高二数学开学考试试题(无答案)
河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足1i 1i z =--+，则z =（ ） A ．22i + B ．22i -- C ．2i - D ．2i2．已知ABC V 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．若{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ） A ．,,2a b a b +r r r r B ．,,a a b a c ++r r r r rC ．,,a a c c -r r r rD ．,,2b c a c a b c ++++r r r r r r r 4．已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-r ，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =-u u u u r ，则点M 到平面α的距离d =（ ）A ．1B ．2C ．3D 5．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（ ）A ．93B ．92C ．91.5D ．93.56．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若t a n B =则2()a c ac+=（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．27．某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．9208．已知圆锥1AO 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ）A B C D二、多选题9．已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（ ） A ．若m //,n α//α，则m //nB ．若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C ．若,m m n α⊥⊥，则n ⊂α或n //αD ．若//m α，,m n 相交，则n //α10．已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（ ） A ．()12P B C ⋂= B ．()18P B = C ．()724P B C ⋃= D ．()16P C = 11．已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（ ） A ．棱长为1.1m 的正方体B ．底面半径和高均为1.9m 的圆锥C ．棱长均为2m 的四面体D ．半径为0.75m 的球三、填空题12．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是.13．在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为.14．在ABC V 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC V 的外接圆的半径为.四、解答题15．某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.(1)求频率分布直方图中a 和b 的值；(2)估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.(1)证明：1cos C b=. (2)若2,a ABC =△的面积为1，求c .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====o ，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .(1)证明：⊥BC 平面PBE .(2)求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值. 18．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.(1)若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD //l .(2)若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值. 19．给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P L ，如果对于D 上任意的点P ，21n i i PP =∑u u u r 为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P L 为关于图形D 的一组稳定向量基点.(1)已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P V 为图形D ，判断点123,,PP P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；(2)若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r 的取值范围； (3)若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P L 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P L 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑u u u r 的值.。
安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A ⋂=ð（ ） A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,∞∞-⋃+D ．()[),15,-∞-+∞U2．某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A ．53B ．74C ．78D ．833．已知,m n ∈R ，则是1133m n >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题()0:1,p x ∞∃∈+，()()0001130x x a x ---+<为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(∞- B ．(1∞⎤-⎦C ．)∞⎡+⎣D ．)1,∞⎡+⎣5．已知平面向量,a b rr 满足2,1a b ==r r ，且b r 在a r 上的投影向量为14a -r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π66．如图，在正三棱柱ABC DEF -中，,M N 分别为棱,DF BC 的中点，2AD DE ==，则异面直线,MC EN 所成角的余弦值为（ ）ABCD ．9107．已知()()2log 2,1,111,133a a x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-++->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(]2,6C ．[]3,6D ．(]2,38．已知456log 5,log 6,log 7a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>二、多选题 9．已知复数2i1iz +=-，则（ ） A ．z 的虚部为12B ．13i 22z =- C．z =D ．12z -为纯虚数10．已知函数()πcos cos sin sin 0,0,,2f x A x A x A ωϕωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭当π12x =时，()f x 取得最大值2，且()f x 与直线π12x =最近的一个零点为π3x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为πππ,π,212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()f x 的图象可由函数2cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到 D ．若()f x θ+为奇函数，则ππ,3k k θ=+∈Z11．已知定义域为R 的函数()1f x +为奇函数，()f x 的图象关于直线2x =对称，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0中心对称B ．()f x 为奇函数C ．()f x 是周期为4的函数D ．()20250f =三、填空题12．已知向量,a b r r 满足，()(),1,21,3a x b x =-=+r r ，且//a b r r，则a =r ．13．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为14．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为．四、解答题15．某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95)．(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)45,55和[]85,95内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在[]85,95内的概率．16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向()()sin ,,,sin m A b n a b B ==+r r，sin m n c C ⋅=r r．(1)求C ；(2)若c =ABC V 的面积的最大值17．已知π3π5πsin 444x x ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭(1)求sin cos x x +的值；(2)已知cos π2πy y =<<，求x y +的值 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面,,,,,SAB SA AB E F G H ⊥，分别为棱,,,SC SB DA AB 的中点，2SA AB ==．(1)证明：平面//EBD 平面FGH ； (2)求二面角B SC D --的大小．19．已知()f x 是指数函数，且过点()()()1,23a f x g x f x b -⎛= +⎝是定义域为R 的奇函数(1)求,a b 的值；(2)若存在[]1,2c ∈-，使不等式()21206g c c m --+<成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数()()()2412x x h x g g t +=++⨯恰有2个零点，求实数t 的取值范围．。
陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
(1)求直线 AC 的方程；
(2)求顶点 C 的坐标与V ABC 的面积.
18．已知函数
f
(x)
=
log 1
2
1- ax x -1
a 的图象关于原点对称，其中
为常数.
（1）求 a 的值；
（2）当 x Î (1, +¥) 时， f (x) + log1 (x -1) < m 恒成立，求实数 m 的取值范围； 2
×
uuur ON
=
-7
，求
k
的值；
(2)过点 E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆 O 相交，所得的弦为 AB 和 CD，若
AB = l CD ，求实数 l 的最大值．
试卷第41 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案 C
D
A
D
B
B
B
题号 11
答案 CD
1．C 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.
.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x - 2 y + 4 = 0 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 M
在圆 x2 + ( y - a)2 = 5(a > 0) 上运动．若∠AMB 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是
四、解答题
15．已知二次函数 f ( x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ．
3 4
ö ÷ø
8．直线 l 过点 (2,1) ，且与圆 C： ( x - 2)2 + ( y - 4)2 = 10 相交所形成的长度为整数的弦的条
山东省安丘市青云学府2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
山东省安丘市青云学府2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行2．下列选项中，一定能得出直线m 与平面α平行的是 ( ) A ．直线m 在平面α外B ．直线m 与平面α内的两条直线平行C ．平面α外的直线m 与平面内的一条直线平行D ．直线m 与平面α内的一条直线平行3．,αβ是两个不重合的平面，,a b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定//αβ的是( ) A ．,αβ都平行于直线,a bB ．α内有三个不共线点,,A BC 到β的距离相等 C ．,a b 是α内两条直线，且//αβ，//b βD ．,a b 是两条异面直线且//,//,//,//a b a b ααββ4．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不．正确．．的是（ ） A ．PA BC ⊥ B ．⊥BC 平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥5．设不同直线l 、m ，不同平面αβ、，下列条件能得出//αβ的是（ ） A ．,,l m αβ⊥⊥且//l m B ．,,l m αβ⊂⊂且//l m C ．,,l m αα⊂⊂且//,//l m ββ D ．//,//,l m αβ且//l m6．下列命题中正确的个数是（ ）． ①若a r与b r 共线，b r与c r 共线，则a r 与c r共线． ②向量a r ，b r，c r共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a r ，b r ，c r不共面，那么对于空间任意一个向量p r ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++r r rr ．④若a r，b r 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+r r r （,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c r r r 是空间向量的一组基底．A ．0B ．1C ．2D ．37．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ， 则BE u u u r等于（ ）A ．1122a b c -++r r r B ．1122a b c -+r r r C ．1122a b c -+r r r D ．1122a b c -++r r r8．已知向量(0,1,1),(4,1,0),||a b a b λ=-=+=r r r r0λ>，则λ等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、多选题9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为DB 的中点，直线1AC 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A ．1C ，M ，O 三点共线B ．1AC ⊥平面1C BD C ．直线11AC 与平面11ABC D 所成角的为6πD ．直线1AC 和直线1BC 是共面直线 10．给出下列命题，其中不正确的为（ ）A ．若AB CD =u u u r u u u r，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段B ．若0a b ⋅<r r ，则,a b r r 是钝角C ．若0AB CD +=u u u r u u u r r ，则AB u u u r与CD u u u r 一定共线D ．非零向量,,a b c r r r 满足a r 与b r ，b r 与c r ，c r 与a r 都是共面向量，则,,a b c rr r 必共面11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，1BB =D ，E 分别为棱BC ，1BB 的中点，则（ ）A ．1AB ∥平面1ADC B ．1AD C D ⊥C ．异面直线AC 与DED ．平面1ADC 与平面ABC三、填空题12．化简：2233AB BC CD DA AC ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．13．设O ABC -是四面体，1G 是ABC V 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则242x y z ++=.14．如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈,AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.四、解答题15．已知空间三点(2,0,2)A -、(1,1,2)B -、(3,0,4)C -，设a AB =r u u u r ，b AC =r u u ur ．(1)设3c =r ，c r //BC u u u r ，求c r ．(2)若ka b +r r与2ka b -r r 互相垂直，求k ．16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ，分别在1,A D AC 上，1,EF A D EF AC ⊥⊥， 求证：1EF BD P ．17．如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，CD ＝1，BC ＝2，DF ＝1．(1)求证：BE ∥平面DCF ； (2)求点B 到平面DCF 的距离．18．如图甲，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥．取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙．(1)求证：⊥BC平面DEC；(2)求二面角C BF E--的余弦值19．如图，在三棱锥P ABC-中，AB BC⊥，2=BP，AP，AB=，BC=PB PC⊥.BC的中点分别为D，E，O，AD，点F在AC上，BF AO(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；--的正弦值.(3)求二面角D AO C。
辽宁省辽宁师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
辽宁省辽宁师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题A ．()()f x g x +C ．()()
f x
g x -5．若3sin cos 4x x m -=-A ．2≤m ≤6
B ．﹣6．已知棱长为6的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为（A ．2B ．7．定义运算
a b ad bc c
d
=-
二、多选题
ω=
A．2
心
三、填空题
四、解答题
17．如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．
（1）求证：FG∥平面EBO；
（2）求证：PA⊥BE．
18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面面PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点（1）求证：AP BE ⊥；
（2）求二面角B AC P --余弦值19．已知函数()2
23cos 2sin f x x =-单调增区间.
20．如图，点A ，B ，D 是函数f 三个交点，其横坐标分别为
3π，(1)求函数()f x 的解析式及对称轴的方程；(2)若()065f x =
，且052,123x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求0sin 2x .
(1)求证：AF 平面CDE ；
(2)若90,2ABC AB ∠== ，求四面体。
黑龙江省大庆实验中学二部2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
B． 2i
C． -2
D．2
2．若
sin
æ çè
p 2
+
a
ö ÷ø
=
2 sina ，则 tan(p - 2a ) = （
）
A． 2 2
B． -2 2
C． 4 2
D． -4 2
3．利用斜二测画法画出VABO 的直观图（如图），已知 O¢B¢ = 2 ， A¢B¢ P y¢ 轴，过 A¢
作 A¢C¢ ^ x 轴于 C¢ ，若VABO 的面积为 4，则 A¢C¢ 的长为（ ）
D．若过 BC 且与 AP 垂直的截面 α 与 AP 交于点 E，则三棱锥 P－BCE 的体积的最
小值 3 2
三、填空题
( ) 13．设平面向量
ar
，
r b
满足
ar
=
2,
5
，
ar
×
r b
=
18
，则
r b
在
ar
方向上的投影向量的坐标
为. 14．如图正三棱锥 S - ABC ，其中 SA = 2 ， AB = 3 ，点 P、Q、、M N 分别为校
黑龙江省大庆实验中学二部 2023-2024 学年高二上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数 z 满足 z (1+ 2i) = 1+ 2
6i
z
，则
的共轭复数 z
的虚部为（
）
A． -2i
(1)求证：直线 BE //平面 PAD； (2)当 AP=AB 时，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 21．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，棱长为 2， E 为 BB1 的中点.
湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的虚部为（ ）A ．2iB ．-2C ．2D ．2i -3．已知()()2,0,2,2a b ==r r ，则a r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．)B ．()1,1C ．()2,1D ．()2,24．已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为π3的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）AB C D 5．掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现小于4的点”，B =“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为（ ）A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等6．在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC V 内的射影为O ，则O 是ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心7．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，13,3CC CD ==，且1160C CB C CD ∠=∠=o ，则向量1AC u u u r 的模长为（ ）A B ．34 C ．52 D ．8．已知单位向量,a b r r 满足0a b b -+⋅=r r r ，则()2ta b t +∈R r r 的最小值为（ ）AB C D二、多选题9．关于非零向量,a b r r ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a b =r r ，则a b =r r .B ．若a b =-r r ，则a r ∥b r .C ．若a b >r r ，则a b >r r .D ．若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r .10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是（ ）A ．APB ．平面1BB P ⊥平面1111DC B A .C ．若P 是11CD 的中点，则二面角11P B B C --D ．若114D P =，则直线1B P 与1BD 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题12．已知a ∈R ，若复数()()2344i Z a a a =----为纯虚数，则复数1i Z a a =-+在复平面内对应的点位于第象限.13．三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥=外接球体积等于.14．在ABC V 中，π,432A BC BA CA CB =⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 中最小角的余弦值为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，15,6,,AB AC BB BC D E ====分别是1AA 和1B C 的中点.(1)求证：DE ⊥平面11BCC B ；(2)求三棱锥E BCD -的体积.16．已知2,4,a b a b ==+=r r r r (1)若()()22a kb ka b -⊥+r r r r ，求实数k 的值； (2)求a r 与36a b +r r 的夹角的余弦值.17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12cos c a B =+.(1)若π3B =，求角C 的大小； (2)若ABC V 为锐角三角形，求b a的取值范围. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，AD ∥,91,2,0BC BAD PA AB BC AD ∠=====o .(1)求证：CE ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PDC ；(3)求直线EC 与平面PAC 所成角的正弦值.19．A 校和B 校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A 校学生和2000名B 校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[)40,100中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A 校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭频率组距满足函数关系()10.12,130.18,46n k n Y k n n -⎧⨯≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（n 为组数序号，n ∈Z ）；关于B 校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为频率组距），假定每组组内数据都是均匀分布的.(1)求k 的值；(2)若B 校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？(3)现在设置一个标准t 来判定某一学生是属于A 校还是B 校，将成绩小于t 的学生判为B 校，大于t 的学生判为A 校，将A 校学生误判为B 校学生的概率称为误判率A ，将B 校学生误判为A 校学生的概率称为误判率B ，误判率A 与误判率B 之和称作总误判率，记为()f t .若[)50,70t ∈，求总误判率()f t 的最小值，以及此时t 的值.。
高二数学下学期开学考试试题_1 (2)
宁夏高级中学2021-2021学年高二数学下学期开学考试试题〔无答案〕注意： 11、12、16、21、22题文理科题目不同，根据自己学科选择，选错题不得分。
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕1.2,230x R x x ∃∈-+>的否认是〔 〕 A. 不存在x R ∈，使2230x x -+≥ B. 2,230x R x x ∃∈-+≤ C. 2,230x R x x ∀∈-+≤ D.2,230x R x x ∀∈-+> 2. 与命题“假设 3,x =那么2230x x --=〞等价的命题是 ( )A. 假设 3x ≠ ，那么 2230x x --= B. 假设，那么C. 假设 ，那么D. 假设，那么3.异面直线是( )(A)空间不相交的两条直线 (B)分别位于两个平面内的直线 (C)平面内的一条直线与这个平面外的一条直线 (D)不同在任何一个平面内的两条直线4.三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的选项是〔 〕Ａ．αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭// Ｂ．m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭// Ｃ．m m n n γγ⎫⇒⎬⎭////// Ｄ．m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//5. 假设 是真命题， 是假命题，那么〔 〕 A. 是真命题 B.是假命题 C.是真命题 D.是真命题6. “4<k<6”是“方程表示椭圆〞的〔 〕A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7．我国古代数学名著?数书九章?有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为( ) A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1 365石 8．甲、乙两组数据如茎叶图所示，假设它们的中位数一样，平均数也一样，那么图中的m,n 的比值〔 〕A ．B ．C ．2D ．39．假设抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,那么p 的值是〔 〕 A ．2- B ．2 C ．4- D ．410 .双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，那么双曲线的方程为〔 〕.A.221520x y B.221205x y C.2233125100x y D.2233110025x y11〔理科〕 的展开式中的常数项为〔 〕A. -24B. -6C. 6D. 2412〔理科〕. 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所，每所至少去一名，那么不同的保送方案一共有〔 〕A. 26种B. 32种C. 36种D. 56种11〔文科〕．函数的导函数的图象如图，那么以下表达正确的选项是( )A ．函数在上单调递减B ．函数在处获得极大值C ．函数在处获得极值 D ．函数只有一个极值点12〔文科〕．曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为〔 〕A ．B ．C ．和D ．二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕13.如图，在三棱锥P ABC 中,底面ABC 是正三角形,且PA=PB=PC,D,E 分别是AB,AC 的中点,有以下三个论断:①AC ⊥PB;②AC ⊥平面PDE;③AB ⊥平面PDE,其中正确论断的个数为 . 14．将高一9班参加社会理论编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，5号，29号，41号学生在样本中，那么样本中还有一名学生的编号是 ．15.设C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .假设AD ⊥F 1B ，那么椭圆C 的离心率等于________．16〔理科〕. 用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a 、b 、c 、d 四个区域染色，假设相邻的区域不能用一样的颜色，不同的染色方法的种数有________种．(用数字答题)16〔文科〕．假设函数在上递减，那么实数a 的取值范围是______．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤17．〔此题满分是10分〕为了理解某各景点在群众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，答复以下问题“某有哪几个著名的旅游景点？〞统计结果如以下图表组号分组答复正确的人数答复正确的人数占本组的频率第1组 [15，25〕 a 0．5 第2组 [25，35〕 18 x 第3组 [35，45〕 b 0．9 第4组 [45，55〕 9 0．36 第5组 [55，65]3y〔1〕分别求出a,b,x,y 的值；〔2〕从第2，3，4组答复正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？〔3〕在〔2〕抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．18.〔此题满分是12分〕四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形且60=∠A ，又ABCD PD 底⊥，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．〔1〕证明：DN//平面PMB ； 〔2〕证明：平面PMB ⊥平面PAD ；NMBDCA19．〔此题满分是12分〕某班5 名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下表: (1)画出散点图;(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程; (3)一名学生的数学成绩是96分,试预测他的物理成绩.参考公式：2121ˆ-=--=--=∑∑xn xyx n y xbn i ini i i-∧--=x y ab ˆ20. 〔此题满分是12分〕设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点〔0，4〕，离心率为35．〔1〕求C 的方程；〔2〕求过点〔3，0〕且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．21〔理科〕. 〔此题满分是12分〕如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD=1,E 为CD 的中点. (1)求证:B 1E ⊥AD 1;(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?假设存在,求AP 的长;假设不存在,说明理由.22〔理科〕.〔此题满分是12分〕椭圆2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭ABCDE数学成绩x 8876736663物理成绩y7865716461圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB 的面积获得最大值时，求k的值21〔文科〕．〔此题满分是12分〕设函数过点〔1〕求函数的单调区间和极值；〔2〕求函数在上的最大值和最小值.22〔文科〕．〔此题满分是12分〕函数．〔1〕假设，求曲线在点处的切线方程；〔2〕假设函数在上单调递增，务实数的取值范围．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
山东省泰安第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(无答案)
数学开学检测限时训练2024.9.7一、单选题（每题5分，共40分）1．空间任意四个点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）A ．共线B ．共线C ．共面D ．不共面3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）A．B ．C ．D ．4．已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，向量在向量上的投影向量为，则（ ）A ．3B ．C ．D ．6．已知空间四边形中，，则的值为（ ）A ．BC ．D ．07．如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（）．,,,A B C D DA CD CB +-DBAC AB BA,MA MB32MC MA MB =- ,MA MC ,MB MC ,,MA MB MC ,,MA MB MCOABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =N BC MN =121232a b c-+ 211322a b c-++111222a b c+-221332a b c+-12,e e 60︒12a e e =+122b e e =-60︒120︒30︒90︒3b = a b 32ba b ⋅= 9232272OABC π,3OB OC AOB AOC =∠=∠=cos ,OA BC 〈〉 1212-PA AB C A B AE PC ⊥A ．平面B ．C ．D ．平面平面8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．ABCD二、多项选择题（每题6分，共18分）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在平行六面体中，，．若，则（ ）A ．B ．BC ⊥PAC AE EF⊥AC PB⊥AEF ⊥PBCP ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ,PA AB E =AP PC DE {},,a b c ,2,3a b c,,a b b c c a +++2,23,39a b b c a c++-,,a b c b c++,,a b c222()a b a b⋅=⋅ 2a b b a a ⋅=()()0a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅= a b a b⋅≤⋅ ABCD A B C D '-''',AB a AD b ==AA c =' 1,2MD A P A C CM ''=='A C a b c=++' 1122AM a b c=++C ．三点共线D ．四点共面三、填空题（每题5分，共15分）12．若为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则______．13．已知三点不共线，是平面外任一点，若由确定的一点与三点共面，则______．14．已知所在平面外一点到三顶点的距离都相等，则点．在平面内的射影是的______心．四、解答题（共5题；共77分）15．（13分）如图，在四面体中，设，为的重心，以为空间基底表示向量．16．（15分）如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17．（15分）如图，在长方体中，分别为的中点．计算：,,A P D ',,,A P M D ,,a b c 23a b c +-=,,A B C O ABC 1253OP OA AB OC λ=++P ,,A B C λ=ABC △P ABC △P ABC ABC △OABC ,,OA a OB b OC c ===G ACB △{},,a b c ,BE OG P ABCD -AP ⊥1,,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==∥,AD PC AP ∥BEF BEF ⊥PAC 1111ABCD A B C D -12,4,,AB AA AD E F ===111,AB A D（1）；（2）；（3）．18．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：四点共面．19．（17分）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．（1）求证：；（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．1BC ED ⋅ 1BF AB ⋅ 1EF FC ⋅ 1111ABCD A B C D -AB CD ∥AB AD ⊥1224AA AB AD CD ====,,E F G 1111,,DD A D BB CG EF ⋅,,,C E F G 1111ABCD A B C D -ABCD 11C CB C CD BCD ∠=∠=∠CG BD ⊥1CDCC 1AC ⊥1C BD。
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案
2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。
重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =（ ）A．0 B ．C D 2．向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，a b ⊥r r ，则2a b +=r r （ ）A ．9B ．3C ．1D ．3．已知椭圆C ：2211x y m m +=+的离心率为12，则m =（ ） A ．13B ．1C ．3D ．44．已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．若F 为椭圆22:197x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上一动点，()M ，则MFP V 周长的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．106．若椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．457．过直线l ：3410x y +-=上一点P 作圆M ：22(4)1x y +-=的两条切线，切点分别是A ，B ，则四边形MAPB 的面积最小值是（ ）A ．1B C ．2D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y 交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（ ）AB C D二、多选题9．已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（ ）A ．当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B ．当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线 C ．当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D ．当4r =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10．已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，121cos 2F PF ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．△F 1PF 2的周长为16B ．12F PF S =VC ．点P 到xD ．1283PF PF ⋅=u u u r u u u u r11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，且1AA =P 是线段1BD 上一点（包含端点），Q 在四边形11ADD A 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ）A ．该四棱柱能装下球的最大半径是1B ．点P 到直线11A BC ．若P 为1BD 中点，且AQ CP ⊥，则Q D ．PC PQ +的最小值是3三、填空题12．若2()1,M -为圆22:(1)16C x y +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF V 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)证明://EF 平面11AA D D ； (2)求点1C 到平面1ACE 的距离. 17．已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程． 18．如图1，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，142AD DC CB AB ====，点M 在AB 上，AM MB =，将ADM △沿DM 折起至A DM 'V ，如图2，点N 在线段A C '上．(1)若2A C NC '=，求证：平面DNM ⊥平面A BC '；(2)若AC '=DNM 与平面CDM A N A C ''值．19．定义:若点（x 0，y 0），（x 0’，y 0’）在椭圆M :22221x y a b +=（a >b > 0）上，并满足''0000221x x y y a b +=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点（x 0，y 0）关于M 的一个共轭点为（x 0’，y 0’）.已知点A （2，1）在椭圆M :22163x y +=上，O 是坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标:(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ →∥OA →，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。
2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学(A4版)
2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数121a i i i +=+−（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．1− B ．1 C ．2 D ．32．如图,三棱柱111ABC A B C −中,侧面11B BCC 的面积是4,点1A 到侧面11B BCC 的距离是3,则三棱柱111ABC A B C −的体积为( )A ．12B ．8C ．6D ．43．已知向量()()2,1,3,a b x =−=，且a b a b +=−，则x 的值是（ ）A ．6−B ．32−C ．23D ．64．P 是ABC 所在平面上一点满足||2,||0PB PC PB PC PA ABC −−+−=的形状是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．如果满足45ABC ∠=︒，6AB =， AC b =的ABC 有且只有一个，那么实数b 的取值范围是（ ） A ．(]0,6 B ．[)6+∞， C ．)32,6⎡⎣ D ．[){}632+∞，6．在平面直角坐标系xOy 中，)3,1A 、(3B ，若点(),P x y 是线段AB 上的动点，223x yx y ++（ ）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．⎤⎦7．已知角α顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则11sin 2tan 2αα+=（ ）A ．12BC ．2D 8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2222sin −+=b c B c a ，且2a =，则tan tan tan A B C 的最大值为（ ）A 2B ．3CD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．复数2i −−的虚部为i −B ．12,C z z ∈，若120z z =，则10z =或20z =C ．若1,C z z =∈，则2z −的最小值为1D ．若43i −+是关于x 的方程()20,R x px q p q ++=∈的根，则8p =10．已知()()3πsin sin 7π2f x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最小正周期是2πC ．()f x 图象的一个对称中心是π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 上π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 11．如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥1A APD −的体积为定值B ．1A P ∥平面1ACDC．1AP B P +的最小值为D ．当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，四面体111B PA C第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某几何体底面的直观图为如图矩形1111O A B C ，其中113O A =，111O C =该几何体底面的面积为 ．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos 2cos b C a c B =+，2b c =，则cos C = . 14．已知23,22,a b a b b +=−=在a 上的投影向量为c ，则c 的取值范围为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．正四棱台两底面边长分别为2和4．(1)3(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．16．如图，在ABC 中，已知2AB =，3AC =，60BAC ∠=，N 是AC 的中点，23BM BC =，设AM 与BN 相交于点P ．(1)求cos MPN ∠的值；(2)若CP xAB yAC =+，求x y +的值．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求角B 的大小；(2)若ABC 的面积为3B 的平分线与AC 交于点D ，且3BD b 的值．18．如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ⊥，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.(1)证明：BP DF ⊥；(2)求三棱锥F BDE −的体积；(3)求二面角F DE B −−的余弦值.19．对于平面向量()1,2,,,3i x i m m m =≥∈N 且，记{}1212Ω,,,,m m m m x x x S x x x ==+++，若存在{}()1,2,,p x p m ∈，使得,p m p x S k x k ≥+∈Z ，则称p x 是Ωm 的“k 向量”．(1)设()*,,n x n l n n =−∈N ，若3x 是3Ω的“3−向量”，求实数l 的取值范围；(2)若*2π2πcos ,sin ,33n n n x n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，则()*31Ωi i +∈N 是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知123,,x x x 均为3Ω的“1−向量”，其中()()12cos ,5sin ,2cos ,sin x x x x x x =−=．设平面直角坐标系xOy 中的点列()*12,,,,3ıP P P t t ∈≥N 满足123PP x =（1P 与原点O 重合），且2k P 与()*21k P k +∈N 关于点1P 对称，21k P +与22k P +关于点2P 对称．求99100P P 的取值范围．。
河南省郸城县第一高级中学高二数学上学期开学考试试题
郸城一高2015级高二开学考试数 学 试 题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．.集合{|ln 0}A x x =≥，2{|16}B x x =<，则=B AA ．)4,1[B ．)4,1(C ．),1[+∞D ．)4,[e 2．已知角α的终边经过点)3,4(-，则αcos =A ．54B ．53 C ．53-D ．54-3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为 A ． 7B ． 15C ． 25D ． 354.下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y5．设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)()(x g x f 是奇函数 C ． )()(x g x f 是奇函数D ．)()(x g x f 是奇函数6.设定义在R 上的奇函数)(x f 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为 A ．(4,0)(2,)-+∞ B ．(0,2)(4,)+∞ C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(4,4)-7.将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为A ．43π B ．4π C ．0 D ．4π- 8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．129. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 A.31 B.π2C.21D.32 10. 已知()(),5,3,6,4==OB OA 且OB AC OA OC //,⊥，则向量OC 等于 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 D.⎪⎭⎫⎝⎛-214,72 11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 A ． 1B ．C ．D ．12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x≥0时x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为 A ． {1，3} B ． {﹣3，﹣1，1，3} C ． {2﹣，1，3}D ． {﹣2﹣，1，3}二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = . 14．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于__________.15．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B ===，则a 等于____________.16．已知单位向量1e ,2e 的夹角为α，且31cos =α,向量2123e e -= 与213e e -=的夹角为β，则βcos = ． 三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分）已知集合{|3327}xA x =≤≤,12B log (21)1x x ⎧⎫⎪⎪=-<-⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（1）分别求,()R A B C B A ⋂⋃；（2）已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．18.（本小题满分12分）某校从高一年级周末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示： （1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分;（2）已知在]100,90[段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.19．（本小题满分12分）已知直线l 过点P （1，1）， 并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分. 求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程． 20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且11,,AB AA E F ==分别是 1,CC BC 的中点. （Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求三棱锥1E AB F -的体积.FE C 1B 1A 1CBA21. （本小题满分12分）已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．22.（本小题满分12分） 已知函数)(x f ＝22cos +)6x π（－2cos +)6x π（x +1. （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当(,)62x ππ∈时，若)(x f ≥t 2log 恒成立，求 t 的取值范围．。
福建省莆田第一中学2023-2024学年高二上学期开学考数学试题
制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为 x1 = 8.4 ， s12 = 0.015 ，媒体得分的平
均数和方差分别为 x2 = 8.8 ， s22 = 0.054 ，大众得分的平均数和方差分别为 x3 = 9.4 ，
s32 = 0.064 ，将这 30 名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差 （结果保留三位小数）．
答案第11 页，共22 页
( ) ( ) P A U A = P ( A) + P A = 1即可得到答案.
【详解】因为 A 和 B 互斥,
所以 P ( A U B) = P ( A) + P (B) = 0.6 , 又 P ( B) = 0.3 , 所以 P ( A) = 0.3 ,
因为 P ( A U A) = P ( A) + P ( A) = 1, ( ) 所以 P A = 1- P ( A) = 1- 0.3 = 0.7 .
å( ) å 附：方差 s2
=
1 n
n i =1
xi - x
2
=
1 n
n
xi2
i =1
- x2 ．
19．正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 1， O 为正方形 ABCD 的中心.
（1）求证： OD1 // 平面 A1C1B ； （2）若异面直线 OD1 与 C1B 所成的角的正弦值为 6 ，求直线 OD1 到平面 A1C1B 的距离.
福建省莆田第一中学 2023-2024 学年高二上学期开学考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
2024年高二数学秋季开学考试(北京专用)(解析版)(摸底考试)
2024年高二数学秋季开学考试（北京专用）解析版注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或12【答案】A【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由//a b，有22m m =-，解得1m =或2-．故选：A.2．复数21i ⎫⎪⎪-⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i -B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=【答案】D【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点()1,1M 且斜率为1-，所以直线方程为()111y x -=-⨯-，即20x y +-=.故选：D.4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D ．35．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．30【答案】D【分析】利用方差的性质求解．【详解】 数据12,,...,n x x x 的方差为1.2，151x ∴-，251x -，……51n x -的方差为：25 1.230⨯=．故选：D.6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B C ．83D8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b 【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据空间直线的位置关系判断B ，根据面面平行的判定定理判断C ，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当a b ，b α⊂，a α⊂时，不能推出a αP ，故A 错误；当a b ⊥r r，b c ⊥时，,a c 可能相交，也可能异面，不能推出a c P ，故B 错误；当a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，若,a b 不相交，则推不出αβ∥，故C 错误；当a α ，a β⊂，b αβ= ，由线面平行的性质定理知a b ，故D 正确.故选：D10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB⊥B ．CD BD⊥C ．平面ADC ⊥平面ABD D ．平面ABC ⊥平面BDC【答案】D【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b 上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．【答案】53【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为35，46，53，54，58，66，72，80，85，86，又1025% 2.5⨯=，所以第25百分位数为第三个数，即为53，故答案为：53.14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== -P ABC 的外接球的表面积为.故可以将三棱锥-P ABC 其中上底面外接圆圆心为因为30,BAC BC ∠=15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．不妨取两棱中点为,E F ，由题知易知,BE BF BE BF ⊥=，可得所以正方体的棱长为22，该多面体的外接球即为正方体所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为24π216πS =⋅=.故答案为：16π.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】(1)0.15a =，0.06b =(2)4.07吨(3)5.8【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),O A B 可得()(1,0,1,0,AP PB =-= 设平面APB 的法向量为n =所以不存在点M ，使得DM ⊥平面PAB .20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.。
河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题8．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，1m+，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ^====，M 为BC 中点.，N 为AB 的中点，(1)求证：1A N //平面1AMC ；(2)求平面1AMC 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1AMC 的距离．1．A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M x x x x =+³=³-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-£<I .故选：A2．A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.3．D【分析】根据向量的坐标运算求出a b l +r r ，a b m +r r，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-r r ，所以()1,1a b l l l +=+-r r ，()1,1a b m m m +=+-r r，由()()a b a b l m +^+r r r r 可得，()()0a b a b l m +×+=r r r r ，即()()()()11110l m l m +++--=，整理得：1lm =-．故选：D ．4．B。
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2019新高二暑期返校考试数学试卷
(总分150分；时间120分钟总分)
一、选择题
1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )
A ．(2,3]
B ．(2,3)
C ．(－3，－2)
D ．[－3，－2)
2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D.3＋2 3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A ．y ＝cos|2x |
B ．y ＝|sin x |
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x
D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2x 4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；
当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2
5．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.
若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1
6．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )
7．已知函数f (x )＝32,2,(1),2,
x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k
的取值范围是( )A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(0,1] D ．(－1,0)
8.如图，在△ABC 中，23AD AC =u u u r u u u r ，13
BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ
的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．2 D ．－2
9．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24 B ．－24 C.427 D ．4 2
10．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22
，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34
11．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋π3 (－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB OC +u u u r u u u r )·OA u u u r 等于( )
A ．－32
B ．－16
C ．16
D ．32
12．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO =u u u r u u u r ，则FD FE ⋅u u u r u u u r 等于( )
A ．－34
B ．－89
C ．－14
D ．－49
二、填空题
13．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1) 2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．
14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5
＝________.
15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若14AC BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AD BC
⋅u u u r u u u r ＝________.
16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题：
①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；
②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点(π12
，0)对称； ④将函数f (x )的图象向左平移5π12
个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)
三、解答题
17．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－log 2(1－x )．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性；
(3)求使得不等式f (x )>0成立的x 的解集．
18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求a 与b 的夹角θ；
(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b ·c ＝0，求t 及|c |.
19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a ·b .
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．
20. 已知f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．
(1)求k 的值；
(2)设g (x )＝log 4⎝
⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．
21．在△ABC 中，＝(－3sin x ，sin x )，＝(sin x ，cos x )．
(1)设f (x )＝·，若f (A )＝0，求角A 的值；
(2)若对任意的实数t ，恒有|－t |≥||，求△ABC 面积的最大值．
22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量
可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；
(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值．。