柯西不等式ppt课件
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二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2 ,y2 R, 那么
(x12 + y12 )+ (x22 + y22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2
三维形式的三角不等式 设 x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 R, 那么
(x12 + y12 + z12 )+ (x22 + y22 + z22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 (z1 - z2 )2
即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
5
9
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则
(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd)2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
8
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
5
C
解：s 4 5 6 15
2
2
ABC面积=
s(s a)(s b)(s c)
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
15 7 5 3 15 7 2 222 4
又
1 2
(4x
5
y
6
z)
15 4
7 4x
5
y
6z
15
7
2
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
2x y z
2.设x，y，zR，求 最大值。
x2 2y2 z2 的
3.求函数 f (x) a sin x b cos x 在 (0, ) 上
的最大值,其中a，b为正常数． 2
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1.
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2.
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x2+y2+z2
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6
例5.已知x1, x2 ,, xn R ,求证
x12 x2
x22 x3
x2 n1
xn
xn2 x1
x1
x2
xn .
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
柯西不等式
1
例1. 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
引：
若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
2
46
3
例3.已知实数m, n 0
（1）求证：a2 b2 (a b)2 ; m n mn
（2）求函数y 2 9 , x (0, 1)的最小值。
x 1 2x
2
4
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
12
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
7
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
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Байду номын сангаас
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1 x1 1 x2
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则 a2 b2 c2 d 2 | ac bd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
10
柯西不等式的向量形式 设 α,β是两个向量,则
| || || |
当且仅当 β是零向量，或存在k实数使 α= kβ时，等号成立．
等号成立.
,2
,3
,
…
,n)时,a1 = a2
b1 b2
=
= an bb
注:简记;积和方不大于方和积
n
n
n
ai 2 bi 2 ( aibi )2
i 1
i 1
i 1
13
练习：
1.已知：m2 n2 2 ，a 2 b2 1 ,
证明： 2 am bn 2 。
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2 ,y2 R, 那么
(x12 + y12 )+ (x22 + y22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2
三维形式的三角不等式 设 x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 R, 那么
(x12 + y12 + z12 )+ (x22 + y22 + z22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 (z1 - z2 )2
即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
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（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则
(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd)2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
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例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
C
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F
E
zP y
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x
A
B D4
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C
解：s 4 5 6 15
2
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ABC面积=
s(s a)(s b)(s c)
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
15 7 5 3 15 7 2 222 4
又
1 2
(4x
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y
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z)
15 4
7 4x
5
y
6z
15
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而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
2x y z
2.设x，y，zR，求 最大值。
x2 2y2 z2 的
3.求函数 f (x) a sin x b cos x 在 (0, ) 上
的最大值,其中a，b为正常数． 2
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x2+y2+z2
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例5.已知x1, x2 ,, xn R ,求证
x12 x2
x22 x3
x2 n1
xn
xn2 x1
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x2
xn .
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
柯西不等式
1
例1. 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
引：
若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
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例3.已知实数m, n 0
（1）求证：a2 b2 (a b)2 ; m n mn
（2）求函数y 2 9 , x (0, 1)的最小值。
x 1 2x
2
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例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
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柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
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变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
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Байду номын сангаас
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1 x1 1 x2
1 xn
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x2
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xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则 a2 b2 c2 d 2 | ac bd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
10
柯西不等式的向量形式 设 α,β是两个向量,则
| || || |
当且仅当 β是零向量，或存在k实数使 α= kβ时，等号成立．
等号成立.
,2
,3
,
…
,n)时,a1 = a2
b1 b2
=
= an bb
注:简记;积和方不大于方和积
n
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ai 2 bi 2 ( aibi )2
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练习：
1.已知：m2 n2 2 ，a 2 b2 1 ,
证明： 2 am bn 2 。
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
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4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )