数字电路讲义 - 第2讲(逻辑代数及其化简方法)

基本过程
KM法化简逻辑函数的基本过程(三步走)
Step 1: 根据已知的逻辑函数及其真值表, 确定KM Step 2: 根据相邻特性, 画包围圈, 合并最小项 Step 3: 写出每个包围圈对应的乘积项, 并相加, 得到简化的逻辑函数
注意: 为了保证Step 1确定的KM是正确的, 建议列出逻辑函数的真值表!
00
01
11
10
00 01 11 10 1 1 1 1
00 1 x x 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1
x x x
(1)
(2)
从练习4中你发现了什么? Hint: 逻辑函数的最简式不是唯一的!
10 1
00 √ 0 01 √ 1 11 √ 3 10
√
12 √ 8
√
5 7 6
13 √ 9 15 √11 14
√
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
√ √
2
10
1
1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
01 0
11 0
10
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
逻辑代数的基本定律

与一般代数相似, 逻辑代数有以下自明的基本定律
0-1律: A+0=A, A+1=A, A+A=A, A+A=1, A·0=0, A·1=A, A·A=A, A·A=0 结合,
交换和分配律

Mogen定理 (证明见p.41表2.1.2)
A B C A B C A B C A B C

吸收律
A AB A, AA B A, A AB A B, ( A B) ( A C ) A BC AB AC BC AB AC, AB AC BCD AB AC
逻辑代数的基本规则

逻辑代数运算优先级: 先括号, 再是与, 最后是或 (简记为先乘后加) 逻辑等式两边的任意变量用 个逻辑函数代替, 等式仍成 逻辑等式两边的任意变量用一个逻辑函数代替 立, 称这个性质为代入规则 根据Mogen定理, 已知原函数L, 其对应的非函数是将原函数 表达式中的“与变或, 或变与”, 再将“原变量变为非变量, 非 变量变为原变量”, 并将“1变0, 0变1”所得到的表达式, 称这 个规则为反演规则 (注意操作顺序,且保持非变量以外的非不变) 已知逻辑函数L, 将L中的“与变或, 或变与”, 并将“1变0, 0变 1”所得到的表达式, 称为L的对偶, 记为L’. 如果某逻辑等式 成立, 则等式两边的对偶式仍相等, 称这种规则为对偶规则
用KM法化简逻辑函数

练习3和4
化简L(I4, I3, I2, I1)=∑m(1, 3, 5, 7, 9)+∑d(10~15), 其KM见(1) 化简L(I4, I3, I2, I1)=∑m(1, 2, 6, 7, 9, 13, 15), 其KM见(2)
I4I3 I2I1
00
01
11 x
10
I4I3 I 2I 1


反演规则应用

示例
写出 L A BC D E 的非函数, 并验证之 解 L A ( B C ) DE A B C D E L /L 用真值表来验证 用真值表来验
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 … 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
练习1和2
已知L的真值表如下, 用KM法给出其最简逻辑函数
L 1 0 0 1

用KM法写出L的最简表达式
L ABCD D( BC D) ( A C ) B D A( B C )
L I 4 I 3 I 2 I1 I 1 ( I 3 I 2 I 1 ) ( I 4 I 2 ) I 3 I1 I 4 ( I 3 I 2 )

KM法的三步中, 画包围圈最关键, 要遵循以下原则
牢记KM的循环邻接特点, 尤其是矩形对角和行/列首尾单元 任意单元可以位于2个或更多不同的包围圈内, 包围圈内的单元数必 定为2n个, n=0( 0(即无相同邻项的孤项), ) 1 1, 2 2, … 每个包围圈内的单元数尽可能多, 并且让最终的包围圈个数尽可能少 (因为: 越大的包围圈, 被消除的变量越多; 越少的包围圈个数, 或项越少) 如果KM包含某些无关的最小项, 尽可能利用无关项扩大包围圈
主要内容

逻辑代数的基本定律
基本定律:
类似一般代数的结合,交换和分配律 两个重要定律: Mogen定理(反演律)和吸收律

逻辑代数的基本规则
代入规则,
反演规则和对偶规则
逻辑函数的化简方法
代数法 卡诺图(Karnaugh

maps)法
最小项及其性质, 逻辑函数的最小项表 逻辑函数的最小项表达式 式 用卡诺图表示并化简逻辑函数
00
01 0
11 0
10
得到非函数 L I1 I 2 I 3 , 由 Mogen 定理得 L I1 I 2 I 3
用KM法化简逻辑函数

I3 0 0 0 0 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1 L 0 1 1 1 I3 1 1 1 1 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1
m0
C m2 m3 m6 m7
C m4 m5 C
10 0010 0110 1110 1010 AB 00 CD 00 01 4 5 11 10
0
m1
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
C 0 D 1 2 3 D
0
1
3
2 3
6 7
1
2
讨论下面问题? : (1)这里的画法和教材 的方法有区别. 它们等 价吗? 一个特定逻辑 函数的KM是唯一的 吗? Hint:p.51第1行 (2) 标出3变量KM中的 属于B变量的单元; (3) 标出4变量的KM中 每个原变量的单元; (4) 从其中发现什么规 律? 5变量(变量名为 ABCDE)的KM应该怎 么画? Hint: 2张图
用KM表示逻辑函数

基本方法
Karnaugh maps(KM)是用图形方法表示逻辑函数的真值表 2 3和4个变量逻辑函数的KM表示及其形成过程如下 2,3
C D 0 1 0 00 01 1 10 11 BC 00 01 11 10 D 0 000 010 110 100 1 001 011 111 101 AB 00 CD 01 11 10 00 0000 0100 1100 1000 01 0001 0101 1101 1001 11 0011 0111 1111 1011 C D D m0 m1 C m2 m3 D D
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 1 1 1 0 1 0 1
源自文库
I4 1 1 1 1 1 1 1 1
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 0 0 1 0 1 0 0
用KM表示逻辑函数的特点

逻辑函数真值表的另一种图形表示, KM有以下特性
课堂练习：
请 请分别写出 的 数 偶式, 并验证之 并验 之 L ABC ( B C ) 的非函数和对偶式
逻辑函数的化简

化简逻辑函数之目的
根据简化的逻辑函数(表达式)所构成的逻辑电路也是简化的, 节省器 件, 减少门电路种类, 降低成本, 提高可靠性 一般门电路类型是逻辑与, 或和非门, 化简逻辑函数为最简的与-或, 或-与, 与-或非, 与非-与非, 或非-或非等形式, 以满足电路设计的需要


逻辑函数的化简方法

代数法

具体方法: 运用逻辑代数的基本定律和基本规则 特点: 无特殊步骤, 往往需要某些技巧, 结果不一定是最简的 结果不 定是最简的 具 具体方法 : 根据逻辑函数的最小项表达式及其性质 式 特点: “三步法”确定最简逻辑表达式, 步骤固定, 结果准确

Karnaugh maps法 (重点)

逻辑函数的化简方法

并项法,
代数法
根据逻辑代数的基本定律和规则, 按以下方法
配项法, 吸收法和消去法 上述几种方法的组合

示例: 将 L AB D AB D ABD ABCD ABCD化简为最简与-或 表达式, 并验证之, 再给出相应的逻辑电路
解 L AB D A B D ABD A BC D A BCD AB( D D) A B D A BD(C C ) AB A B D A BD AB A B ( D D) AB A B
11
10
00
1
01
11
10 1
00
1
01
11
10 1
00 √ 0 01 11 1
3
12 √ 8
√ √
5 7 6
13 15
9 11
1 1
1 1
1 1
1 1 1
10 √ 2
14 √10
Step 3
最简的逻辑函数L I1 I 3 I1 I 3
注意: 写乘积项时, 还有些技巧, 你发现了吗? Hint: 哪些变量的原和非都在包围圈内?
KM的每个单元对应唯一一个最小项 任何相邻(上下左右)的两个单元对应的最小项只有一个变量分别取0 和1, 其它变量都相同,所以如果这两个单元都为1, 那么可以消除这个 变量 (KM的相邻特性) 每行和每列的首尾两个单元仍具有相邻特性, 矩形对角的四个单元也 具有相邻特性 (KM的循环邻接特点)

用KM法化简逻辑函数

Step 1
I4 I3 I2 I1 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 1
示例1
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15)
Step 2
I4 I3 I2 I1 00 01 11 1 10 1
00
01 4
√ √
2 n 1
最小项的性质


用最小项表示逻辑函数 L( I n ,, I1 ) i 0 mi

其中In, …, , I1为降序排列的n个输入变量 mi为最小项编号, i

n
k 1 I 2 k 1 k
因为“0+1=1”, “0+1=1” 一般略去为0的最小项, 简写如L(I3, I2, I1)=∑m(1,5,7) (1 5 7)
用KM法化简逻辑函数

I4 I3 I2 I1 00 01 4
√ √ √
示例2
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0~3, 5~11, 13~15)
11 10 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 00
1
01
11
10 1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
1
01
11
已知逻辑函数或真值表画KM
(1) 逻辑函数为L ( I 3 I1 ) I 2，给出其KM (2) 逻辑函数L的真值表如下，给出其KM
Input Output Input Output
练习
I4 0 0 0 0 0 0 0 0
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
comparator
X>Y
max(X, Y)
mux
mux mux
min(X, Y)
《数字电路》讲义
第2讲 逻辑代数和逻辑函数的化简方法
教学内容: 教材第2章的2.1和2.2节 教学目的: 掌握逻辑代数的基本规则和定律, 以及逻辑函数的化简方法 要 求: 重点掌握逻辑代数的基本定律和逻辑函数的化简方法 难 点: 卡诺图法化简逻辑函数


采用KM表示逻辑函数, 并利用相邻特性消除某些变量, 进而 可以化简逻辑函数 (KM法化简逻辑函数的依据) KM法化简逻辑函数的优点

给出的结果是最简的逻辑函数, 用与-或形式表示
设想: 根据相邻特性, 如果有3个, 或4个, 或…个相邻单元都为1, 分别可以消除多少个变量?
用KM法化简逻辑函数
请你给出验证结果. 再用 与门, 或门,非门画出逻辑 电路.
? 问: 对上述的逻辑函数, 假设只用“或非门”元件, 我们该如何做?
Karnaugh maps相关的概念

逻辑变量的最小项(某些参考书上称其对偶项为 “最大项”)

n个逻辑变量有2n个最小项(每一项中每个变量的原/非变量仅出现一次) 任意最小项, 输入变量只有一组值可以使其为1, 该值使其它所有最 小项为0. 因此, 无论输入变量取何值, 任意两个最小项之积为0; 全体 最小项之和为1