高考文科数学数列经典大题训练附答案

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．
2.（本小题满分12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.
2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和.
3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．
（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；
（2）求{a n}的通项公式．
1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14
3
n n a a -=
． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．
所以{}n a 是首项为1，公比为4
3
的等比数列． 7分
（2）解：因为14
()3
n n a -=，
由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114
()3
n n n b b -+-=． 9分
由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
＝1)34(33
41)34(1211
-=--+--n n ，
（2≥n ），
当n=1时也满足，所以1)3
4
(31-=-n n b ．
2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32
34
9a a =所以21
9
q =。

有条件可知a>0,故13
q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =1
3
n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)
(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311
n n b b b n n n +++=--+-++-=-++
所以数列1
{}n
b 的前n 项和为21n n -+
3.解：
（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，
111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++
++
2(1)12n +-=。

而 12,a =
所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知
35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
从而
23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ②
①-②得
2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++
+-⋅ 。

即 211
[(31)22]9
n n S n +=-+
4.解：（1）设{a n }的公差为d ，
由已知得
解得a 1=3，d=﹣1 故a n =3+（n ﹣1）（﹣1）=4﹣n ；
（2）由（1）的解答得，b n =n•q n ﹣
1，于是
S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+（n ﹣1）•q n ﹣
1+n•q n ． 若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得
qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+（n ﹣1）•q n +n•q n+1． 将上面两式相减得到
（q ﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2+…+q n ﹣
1）
=nq n﹣
于是S n=
若q=1，则S n=1+2+3+…+n=
所以，S n=
5.解：（1）证b1=a2﹣a1=1，
当n≥2时，
所以{b n}是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）解由（1）知，
当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=1+1+（﹣）+…+ ===，当n=1时，．
所以．。