131单调性与最大值第二课时

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利用图象求最值【例 1】求函数 y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
思路点拨：含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究．分段函数的图象注意分段作出．
3 x≥2 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1 －1＜x＜2
－3 x≤－1
3,3]．所以函数的最大值为 3，最小值为－3.
.作出函数的图象，由图可知， y∈[ －
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利用单调性求最值【例 2】求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值．
答案：2,0
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4．求函数 y＝x2＋6x＋1的最大值．
解：配方为 y＝x＋1262＋34，由(x＋12)2＋34≥34，得 0＜x＋1262＋34≤8. 所以函数的最大值为 8.
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∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2，
f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.
运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
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【例 3】求 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值．
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知识要点一：准确理解函数最大值的概念 1．定义中 M 首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解． 2．对于定义域内全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式． 3．这两条缺一不可，若只有①，M 不一定是最大值，如 f(x)＝－x2(x∈R)，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1 成立，但 1 不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了．最大值的核心就是不等式 f(x)≤M 成立，即①一定成立，所以不能只有②.
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知识要点二：函数的最值与值域、单调性之间的关系
1．对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
2．函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．知识要点三：分段函数的最大、最小值函数的最大、最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者；其最小值是各段上最小值中的最小者．
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3．(原创题)函数 f(x)＝－ x x02－<x2≤x 2 －2≤x≤0
则 f(x)的最大及最小值分别是________．
解析：当－2≤x≤0 时，0≤f(x)≤f(－1)，即 0≤f(x)≤1. 当 0<x≤2 时，0<f(x)≤2，综上 0≤f(x)≤2. ∴f(x)max＝ f(2)＝2，f(x)min＝ f(0)＝f(－2)＝0.
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做一做： 1．函数 f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( C )
(A)f(2)，f(－2) (C)f(12)，f(－32)
(B)f(12)，f(－1) (D)f(12)，f(0)
解析：根据函数最值定义，结合函数图象知，当 x＝－32时，有最小值 f(－32)；当 x＝12时，有最大值 f(12)．
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2．函数 f(x)＝x＋1 1，x∈[1,2]的最小值是( B )
(A)f(1)
(B)f(2)
(C)f(0)
(D)不存在
解析：∵f(x)＝x＋1 1在区间[1,2]上是减函数，∴x 取最大值 2 时，函数值最小，即 f(2)最小，故选 B.
思路点拨：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．
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解：任取 2≤x1<x2≤5，则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1， ∵2≤x1<x2≤5， ∴x1－x2<0， x2－1>0， x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数．
思路点拨：解答本题可先求出 f(x)的对称轴 x＝a，然后就 a 与区间 [0,2]的关系进行讨论，分别求出 f(x)的最大值和最小值．当 0≤a≤2，即对称轴 x＝a 在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为 0≤a＜1 和 1≤a≤2 讨论．
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