空间向量的应用PPT课件
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件
步骤总结
20
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间 距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
第一章 空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用
教师：XXX
2 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题
课程引入
3
立体几何中包括哪些距离问题？
两点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两条平行直线的距离 两个平行平面的距离 异面直线间的距离等
如何用空间向量解决这些距离问题呢？
复习旧知
量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d ?
分析：过P作PQ 于Q，连结QA,
P
n
则d QP AP cosAPO,
QP , n ,QP // n.
A Q
cosAPO cos AP,n .
新知探究
13
四、点到平面的距离
P n
A Q
思考2：若法向量为单位 向量，则d=？
平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任 一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的 投影的绝对值.
4
1. 空间两点之间的距离
设P1(x1, y1, z1)，P2 (x2 , y2 , z2 )
P1P2 (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
将两点距离问题转化为 求向量模长问题
| P1P2 | P1P2 P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究夹角问题课件
|=
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量的应用
法向量坐标., • 第四步：计算向量的夹角或函数值 ., • 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角., • 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点
和答题规范.
• 一个平面的法向量有无数个，过一个定点 作平面的法向量有无数个.
1.利用空间向量证明平行垂直问题：
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2 的法向量分别为 n1, n2
平行 垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1
n1 n2
e1 e2
知识回顾：
• 1.直线的方向向量. • 我们把直线l上的向量 e(e 0)以及与 e共线的
非零向量叫做直线l的方向向量．
• 2.平面的法线．
• 与平面垂直的直线叫做平面的法线．
• 3.平面的法向量．
• 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂 直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记 作 .此时，我们把向量叫做平面α的法向 量．
e1 n1
n1 n2
2.利用空间向量求空间角：
• 1．设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1， m2，则l1与l2的夹角θ满足 cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
2．设直线l的方向向量和平面α的向量分别为 m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ ＝|cos〈m，n〉|二面角α －l －β的 两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小θ= AB．,CD
• b．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－ β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的 大小θ满足
• cosθ=cos〈n1，n2〉
=－cos〈n1，n2〉．
解题步骤：
• 第一步：建立空间直角坐标系., • 第二步：确定点的坐标., • 第三步：求向量直线的方向向量、平面的
和答题规范.
• 一个平面的法向量有无数个，过一个定点 作平面的法向量有无数个.
1.利用空间向量证明平行垂直问题：
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2 的法向量分别为 n1, n2
平行 垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1
n1 n2
e1 e2
知识回顾：
• 1.直线的方向向量. • 我们把直线l上的向量 e(e 0)以及与 e共线的
非零向量叫做直线l的方向向量．
• 2.平面的法线．
• 与平面垂直的直线叫做平面的法线．
• 3.平面的法向量．
• 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂 直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记 作 .此时，我们把向量叫做平面α的法向 量．
e1 n1
n1 n2
2.利用空间向量求空间角：
• 1．设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1， m2，则l1与l2的夹角θ满足 cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
2．设直线l的方向向量和平面α的向量分别为 m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ ＝|cos〈m，n〉|二面角α －l －β的 两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小θ= AB．,CD
• b．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－ β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的 大小θ满足
• cosθ=cos〈n1，n2〉
=－cos〈n1，n2〉．
解题步骤：
• 第一步：建立空间直角坐标系., • 第二步：确定点的坐标., • 第三步：求向量直线的方向向量、平面的
空间向量的应用 求空间角与距离 公开课一等奖课件
[点评与警示]
1.在难以建空间直角坐标系的情况下，
可用平移的方法求异面直线所成的角． 2．利用空间向量求两异面直线所成角，是通过两条直 线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角范围为 θ π ＝[0，2]，两向量夹角 α 的范围是[0，π]，要注意两者的区 别．cosθ＝|cosα|.
如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那 么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于( 10 A. 5 4 C.5 15 B. 5 2 D.3 )
[解析] 所成的角，
连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1
AB＝BC＝2⇒A1C1＝AC＝2 2，又 AA1＝1 ∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 ＝AC ＝3，故选 D. 1
[答案] D
2 ．(2009· 江西，9) 如图，正四面体 ABCD 的顶点 A， B ， C
[解析]
如图所示，建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，
F(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，设 OE 和 FD1 所成的角为 θ， 则 cosθ＝|cos〈OE，FD1〉| OE· FD1 15 ＝ → ＝ . → 5 |FD1| |OE|·
→ → → →
→ →
(2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向 量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图 (b)(c)所示)．
4．利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 a 的法向量， |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝ |AB|· |cos〈AB，n〉|＝ |n| .
高二数学——空间向量全部课件空间向量的应用
D
E C
OF
y
A
B
x
课堂小结：
1.基本知识：
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
2.思想方法：
用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐 标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐 标运算法则进行计算或证明。
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
例题1:平面内的一条直线,如果它和一条斜线
在平面内的射影垂直,那么这条直线和这条
斜线也垂直 (三垂线定理)
已知:PA是平面 的斜线,A为斜足,PO⊥平
3.2空间向量的应用(2)
----空间线面关系判定
温故知新:
(1)空间两条直线平行、垂直的判定.
(2)空间直线和平面平行、垂直的判定.
(3)空间两平面平行、垂直的判定.
怎样利用直线的方向向量来判定线面的位置关系? ur uur
设空间两条直线l1,l2的方向向量ur分u别ur e1, e2 ,两
个平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
D1 E
A1
(1)证明直线垂直于平面
内两条相交直线.
D
O
C1 B1 F
C
y
(2)证明直线的方向向量 和平面的法向量平行.
x
A
B
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
空间向量的应用课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
（2）平面 平面 .
【答案】结合（1）知，，,, ．设平面的法向量为 ，则即令，则,,得 ．设平面的法向量为，则即 得,令，则,得 .因为，所以 ,故平面 平面 ．
5.中等［苏教选必二P53复习题第13题变式］如图，在三棱柱中， 平面， ，且，，点是 的中点.
（1）求证：平面 .
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,的方向分别为轴,轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，，，,, ,
教材知识萃取
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
线线垂直
证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．
线面垂直
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．
面面垂直
（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.
4.［人A选必一P33练习第3题变式］如图，已知 平面，四边形 为矩形，，,分别为, 的中点，求证：
（1）平面 ；
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设,，则有,,,, ．第2步：求出，， ,利用向量知识证明因为,分别为,的中点，所以,,所以 ,又,,所以 ．又 平面，所以平面 ．
利用空间向量求线线角
贰
教材知识萃取
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,设a,b所成的角为θ,则cos θ=. Nhomakorabea易错提醒
利用空间向量求异面直线所成的角时,注意角的范围是(0,].
教材知识萃取
方法技巧求异面直线所成角的方法
几何法
将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.
【答案】结合（1）知，，,, ．设平面的法向量为 ，则即令，则,,得 ．设平面的法向量为，则即 得,令，则,得 .因为，所以 ,故平面 平面 ．
5.中等［苏教选必二P53复习题第13题变式］如图，在三棱柱中， 平面， ，且，，点是 的中点.
（1）求证：平面 .
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,的方向分别为轴,轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，，，,, ,
教材知识萃取
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
线线垂直
证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．
线面垂直
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．
面面垂直
（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.
4.［人A选必一P33练习第3题变式］如图，已知 平面，四边形 为矩形，，,分别为, 的中点，求证：
（1）平面 ；
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设,，则有,,,, ．第2步：求出，， ,利用向量知识证明因为,分别为,的中点，所以,,所以 ,又,,所以 ．又 平面，所以平面 ．
利用空间向量求线线角
贰
教材知识萃取
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,设a,b所成的角为θ,则cos θ=. Nhomakorabea易错提醒
利用空间向量求异面直线所成的角时,注意角的范围是(0,].
教材知识萃取
方法技巧求异面直线所成角的方法
几何法
将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)第2课时 空间向量的综合应用(课件)
反思感悟 探索性问题的求解策略
空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行 复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当 作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐 标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2) 在 线 段 BC 上 是 否 存 在 点 P ， 使 直 线 PA1 与 平 面 A1BD 所 成 的 角 为 60°，若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
反思感悟 翻折问题的2个解题策略
确定翻折前 后变与不变
的关系
确定翻折后 关键点的位
置
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结 论列出等式，解出参数．
【对点训练】
如图，四边形ABCD是正方形，四边形 BDEF为矩形，AC⊥BF，G为EF的中点． (1)求证：BF⊥平面ABCD；
解 析 ： (1) 证 明 ： 因 为 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， 四 边 形 BDEF 为 矩 形 ， 所 以 BF⊥BD，又因为AC⊥BF，AC，BD为平面ABCD内两条相交直线，所以BF⊥平 面ABCD.
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图 形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕 ”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位 于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变 化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化 的关系则要在立体图形中解决． 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这 些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面 的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量 关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以 此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有 关的证明与计算．
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一复习回顾
1 平行六面体法则
2.共线向量: (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在
直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量),记作
(2)共线向量定理:
对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条件是 存在实数λ使a= λb. (3)推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是 存在实数t，满足等式
BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1) Z ∣BE1∣=√17／4 ∣DF1∣=√17／4 BE1· DF1 =15／16 ∴cos＜BE1，DF1＞ = ∣BE1∣· ∣DF1∣ =15／17 BE1· DF1 D A
D1
A1
F1 E1 B1
C1
C
B
Y
X
2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l AB=4cm,， AC=6cm，BD=8cm, CD=2√17求异面直线AC、BD所成角
一复习回顾
C
P
4空间向量基本定理：
A1
O
A
B
B1 P1
• 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。 • 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
5 空间两个向量的数量积
（1）
（2）
（3）
数量积的运算律
=∣CA∣2+∣AB∣2+∣BD∣2
=b2+a2+b2+2b2cos1200 =a2+b2 ∴∣CD∣=√a2+b2 A B
C
D
D’
2 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=1200 求(1) ︱BD1︳ D1 (2)直线BD1和AC夹角的余弦值
A1
B1
C1
D A B
C
知识方法总结 利用向量解几何题的一般方法
1 把线段或角度转化为向量表示,并用已知 向量表示未知向量,然后通过向量运算去 计算或证明!
2 解决途径︰坐标式和向量式
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= Z 求BE1与DF1所成的角的余弦值
解析：不妨设 正方体的棱长 为1；以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ
D1
F1 E1 B1
C1
A1
O D A
C
B
Y
X
解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O—xyz，则 B(1，1，0)， E1(1，3／4，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1)
OP = OA + t a. 其中向量a叫做直线l的方向向量. OP = (1- t)OA + t OB. 说明: (1),(2)都叫做空间直线的 向量参数表示式. (2) (1)
P
B a
A
OP 、OA 、OB.的终点共线的充要条件是 存在实数m、n，且m+n=1，使得 O
OP = mOA+nOB. (3)
A A’
C’ D’
B’ D C
B
∴∣AC∣=√85
例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1⊥平面AB1D1 B 证明 连结 A1C1 ∵CC1⊥平面A1B1C1D1 B1D1⊥A1C1 ∴A1C⊥B1D1 同理可证 A1C⊥AD1 ∵B1D1∩AD1=D1 ∴CA1⊥平面AB1D1
A
Z D
C
A1
y
一复习回顾
3 共面向量定理：
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 → → → 实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 1 → → → → 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 2 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C， → → → → OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞ 四点P、A、B、C共面。 3
（ 1）
（ 2） （ 3）
6、向量的直角坐标运算.
设 则
7空间向量的夹角和距离公式
(1) 夹角、
(2) 空间两点间的距离公式、
学习目标：
1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。 2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离
3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）
二知识运用与研究
∴(2√17)2=62+42+82+2×6 ＜CA，BD＞
×8cos A
C B D
∴cos＜CA，BD＞=1200 ∴所求角为600
例4.已知在平行六面体ABCD-A’B’C’D’ 中,AB=4,AD=3,AA’=5
解 ∵AC'=AB+AD+AA'
→
→
→
→
→ → → → 2 2 ∴∣AC'∣ =(AB+AD+AA') =∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2 → → → → → → +2(AB· AD+AB· AA'+AD· AA') =42+32+52+2(0+10+7.5) =85
C1
D1
B1 X
三 练习反馈
1
已知线段AB在平面α 内，线段AC⊥α ，线段BD⊥AB 线段DD'⊥α ，∠DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离
解 由已知有AC⊥AB <CA· BD>=1200 → 2 → → → → → 2 ∣CD∣ =CD· CD= (CA+AB+BD) → → → → → → +2CA· AB+2CA· BD+2AB· BD
1 平行六面体法则
2.共线向量: (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在
直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量),记作
(2)共线向量定理:
对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条件是 存在实数λ使a= λb. (3)推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是 存在实数t，满足等式
BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1) Z ∣BE1∣=√17／4 ∣DF1∣=√17／4 BE1· DF1 =15／16 ∴cos＜BE1，DF1＞ = ∣BE1∣· ∣DF1∣ =15／17 BE1· DF1 D A
D1
A1
F1 E1 B1
C1
C
B
Y
X
2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l AB=4cm,， AC=6cm，BD=8cm, CD=2√17求异面直线AC、BD所成角
一复习回顾
C
P
4空间向量基本定理：
A1
O
A
B
B1 P1
• 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。 • 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
5 空间两个向量的数量积
（1）
（2）
（3）
数量积的运算律
=∣CA∣2+∣AB∣2+∣BD∣2
=b2+a2+b2+2b2cos1200 =a2+b2 ∴∣CD∣=√a2+b2 A B
C
D
D’
2 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=1200 求(1) ︱BD1︳ D1 (2)直线BD1和AC夹角的余弦值
A1
B1
C1
D A B
C
知识方法总结 利用向量解几何题的一般方法
1 把线段或角度转化为向量表示,并用已知 向量表示未知向量,然后通过向量运算去 计算或证明!
2 解决途径︰坐标式和向量式
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= Z 求BE1与DF1所成的角的余弦值
解析：不妨设 正方体的棱长 为1；以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ
D1
F1 E1 B1
C1
A1
O D A
C
B
Y
X
解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O—xyz，则 B(1，1，0)， E1(1，3／4，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1)
OP = OA + t a. 其中向量a叫做直线l的方向向量. OP = (1- t)OA + t OB. 说明: (1),(2)都叫做空间直线的 向量参数表示式. (2) (1)
P
B a
A
OP 、OA 、OB.的终点共线的充要条件是 存在实数m、n，且m+n=1，使得 O
OP = mOA+nOB. (3)
A A’
C’ D’
B’ D C
B
∴∣AC∣=√85
例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1⊥平面AB1D1 B 证明 连结 A1C1 ∵CC1⊥平面A1B1C1D1 B1D1⊥A1C1 ∴A1C⊥B1D1 同理可证 A1C⊥AD1 ∵B1D1∩AD1=D1 ∴CA1⊥平面AB1D1
A
Z D
C
A1
y
一复习回顾
3 共面向量定理：
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 → → → 实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 1 → → → → 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 2 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C， → → → → OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞ 四点P、A、B、C共面。 3
（ 1）
（ 2） （ 3）
6、向量的直角坐标运算.
设 则
7空间向量的夹角和距离公式
(1) 夹角、
(2) 空间两点间的距离公式、
学习目标：
1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。 2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离
3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）
二知识运用与研究
∴(2√17)2=62+42+82+2×6 ＜CA，BD＞
×8cos A
C B D
∴cos＜CA，BD＞=1200 ∴所求角为600
例4.已知在平行六面体ABCD-A’B’C’D’ 中,AB=4,AD=3,AA’=5
解 ∵AC'=AB+AD+AA'
→
→
→
→
→ → → → 2 2 ∴∣AC'∣ =(AB+AD+AA') =∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2 → → → → → → +2(AB· AD+AB· AA'+AD· AA') =42+32+52+2(0+10+7.5) =85
C1
D1
B1 X
三 练习反馈
1
已知线段AB在平面α 内，线段AC⊥α ，线段BD⊥AB 线段DD'⊥α ，∠DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离
解 由已知有AC⊥AB <CA· BD>=1200 → 2 → → → → → 2 ∣CD∣ =CD· CD= (CA+AB+BD) → → → → → → +2CA· AB+2CA· BD+2AB· BD