第八章-倒易点阵简介PPT

(S S0)ha*kb*lc*ghkl
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方
程均可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 ghkl
1
S2
m
θ
Aห้องสมุดไป่ตู้
θ
θ
(S-S0) (HKL)
n
S0
O
S-S0=Ssinθ+ S0sinθ= 2sinθ
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 g的h晶kl(倒面易指矢数量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中
3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl
4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，
1/
2
A S0 /
O
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3 、S长度为1/d，方向垂
直于hkl面网， 所以
S=g* 即： 衍射矢量就是倒易矢量。
P
S/
g S S0
4 、可以A点为球心，以 1/为半径作一球面，称为
1/
2
A S0 /
O
反射球（Ewald 球）。衍
射矢量的端点必定在反射
球面上
5 、以S0端点O点为原点，作 倒易空间，某倒易点（代表 某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果 不在反射球面上， 说明不 满足Bragg’s Law，可以直 观地看出那些面网的衍射状 况。
hkl S/
1/
A
S0/
O
增大晶体产生衍射几率的方法
(1)入射方向不变，转动晶体
即Ewald球不动， 围绕O点转动倒易 晶格，接触到球面 的倒易点代表的晶
hkl S/
1/
C
S0/
O
面均产生衍射（周
θ
B
1
反射方向 P
反射线
g
2θ
θ (hkl)
A
θO
反射球
Ewald 作图法
1、设以单位矢量S0代表波 长为的X-RAY,照射在晶 体上并对某个hkl面网产生 衍射， 衍射线方向为S，二 者夹角为2。
2、定义S=S-S0为衍射矢量， 其长度为：
S=S-S0=2sin / =1/d
P
S/
g S S0
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程 差 O nAm OA SOA S0
OA (SS0)
S2 (S-S0) (HKL)
S0
相应的位向差为 22(SS0)OA
OApaqbrc 其中p、q、r是整数
因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(SS0)ha*kb*lc*
2dsinθ =λ
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Ewald 作图法
Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 sinθ =λ/2d
令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长） 则sinθ = ghkl /2
即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
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Ewald 图解
入射线
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
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ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
1平.倒行易于矢它量的g法hk向l垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就是
晶带定理。
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衍射条件
设:入射线波长为λ,入
射线方向为单位矢量S0,
衍射线方向为单位矢量S,
那么在S方向有衍射线的
条件是:在与S方向相垂
1
直的波阵面上,晶体中各
原子散射线的位向相同。
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
第八章 倒易点阵简介
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
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倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此.
倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
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倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 晶带定理
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2 ( S S 0 ) O 2 ( A h a * k b * l c * ) ( p a q b r c ) 2 ( h k p l q )r
可见，只有当φ=2πn时，才能发生衍射，此时n应 为整数。
由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
P
S/
g S S0
1/
2
A S0 /
O
入射矢量S0、
衍射矢量S
及倒易矢量g*的端 O 点均落在球面上
S0
A
2 S
S的方向与大小均 由2所决定
g3
S
g1
S
P3
g2
P1
P2
Ewald 球与极限球
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凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件 若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生，衍 射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。
a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正 点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b)
表明某一倒易基矢垂直于正 点阵中和自己异名的二基矢所 成平面
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倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
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倒易点阵的概念
倒易点阵是一个假想的点阵. 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,
就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵, 但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间 称为倒易空间。
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倒易点阵的定义
设正点阵的原点为O，基矢 为a、b、c，倒易点阵的原点 为 O* ， 基 矢 为 a* 、 b* 、 c* ， 则有：
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晶带定理
在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
图示为正空间中晶体的[uvw]晶带
图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同.