流体力学A 6-1

2.涡量场的定义:
涡量
在流场中的分布就是涡量场， 是向量场。
3. 由定义可知：
Ω 2 Ω 0
涡量场连续性方程
9
第六章 流体的旋涡运动
§6-1 旋涡运动的几个基本概念
二、涡线 1.涡线的定义 涡线是旋涡（涡量） 场中的一条曲线，在 同一时刻，曲线上任 意一点的切线方向与 该点流体微团的涡量 方向重合。
第六章 流体的旋涡运动
31
§6-4 旋涡的保持性定理
二、拉格朗日(Lagrange)定理——旋涡不 生不灭定理 1.正压性的理想流体在有势的质量力作用下 流动时，若初始时刻在某一部分流体内没 有旋涡，则在以前及以后的时间里，这部 分流体也不会有旋涡；反之，若初始时刻 该部分流体内有旋涡，则在以前及以后时 间里，这部分流体始终有旋涡。
2
第六章 流体的旋涡运动
#23
课堂例题与练习
由涡线方程，得
v2 Pf C 2
当质量力只有重力，流体是不可压时，有
p v z C g 2g
2
也可得到第四章 第四节针对无旋 和沿流线的积分 #
24
第六章 流体的旋涡运动
§6-3 涡管强度守恒定理
1.涡管强度守恒定理：同一时刻， 沿同一涡管各截面的涡通量不变， 即涡管强度守恒，简称涡强守恒。 Ω ndA=常数
A
2
n2 A2
1 n1
2.对于同一截面上各点涡量 都相同的均匀涡管，涡管强 度守恒定理可表示为： Ω A Ω A =常数
2 1 1 1
A3
A1
第六章 流体的旋涡运动
25
§6-3 涡管强度守恒定理
3.推论
1) 对于同一涡管，涡管截面积越大处其 涡量越小，反之亦然； 2) 绕涡管壁面一周的任一封闭曲线的速 度环量为常数，即
第六章 流体的旋涡运动
14
§6-1 旋涡运动的几个基本概念
五、速度环量
在流场中任取封闭曲线K，速 度沿该封闭曲线的线积分称为 速度沿封闭曲线K的环量，简称 速度环量，即

K
K
v ds vx dx vy dy vz dz
K
ds
v
15
其中 K 取正向。
第六章 流体的旋涡运动
第六章 流体的旋涡运动
33
§6-4 旋涡的保持性定理
3. 和日常所见不同的原因: 流体有粘性存 在。另外，其它条件也要满足。
第六章 流体的旋涡运动
34
§6-4 旋涡的保持性定理
三、涡管保持定理——亥姆霍兹 （Helmhotz）第一定理 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同的流体质点 所组成。
2 1 2 2
动能修正系数
hw hf hj
l V2 hf d 2g
hj V 2g
2
单位重量流体从缓变 截面 1到缓变截面2 之间的平均能量损失 沿程损失 沿程损失系数 局部损失 局部损失系数
6
第六章 流体的旋涡运动
1.流体的旋涡运动就是流体的有旋运动 2.什么是有旋运动？如何判别？ 3.研究背景简介，实际意义和理论意义。 4.本章内容简介 旋涡运动的几个基本概念 斯托克斯定理 涡管强度守恒定理 旋涡的保持性定理
课堂例题与练习
例6-1 已知二维流场的速度分布为vx= 6y， vy=8x，求圆周 x2+y2=1 上的速度环量。 解:
v ds vx dx vy dy 6 ydx 8xdy
K K K
6sin d (cos ) 8cos d (sin ) 14
第六章 流体的旋涡运动
17
§6-2 斯托克斯定理
R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz ( ) dydz ( ) dzdx ( )dxdy y z z x x y L
dydz x P
提 示

做好实验准备 迎接期中考试；


注意期中考试的时间、地点
复习：某函数存在原函数的充要条件
1
上次课主要内容

管路中的局部损失


管路水力计算
管道水击现象
2
§5-7 管路中的局部损失
一. 管道截面突然扩大来自二. 弯管的局部损失三. 绕流阀门的局部损失
四. 局部损失计算总结
五. 减小局部损失的措施
粘性流体的层流与紊流状态 管内流动能量损失的类型 圆管中的层流流动 粘性流体的紊流流动 沿程损失系数的实验研究 非圆截面管路沿程损失的计算 管路中的局部损失 管路水力计算 管道水击现象
5
第五章核心
主要会运用：
p1 V p2 V z1 1 z2 2 hw g 2g g 2g
7
§6-1 旋涡运动的几个基本概念
一、涡量场
1.涡量的定义和记号
在有旋流动中，流体速度的旋度称为 涡量，以 Ω 表示，即
Ω v xi y j z k
其中： x 、 y 、 z是涡量在三个坐标轴 方向的投影。
第六章 流体的旋涡运动
8
§6-1 旋涡运动的几个基本概念
第六章 流体的旋涡运动
20
§6-2 斯托克斯定理
3. 可以利用例6-1简单的说明Г =J确实成 立。斯托克斯定理的详细证明在此不一 一赘述。
第六章 流体的旋涡运动
21
§6-2 斯托克斯定理
4.斯托克斯定理表明： 1) 速度环量的存在不仅可以衡量封闭周线 所包围区域内的涡通量，而且能反映旋 涡是否存在。 2) 可以通过计算速度环流来判别某区域内 的流动是有旋还是无旋流动。 3) 在很多情况下利用速度环量研究旋涡运 动要更方便。
四、涡通量
1.涡通量的定义和记号
Ω
涡通量的定义：单位时间 通过任一开口曲面的涡量 的总和。记着J。
2.涡通量的计算式
为Ω
dA
n
J Ω ndA
S
通过任一曲面S的涡通量。注意投影。
第六章 流体的旋涡运动
13
§6-1 旋涡运动的几个基本概念
3. 涡管强度 若曲面S为涡管的任意截面，则J 称为涡管 通量，又称涡管强度。 4. 有旋流动的一个重要特性：通过有旋流 场的任一封闭曲面的涡通量为零。
第六章 流体的旋涡运动
35
§6-4 旋涡的保持性定理
四、涡管强度保持定理—亥姆霍兹 （Helmhotz）第二定理 在有势的质量力作用下，正压性的理 想流体中任何涡管的强度不随时间变化。 以上三定理的证明均主要用到Stokes 定理和Kelvin定理
第六章 流体的旋涡运动
36
§6-4 旋涡的保持性定理
这表明，随时间 推移将产生旋涡， 伴随着旋涡有下 列形式的环量： 空气从底层由北 纬向南纬流 动，在赤道处上升，然后再从上层流回北纬， 从那里再流下来。这就是气象学中在赤道国 # 家出现的贸易风 (也叫“信风”）。
则

K
v ds dA n dA J
A A
K 可以是微元封闭曲线也可以是有限 区域内封闭周线。
第六章 流体的旋涡运动
19
§6-2 斯托克斯定理
2.斯托克斯定理可推至多连通区域
K1 Ki J
i 2 n
即，沿多连通区域外周 线和内周线的速度环量 之差等于通过该区域的 涡通量。
3
§5-8 管路水力计算


绪论
按不同管路各

自的特点进行 管路系统分类及其特点 计算； 简单管路及其特点 根据不同管路 的特点，熟练 串联管路及其特点 使用连续性方 并联管路及其特点 程、伯努利方 例题 程、能量损失 计算公式。
4
第五章：黏性流体的管内流动 与管路计算


1) 流体质点线:指在同一时刻由确定的一组 连续排列的流体质点组成的流体线。 2) 若流体质点线处处可微，则称其为连续 流体质点线。 3) 连续的流体质点线具有保持性。
第六章 流体的旋涡运动
30
§6-4 旋涡的保持性定理
2.凯尔文定理 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，沿任意一条封闭流体质点线的速度 环量不随时间变化。 1) 简单证明； 2) 等价说法：通过任意流体面的涡通 量在运动过程中保持不变(流体面的涡通量 保持性定理)。
第六章 流体的旋涡运动
32
§6-4 旋涡的保持性定理
2.由凯尔文定理和拉格朗日定理可以断言： 1) 不可压缩理想流体在重力场中从静止状 态开始的任何运动在任何时刻都无旋； 2) 不可压缩理想流体在重力场中绕流物体 时，只要足够远处来流均匀无旋，在不 脱体的情况下，整个绕流流场都是无旋 的。进一步讲，即使在绕流开始时产生 了旋涡，也必然在同时产生一个同样大 小但旋转方向相反的旋涡。
0
2
#
第六章 流体的旋涡运动
16
§6-2 斯托克斯定理
一、斯托克斯定理
1) 设L为分段光滑的空间有向闭曲线，
2) ∑是以L为边界的分片光滑的有向曲 面，L的正向与∑符合右手规则① ， 3) 函数P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)在包 含曲面∑在内的空间区域内具有一阶连 续偏导数，则
将斯托克斯公式用于上式，有
d 1 p dA 2 A dt
第六章 流体的旋涡运动
38
课堂例题与练习
如图所示，经分析 知，等压面与等密 度面是相交的。 p 的方向 且， 所以
d 0 dt
第六章 流体的旋涡运动
与 dA 的方向一致，
#