布尔表达式与布尔函数资料
布尔表达式
可见，对于三种常见逻辑运算，可作如下等价的解释： A∧B —(A) ? B : 0 (5.2) A∨B —(A) ? 1 : B (5.3) ﹃A (A) ? 0 : 1 (5.4)
出口
对于布尔表达式A∨（B∧（┑C∨D）)，其等价的表述是
A ？1 ：（B ？（（C ？0 ：1）？ 1 ：D ）：0 ）
显然，采用此种结构可产生更为有效的中间代码。这里需假定原布尔表达式的计算过程中不含有任何的副作 用。
在上式的计算中，根据A、B、C、D的取值不同，计算的结果以及运算的终止点亦不同。例如，当A=1（真） 时，结果为1且终止于左边第一个‘1’处。
布尔表达式
代码术语
01 介绍
03 出口 05 确定
目录
02 过程角度 04 表达式 06 译结果
07 拉链回填
09 语义函数 011 例子
目录
08 拆分 010 属性文法
布尔表达式（Boolean expression）是一段代码声明，它最终只有true（真）和false（假）两个取值。最 简单的布尔表达式是等式（equality），这种布尔表达式用来测试一个值是否与另一个值相同。
第5课布尔表达式
第5课布尔表达式⼀、布尔类型（bool）1、布尔类型与1/0不是⼀回事 布尔类型有两个值，True和False2、布尔表达式： 1）关系运算符：>，<，==，!=，>=，<= 2）注意事项：== 指两边关系等价； = 赋值；不等于的!是英⽂的3、数值的⽐较，⽐较值的⼤⼩。
>>> type(3 > 5)<class'bool'>>>> 3 > 5False>>> 5 > 3True>>> 2 != 6True>>> 3 <> 8 # python中，不等于不能这样写SyntaxError: invalid syntax4、字符串的⽐较 1）不是⽐较字符串的长度（len()）：a---97，A---65 2）⽐较ASCII值的⼤⼩(⼗进制)： 3）从第⼀个元素依次对⽐，跟元素的个数没有关系>>> 'acb' > 'abc'# 从第⼀个元素依次类推True>>> 'z' > 'asdfghjkl'True 4）== ⽐较的是值的⼤⼩>>> 'abc' == 'abc'True5、in 与not in：在/不在== a in b----a元素是否是b序列的⼀个元素，如果在则为True，否则为False。
>>> str1 = 'asdfzzyyxx'>>> 'yy'in str1True>>> 'k'not in str1True⼆、条件组合--逻辑关系1、逻辑与：and 1）and--逻辑与：a and b，只有and两边的条件都为True，则结果为True，否则结果为False。
4.7.2布尔表达式的计算方法
布尔表达式4.7.1 布尔表达式的作用与结构布尔表达式的应用：<1> 逻辑运算，如x := a or b；<2> 控制语句的控制条件，如if C then ...，while C do ...等。
布尔表达式与其他表达式的关系（优先级与结合性）：BE → BE or BE | BE and BE | not BE | (BE) | RE | true | false RE → RE relop RE | (RE) | EE → E op E | -E | (E) | id | num简化的布尔表达式文法：E → E or E | E and E | not E | (E) | id relop id | id | true | false4.7.2 布尔表达式的计算方法数值表示的直接计算：1代表true，0代表false。
or、and、not与+、*、-(一元减运算)对应：T1 := not CT2 := B and T1T3 := A or T2对于关系运算的表达式a < b的计算，可以翻译成如下固定的三地址码序列。
(1) if a<b goto (4)(2) t1 := 0(3) goto (5)(4) t1 := 1(5) ...逻辑表示的短路计算：短路计算是以if-then-else的方式解释布尔表达式，具体控制逻辑如下：A orB ：if A then true else BA andB ：if A then B else false (4.7)not A ：if A then false else true对布尔表达式A or B and not C采用短路计算，则等价于下述解释： if A then trueelse if Bthen if C then false else trueelse false短路计算的必要性：while ptr<>nil and ptr^.data=x do ...短路计算可以回避对ptr^.data=x的判断，从而避免程序运行时错误。
布尔函数相关理论及其应用
布尔函数相关理论及其应用布尔函数是数学和计算机科学领域中一个重要的概念。
它被广泛应用于逻辑设计、电路设计、密码学、信息安全等领域。
本文将介绍布尔函数的基本概念、性质以及它在实际应用中的一些例子。
一、布尔函数的定义布尔函数是由布尔变量和逻辑运算符组成的一种函数，它的取值只能是0或1。
布尔变量可以看作逻辑变量，它们代表了逻辑值的真和假。
逻辑运算符包括与、或、非等。
布尔函数可以表示一种逻辑关系，描述了不同变量之间的逻辑连接。
二、布尔函数的性质1. 单调性：对于任意布尔函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某两个向量x 和y中，x的每个元素都小于等于y的对应元素，那么f(x)小于等于f(y)。
换句话说，单调性表示提高一个输入变量的取值会导致输出变量的取值增加或保持不变。
2. 自反性：对于任意布尔函数f(x), f(x')=1-f(x)。
这意味着如果一个布尔函数取真的输入向量x，那么将x的每个元素取反所得到的向量x'将导致函数值取反。
3. 幂等性：对于任意布尔函数f(x), f(x)=f(f(x))。
这表示一个布尔函数与它自己的复合等于它本身。
三、布尔函数的应用1. 逻辑设计：布尔函数被广泛应用于逻辑门电路的设计。
逻辑门将布尔函数的输入映射为输出。
通过组合不同的逻辑门，可以实现复杂的逻辑功能，如加法器、乘法器等。
2. 信息安全：布尔函数在密码学和信息安全领域中起着重要的作用。
它们被用于生成密钥和实现加密算法。
布尔函数的性质可以帮助设计强大的密码算法，抵抗各种攻击。
3. 电路设计：布尔函数被应用于电路设计中，用于描述和优化电路的功能和性能。
通过布尔函数分析和优化，可以提高电路的速度、面积和功耗等指标。
4. 模拟电路的离散化：布尔函数可以将连续的输入变量离散化，从而将模拟电路问题转化为数字逻辑的问题。
这种转化可以简化电路设计和分析的过程。
四、布尔函数应用案例1. DES加密算法：DES（Data Encryption Standard）是一种对称加密算法，它使用了布尔函数来实现复杂的密钥生成和数据变换。
布尔函数相关理论及应用
布尔函数相关理论及应用布尔函数是一类关于逻辑运算的特殊函数，其输入和输出都是逻辑值：0或1。
布尔函数在计算机科学、电子工程、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍布尔函数的基本理论和其在某些领域的应用。
一、布尔函数的定义和性质布尔函数是指输入和输出都是0或1的函数，它们通过逻辑运算符（如与、或、非）来组合。
一个布尔函数可以用一个真值表或者一个布尔表达式来表示。
布尔函数有一些重要的性质，其中包括：唯一性、恒等性、对偶性、平衡性、非线性等。
这些性质使布尔函数具有许多重要的特征，可以用于计算和逻辑设计中。
二、布尔函数的表达方式1. 真值表表示真值表是一种直观的方式来表示一个布尔函数。
它列举了所有可能的输入组合及其对应的输出值。
2. 布尔表达式表示布尔表达式是一种用逻辑运算符和变量表示布尔函数的方式。
其中常用的逻辑运算符有与、或、非，变量可以是输入变量或者中间变量。
三、布尔函数的基本运算1. 与运算与运算是布尔函数中最基本的运算之一。
它接受两个输入，当且仅当两个输入都为1时，输出结果为1，否则为0。
2. 或运算或运算也是布尔函数中常用的运算。
它接受两个输入，当且仅当两个输入至少有一个为1时，输出结果为1，否则为0。
3. 非运算非运算是对一个输入取反的运算。
它只接受一个输入，当输入为0时，输出为1，当输入为1时，输出为0。
四、布尔函数的应用1. 逻辑电路设计布尔函数在逻辑电路设计中起到关键作用。
逻辑门（如与门、或门、非门等）可以通过组合布尔函数来实现特定功能的逻辑电路。
2. 算法和数据结构布尔函数在算法和数据结构中也有广泛的应用。
例如，布尔函数可以用于判断两个集合是否相等，寻找图中的最短路径，进行排序等。
3. 密码学布尔函数在密码学中起到重要作用。
例如，布尔函数可以用于生成密钥，加密和解密数据，运行密码学协议等。
4. 生物信息学在生物信息学中，布尔函数被用于分析和处理生物数据。
例如，可以使用布尔函数来比较DNA序列的相似性，预测蛋白质的结构等。
简述什么是布尔代数及布尔表达式。
简述什么是布尔代数及布尔表达式。
布尔代数是一种数学计算模型，它用于描述逻辑运算的特性。
布尔代数以1854英国数学家查尔斯贝尔（Charles Babbage）的名字命名，他是提出这种思想的第一人。
它的名称来源于19世纪的英国数学家爱德华布尔（George Boole），他是第一个把这种思想付诸实践的人，并将其作为一种独立的数学计算系统发表出来。
布尔代数是一种数学系统，用于表达布尔逻辑，它是一种运算符号语言和两个值（又称真值）的结合。
布尔代数可以使用很简单的表达式来表示逻辑关系，例如：“A B”表示 A B为真；“A B”表示 A B 任一为真；“A 且非 B”表示 A 为真而 B 为假。
布尔代数可以用来描述复杂的逻辑关系，而无需使用复杂的数学运算。
它有点类似于一种编程语言，能够表达更多复杂的情况，例如：“如果 A B时为真，那么 C为真”。
它的优点在于可以用来解释许多复杂的逻辑关系，同时又可以使用极少的简单表达式来描述。
布尔表达式是布尔代数中最常用的表达形式。
它也被称为布尔函数。
布尔表达式是一种计算模型，它将一组特定的用户输入和一组特定的用户输出连接起来，形成一个简单的逻辑模型。
布尔表达式的工作原理是：当用户输入满足指定的条件时，它会产生指定的输出。
用户输入的哪些条件会产生指定的输出，取决于布尔表达式的具体内容。
布尔代数和布尔表达式是一种非常有用的数学工具，它们可以用来表达和准确表示复杂的逻辑关系。
它们也被广泛应用于计算机及自动控制系统中，它们可以提供有效率的逻辑控制算法。
此外，布尔代数也在生物学、物理学、数学等领域得到广泛的应用。
布尔代数和布尔表达式可以帮助我们更好地理解和分析复杂的逻辑关系，从而实现更高效的计算。
运算符、布尔运算、表达式、标准函数
运算符、布尔运算、表达式、标准函数hb007 发表于 2006-3-22 19:24:26一、运算符1、算术运算符例如：4 +5 = 9 8 - 3 = 52 *3 = 6 12 * 24 = 4085 / 2 = 2.5 34 / 12 = 2.83 5 div 2 = 2 123 div 4 = 30 5 mod 2 = 1 12 mod 5 = 22、逻辑运算符它们的运算真值表如下：3、关系运算符例如：设a,b为标准数据类型的变量，则：a=b 如果a等于b结果为真，否则为假。
a<>b 如果a不等于b结果为真，否则为假。
a<b 如果a小于b结果为真，否则为假。
a>b 如果a大于b结果为真，否则为假。
a<=b 如果a小于等于b结果为真，否则为假。
a>=b 如果a在于等于b结果为真，否则为假。
例如：5=5 结果为真。
5=10 结果为假。
false<true 结果为真。
false>true 结果为假。
'A'<'C' 结果为真。
12.5>-8 结果为真。
24>=21 结果为真。
10.3<10 结果为假。
二、运算符的优先级三、布尔运算要判断“X>Y”是否成立，其结果不是一个算术量（即数值），而是“成立”或“不成立”，也可以用“真”表示“成立”，用“假”表示“不成立”，也就是说，它的结果是一个逻辑值（“真”或者“假”）。
逻辑运算又叫布尔运算。
布尔(Bool)是英国数学家的名字，他首先提出对二值变量进行逻辑运算的代数，称为布尔代数。
1、布尔常量Pascal语言中“真”用true表示，“假”用False表示。
所以布尔类型只有true与false两个常量。
2、布尔型符号常量（boolean）在程序的说明部分，可以定义布尔符号常量。
如：constt=true;f=false;执行部分就可以用t代表true，用f 代表false。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
逻辑函数公式大全
逻辑函数公式大全在逻辑学中，逻辑函数是指将一个或多个特定的输入值映射到一个特定的输出值的函数。
逻辑函数在数学、计算机科学、人工智能等领域都有广泛的应用。
下面是一些常见的逻辑函数公式：1.布尔函数（Boolean Functions）：布尔函数是逻辑函数中最基本的形式，它的输入和输出都只有两个值：0和1。
常见的布尔函数包括AND函数、OR 函数和NOT函数。
AND函数公式：f(x, y) = x ∧ yOR函数公式：f(x, y) = x ∨ yNOT函数公式：f(x) = ¬x2.与门（AND Gate）：与门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在所有输入值都为1时才为1，否则为0。
与门公式：f(x, y) = x ∧ y3.或门（OR Gate）：或门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在至少一个输入值为1时才为1，否则为0。
或门公式：f(x, y) = x ∨ y4.非门（NOT Gate）：非门是一种逻辑门电路，它的输出值与输入值相反。
非门公式：f(x) = ¬x5.异或门（XOR Gate）：异或门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在输入值不相等时才为1，否则为0。
异或门公式： f(x, y) = x ⊕ y6.与非门（NAND Gate）：与非门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在所有输入值都为1时才为0，否则为1。
与非门公式：f(x, y) = ¬(x ∧ y)7.或非门（NOR Gate）：或非门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在所有输入值都为0时才为1，否则为0。
或非门公式：f(x, y) = ¬(x ∨ y)8.同或门（XNOR Gate）：同或门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在输入值相等时才为1，否则为0。
同或门公式：f(x, y) = ¬(x ⊕ y)9.与或门（AND/OR Gate）：与或门是一种逻辑门电路，它的输出值只有在至少一个输入值为1时才为1，否则为0。
布尔分解定理
布尔分解定理布尔分解定理，也叫布尔分解公式定理，是指能够将任意布尔函数分解为若干个单变量布尔函数的乘积形式。
布尔函数指的是由布尔代数表示的逻辑表达式，以逻辑运算符为基础进行运算和计算的一种函数。
布尔函数的基本运算包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
布尔分解定理是通过布尔运算的组合和分解，将复杂的布尔函数化简为若干个简单的单变量布尔函数的乘积形式，从而便于布尔函数的分析与设计。
布尔分解定理的核心思想是将复杂的布尔函数拆分为多个较简单的布尔函数的乘积形式。
具体的分解方式可以通过真值表、卡诺图等方法来确定，以获得更简单、更易处理的布尔函数。
在应用中，布尔分解定理能够极大地简化布尔函数的计算和代数运算，并能帮助人们更好地理解和分析布尔函数的性质和特点。
以一个简单的例子来说明布尔分解定理的应用。
假设有一个布尔函数F(A, B, C)，其逻辑表达式为F = (A AND B) OR (AAND C)。
该布尔函数是由两个AND和一个OR运算符组成的。
根据布尔分解定理，可以将该布尔函数分解为两个单变量布尔函数的乘积形式。
即：F = (A AND B) OR (A AND C)= A AND (B OR C)通过上述分解，可以将原布尔函数F简化为两个单变量布尔函数的乘积形式。
这样的简化有助于布尔函数的计算和分析。
布尔分解定理在信息科学领域广泛应用于逻辑电路设计、计算机科学、人工智能等方面。
在逻辑电路设计中，布尔分解定理可以将复杂的逻辑门电路分解为多个简单的逻辑门电路的组合，从而提高电路设计的效率和可靠性。
在计算机科学和人工智能中，布尔分解定理被用于推理和逻辑计算的优化，以实现更高效的算法和模型。
总结来说，布尔分解定理是一种将复杂的布尔函数分解为多个简单的单变量布尔函数的乘积形式的方法。
它通过将布尔函数化简为较简单的形式，使布尔函数的计算和代数运算更加容易和高效。
布尔分解定理在逻辑电路设计、计算机科学和人工智能等领域有着重要的应用，可以提高系统的效率和可靠性，提供支持和指导。
布尔代数pdf
布尔代数pdf布尔代数（Boolean algebra）是数学中一种代数结构，由乔治·布尔（George Boole）于19世纪中叶提出。
它主要关注逻辑运算和关系，并在计算机科学、电子工程和信息技术等领域中得到广泛应用。
以下是一些基本概念：●布尔变量（Boolean Variables）：布尔代数的基本单位是布尔变量，它只能取两个值，通常表示为0和1。
这两个值分别代表逻辑中的"假"和"真"。
●布尔运算（Boolean Operations）：布尔代数包含一系列基本的逻辑运算，如与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些运算用于处理布尔变量，产生新的布尔值。
1.与运算（AND）：如果所有输入都是1，结果为1；否则结果为0。
2.或运算（OR）：如果至少有一个输入是1，结果为1；否则结果为0。
3.非运算（NOT）：对输入取反，即1变为0，0变为1。
●布尔表达式（Boolean Expression）：由布尔变量、常数和布尔运算符构成的代数表达式。
布尔表达式可用于描述逻辑函数。
●卡诺图（Karnaugh Map）：一种图形工具，用于简化布尔表达式。
通过填写卡诺图中的1和0，可以直观地找到布尔表达式的最简形式。
逻辑门（Logic Gates）：在电子和计算机领域，布尔代数被应用于设计逻辑电路。
逻辑门是实现布尔运算的电子元件，如与门、或门、非门等。
布尔代数在计算机科学中的应用是深远的，因为计算机内部的信息表示和处理都涉及到布尔逻辑。
逻辑电路和布尔代数的理论奠定了计算机硬件和软件设计的基础。
布尔运算表达式
布尔运算表达式
布尔运算表达式是用于进行逻辑运算的表达式，其结果为布尔值（真或假）。
常见的布尔运算表达式包括逻辑与（&&）、逻辑或（||）和逻辑非（!）。
逻辑与（&&）运算符用于比较两个条件，只有当两个条件都为真时，结果才为真。
例如：
```scss
(a > b) && (b < c)
```
这个表达式检查a是否大于b，并且b是否小于c。
只有当两个条件都满足时，整个表达式的结果才为真。
逻辑或（||）运算符用于比较两个条件，只要其中一个条件为真，结果就为真。
例如：
```scss
(a > b) || (b == c)
```
这个表达式检查a是否大于b，或者b是否等于c。
只要有一个条件满足，整个表达式的结果就为真。
逻辑非（!）运算符用于取反，将一个条件的结果取反。
例如：```scss
!(a > b)
```
这个表达式检查a是否大于b，并将结果取反。
如果a大于b，则结果为假；如果a不大于b，则结果为真。
布尔运算表达式在编程中经常用于控制流程，如条件语句、循环语句等。
通过使用布尔运算表达式，可以根据不同的条件执行不同的代码块，从而实现程序的控制流程。
布尔函数与布尔多项式
布尔函数（Boolean function）描述如何基于对布尔输入的某种逻辑计算确定布尔值输出，它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。
布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中（参见S-box）。
在数学中，布尔函数通常是如下形式的函数：F(b1,b2,...,bn)带有n 个来自两元素布尔代数{0,1} 的布尔变量bi，F 的取值也在{0,1} 中。
在一般的定义域上的，取值在{0,1} 中的函数也叫做布尔值函数，所以布尔函数是它的特殊情况。
布尔函数是研究密码算法和密码技术的重要工具，无论在流密码还是在分组密码中，在对称还是在非对称密码中都有重要的应用。
带有定义域{1,2,3,... } 的这种函数通常叫做二进制序列，就是说0 和1 的无限序列；通过限制到{ 1,2,3,...,n }，布尔函数是编码长度为n 的序列的自然的方法。
它有2^{2^n} 个布尔函数；它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。
布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中(参见S-box)。
在布尔值函数上的布尔运算逐点（point-wise）组合值（比如通过XOR 或其他布尔运算符）。
布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。
这叫做代数范式(ANF），也叫做Zhegalkin多项式。
f(x1,x2,...,xn) =a0 +a1x1 + a2x2 + ... + anxn +a{1,2}x1x2 + a{n-1,n}x(n-1）xn +... +a{1,2,...,n}x1x2...xn序列a0,a1,...,a{1,2,...,n} 的值因此还唯一的表示一个布尔函数。
布尔函数的代数度被定义为出现在乘积项中的xi 的最高数。
所以f(x1,x2,x3）= x1 + x3 有度数1 （线性），而f(x1,x2,x3）= x1 + x1x2x3 有度数3 （立方）。
解析布尔表达式
解析布尔表达式布尔表达式是由变量、运算符和常量组成的逻辑表达式，用于描述逻辑关系和判断条件。
在计算机科学中，布尔表达式广泛应用于条件判断、循环控制和逻辑运算等方面。
本文将以解析布尔表达式为标题，对布尔表达式的概念、语法和求值过程进行详细解析。
一、布尔表达式的概念布尔表达式由布尔变量、布尔运算符和布尔常量组成，用于描述逻辑关系和判断条件的真假情况。
布尔变量只有两个取值，分别为真和假，用True和False表示。
布尔运算符包括与（and）、或（or）和非（not），用于组合布尔变量和布尔常量，形成复杂的逻辑表达式。
二、布尔表达式的语法布尔表达式的语法规则如下：1. 变量：布尔表达式中的变量可以是任何可以被判定为真或假的条件，如比较运算符（等于、不等于、大于、小于等）的结果、逻辑运算符的结果等。
2. 常量：布尔表达式中的常量有两个取值，分别为True和False。
3. 运算符：布尔表达式中的运算符包括与（and）、或（or）和非（not）。
4. 括号：布尔表达式中可以使用括号改变运算的优先级。
布尔表达式的求值过程遵循一定的优先级规则，首先计算括号中的表达式，然后按照非、与、或的顺序依次计算。
具体求值过程如下：1. 非运算：如果布尔表达式中有非运算符（not），则先计算非运算符后面的表达式，将表达式的真假值取反。
2. 与运算：如果布尔表达式中有与运算符（and），则先计算与运算符前后的表达式，如果前后两个表达式都为真，则整个与运算的结果为真；否则，结果为假。
3. 或运算：如果布尔表达式中有或运算符（or），则先计算或运算符前后的表达式，如果前后两个表达式至少有一个为真，则整个或运算的结果为真；否则，结果为假。
四、布尔表达式的应用场景布尔表达式在编程中有广泛应用，特别是在条件判断和循环控制方面。
通过使用布尔表达式，可以根据不同的条件执行不同的代码块，从而实现程序的灵活性和可扩展性。
常见的应用场景包括：1. 条件判断：通过布尔表达式判断某个条件是否满足，从而决定是否执行相应的代码块。
布尔函数
广州大学数学与信息科学学院
裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. Example . .. n 固定 w，让 x 跑遍 F2 ，w · x 中有多少次取 1，多少次取 0? . .. . . . 若 w = 0，则 w · x 总为 0； . . 1 . 当 w = 0 时，考虑加法群 Fn 到 F2 上的映射 2 .
1 2 3 4
中每一处的关系。 . 5 S (w) 就是重合点个数减去不重合点的个数。 f . . .. . . 问题 . .. 若知道布尔函数 f 在每一处的取值，则可以用小项表示求出 f 的代数表达式。如果知道了 f 的 Walsh 谱，是否存在某种形式 的反转公式，通过它，能得到 f 的代数式呢？答案是肯定的。 . .. .
ci
.
=
1 xi = ci ; ，有 0 xi = ci .
cn 1 c2 xc = xc 1 x2 · · · xn 。
f(x) 的小项表示具有形式 ∑ ∑ cn 1 c2 f(c)xc f(x) = f(c)xc = 1 x2 · · · xn 。 n n c∈ F2 c∈ F2 . ..
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
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广州大学数学与信息科学学院
裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
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布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则
真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示
. 定义 .. . 在 f(x) 的代数标准型中，非零单项的最大次数称为 f(x) . 1 的次数，记为 deg f(x). . 一次布尔函数称为仿射函数; . 2
3.1布尔函数的表示方法
第一节布尔函数的表示非线性组合函数也称为逻辑函数或布尔函数(boolean function)。
研究布尔函数的密码学性质已成为序列密码、HASH 函数和分组密码设计与分析的关键所在。
目前，关于布尔函数的密码学的性质的研究主要包括以下几个方面：•非线性次数；•非线性度（相关度）；•线性结构；•退化性；•相关免疫性(correlation immunity)；•严格雪崩准则(strict avalanche criterion)•扩散准则(propagation criterion)；•代数免疫性通常，布尔函数的以上密码学性质是相互关联的。
本章主要研究布尔函数的表示方法、重量与概率计算、非线性度和相关免疫性。
布尔函数的定义定义3.1 一个n 元布尔函数f (x ) = f (x 1, x 2, …, x n )是2n F 到2F 的一个映射。
由于2n F 含2n个元素, 故2n F 上的布尔函数共有22n个。
真值表表示：每个二元n维向量为(an-1, an-2, …, a)一个真值指派。
规定种可能的2n真值指派是按照它们表示的二进制数的大小排列的。
布尔函数的表示方法即对真值指派120(,,......,)−−n n a a a 和120(,,......,)−−n n b b b ,如果有1122−−==<∑∑n n i jiji j a b , 则120(,,......,)−−n n a a a 排在120(,,......,)−−n n b b b 之前。
称120(,,......,)n n f a a a −−为f (x )在真值指派120(,,......,)n n a a a −−下的函数值。
于是f (x )的真值表由2n F 中所有真值指派及其函数值构成。
下表是一个二元布尔函数的真值表。
1x 2x ),(21x x f 0 0 1 0 111 0 1 1 1任意两个n 元布尔函数f (x )和g (x )相等当且仅当它们在2n F 的每个真值指派下都有相同的函数值, 此时, 记作f (x ) = g (x ), 否则就说它们是不同的n 元布尔函数, 记作f (x ) ≠ g (x )。
布尔表达式与布尔函数
8.2.1 布尔表达式与布尔函数
定义8.4 设 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 是布尔代数, B上的 布尔表达式递归定义如下 (1) 布尔常元和布尔变元 (取值于布尔代数B的常元和 变元)是布尔表达式. 通常布尔常元用a, b, c表示, 布尔 变元用x, y, z表示. (2) 如果e1, e2为布尔表达式, 那么(e1’), ( e1∨e2), ( e1∧e2) 也都是布尔表达式.
定义8.5 布尔表达式 f (x1, x2,…, xn)所定义的函数 n f : B B 称为布尔函数. 例8.5 设 < {0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1> 是一个布尔 代数, （a,b互为补元）其上有表达式 f(x1, x2)=( x1’∨a)∧x2 f(x1, x2, x3)=( x1∧x2∧x3)’∨(x1∧x2’ ∧x3’) 则: f(1, b)= (1’∨a)∧b= a∧b= 0 f(a, b, 0)= (a∧b∧0)’∨(a∧b’ ∧0’) = 0’∨(a∧a)= 1
(a0 m 0 ) (a1 m1 ) (a 2 n 1 m 2 n 1 ) (a0 M 0 ) (a1 M 1 ) (a 2n 1 M 2 n 1 )
其中: ai为布尔常元, mi和Mi分别是极小项与极 大项, 且两式对x1, x2, …, xn的一切取值均与 f(x1, x2, …, xn)等值.
例8.6 求布尔代数 <{0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1>上布 尔函数 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2)的主析 取范式和主合取范式. 解: 主析取范式为 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2) = [(a∧x1)∧(x1∨x2) ]∨[ (b’∧x1’)∧(x1∨x2) ] = [(a∧x1 ∧x1)∨(a∧x1∧x2)]∨ [(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)] = (a∧x1 )∨(a∧x1∧x2)∨(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)
09布尔表达式
09布尔表达式布尔表达式：凡是能产⽣⼀个布尔值的表达式，均为布尔表达式。
⼀、布尔类型数据：布尔类型的数据有True和False（⾸字母必须⼤写），在计算机中对应1和0 。
1>2 False1<2<3 True42 != '42' True'Name' == 'name' False'M' in 'Magic' Truenumber = 12number is 12 True布尔运算符：⼆、⽐较运算符注意事项：1、多条件⽐较middle = 51 < middle < 102、字符串⽐较（⽐较两边的字符串是否完全⼀致）'Eddie Van Helen' == 'eddie van helen'3、不同类型的数据不能使⽤>、>=、<、<=⽐较，但可以使⽤==、!=⽐较。
42 > 'the answer' ⽆法⽐较42 == 'the answer' False42 != 'the answer' True5.0 == 5 True3.0 > 1 True4、布尔值⽐较True > False 相当于1 > 0True + False > False + False 相当于1 + 0 > 0 + 0三、成员运算符和⾝份运算符成员运算符 in ，not in 测试前者是否存在于in后⾯的集合（列表 List）中。
⾝份运算符 is， is not 表⽰⾝体鉴别1、列表定义（空列表）album = []2、列表中可以包含不同类型的数据album = ['Black Star','David Bowie',25,True]3、列表添加新的元素，新元素⾃动排列在列表的尾部。
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定义8.5 布尔表达式 f (x1, x2,…, xn)所定义的函数 n f : B B 称为布尔函数. 例8.5 设 < {0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1> 是一个布尔 代数, （a,b互为补元）其上有表达式 f(x1, x2)=( x1’∨a)∧x2 f(x1, x2, x3)=( x1∧x2∧x3)’∨(x1∧x2’ ∧x3’) 则: f(1, b)= (1’∨a)∧b= a∧b= 0 f(a, b, 0)= (a∧b∧0)’∨(a∧b’ ∧0’) = 0’∨(a∧a)= 1
(a0 m 0 ) (a1 m1 ) (a 2 n 1 m 2 n 1 ) (a0 M 0 ) (a1 M 1 ) (a 2n 1 M 2 n 1 )
其中: ai为布尔常元, mi和Mi分别是极小项与极 大项, 且两式对x1, x2, …, xn的一切取值均与 f(x1, x2, …, xn)等值.
§8.2 布尔表达式与布尔函数
8.2.1 布尔表达式与布尔函数
定义8.4 设 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 是布尔代数, B上的 布尔表达式递归定义如下 (1) 布尔常元和布尔变元 (取值于布尔代数B的常元和 变元)是布尔表达式. 通常布尔常元用a, b, c表示, 布尔 变元用x, y, z表示. (2) 如果e1, e2为布尔表达式, 那么(e1’), 有限次使用 (1) (2)生成的表达式是布尔表达式 外, 再没有别的布尔表达式. 为了省略括号, 约定 ’ 的运算优先级高于∨和∧的 运算优先级, 并约定表达式最外层括号省略.
例8.4 设 < {0, 1, 2, 3 }, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 是一个 布尔代数, 那么 ((2∨3)’∧(x∨y)∧(x∨z)’) 0∧x， (1∨x’)∧y， 都是布尔表达式, 并分别是含有一个变元、两个 变元、三个变元的布尔表达式. 通常用 f(x1, x2,…, xn), g(x1, x2,…, xm)等表示 含有n个变元或m个变元的布尔表达式. 当给定布尔表达式并确定其中变元的取值 后, 该表达式对应于一个确定的B中的元素, 该元 素就是布尔表达式的值.
主析取范式和主合取范式的求法： 1) 将布尔常元看作变元做同样的处理; 2) 利用德摩根律将运算符号 ’ 深入到每个变 元 常元)上. 3) ( 利用分配律展开 . 4) 构成极小项或极大项缺少变元x时, 用添加合 取项(x∨x’)或析取项(x∧x’)来处理. 5) 计算合并常元、变元和表达式.（可随时 进行）
例8.6 求布尔代数 <{0, 1, a, b}, ∨, ∧, ’, 0, 1>上布 尔函数 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2)的主析 取范式和主合取范式. 解: 主析取范式为 f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2) = [(a∧x1)∧(x1∨x2) ]∨[ (b’∧x1’)∧(x1∨x2) ] = [(a∧x1 ∧x1)∨(a∧x1∧x2)]∨ [(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)] = (a∧x1 )∨(a∧x1∧x2)∨(b’∧x1’∧x1)∨(b’∧x1’∧x2)
定义8.6 布尔表达式 a1∧a2∧…∧an 称为n个 变元的极小项，其中ai为变元xi或xi’ . 布尔表达 式 a1∨a2∨…∨an 称为n个变元的极大项, 其中 ai为变元 xi 或 xi’ . 说明: n个变元的极小项和极大项各有2n个, 分别用 . m0 , m1 ,, m2n 1和 M 0 , M1,, M 2 1来表示
n
极小项和极大项满足以下性质：
(i j) (2) m0 m1 m2 1 1, M 0 M1 M 2 1 0
n n
(1) mi m j 0, M i M j 1
定义8.7 布尔表达式 f(x1, x2, …, xn)的主析取范式 和主合取范式分别指下列布尔表达式：
说明: 1) 从主析取范式和主合取范式的定义可以看出, < B, ∨, ∧, ’, 0, 1> 的不同的n元主析取范式和主 因为在主析取范式和主 合取范式分别是 | B |2 个， a0 , a1 , , a2n 1各有|B|种取值可能. 合取范式中， 2 2 个， | B | B | 这表明, B上不同的n元布尔函数至多是 因此并非所有的Bn到B的函数都是布尔函数. 2) 当主析取范式中 a0 , a1 , , a2n 1 均取0时, 该式 因此0的主析取范式常简单的规定为0， 的值为0， 它表示函数 f(x1, x2, …, xn)= 0. 当主合取范式中 a0 , a1 , , a2n 1 均取1时, 该式 的值为1， 因此1的主合取范式常简单的规定为1， 它表示函数 f(x1, x2, …, xn)= 1.
= a∧ (a∨（x1∧x1’ )）∧(x1∨x2) = a∧ a∧(x1∨x2) = a∧(x1∨x2) = (a∨x1∨x2)∧( a∨x1∨x2’ )∧( a∨x1’∨x2) ∧( a∨x1’∨x2’ )∧(x1∨x2 ) = (x1∨x2)∧(a∨x1∨x2’)∧(a∨x1’∨x2)∧(a∨x1’∨x2’)
= (a∧x1)∨(b’∧x1’∧x2) = ( (a∧x1)∧(x2∨x2’ ) )∨(b’∧x1’∧x2)
= (a∧x1∧x2)∨(a∧x1∧x2’ )∨(a∧x1’∧x2) (b’=a)
主合取范式为：
f(x1, x2)= [ (a∧x1)∨(b∨x1)’ ]∧(x1∨x2)
=[ (a∧x1)∨(b’∧x1’ ) ]∧(x1∨x2)
= [ (a∧x1)∨b’ )∧( (a∧x1)∨x1’ ]∧(x1∨x2)
= [(a∨b’ )∧(b’∨x1)∧(a∨x1’ )∧(x1∨x1’)]∧(x1∨x2) = [(a∨b’ )∧(b’∨x1)∧(a∨x1’ )]∧(x1∨x2)
= a∧(a∨x1)∧(a∨x1’ )∧(x1∨x2)
(b’=a)