察点， • 直边屏把下半部分波面全部遮住，只有上半部分波面 对P0点产生作用； • P0点的光场振幅大小OZ为波面无任何遮挡时的振幅大 小Z’Z的一半，而光强为其1/4。
②讨论图中P1点光强
与P0点情况相比较，相 当于M0点移到了C1, C1以上的半个波面 完全不受遮挡，它 在P1点产生的光场 振幅由科纽螺线上 的OZ表示；
–C1以下的半个波面， 有一部分被直边 屏遮挡， 只露出 一小部分对P1有作 用，以M1’O表示.
振幅矢量加法
• 基本思想： –先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波 带，然后将露出直边的各个条状波带在P点产 生的光场复振幅进行矢量相加。 • 具体方法：
–先将直边屏MM’拿 掉，如图3-32(a) 所示，以SM0P0为 中线，将柱面波 的波面分成许多 直条状半波带。
波带特点 P点的振幅
• 各波带在P点的光场复振幅， 当波带序数N的增大时，迅速 下降； –波带面积减小、到P点的距 离增大、倾角θ加大。 • 不能应用环形波带的有关公式 进行讨论。如何做？ • 微积分思想： –将每个直条波带按相邻波 带间相位差相等的原则，再 分成若干个波带元。 –先求出每个波带元在P点的 光场再合成求出整个波带在 P点的光场。
0
2
r0 +
2N
第一半波带分成N个子带 第一半波带分成 个子带
S O
r0
P 第一半波带中心到边缘划分的各相 邻子带对应点相同的光程差 λ / 2N 和相同的位相差 π / N
n =1
第一个半波带在P 第一个半波带在P点振动贡献
a1
π
相邻子带在P 相邻子带在P 点的振动相差 π/N
a1
N
C
O
n=2 a2 < a1
(2)ρN对衍射现象的影响
当孔趋于无限大当孔趋于无限大- -即没 有光阑时， 有光阑时，
a n → 0, A∞ a1 = 2
• 若圆孔具有一定大小，对观察点P，仅有一个半波带露 出，则有Ap=a1， • 与不用光阑相比，此时P点的光强是不用光阑时的4倍。
亦即有光阑比没光阑时还要亮,小光阑具有聚光本领。
菲涅耳衍射 Fresnel diffraction
菲涅耳衍射
菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射积分直接进行近场衍射积分非常复杂 代数加法或矢量加法 一.菲涅耳半波带法
r0 + 3λ 2
定性 半定量解释
r0 + λ
R
43 2
r0 +
λ
2
各半波带在P点的振幅 各半波带在 点的振幅ai ，相 点的振幅 邻带在P点产生的振动位相 邻带在 点产生的振动位相 相反
1.振幅矢量加法
S为一个垂直于图 面的线光源，其波 面AB是以光源为 中心的柱面，MM’ 是垂直于图面有一 直边的不透明屏， 并且直边与线光源 平行。 • 观察屏上各点的光强度取决于波阵面上露出部分在该点 产生的光场; • 屏上与线光源S平行方向上的各观察点具有相同的振幅。 –振幅可以用基尔霍夫衍射公式(3-18)式计算求得;; –也可以采用振幅矢量加法处理。
轴外点带的分布
圆屏菲涅耳衍射
应用巴比内原理: 应用巴比内原理: E∑′ ( P) = E∞ ( P) − E∑ ( P)
E1 E∞ ( p) = 。 E∑ ( p) = 1 ( E1 + EM ) ①轴上 p 点：由于 2 2
E1 1 1 ∴ E∑′ ( P ) = − ( E1 + EM ) = − EM 2 2 2 点对圆屏所作的半波带数） （M 是从 p 点对圆屏所作的半波带数）
The Spot of Arago
x0
x1
Stop
Input beam with hole
Beam after some distance
This irradiance can be quite high and can do some damage!
菲涅耳直边衍射图样
• 一个平面光波或柱面光 波通过与其传播方向垂 直的不透明直边(刀片的 直边)后，将在观察屏幕 上呈现出左图所示的衍 射图样； • 在几何阴影区的一定范 围内，光强度不为零， 而在阴影区外的明亮区 内, 光强度出现有规律 的不均匀分布。
奇 数 个 半 波 带
A1
An
偶
A 奇
数 个 半 波 带
A1
An
A 偶
a1 an A(P) = A奇 = + 2 2
自 由 空 间 传 播
a1 an A(P) = A偶 = − 2 2
自由传播情况下
a3 a2 a 1
…
a1 / 2 ← A ... A A 3 2 n
P点合振动的振幅矢量和
an ≈ 0
1+ cosθ θ = 0 →F(θ) = 2 θ =π →F(θ) = 0
各半波带在P点的振幅是 各半波带在 点的振幅是 一个单调下降的收敛数列
a1 > a2 > a3... > an
a3 a3 a5 a1 a1 An (P) = + ( − a2 + ) + ( − a4 + ) +... 2 2 2 2 2 an−2 an an n为 数 奇 +( − an−1 + ) + 2 2 2 an−3 an−1 an−1 （ ） 偶 + − an−1 + + − an n为 数 2 2 2 ai−1 ai+1 近似有 ai ≈ + 2 2 a1 an n为 数 ∴An (P) = + 奇 a1 an 2 2 A(P) = ± a1 an−1 2 2 A (P) = + − an 偶 n为 数 n 2 2
(2)ρN对衍射现象的影响
当波长λ 点的位置r 当波长λ、P点的位置r0、 圆孔位置R给定后， 圆孔位置R给定后，由 与圆孔的大小ρ 有关，孔大， N与圆孔的大小ρN有关，孔大，露出的的波 带多，衍射效应不显著，孔小， 带多，衍射效应不显著，孔小，露出的的波 带少，衍射效应显著； 带少，衍射效应显著； a1 当孔趋于无限大当孔趋于无限大- a N → 0, A∞ = 2 没有光阑时， 即没有光阑时，
(4) 轴外点的衍射
• 方法：图3-27所示，为 了确定不在轴上的任意 点P的光强。 –先设想衍射屏不存在， 以M0为中心，对于P点 作半波带； –然后再放上圆孔衍射 屏，圆孔中心为O。 图13－44轴外点波带的分法 13－44轴外点波带的分法
由于圆孔和波面对P点的 波带不同心，波带的露 出部分如图 3-28所示， 图中为了清楚起见，把 偶数带画上了网格线。 波带在Q点引起振动的 振幅大小，不仅取决于 波带的数目，还取决于 每个波带露出部分的大 小。
a1 A ≈ n 2
2.菲涅耳圆孔衍射
圆孔衍射
S
*
H
P
(1)r0对衍射现象的影响 (2)ρN对衍射现象的影响 (3)光源对衍射现象的影响 (4)轴外点Q的衍射
返回
(1)r0对衍射现象的影响
当波长λ 圆孔位置R 当波长λ、圆孔位置R、大 给定后， 小ρh给定后，由
2 ρN 1 1 N = ( + ) λ r0 R
始终是亮点（泊松亮点） 增大， 。M 减小，亮度减弱。 P 始终是亮点（泊松亮点） M 增大， EM 减小，亮度减弱。 。 不定，难于应用巴比内原理. ②轴外点 p ′ : E ∞ ( p ′) 不定，难于应用巴比内原理.但由圆 对称性，菲涅耳衍射图形仍然是亮暗相间的圆环条纹。 对称性，菲涅耳衍射图形仍然是亮暗相间的圆环条纹。
(3)光源对衍射的影响
• 波长对衍射的影响
2 ρN 1 1 N = ( + ) λ r0 R
– 当波长增大时，N减少。即在ρN、R、r0一定的情况 下，长波长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其 波动性。 。
• 若S不是理想的点光源－－扩展光源（实际光源）
–光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间 是不相干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹 上，叠加后整个图样就模糊了。 –这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之 一。
第一、二个半波带 第一、 在P点振动的贡献
a1
n =1/ 2
A = 2 AF I = 2I F
AF
a2
r r A = a1 + a2 2
A
每个半波带是 一个直径逐渐 减小的半圆
向中心逐 渐盘曲的 密螺旋线
P点合振动的位相落后波 点合振动的位相落后波 带中心次波源在P点振动 带中心次波源在 点振动 位相 π / 2
• 即整个波面对P点的作用等于第一半波带在该点作用的 一半。 • 由于半波带的面积非常小，
2 ρN 1 1 N = ( + ) λ r0 R
所以没有遮蔽的整个波面的光能传播， 所以没有遮蔽的整个波面的光能传播，几 乎可以看作是沿直线OP进行的－－ OP进行的 乎可以看作是沿直线OP进行的－－光在没
有遇到障碍物时是沿直线传播的。 有遇到障碍物时是沿直线传播的。
An (P) = a1 − a2 + a3 −... + (−1)n−1an
1
O
S
r0
P
依据菲涅耳依据菲涅耳-基尔霍夫积分 P点的合振动决定于 点的合振动决定于 波带面积 距离 倾斜因子
B
1. 球冠高 h 第K个半波带的外缘半径 个半波带的外缘半径
R
S
O′ h O
ρ
r
P
B′
Kλ 2 ρK = R −(R − h) = (r0 + ) −(r0 + h)2 2 2 2 Kλ 2 = 2Rh − h = r0Kλ + − 2r0h − h2 42 2 Kλ r0Kλ + 4 h= 2(R + r0 )
2 2 2
根据球冠面积可求出第K个半波带的面积 根据球冠面积可求出第 个半波带的面积
∆S = SK − SK−1 =
πRλ
R + r0
任一半波带的面积和它到P电 rK 任一半波带的面积和它到 电
的距离之比是与K无关的常数 的距离之比是与 无关的常数
各半波带P点的振幅区别只与倾斜因子有关 各半波带 点的振幅区别只与倾斜因子有关