高一数学课件 ：二次函数在闭区间上的最值
人教高中数学必修一3.《二次函数在闭区间上的最值问题》课件
【教学过程】
一、复习旧知，导入新课
1、二次函数的图像是什么形状？
（ 请
学
2、二次函数的性质有哪些?
生
回
3、二次函数一般式如何转化为顶点式？
答 ）
上节课我们学习了定义域为实数的函数的最
值问题。如果我们遇到指定闭区间上的函数求最值 或值域应该如何来做，这节课我们来研究这个问题。
的最值。
人教高中数学必修一3.《二次函数在 闭区间 上的最 值问题 》课件
人教高中数学必修一3.《二次函数在 闭区间 上的最 值问题 》课件
课堂小结
二次函数在闭区间上最值问题有三类： (1)定轴定区间；（2）定轴动区间；
（3）动轴定区间。本节课我们主要学习了 前两类，第一类一般要根据二次函数的图 像及单调性来求最值，第二类问题通常要 分对称轴在区间左、中、右三种情况讨论 来求最值。
学生观察并说出结果：
1
3
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
当x= 1时， f(x)有最小值–4；
当x=
1 2
时，f（x）有最大值
7 4
。
例1、已知函数f(x)= x2 – 2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
15
（3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值；
22 （4）若x∈[ 1 , 3 ]，求
y
22
函数f(x)的最值；
三、知识深化，拓展研究
例1中将知识进行深化、迁移
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最小值.
二次函数在闭区间上的最值精品文档8页
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
k
2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
6
8
4
x=1
2
k
10
k+2
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4 当f(k)>f(k+2)时，
5 10 15
8 2
2 2
10 8
解：由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增 函数 故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3
10 5
6
4
2
x=1 2 4
5
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
4
10
8
6
4
当k ≥1
x=1 k k+2
5
时
2
f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
例2:
6
6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6
6
4
4
4
4
x=1
2
x=1 k+2
5
2
x=1
2
2
x=1
15
k
10
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题在数学中，含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是一个常见且重要的数学概念。
这个问题涉及到求解一个含参数的二次函数在指定闭区间内的最大值或最小值，并且需要考虑参数对函数图像的影响。
在本文中，我们将深入探讨这个问题，并根据不同的参数取值情况给出具体的解决方法和结论。
1. 含参数的二次函数的一般形式我们来回顾一下含参数的二次函数的一般形式。
一个含参数的二次函数通常可以写成如下形式：\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是函数的参数，\(x\) 是自变量。
在这个函数中，参数 \(a\) 的取值会对函数的开口方向产生影响，参数 \(b\) 会对函数的位置产生影响，而参数 \(c\) 则会对函数的纵向平移产生影响。
在求解含参数的二次函数在闭区间上的最值问题时，我们需要关注这些参数的取值对函数图像的影响。
2. 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法接下来，我们将按照从简到繁、由浅入深的方式来讨论含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法。
我们将分析当参数 \(a\) 的取值为正、负和零时，函数图像的特点及最值的情况。
2.1 当参数 \(a\) 的取值为正时当参数 \(a\) 的取值为正时，函数的图像是一个开口向上的抛物线。
在闭区间上，这样的抛物线的最小值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最小值，只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.2 当参数 \(a\) 的取值为负时当参数 \(a\) 的取值为负时，函数的图像是一个开口向下的抛物线。
同样地，在闭区间上，这样的抛物线的最大值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最大值，也只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.3 当参数 \(a\) 的取值为零时当参数 \(a\) 的取值为零时，函数退化成一次函数或常数函数，最值情况可以直接通过函数的表达式和给定的闭区间进行分析和判断。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
二次函数在闭区间上的最值课件
区间内取得最值
总结词
当二次函数的对称轴恰好落在区间内时，函数在对称轴上取得最值。
详细描述
对于一般的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴的方程是$x = -frac{b}{2a}$。当这个对称轴落在区间内 时，函数在这一点上取得最值。具体来说，如果二次函数的开口向上，那么在对称轴上取得最小值；如果二次函 数的开口向下，那么在对称轴上取得最大值。
区间端点处取得最值
总结词
对于开口向上的二次函数，其在区间端点处取得最小值；对于开口向下的二次 函数，其在区间端点处取得最大值。
详细描述
由于二次函数的开口方向决定了函数的增减性，因此对于开口向上的二次函数， 其在区间端点处取得最小值。对于开口向下的二次函数，由于其在整个区间内 是递减的，所以在区间端点处取得最大值。
实际应用拓展
将二次函数在闭区间上最值的研究成果应用于更多实际问题中，提 高解决实际问题的能力。
数学与其他学科的交叉研究
探索二次函数在闭区间上最值与其他数学分支或学科的交叉研究， 促进数学的发展和应用。
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二次函数在区上的最 件
• 二次函数的基本性质 • 二次函数在开区间上的最值 • 二次函数在闭区间上的最值求法 • 二次函数在闭区间上的最值应用 • 总结与展望
二次函数的定义和表达式
总结词
二次函数是形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中 $a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$和$c$是常数，且$a neq 0$。
01
二次函数在闭区间上的最值78652-26页PPT精选文档
y的最小值为
O -1 1
x
f(
a
)=
a2 3
2
4
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
(3)当 a 1即a<-2时 2
函数在[-1,1]上是减函数
O -1 1 x
y的最小值为f(1) =4+a
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
者是最大值，较小者是最小值.
练习1已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
练习2已知函数f(x)ax22ax1在区间[ 3, 2 ]
y
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ],求
y
22
函数f(x)的最值；
1
5
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
二次函数在闭区间上的最值
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
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（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
13
（4）若x∈[ , ]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
13
（4）若x∈[ , ]，求
22
函数f(x)的最值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
y
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ],求
y
22
函数f(x)的最值；
1
5
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3]，
22
求函数f(x)的最值；
1
3
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
y
–1 0 1 2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
（4）若x∈[ , ]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
y
评注：例1属于“轴
定区间变”的问题，
看作动区间沿x轴移
动的过程中，函数最
t
t +2
值的变化，即动区间
– 1 0 1 2 3 4 x 在定轴的左、右两侧
及包含定轴的变化，
要注意开口方向及端
点情况。
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
–1 0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1
2
x
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=
b 2a
是否属于 [ m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值；
[–1，2]上的最值.
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
评注：例2属于“轴变区间定”的问题，看作 对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
13
y
–1 0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].