量纲分析法ppt课件

量纲分析法
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[ q ] ML T

几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
分 类 无量纲量：
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0)
0
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即
f( q , q ,..., q ) 0 1 2 n
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量） 则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达
( , ,..., ) 0 的关系式来描述 ，即 F 1 2 n m
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 就是矢量 a , a ,..., a 1 2 m ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做： ln ln q a , a ,..., a q a , a ,..., a ( i 1 , 2 ,..., n ) 1 2 m i 1 i mi i 2 如：一般取m=3，取基矢量q1、 q2、 q3
定理的解题步骤
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响 这个现象的各个物理量及其关系式 f ( q , q ,..., q ) 0 1 2 n
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量 a a a 1 2 m q x x ... x ln q a ln x a ln x ... a ln x 1 2 m 1 1 2 2 m m
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
1 2 3
0 0 1y 0 1 0y 1 0 0y ( L M T )( L M T )( L M T )
( L M T) L M T
1 0 2y 4 0 0 0
L M T L M T
y y 3 4 y 2 y 2 y 1 4 0 0 0
y3 y4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
具 体 分 析 步 骤 ：
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量； 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
q Kq q... q i
a b 1 2
p n 1
3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同， 确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。
q q q ... q i
a b 1 2
p n 1
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式 t , m , l , g 0 (1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f
1 2 t m l g3 (2)写出指数乘积关系式
q1 M a Lb T c q2 M a Lb T c q3 M a Lb T c
1 1 1 2 2 3 3
2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 0 c3
3
满足基本量量纲 独立的条件是量 纲式中的指数行 列式不等于0
定理的解题步骤
（3）基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项( 项)，即 q ,q ,..., q m 1 m 2 n
q4 q q q ... q ( j 1 , 2 ,..., n m ) 1 a1 b1 c1 q q q 1 2 3 ln q x ln q x ln q ... x ln q m j 1 j 1 1 j 2 m m j
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性： 凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度 量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主 观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动 规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三 角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
V2 W p1V 进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式： 1 ln V 1
量纲分析与无量纲化
研究方法 概念与意义 量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
l 对比 t 2 g
例题一：
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f ( t , m , l , g ) 0
tm lg
y 1 y 3 2 y y 4
0 0 1 [ t ] L M T 0 1 0 [ m ] L M T 1 0 0 [l ] L M T 1 0 2 [ g ] L M T
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (3)写出量纲式
1 2
[ t ] [ m ][ l百度文库][ g ]
3
3 2 2 2 3 3 1 2 1 (4)以基本量纲表示 T M L LT M L T mg

l t g

(5)根据量纲和谐原理 1 0 1 0 2 1 / 2 2 3 0 1 / 2 2 1 3 3
y 2 , y 0 , y 1 , y 1 1 2 3 4
t l g F ( )0(t l/g)
2 1
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。