解析函数展开成罗朗级数的方法分析

解析函数展开成罗朗级数的方法分析

摘 要 本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析．通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂．因此，我们常采用间接法．

关键词 双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开

１ 定义及定理

定义：级数

2012()()c c z a c z a +-+-+ (1) .)

(2

2

1 +-+---a z c a z c (2) 当且仅当r

n n n n

z z c

)(0-∑∞

=-∞

= (3)

其中Cn （n=0,±1,…）为复常数，称为双边幂级数的系数

由以上定义、阿贝尔定理及幂级数和的解析性可得

定理：设双边幂级数(3)的收敛圆环为(0,)H r z a R r R <-<≥≤+∞：，则

(1) (3)在H 内绝对收敛且内闭一致收敛于：

12()()()f z f z f z =+．

(2) ()f z 在H 内解析． (3) ∑∞

-∞

=-=

n n

n

a z c z f )

()(在H 内可逐项求导p 次(p =1，2，…)．

(4) 函数()f z 可沿H 内曲线C 逐项积分．

前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有

罗朗定理： 在圆环(0,)H r z a R r R <-<≥≤+∞：内解析的函数()f z 必可展成双边幂级数：

n n n n

z z c

z f )()(0-=

∑∞

=-∞

= (4)

其中

ξξξπd a f i c n n ⎰Γ+-=

1)

()

(21 （ n=0,±1,…） (5)

Γ为圆周)(||R r a <<=-ρρξ，并且展式是惟一的（即由f (z )及H 惟一地决定系数n c ）

定义：(4)称为函数()f z 在点a 的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数．

2 方法分析

要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多．首先罗朗级数是在圆环域内()f z 的奇点a 展开的，它的系数为：

ξ

ξξπd a f i

c n n ⎰Γ+-=

1)()

(21

可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数()f z 后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数．然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法． 2.1 直接展开法

即：依据罗朗定理的系数公式ξξξπd a f i c n n

⎰Γ+-=

1)

()

(21，（n=0，±1，±2，…）先

求出系数n c ，然后再写出∑∞

-∞

=-=

n n n

z z c

z f )()(0．

例1 在0<| z |<+∞内，将2)(z

e z

f z

=展为罗朗级数．

解： 在复平面上除点在z 0=0外，发()f z 处处解析，所以f (z )在圆环域0<| z |<+∞内解析．取c 为圆周(0)c z ρρ'=<<∞：，则

∑∞

∞

==n n n z c z f )(，

ξξ

πξξξπξ

d e i d z f i c c n c n n ⎰⎰'+'+=-=31021)()(21

（n=0，±1，±2，…）

而当3-≤n 时，

3

+n e ξ

ξ

在c '上解析，0=n c ；当2-≥n 时，由高阶导数公式，有

.)!2(1

)()!2(1210

223+=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⋅+==++'+⎰n e dz d n d e i z z n n c n ζξπξ 即

)!

2(1

+=

n c n

于是，得

+∞<<+++++=z z z z z z f 0,4!3!2111)(2

2 ！

2.2 间接展开法

根据函数展开为双边幂级数的唯一性，通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为罗朗级数时，仍然以泰勒级数为基础，常用方法如下：

2.2.1 用公式∑∞

==-0

11

n n z z （|z|<1）

． 要将函数b az c

z f +=

)(展开，关键在于将()f z 变形，使表示式中出现11ω

-因式，且||<1ω.这里ω的取定还跟圆环域的中心与半径有关．

例2 求)

1(1

)(-=

z z z f 的罗朗级数．

解： 函数()f z 有两个奇点z=0和1，从而可以在4个圆环域10<

+∞<1正数)内展为罗朗级数．

① 在10<

1111()11f z z z z z

--=---＝

＝)1(1

2 +++++--

n z z z z ＝ -------n

z z z z

211；

② 在110<-

)

1(11

11111)(-+-

--=--=

z z z z z f ＝

])1()1()1()1(1[11

2 +--+--+----n n z z z z ＝

+--++---+--+n n z z z z )1()1()1()1(11

1

12; ③ 在+∞<

11

，所以有 )

11(1

11111)(z z z z z z f -⋅

+-=--=

＝]1

111[112 ++++++-

n z z z z z ＝ ++++n z

z z 1

1132;

④ 在1-<-a a z (a>1正数)内，有

z

z z f 1

11)(--=

＝

a

a z a a a z a )(11

1)1()(1111-+⋅

---+⋅- ＝])1()()1()(11[1122 +--++--+---⋅-n

n

a a z a a z a a z a －

])()1()(1[122 +--++-+--⋅-n

n n a a z a a z a a z a ＝n n n n n n n n

a a z a a z )()1()1()()1(0

10------∑∑∞

=+∞

= 2.2.2 代换法

即在已知函数展开式中，通过代换因式得到新的罗朗级数． 例3 求函数1

sin

)(-=z z

z f 在去心领域+∞<