弹性力学_平面应力_平面应变问题
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弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
1 平面应力和平面应变
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
特点
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
弹性力学平面应力平面应变问题
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水
（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴
的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y
y
o z
y
o z
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位 移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平 面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
yx
xy
yx
d’
a’
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
弹性力学
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。
Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于对称条件τzx=0，τzy=0.2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。
在平面问题中，因为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段都没有伸缩，即εz=0，σz=μ（σx+σy）带入其中可得4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元的位移模式？简要说明理由。
位移模式必须能反应单元的钢铁位移，6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理方程不同)8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列(A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计9三结点三角形单元中的位移分布为(B．线性分布)。
平面应力问题与平面应变问题
• (u,v)≠0,They are functions of x and y only u v 通常不为零，且只是x y的函数。
• Plane displacement problem 平面位移问题
2021/1/23
弹性力学 第二章
12
G. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力
Symmetric condition对称条件:zx=0,zy=0
A
B
w0
2021/1/23
弹性力学 第二章
14
' zy
将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若
有
zy
，右部分则有
' zy
，大小与 zy
相等。
'
由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可
zy
有
" zy
，而
" zy
' zy
y)
dx
F 2 ( x, y) 2!x 2
dx2
F (x, y) F (x, y) dx
F (x,
y
dy)
x F (x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (x, y
y)
dy
F 2 (x, y) 2!y 2
dy 2
F (x, y) F (x, y) dy y
2021/1/23
弹性力学 第二章
27
Review: Taylor’s series: 泰勒级数
可见弹力的平衡微分方程的推导并不是全新的内容其所用的方法取单元体考虑单元体的平衡在材力中早已用过2013814弹性力学第二章25?弹力的单元体变小了所得方程从反力内力的四则运算和常微分关系变成了应力体力的偏微分关系
• Plane displacement problem 平面位移问题
2021/1/23
弹性力学 第二章
12
G. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力
Symmetric condition对称条件:zx=0,zy=0
A
B
w0
2021/1/23
弹性力学 第二章
14
' zy
将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若
有
zy
，右部分则有
' zy
，大小与 zy
相等。
'
由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可
zy
有
" zy
，而
" zy
' zy
y)
dx
F 2 ( x, y) 2!x 2
dx2
F (x, y) F (x, y) dx
F (x,
y
dy)
x F (x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (x, y
y)
dy
F 2 (x, y) 2!y 2
dy 2
F (x, y) F (x, y) dy y
2021/1/23
弹性力学 第二章
27
Review: Taylor’s series: 泰勒级数
可见弹力的平衡微分方程的推导并不是全新的内容其所用的方法取单元体考虑单元体的平衡在材力中早已用过2013814弹性力学第二章25?弹力的单元体变小了所得方程从反力内力的四则运算和常微分关系变成了应力体力的偏微分关系
《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题
数学模型的比较
平面应力问题
需要建立三个方向的应力分量，即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$ 和$tau_{xy}$，以及三个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$。
平面应变问题
需要建立两个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$，以及三个方向的应力分量， 即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$和$tau_{xy}$。
04
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在建筑领域的应用
结构设计
建筑结构中的梁、柱、板等构件 的受力分析，需要考虑弹性力学 的基本原理，以确保结构的稳定 性和安全性。
地震工程
地震工程中，建筑物的抗震设计 需要利用弹性力学的基本原理， 研究地震作用下的结构响应和破 坏机制。
弹性力学在机械领域的应用
机械零件设计
机械零件如轴承、齿轮、弹簧等的受 力分析，需要考虑弹性力学的基本原 理，以确保零件的稳定性和可靠性。
疲劳寿命预测
弹性力学在机械领域中广泛应用于疲 劳寿命预测，通过分析材料的应力分 布和应变历程，预测零件的疲劳寿命。
弹性力学在航空航天领域的应用
飞机结构分析
飞机结构中的机翼、机身等部件的受力分析，需要考虑弹性力学的基本原理，以确保飞机的安全性和稳定性。
假设物体在平面内的应力分量与垂直于平面的应力分量相比很小，因此可以忽略不 计。
平面应变问题的求解方法
基于弹性力学的基本方程，建 立平面应变问题的数学模型。
利用边界条件和初始条件，求 解数学模型中的未知量。
常用的求解方法包括有限元法、 有限差分法和变分法等数值计 算方法，以及解析法等理论计 算方法。
弹性力学平面问题总结
P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
跨学科融合
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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感谢您的观看
材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论
o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z
E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：
平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：
平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用.。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
y 面， 面）， n
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
2、平面问题中一点的应力状态 x
35
yx yx
y
y y
A
几何参数：
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
xx
xy xy
P P
τN
B py
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
故为平面应变问题。
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
x
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
u,,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
zx
z xz x
x xy ij = yx y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（ x ，）∈A； y ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章
第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
第6章弹性力学的平面问题
2
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
平面应力和平面应变
B
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
xy dy
y
P
x xy D B
yx dy
y
1
dx
2
yxA
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （6） —— 任意斜截面上应力计算公式
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx
（2） N 的正负号规定
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为正N ；反之为负。
（3）若AB面为物体的边界S，则 X N X YN Y
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
xy dy
y
P
x xy D B
yx dy
y
1
dx
2
yxA
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （6） —— 任意斜截面上应力计算公式
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx
（2） N 的正负号规定
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为正N ；反之为负。
（3）若AB面为物体的边界S，则 X N X YN Y
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
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(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。 以上基本假定将作为问题简化的出发点。
Y 0
Z 0
xy x
y y
zy z
Y 0
xz yz z Z 0 x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回 顾
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
yz zx
1 z z x y E
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
E 1 x x y z 1 1 2 1 1 E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 z x y z 1 1 2 1 1 E xy xy 21 E yz yz 21 E zx zx 21
（HookeΒιβλιοθήκη s Law）弹塑性范围 弹性范围 斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
1 x x y z E 1 y y z x E
xy
1 xy G 1 yz G 1 zx G
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
h z 时 2
z 0
zx 0
zy 0
y
h
2
y
h
2
o
x
o
z
h
平面应力问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念
§2-2 弹性力学的基本方程
§2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
位 移
回 顾
物体变形后的形状
应 变
物体的变形程度
应 力
物体的受力状态
弹 性 模量 量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
1
对 1 0 0 0 1 2 21 0 0
1 0 0 0
1 2 21 0
称 1 2 21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回 顾
Y、 Z 。设 弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为 X 、 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为 X nx x n y xy nz xz Y nx yx n y y nz yz Z nx zx n y zy nz z
uu
vv ww uu
(在 u 上)
用矩阵形式表示为：
(在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回 顾
平衡微分方程
几何方程 物理方程
σ b 0
ε t u
σ Dε
(在 内)
( 在 内) ( 在 内)
边界条件
nσ t
uu
(在 t 上)
(在 u 上)
§2-2 弹性力学基本方程
回 顾
b
zx
zx zy xz xz zy
c
b’
a
c’
yz
yz
xy
yx yx
d
a’
xy
d’ a’
1.平衡微分方程 由力平衡条件
回 顾
X 0
有
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
zx 0 代入物理方程 将 yz 0，
yz
zx
E yz 21
E zx 21
得
yz 0
zx 0
1 z z x y E
T
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]
回 顾
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
B1 θ
θ1
A1
2
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
u x x
xy
v u x y
v y y
w z z
yz
w v y z
u w z x
zx
回 顾
几何方程式的矩阵形式为
ε t u
其中 t 为微分算子 的转置
x 0 0 t y 0 z
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy 三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力
问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z 轴方向) 远小
于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： (1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；
(3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没 有变化；
(4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题 任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、
应变和位移必然是三向的。一般说来，
它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐
0 y 0 x z 0
0 0 z T 0 y x
3.物理方程：应力-应变的关系 由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关 系，即 σx = Eεx
Y
这就是虎克定律。 应力
得
1 1 x y x E 1 1 y x y E 1 21 xy xy xy G E
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
E (1 ) x x y (1 )(1 2 ) 1 E (1 ) y x y (1 )(1 2 ) 1 E E (1 ) 1 2 xy xy 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 )
u u v x 1 x, y , xy 2 x, y x y x v v w y 3 x, y , yz 0 y z y w u w z 0, zx 0 z z x
将 z 0 代入物理方程 得
z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y y
o z y z
o
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位
移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平
标（如x、y）的函数。平面问题可以进而
分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于
横向（x，y）尺寸，且
与纵轴垂直的各截面都
相同；受到垂直于纵轴
但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，
同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿
长度变化。
平面应变问题
其矩阵表达式为
其中，面积力向量
t nσ
n x n0 0 0 ny 0 0 0 nz ny nx 0 0 nz ny
(在
t 上)
t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
Y 0
Z 0
xy x
y y
zy z
Y 0
xz yz z Z 0 x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回 顾
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
yz zx
1 z z x y E
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
E 1 x x y z 1 1 2 1 1 E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 z x y z 1 1 2 1 1 E xy xy 21 E yz yz 21 E zx zx 21
（HookeΒιβλιοθήκη s Law）弹塑性范围 弹性范围 斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
1 x x y z E 1 y y z x E
xy
1 xy G 1 yz G 1 zx G
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
h z 时 2
z 0
zx 0
zy 0
y
h
2
y
h
2
o
x
o
z
h
平面应力问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念
§2-2 弹性力学的基本方程
§2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
位 移
回 顾
物体变形后的形状
应 变
物体的变形程度
应 力
物体的受力状态
弹 性 模量 量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
1
对 1 0 0 0 1 2 21 0 0
1 0 0 0
1 2 21 0
称 1 2 21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回 顾
Y、 Z 。设 弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为 X 、 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为 X nx x n y xy nz xz Y nx yx n y y nz yz Z nx zx n y zy nz z
uu
vv ww uu
(在 u 上)
用矩阵形式表示为：
(在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回 顾
平衡微分方程
几何方程 物理方程
σ b 0
ε t u
σ Dε
(在 内)
( 在 内) ( 在 内)
边界条件
nσ t
uu
(在 t 上)
(在 u 上)
§2-2 弹性力学基本方程
回 顾
b
zx
zx zy xz xz zy
c
b’
a
c’
yz
yz
xy
yx yx
d
a’
xy
d’ a’
1.平衡微分方程 由力平衡条件
回 顾
X 0
有
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
zx 0 代入物理方程 将 yz 0，
yz
zx
E yz 21
E zx 21
得
yz 0
zx 0
1 z z x y E
T
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]
回 顾
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
B1 θ
θ1
A1
2
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
u x x
xy
v u x y
v y y
w z z
yz
w v y z
u w z x
zx
回 顾
几何方程式的矩阵形式为
ε t u
其中 t 为微分算子 的转置
x 0 0 t y 0 z
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy 三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力
问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z 轴方向) 远小
于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： (1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；
(3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没 有变化；
(4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题 任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、
应变和位移必然是三向的。一般说来，
它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐
0 y 0 x z 0
0 0 z T 0 y x
3.物理方程：应力-应变的关系 由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关 系，即 σx = Eεx
Y
这就是虎克定律。 应力
得
1 1 x y x E 1 1 y x y E 1 21 xy xy xy G E
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
E (1 ) x x y (1 )(1 2 ) 1 E (1 ) y x y (1 )(1 2 ) 1 E E (1 ) 1 2 xy xy 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 )
u u v x 1 x, y , xy 2 x, y x y x v v w y 3 x, y , yz 0 y z y w u w z 0, zx 0 z z x
将 z 0 代入物理方程 得
z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y y
o z y z
o
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位
移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平
标（如x、y）的函数。平面问题可以进而
分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于
横向（x，y）尺寸，且
与纵轴垂直的各截面都
相同；受到垂直于纵轴
但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，
同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿
长度变化。
平面应变问题
其矩阵表达式为
其中，面积力向量
t nσ
n x n0 0 0 ny 0 0 0 nz ny nx 0 0 nz ny
(在
t 上)
t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为