131单调性与最大值第二课时

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3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件(人教版)

= (x1 −
x2 −x1
x2 ) +
x 1 x2
1
)
x1
=
− (x2 +
1
)
x2
x1 −x2
(x1 x2
x1 x2
= (x1 − x2 ) +
1
(
x1
1
− )
x2
− 1).
由x1 , x2 ∈ (1, +∞)，得1 < x1 < x2 ，所以x1 x2 > 0, x1 x2 − 1 > 0.
又x1 < x2 ，所以x1 − x2 < 0，所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
几何意义
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
所以函数f(x) = −3 +
那么f(x)max = −3
1
在区间[2,4]上单调递增.
1−x

+
1−4
=
10
− ；f(x)min
3
= −3
1
+
1−2
= −4.
=
x1 −x2
.
(1−x1 )(1−x2 )
练习巩固
练习4：已知函数f(x) = x 2 − ax + 1.

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

3.2.1 单调性与最大(小)值——最值(第2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

解(1)：的图象如图所示：
(2)：由的图象知：函数的单调增区间为：，; 单调减区间为：值域为：.
题型讲解
1.已知函数，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.
[解析] 图象如图所示，
由图象知，函数的最大值为2，没有最小值，所以其值域为 .
练一练
题型二：利用单调性求函数的最值
（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉. 画出这一天8：00~20：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
思考：一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？
不一定.比如：一次函数（）时，无最大值和最小值；二次函数（开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值）；常函数（既有最大值又有最小值，且最大值和最小值相等）.给定区间的函数，看区间端点能否取到，具体情况具体分析.
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?
练一练
题型四：二次函数在区间上的最值
解：由二次的知识可知，函数y=x2-2x-1的图象开口向上，其对称轴为x=1.∴y=x2-2x-1的大致图象如图所示.（1）
∵x∈[0, 3] ∴当x=1时，ymin=12-2-1=-2 . 当x=3时，ymax=32-2×3-1=2.

3.2.1单调性与最大(小)值教学设计-023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一

课堂教学设计学科：高一数学姓名：课题：3.2.1 单调性与最大（小）值（第二课时）课型：新授课教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节课是新课标人教A版（2019）必修1中第三章函数的性质之函数的单调性和最大（小）值的第2课时，也是对函数性质的进一步研究。

函数的最值问题对于学生来说并不陌生，初中已经学习了求二次函数的最大（小）值的问题。

本节在函数的单调性之后，目的在于引导学生用单调性探究函数的最值问题，同时对解决日常生活中的最值问题起着重要作用。

通过本节课的学习，可以让学生理解函数最值的定义和几何意义，进一步加深对函数性质的理解，同时，对于常见题型的研究，也将数学结合和分类讨论思想充分体现，对培养学生直观想象、数学建模等核心素养都具有重要意义。

（二）学生情况分析现阶段大部分学生学习的主动性较差，且随着高中数学难度的加大，学习信心不足。

通过对常见函数的单调性问题的学习，找到初中知识和高中知识的衔接点，从特殊到一般，再通过类比，使学生更容易掌握新知识。

因此，学生已经具备了探索、发现、研究函数单调性的基础，通过问题引导，使学生独立思考、大胆尝试和灵活应用，从中体会类比、归纳、转化等数学思想。

学习目标1.借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最大（小）值的概念及几何意义。

2.在最值概念的形成过程中，体会到以具体到抽象，从感性到理性的认知过程以及从特殊到一般的研究方法领会数形结合的数学思想。

教学重点和难点1.教学重点：抽象概括函数最大（小）值的定义，能利用单调性求一些函数最值2.教学难点：函数最大（小）值形式化定义的形成与理解教学资源和教学方法采用多媒体和黑板结合，创设情景，从具体函数图像引入新课。

以学生为主体，通过问题衔接，引导学生思考探究学习。

教学过程（第二课时）教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一复习回顾引出课题问题1：上节课我们研究了函数的单调性，请叙述单调性的定义，并回答单调性证明的一般步骤。

1.3.1《单调性与最大(小)值》第二课时参考教案

1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（2课时）一、教学目标(1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法；(2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力；(3)理解函数的最大（小）值及其几何意义； (4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二、教学重点与难点重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的最大（小）值及其几何意义．难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值．三、教学过程T ：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的一些性质。

1.问题情境T ：由下图，你能说出下列函数图象有何特征？启发学生由图象（主要是升降变化）获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

2.建构教学T ：再来看两个特殊函数：一次函数y x =和二次函数2y x =（由学生作出图象），图1 图2从左到右，这两个函数的图象是如何变化的？S：图1是上升的；图2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。

T：从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。

函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

T：所谓的从左到右观察图象，体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化？S：是x值由小变大。

T：图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述？（以函数2=为y x 例）3.教学设计用计算机作出函数2=的图象，在上面任选一点P，测出其坐标，引导学生观y x察当点P在函数图象上“按横坐标（即自变量）x增大”的方向移动时，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律。

x>时，随着x的增大，相应的S：图2中图象在y轴右侧“上升”，也就是，在0x<时，随着x的增大，相y值随之增大；图象在y轴左侧“下降”，也就是，在0应的y值反而随之减小。

3-2-1单调性与最大(小)值-第二课时-高中数学人教A版必修一同步课件

因为 x1<x2 且 x1>1，x2>1 所以 x1－x2<0，x1x2>1，

1
1
<0，
所以 1－
>0，所以(x1－x2)1－
2x1x2
2x1x2

所以 f(x1)<f(x2)，即函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数 f(x)在[1，＋∞)上的最小值为

1
7
1

所以 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·1－
a
其对称轴为 x＝，
2
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，
则在哪个端点取到最大值，
a 1
当 ≤ ，即 a≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝2－a；
2 2
a 1
当 > ，即 a>1 时， f(x)的最大值为 f(0)＝1.
2 2
课堂精讲
角度 2 含参数的二次函数的最值
【例 3－2】已知函数 f(x)＝x2－ax＋1，
(1)证明设 1≤x1<x2，
则

1
1
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2＋
x1
x2

（x1－x2）（x1x2－1）
＝
.
x1x2
∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，
（x1－x2）（x1x2－1）
∴x1x2－1>0，∴
<0，
x1x2
即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
3.2.1单调性与最大(小)值-第二课时
题型三Hale Waihona Puke 二次函数的最值数学

131单调性与最大值第二课时

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分段函数的最大(小)值问题
x2－12≤x≤1
【例 4】已知函数 f(x)＝
1x1<x≤2
求 f(x)的最大、最小值．
思路点拨：先求出 f(x)在各段上的最大和最小值，再比较，即得 f(x)的最大、最小值．
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第 2 课时
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想一想：
1．最大值 (1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (2)几何意义：函数 y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值 (1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数 y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．
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4．求函数 y＝x2＋6x＋1的最大值．
解：配方为

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2．函数 f(x)＝x＋1 1，x∈[1,2]的最小值是( B )
(A)f(1)
(B)f(2)
(C)f(0)
(D)不存在
解析：∵f(x)＝x＋1 1在区间[1,2]上是减函数，∴x 取最大值 2 时，函数值最小，即 f(2)最小，故选 B.
思路点拨：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．
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解：任取 2≤x1<x2≤5，则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1， ∵2≤x1<x2≤5， ∴x1－x2<0， x2－1>0， x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数．
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答案：2,0
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4．求函数 y＝x2＋6x＋1的最大值．
解：配方为 y＝x＋1262＋34，由(x＋12)2＋34≥34，得 0＜x＋1262＋34≤8. 所以函数的最大值为 8.
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3 x≥2 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1 －1＜x＜2
－3 x≤－1
3,3]．所以函数的最大值为 3，最小值为－3.
.作出函数的图象，由图可知， y∈[ －
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利用单调性求最值【例 2】求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值．
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知识要点一：准确理解函数最大值的概念 1．定义中 M 首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解． 2．对于定义域内全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式． 3．这两条缺一不可，若只有①，M 不一定是最大值，如 f(x)＝－x2(x∈R)，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1 成立，但 1 不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了．最大值的核心就是不等式 f(x)≤M 成立，即①一定成立，所以不能只有②.
∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2，
f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.
运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
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【例 3】求 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值．
思路点拨：解答本题可先求出 f(x)的对称轴 x＝a，然后就 a 与区间 [0,2]的关系进行讨论，分别求出 f(x)的最大值和最小值．当 0≤a≤2，即对称轴 x＝a 在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为 0≤a＜1 和 1≤a≤2 讨论．
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做一做： 1．函数 f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( C )
(A)f(2)，f(－2) (C)f(12)，f(－32)
(B)f(12)，f(－1) (D)f(12)，f(0)
解析：根据函数最值定义，结合函数图象知，当 x＝－32时，有最小值 f(－32)；当 x＝12时，有最大值 f(12)．
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知识要点二：函数的最值与值域、单调性之间的关系
1．对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
2．函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．知识要点三：分段函数的最大、最小值函数的最大、最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者；其最小值是各段上最小值中的最小者．
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3．(原创题)函数 f(x)＝－ x x02－<x2≤x 2 －2≤x≤0
则 f(x)的最大及最小值分别是________．
解析：当－2≤x≤0 时，0≤f(x)≤f(－1)，即 0≤f(x)≤1. 当 0<x≤2 时，0<f(x)≤2，综上 0≤f(x)≤2. ∴f(x)max＝ f(2)＝2，f(x)min＝ f(0)＝f(－2)＝0.
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利用图象求最值【例 1】求函数 y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
思路点拨：含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究．分段函数的图象注意分段作出．

131单调性与最大值第二课时

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3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件(人教版)

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

3.2.1 单调性与最大(小)值——最值(第2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

3.2.1单调性与最大(小)值教学设计-023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一

1.3.1《单调性与最大(小)值》第二课时参考教案

3-2-1单调性与最大(小)值-第二课时-高中数学人教A版必修一同步课件

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