柯西不等式ppt课件

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一般形式的柯西不等式课件

答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝则 A，B 的大小关系是( )

人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件

补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析：设A
C b12
a12
b22
a
2 2

bn2，an2则，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a, b, c, d都是实数, 则当且仅当ad bc时, 等号成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd

数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

≥
(
��
∑
��)2
��=1
��
∑ ��
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
��=1
设
��
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
��=1
��
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
��
则∑
��=1
��2��
=
��2 ��2
=
⋯
=
��
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.

《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)

2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已知a , b, c , d是不全相等的正数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备：提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已知a1 , a2 , , an都是实数 ,求证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,

柯西不等式(优质课)ppt课件

(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.

柯西不等式(一)教学课件

2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、（全量不小于部分）由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注：（1）该不等式称为（二维）柯西不等式；

《柯西不等式》课件

感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用，如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用，如Chebyshev不等式等。

柯西不等式(二)教学课件

1 4 9 即 …36. a b c
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c

证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式）对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法（2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0

an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有

3.1 二维形式的柯西不等式课件(人教A选修4-5)

柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
ห้องสมุดไป่ตู้ [考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b，即 2· a2＋b2≥a＋b，
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c，都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d

二维形式的柯西不等式课件

立,两边平方,得 9(1+sin2x)=16(1-sin2x).
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2

+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+

2
2
1
2
+
1
2
1

2

1
1
= ,且 2 + 2 =1,即

≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +

5.4.1 二维柯西不等式课件(人教A版选修4-5)

2 2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )

柯西不等式课件

2，当且仅当 b ＝0( i ＝1，2，3，…， n )或存在一个数 k ，
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2

当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即＝＝…＝时等号成立.
1
2

方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳

高二数学课件柯西不等式

定理设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或存在一个
例5 若a>b>c 求证：
11 4 ab bc ac
证明：(a c)( 1 1 ) [(a b) (b c)]( 1 1 )
ab bc
ab bc
(1 1)2 4
∴
11 4 ab bc ac
例6：若 a, b, c R 求证： a b c 3
ab bc ca abc 证明： 2(a b c)( 1 1 1 )
ab bc ca [(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 )
ab bc ca
(1 1 1)2 9
又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。
数k使得 ai kbi (i=1,2,…,n) 时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
一般形式的三角不等式
x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
bc ca ab 2 分析：左端变形 a 1 b 1 c 1

5.4柯西不等式与排序不等式课件(人教A版选修4-5)

例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数，求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列，且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数，所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2 1 2 2 2 n 1 2 n

( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,...,n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ，也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得

2 2 2 xn1 xn x1 x22 x2 x3 xn x1
( x2 x3 xn x1 )
2
2 a b c a b b c c a 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a

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柯西不等式
1
例1. 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
引：
若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.

xn )2

1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
8
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
225
x2+y2+z2
44
6
例5.已知x1, x2 ,, xn R ,求证
x12 x2

x22 x3

x2 n1
xn

xn2 x1

x1

x2

xn .
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
7
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
11
二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2 ,y2 R, 那么
(x12 + y12 )+ (x22 + y22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2
三维形式的三角不等式设 x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 R, 那么
(x12 + y12 + z12 )+ (x22 + y22 + z22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 (z1 - z2 )2
即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
5
9
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则
(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd)2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
2
46
3
例3.已知实数m, n 0
（1）求证：a2 b2 (a b)2 ; m n mn
（2）求函数y 2 9 , x (0, 1)的最小值。
x 1 2x
2
4
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
2x y z
2.设x，y，zR，求最大值。
x2 2y2 z2 的
3.求函数 f (x) a sin x b cos x 在 (0, ) 上
的最大值,其中
2.
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x

3y 3y

1得

x y

1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
1 x1 1 x2
1 xn

(1
x1

1
x2
1
xn
)

( 1
x12 x1

x22 1 x2

xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2

1 xn
xn 1 xn
)2

( x1

x2

等号成立.
,2
,3
,
…
,n)时,a1 = a2
b1 b2
=
= an bb
注:简记;积和方不大于方和积
n
n
n
ai 2 bi 2 ( aibi )2
i 1
i 1
i 1
13
练习：
1.已知：m2 n2 2 ，a 2 b2 1 ,
证明： 2 am bn 2 。
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则 a2 b2 c2 d 2 | ac bd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
10
柯西不等式的向量形式设 α,β是两个向量,则
| || || |
当且仅当 β是零向量，或存在k实数使 α= kβ时，等号成立．
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
5
C
解：s 4 5 6 15
2
2
ABC面积=
s(s a)(s b)(s c)
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
15 7 5 3 15 7 2 222 4
又
1 2
(4x

5
y

6
z)

15 4
7 4x

5
y

6z

15
7
2
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
12
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1
29
30
31
32
33
34