北师大版八年级数学下册计算题专项练习试题
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解 测试题附答案
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为( )
A．2a－b＋cB．2a－b－c
C．2a＋b－cD．2a＋b＋c
4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是( )
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
9．3(a－b)(a＋b)
【解析】
【分析】
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b），
故答案为：3（a-b）（a+b）
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
【详解】
A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y)，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y)，正确.
故选：A．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．C
强化训练北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练试题(含详细解析)
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、设m为整数，若方程组3131x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩的解x、y满足175x y+>-，则m的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．72、一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤33、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x 的图像过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A ．x ≤﹣2B ．﹣2≤x ＜﹣1C ．﹣2＜x ≤﹣1D ．﹣1＜x ≤04x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2 B ．x >2 C ．x ≠2D ．x <2 5、下列四个说法：①若a ＝﹣b ，则a 2＝b 2；②若|m |+m ＝0，则m ＜0；③若﹣1＜m ＜0，则m 2＜﹣m ；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16、若a ＞b ，则（ ）A ．a ﹣1≥bB ．b +1≥aC ．2a +1＞2b +1D ．a ﹣1＞b +17、若不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）A ．x ＞﹣13 B ．x ＜﹣13 C ．x ＞13 D ．x ＜138、如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <9、把不等式组123x x >-⎧⎨+≤⎩的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．10、如果点P （m ，1﹣2m ）在第一象限，那么m 的取值范围是 （ ）A ．102m ＜＜ B ．102m -＜＜ C ．0m ＜ D ．12m ＞ 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，关于x 的不等式组在数轴上所表示的的解集是：______．2、a 、b 、c 表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的＞”“＜”或“＝”．（1）3a +______3b +；（2）-a b ________0；（3）35a __________35b ；（4）2a -________2b -； （5）14a -________14b -；（6）ac ⋅_______b c ⋅；（7）a c -________b c -；（8）ab _______2b ．3、在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜___场．4、关于x 的正比例函数y =(m +2)x ，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．5、 “a 的25用不等式表示__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解不等式：3x ﹣2≤5x ，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组2(2)313123x x x x -≤-⎧⎪+-⎨>+⎪⎩，并写出它的最大整数解． 2、解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 ()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩3、春节将至，小明家亲友团准备去某地旅游，甲旅行社的优惠办法是：买4张全票其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠；已知这两家旅行社的原价均为4000元每人.（1）若亲友团有6人，甲、乙旅行社各需多少费用？（2）亲友团为多少人时，甲、乙旅行社的费用相同？（3）当亲友团人数满足什么条件时，甲旅行社的收费更优惠？当亲友团人数满足什么条件时，乙旅行社的收费更优惠？（直接写出结果，不需说明理由）4、三角形的三边长分别是2，x ，10，且正偶数x 满足不等式11145x x +-<-，求该三角形的周长． 5、某公司销售A 、B 两种型号教学设备，每台的销售成本和售价如表：已知每月销售两种型号设备共20台，设销售A 种型号设备x 台，A 、B 两种型号设备全部售完后获得毛利润y 万元（毛利润＝售价-成本）（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）若销售两种型号设备的总成本不超过80万元，那么公司如何安排销售A 、B 两种型号设备，售完后毛利润最大？并求出最大毛利润．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先把m 当做常数，解一元二次方程，然后根据175x y +>-得到关于m 的不等式，由此求解即可 【详解】解：3131x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩①② 把①×3得：9333x y m +=-③，用③+①得：1042x m =-，解得25m x -=，把25mx-=代入①得6315my m-+=-，解得125my--=，∵175x y+>-，∴21217555m m---+>-，即131755m->-，解得6m<，∵m为整数，∴m的最大值为5，故选B．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式和求不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．2、D【分析】观察直线位于x轴及x轴上方的图象所对应的自变量的值即可完成解答．【详解】由图象知：不等式的解集为x≤3故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解答本题的关键．3、B【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，∴不等式2x＜kx+b≤0的解集是-2≤x＜-1，故选：B．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4、A【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】x-≥，解：根据题意，得20x≥，∴2故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义条件、一元一次不等式解法；解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．5、C【分析】根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．【详解】解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；①③正确，共有2个.故选：C.【点睛】本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟练掌握相关的概念是解题的关键.6、C【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的性质即可判断C．【详解】解：A、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；B、若a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；C、∵a＞b，∴2a+1＞2b+1，符合题意；D、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7、A【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案．【详解】解：不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得x ＞﹣13．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．8、A【分析】根据图像的意义当x =-3时，kx +b =2，根据一次函数的性质求解即可．【详解】解：∵当x =-3时，kx +b =2，且y 随x 的增大而减小，∴不等式2kx b +<的解集3x >-，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数图像的性质，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．9、D【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可求解．【详解】解：123x x >-⎧⎨+≤⎩①②， 解不等式②，得：1x ≤ ，所以不等式组的解集为11x -<≤把不等式组的解集在数轴上表示出来为：故选：D【点睛】本题主要考查了解一元一次不等组，熟练掌握解一元一次不等组的步骤是解题的关键．10、A【分析】根据第一象限的横坐标为正、纵坐标为负，列出关于m 的不等式组解答即可．【详解】解：∵P （m ，1﹣2m ）在第一象限，∴0120m m ⎧⎨-⎩＞＞ ，解得：102m ＜＜ 故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系等知识点，根据点在平面直角坐标系的象限列出关于m 的一元一次不等式组成为解答本题的关键．二、填空题1、21x -<≤【分析】根据图像特点向左是小于，向右是大于，即可得答案．【详解】∵从-2出发向右画出的折线中表示-2的点是空心，∴x ＞-2，∵从1出发向左画出的折线中表示1的点是实心，∴x ≤1，∴不等式的解集是：−2<x ≤1故答案为：−2<x ≤1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，做题的关键是掌握空心和实心的区别．2、＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞【分析】本题主要是根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的方向不改变；（2）不等式的两边同时乘或除以一个大于零的数或式子，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以一个小于零的数或式子，不等号的方向改变．据此可以对不等号的方向进行判断．【详解】解：由数轴的定义得：a>0，b>0，c ＜0，a >b >c ，（1）不等式a >b 的两边同加上3，不改变不等号的方向，则3a +>3b +；（2）不等式a >b 的两边同减去b ，不改变不等号的方向，则a -b >b -b ，即a -b >0；（3）不等式a >b 的两边同乘以35，不改变不等号的方向，则35a >35b ； （4）不等式a >b 的两边同乘以-2，改变不等号的方向，则2a -<2b -；（5）不等式a >b 的两边同乘以-4，改变不等号的方向，则-4a <-4b ；不等式-4a <-4b 的两边同加上1，不改变不等号的方向，则14a -<14b -；（6）不等式a >b 的两边同乘以正数c ，不改变不等号的方向，则a c ⋅ > b c ⋅；（7）不等式a >b 的两边同减去c ，不改变不等号的方向，则a c ->b c -；（8）不等式a >b 的两边同乘以正数b ，不改变不等号的方向，则ab >2b ．【点睛】本题主要是考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的三个性质的应用是解本题的关键，同时不等式的性质（3）是类似题型中考查的重点及易错点．3、8【分析】设这个班要胜x 场，则负()28x -场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．【详解】解：设这个班要胜x 场，则负()28x -场，由题意得，()32843x x +-≥，解得：7.5x ≥，∵场次x 为正整数，∴8x ≥．答：这个班至少要胜8场．故答案为：8．【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应不等式求解是解题关键．4、m >-2【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵正比例函数()2y m x =+中，y 随x 的增大而增大，∴2m +＞0，解得-2m ＞．故答案为；-2m ＞．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．5、25a【分析】根据题意表示出a 的25即可．【详解】解：由题意可得：a 的25可表示为25a ．故填25-<a．【点睛】本题考查列一元一次不等式，掌握列一元一次不等式的基本方法成为解答本题的关键．三、解答题1、（1）x≥﹣1，数轴见解析；（2）733x-<≤，2【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而即可求解．【详解】解：（1）移项，得：3x﹣5x≤2，合并同类项，得：﹣2x≤2，系数化为1，得：x≥﹣1，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式2（x﹣2）≤3﹣x，得：x≤73，解不等式13123+->+x x，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤73，∴其最大整数解为2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式组，熟练掌握解不等式（组）的基本步骤是解题的关键．2、542x ≤＜图见解析【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】 解：()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩①②解不等式①得：4x ≤， 解不等式②得：52＞x ， ∴不等式组的解集为：542x ≤＜，数轴上表示解集为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键在于能够熟练掌握求不等式组的解集的方法．3、（1）甲旅行社费用20000元，乙旅行社费用18000元；（2）8人；（3）亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【分析】（1）由题意直接根据甲、乙旅行社的优惠办法列式进行计算即可；（2）根据题意设亲友团有x 人，进而依据甲、乙旅行社的费用相同建立方程求解即可；（3）由题意直接根据（2）的结论可知当亲友团人数满足什么条件时，甲、乙旅行社的收费更优惠.【详解】解：（1）甲旅行社费用=1400044000(64)200002⨯+⨯⨯-=元， 乙旅行社费用=0.754000618000⨯⨯=元；（2）设亲友团有x 人，甲旅行社费用=1400044000(4)200080002x x ⨯+⨯⨯-=+ 乙旅行社费用=0.7540003000x x ⨯=由20008000x +=3000x解得：x =8∴亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同（3）由（2）可知当亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同，则8x >，有200080003000x x +<，即亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠；则8x <，有200080003000x x +>，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【点睛】本题考查一元一次方程的运用以及一元一次不等式的运用，读懂题意并根据题意列出方程和不等式求解是解题的关键.4、22【分析】先求出不等式的解集，再根据x 是符合条件的正整数判断出x 的可能值，再由三角形的三边关系求出x 的值即可．解：原不等式可化为5（x+1）＜20-4（1-x），解得x＜11，∵x是它的正整数解，∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，∵x是正偶数，∴x=10．∴第三边的长为10，∴这个三角形的周长为10+10+2=22．【点睛】本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．5、（1）y=-2x+60；（2）公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【分析】（1）设销售A种品牌设备x台，B种品牌设备（20-x）台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润；（2）由“生产两种品牌设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案．【详解】解：（1）设销售A种型号设备x台，则销售B种型号设备（20-x）台，依题意得：y=（4-3）x+（8-5）×（20-x），即y=-2x+60；（2）3x+5×（20-x）≤80，解得x≥10．∴当x=10时，y最大=40万元．故公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．211a a a +=+B ．21111a a a -⋅=-+C ．1b a a b b a +=--D ．0.22100.7710++=--a b a b a b a b2．下列命题：①若22||11x x x x x ++⋅=++，则x 的值是1； ②若关于x 的方程1122mx x x -=--无解，则m 的值是1-； ③若(2019)(2018)2017x x --=，则22(2019)(2018)4034x x -+-=；④若111,,567ab bc ac a b b c c a ===+++，且0abc ≠，则abc ab bc ac ++的值是19． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m 元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n 元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）A ．李刚比王勇低()22m n mn-元/升B ．王勇比李刚低()22mn m n -元/升C ．王勇比李刚低()22m n mn -元/升D ．李刚与王勇的平均单价都是2m n +元/升 4．下列关于分式2x x+的各种说法中，错误的是（ ）． A ．当0x =时，分式无意义 B ．当2x >-时，分式的值为负数C ．当2x <-时，分式的值为正数D ．当2x =-时，分式的值为0 5．若整数a 使得关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩的解集为2x >，且关于x 的分式方程21111ax x x+=---的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．26．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6- 7．计算221(1)(1)x x x +++的结果是（ ） A ．1B ．1+1xC ．x +1D ．21(+1)x 8．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m = 9．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x = C ．1x ≠- D ．2x = 10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．若a ＝1，则2933a a a -++的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-12．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x-++÷-+的值的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N二、填空题13．若关于x 的分式方程3122++=--x m x x有增根，则m 的值是______． 14．如果30,m n --=那么代数式2⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭m n n n m n 的值为______________________． 15．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 16．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 17．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 18．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有m 米，则m =________．19．计算：262393x x x x -÷=+--______． 20．若()()023248x x ----有意义，则x 的取值范围是______．三、解答题21．（1）分解因式3228x xy -（2）解分式方程：23193x x x +=-- （3）先化简：2443111a a a a a -+⎡⎤÷-+⎢⎥++⎣⎦，然后a 在2-，1-，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值．22．（1）先化简，再求值：2222213214x x x x x x x x -⎛⎫÷-- ⎪+++-⎝⎭，其中12x =． （2）解方程：11322x x x--=--． 23．2016年12月29日，引江济淮工程正式开工．该工程供水范围涵盖安徽省12个市和河南省2个市，共55个区县．其中在我县一段工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，从投标书上得知：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）现将该工程分为两部分，甲队做完其中一部分工程用了m 天，乙队做完其中一部分工程用了n 天，m ，n 都是正整数，且甲队用时不到20天，乙队用时不到65天，甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．请用含m 的式子表示n ，并求出该工程款总共为多少万元？24．列分式方程解应用题：2020年玉林市倡导市民积极参与垃圾分类，某小区购进A 型和B 型两种分类垃圾桶，购买A 型垃圾桶花费了2500元，购买B 型垃圾桶花费了2000元，且购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B 型垃圾桶比购买一个A 型垃圾桶多花30元，求购买一个A 型垃圾桶、一个B 型垃圾桶各需多少元？25．先化简，再求值：221111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中2021x =． 26．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A 、B 两种型号的学习用品．已知B 型学习用品的单价比A 型学习用品的单价多10元，用180元购买B 型学习用品与用120元购买A 型学习用品的件数相同．（1）求A 、B 两种学习用品的单价各是多少元；（2）若购买A 、B 两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据分式的运算法则及分式的性质逐项进行计算即可．【详解】A ：211a a a a+=+，故不符合题意； B ：()()21111111111a a a a a a a a a a-+--⋅=⋅==-++，故不符合题意； C ：1b a b a a b b a a b a b+=-=-----，故不符合题意；D ：0.22100.7710++=--a b a b a b a b，故不符合题意； 故选：D ．【点睛】 本题考查分式的性质及运算，熟练掌握分式的性质及运算法则是解题的关键． 2．B解析：B【分析】根据等式的性质和分式有意义的条件判断①；根据分式方程无解的意义求出m 值，可判断②；运用完全平方公式判断③；根据分式的化简求值判断④．【详解】解：①若22||11x x x x x ++⋅=++， ∴||1x =，又∵x ≠-1，∴x 的值是1，故正确； ②1122mx x x -=--化简得：()13m x +=， ∵方程1122mx x x -=--无解， ∴m +1=0，或321x m ==+， 则m 的值是-1或12，故错误； ③若(2019)(2018)2017x x --=，则22(2019)(2018)x x -+-=[]2(2019)(2018)(2019)(2018)2x x x x +-----=2120172+⨯=4035，故错误； ④若111,,567ab bc ac a b b c c a ===+++，且0abc ≠， ∴1111115,6,7a b b c a c ab a b bc b c ac a c +++=+==+==+=， ∴ab bc ac abc++ =111a b c ++ =12222a b c ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭=11111112a b b c a c ⎛⎫⨯+++++ ⎪⎝⎭ =()15672⨯++ =9 ∴abc ab bc ac ++的值是19，故正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是灵活运用运算法则以及分式的性质．3．A解析：A【分析】先求解李刚两次加油每次加300元的平均单价为每升：2mn m n +元，再求解王勇每次加油30升的平均单价为每升：2m n +元，再利用作差法比较两个代数式的值，从而可得答案． 【详解】解：李刚两次加油每次加300元，则两次加油的平均单价为每升： ()6006002300300300mn m n m n m n mn==+++（元）， 王勇每次加油30升，则两次加油的平均单价为每升：3030602m n m n ++=（元）， ()()()224222m n m n mn mn m n m n m n ++∴-=-+++ ()()()222222m n m mn n m n m n --+==++ 由题意得：,m n ≠ ()()22m n m n -∴+＞0, ∴ 2m n +＞2mn m n +． 故A 符合题意，,,B C D 都不符合题意，故选：.A本题考查的是列代数式，分式的加减运算，代数式的值的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】当0x =时，分式无意义，选项A 正确；当2x >-时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误；当2x <-时，20x +<，分式的值为正数，选项C 正确；当2x =-时，20x +=，分式的值为0，选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解． 5．D解析：D【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集为2x >，得出a 的范围，根据分式方程的解为整数即得到a 的值，结合a 的范围即可求得符合条件的所有整数a 的和．【详解】解：关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩①② 解不等式①得，x a >；解不等式②得，2x >；∵不等式组的解集为2x >，∴a≤2， 解方程21111ax x x+=---得：21x a =- ∵分式方程的解为整数，∴11a -=±或2±∴a=0、2、-1、3又x≠1， ∴211a≠-，∴a≠-1， ∴a≤2且a ≠-1，则a=0、2，∴符合条件的所有整数a 的和=0+2=2，【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为整数结合不等式组有解，找出a 的值是解题的关键．6．D解析：D【分析】 先根据方程3211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解求得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可．【详解】 解：3211m x x =--- 解得：52m x +=， ∵方程有非负实数解， ∴0x ≥即502m +≥， 得5m ≥-；∵不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解， ∴12x m -≤≤-，∴21m -≥-，得3m ≤，∴53m -≤≤，∵10x -≠，即502m +≠， ∴3m ≠-，∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，其和为：-6，故选：D ．【点睛】此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m 的取值范围是解题的关键． 7．B解析：B【分析】根据同分母分式加法法则计算．【详解】221(1)(1)x x x +++=211(1)1x x x +=++， 故选：B ．【点睛】此题考查同分母分式加法，熟记加法法则是解题的关键．8．B解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11m m -+=0 ∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．9．A解析：A【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案．【详解】∵分式2x x -有意义， ∴x-2≠0，解得：x≠2．故选：A ．【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．10．B解析：B【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x -=+的根为x=2，故②正确；方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x+=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ．【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．【详解】2933a a a -++=293a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2，故选：B ．【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 12．C解析：C【分析】先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．【详解】 解：2224411424x x x x x x-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=+++， 242x x -+=+， 22x x +=+， =1， 在数轴是对应的点是M ，故选：C ．【点睛】本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键．二、填空题13．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根确定出m 的值即可【详解】解：去分母得：3﹣x ﹣m ＝x ﹣2由分式方程有增根得到x ﹣2＝0即x ＝2把x ＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m ＝0解得：m ＝1解析：1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可【详解】解：去分母得：3﹣x ﹣m ＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m ＝0，解得：m ＝1，故答案：1．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．【分析】将原式进行分式的混合计算化简先算小括号里面的然后算乘法最后整体代入求值【详解】解：===∵∴故答案为：3【点睛】本题考查分式的混合运算掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键解析：3【分析】将原式进行分式的混合计算化简，先算小括号里面的，然后算乘法，最后整体代入求值．【详解】 解：2⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭m n n n m n =22m n n m n n ⎛⎫⋅ ⎪⎭-+⎝ =()()n n m nm n m n -⋅++ =m n -∵30m n --=，∴=3m n -故答案为：3．【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．15．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【详解】 解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷ =2()m n m m m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13故答案为：13 【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 16．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 17．4【分析】将x=2代入求解即可【详解】将x=2代入=1得解得k=4故答案为：4【点睛】此题考查分式方程的解解一元一次方程正确理解方程的解是解题的关键解析：4【分析】将x=2代入求解即可．【详解】将x=2代入31k x x x -+-=1，得112k -=， 解得k=4，故答案为：4．【点睛】此题考查分式方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解是解题的关键． 18．600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟则甲步行速度是x 米/分钟公交车的速度是2x 米/分钟根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟列方程即可得到乙的速度甲同学到达学校时乙解析：600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟，列方程即可得到乙的速度，甲同学到达学校时，乙同学离学校还有2x 米,即可得到结论；【详解】解：设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意得 600300060030002122x x x -+=- ， 解得：x=300米/分钟，经检验x=300是方程的根，则乙骑自行车的速度为300米/分钟．那么甲同学到达学校时，乙同学离学校还=2×300=600米．故答案为：600．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 19．1【分析】先将分母因式分解再将除法转化为乘法再根据法则计算即可【详解】故答案为：1【点睛】本题主要考查了分式的混合运算解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则解析：1【分析】先将分母因式分解，再将除法转化为乘法，再根据法则计算即可．【详解】262393x x x x -÷+-- 633(3)(3)2x x x x x -=+⋅++- 333x x x =+++ 33x x +=+ 1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．且【分析】根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x 的不等式组求出x 的取值范围即可【详解】解：∵（x-3）0-（4x-8）-2有意义∴解得x≠3且x≠2故答案为：x≠3且x≠2【点睛】本题考查解析：2x ≠，且3x ≠【分析】根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵（x-3）0-（4x-8）-2有意义，∴30480x x -≠⎧⎨-≠⎩， 解得x≠3且x≠2．故答案为：x≠3且x≠2．【点睛】本题考查的是负整数指数幂，熟知非0数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解答此题的关键．三、解答题21．（1）()()222x x y x y +-；（2）4x =-；（3）22a a --+，13【分析】（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式进行求解即可；（2）先去分母，然后进行整式方程的求解即可；（3）先算括号内的，然后再进行分式的运算即可，最后选择一个使最简公分母不为零的数代值求解即可．【详解】解：（1）3228x xy -=()2224x x y -=()()222x x y x y +-；（2）23193x x x +=-- 去分母得：()2339x x x ++=-，整理得：312x =-，解得：4x =-，经检验4x =-是方程的解；（3）2443111a a a a a -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭=()222411a a a a --÷++ =()()()221122a a a a a -+⨯++- =22a a --+， 把1a =代入得：原式=311212-=-+． 【点睛】 本题主要考查因式分解、分式方程及分式的运算，熟练掌握因式分解、分式方程及分式的运算是解题的关键．22．（1）2x x +，15；；（2）3x = 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把12x =代入计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：原式2222123214x x x x x x x x x +--=÷-+++- ()()()()()22112122x x x x x x x x -+=⋅-++-+ 2222x x x x x x =-=+++ 当12x =原式2x x =+15=； （2）解：去分母得：()1321x x --=-，移项合并得：-2x ＝-6，解得：3x =，经检验3x =是分式方程的解【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1）90天；（2）3902n m =-（50203m <<，m ，n 均为正整数），189万元． 【分析】 （1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意列出方程20112416060x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出x 的值并进行检验即可；（2）根据题意得出16090m n +=解得3902n m =-，继而得出20390652m m <⎧⎪⎨-<⎪⎩，解出m 的取值并分情况求解即可；【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天， 根据题意得：20112416060x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：90x =， 经检验，90x =是所列分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要90天．（2）解：由题意得16090m n +=整理，得3902n m =-， 20390652m m <⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：50203m <<， 因为m ，n 均为正整数，所以，当17m =时，64.5n =，不是整数（舍去）；当18m =时，63n =，符合题意；当19m =时，61.5n =，不是整数（舍去），工程款总数为3.518263189⨯+⨯=万元．【点睛】本题考查了分式方程的工程问题，正确理解题意和工作效率和工作时间之间的关系是解题的关键；24．一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元【分析】设一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A 型垃圾桶数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可．【详解】解：设购买一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需()30x +元 由题意得：25002000230x x =⨯+， 解得：50x =，经检验：50x =是原方程的解，且符合题意，则：3080x +=，答：购买一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元．【点睛】此题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键． 25．1x x-，20202021 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】 解：221111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭ 211(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ 2(1)(1)1x x x x x +-=⋅+ 1x x-=， 当2021x =时， 原式202112021-=20202021=． 【点睛】 此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．26．（1）A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元；（2）最多购买B 型学习用品800件．【分析】（1）设A 型学习用品单价x 元，利用“用180元购买B 型学习用品的件数与用120元购买A 型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；（2）设可以购买B 型学习用品y 件，则A 型学习用品（1000−y ）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设A 型学习用品的单价为x 元，则B 型学习用品的单价为（x ＋10）元，由题意得：18012010x x=+， 解得：x ＝20，经检验x ＝20是原分式方程的根，且符合实际，则x ＋10＝30．答：A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元；（2）设购买B 型学习用品y 件，则购买A 型学习用品（1000−y ）件，由题意得：20（1000−y ）＋30y≤28000，解得：y≤800．答：最多购买B 型学习用品800件．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，找到数量关系，列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键．。
北师大版八年级下册数学 5.2求最简公分母专项练习 (含答案)
最简公分母一、选择题1、分式，，的最简公分母是（）A．（m+n）2（m-n）B．（m+n）3（m-n）C．（m+n）（m-n）D．（m2-n2）22、分式，，的最简公分母是（）A．（a2-1）2B．（a2-1）（a2+1）C．a2+1D．（a-1）43、分式，，的最简公分母是（）A．40a2b2c2B．20abc C．20a2b2c2D．40abc 4、分式，，的最简公分母是（）A．5abx B．15abx5C．15abx D．15abx3 5、分式，，的最简公分母是（）A．72xyz2B．108xyz C．72xyz D．96xyz2 6、下列不属于分式与的公分母的是（）A．（2x2-18）（4x+12）B．16（x-3）（x+3）C．4（x-3）（x+3）D．2（x+3）（x-3）7、分式与的最简公分母是（）A．6y B．3y2C．6y2D．6y38、分式，，的最简公分母为（）A．6xy2B．6x2y C．36x2y2D．6x2y29、分式的最简公分母是（）A．（a2-b2）（a+b）（a-b）B．（a2-b2）（a+b）C．（a2-b2）（b-a）D．a2-b210、分式，，的最简公分母是（）A．（a+b）（a-1）B．（a-1）2（a+1）C．（a-1）2（a2-1）D．（a+1）（a-1）+211、下列各题中，所求最简公分母正确的是（）A．与的最简公分母为6x2B．与的最简公分母为3ab2cC．与的最简公分母为ab（x-y）（y-x）D．与的最简公分母为ab（m2-n2）12、分式，，的公分母是（）A．36a3b4c3B．3a3b4c3C．36a6b8c6D．3a6b8c6二、填空题13、分式、和的最简公分母是__________．14、分式、、的最简公分母是 __________ ．15、分式、-、的最简公分母是 __________ ．16、分式，，的最简公分母是__________．17、的最简公分母是__________．18、分式，，的最简公分母为__________．19、给出下列3个分式：，，，它们的最简公分母为 __________ ．20、分式，，的最简公分母为__________．21、分式，，a-b+的最简公分母是__________．22、分式，的最简公分母是__________．23、分式，的最简公分母是__________．24、把分式与通分，其最简公分母为__________．25、分式和的最简公分母是__________．26、直接写出下列各组分式的最简公分母：（1），，；（2），；（3）；（4）．27、分式与的最简公分母是__________．28、分式，，的最简公分母为__________．29、分式、的最简公分母是__________．30、将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________．31、分式，，的最简公分母是__________．32、分式与的最简公分母是__________．三、解答题33、分式和的最简公分母是__________．34、通分（1）与；（2）与．35、分式，，的最简公分母是__________．36、分式的最简公分母是__________，通分时，这三个分式的分子分母依次乘以__________，__________，__________．最简公分母的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；即可得出答案．试题解析：分式，，的最简公分母是（m+n）2（m-n）；故选A．2、答案：A试题分析：利用最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母或整式的最高次幂，所有不同字母或整式都写在积里求解即可．试题解析：=，，=，所以分式，，的最简公分母是（a-1）2（a+1）2．即（a2-1）2故选：A．3、答案：C试题分析：按照求最简公分母的方法计算即可．试题解析：∵5、4、2的最小公倍数为20，a的最高次幂为2，b的最高次幂为2，c的最高次幂为2，∴最简公分母为20a2b2c2．故选C．4、答案：D试题分析：先回顾一下如何找最简公分母（系数找最小公倍数，相同字母找最高次幂），根据以上方法找出即可．试题解析：分式，，的最简公分母是15abx3，故选D．5、答案：A试题分析：按照求最简公分母的方法求解即可．试题解析：∵12、9、8的最小公倍数为72，x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，∴最简公分母为72xyz2．故选A．6、答案：D试题分析：先把各个分母分解因式，再找出最简公分母，即可得出选项．试题解析：∵==，∴最简公分母是4（x+3）（x-3），A、（2x2-18）（4x+12）=2（x+3）×4（x-3）（x+3），故本选项错误；B、16（x+3）（x-3）=4×4（x-3）（x+3），故本选项错误；C、4（x+3）（x-3）=4（x+3）（x-3），故本选项错误；D、2（x+3）（x-3）不是公分母，故本选项正确；故选D．7、答案：C试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：分式与的分母分别是3y、2y2，故最简公分母是6y2；故选C．8、答案：D试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：，，分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母是6x2y2；故选：D．9、答案：D试题分析：要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．试题解析：分母是a+b，分母分解后是（a+b）（a-b），分母可变形为-（a-b），所以最简公分母是的分母，即a2-b2．故选D．10、答案：B试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：分式，，的分母分别是a+1、a2-2a+1=（a-1）2、a-1，故最简公分母是（a-1）2（a+1）．故选B．11、答案：A试题分析：各分式的最简公分母，系数应是各系数的最小公倍数，含字母的应是字母的最高次数．试题解析：A、两分母分别是3x和6x2，故最简公分母是6x2；B、两分母分别是3a2b3和3a2b3c，故最简公分母是3a2b3c，而不是3ab2c；C、两分母分别是a（x-y）和b（y-x），故最简公分母是ab（x-y），而不是ab（x-y）（y-x）；D、两分母分别是m+n和m-n，故最简公分母是m2-n2，而不是ab（m2-n2）．故选A．12、答案：A试题分析：公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．试题解析：因为6、9、12的最小公倍数是36，ab2c、a3bc2、a2b4c3最小公分母是a3b4c3，所以分式的公分母是36a3b4c3，故选A．二、填空题13、答案：x（m-n）试题分析：把各个分母分解因式，找出各个因式的最高次幂，乘积就是分母的最简公分母。
北师大版八年级下册数学计算题
北师大版八年级下册数学计算题1.引言1.1 介绍北师大版八年级下册数学教材的重要性和普遍性北师大版八年级下册数学教材是目前广泛应用于初中数学教育的教材之一。
它以丰富的教学内容、清晰的逻辑结构和贴近学生生活的实际问题而闻名。
这本教材注重培养学生对数学的兴趣和思维能力，引导学生主动探索数学知识，激发学生学习数学的积极性和创造性。
北师大版八年级下册数学教材还注重培养学生的数学实践能力和解决问题的能力，为学生的数学学科综合素质提供了全面的培养。
与此北师大版八年级下册数学教材的普及范围也非常广泛，被广大中学生进行广泛的学习。
这意味着，学生通过学习这本教材，不仅可以获得丰富的数学知识，提高数学素养，还可以在高考和学业发展中取得更好的成绩。
北师大版八年级下册数学教材的重要性和普遍性不言而喻。
在这样的背景下，本文将详细介绍北师大版八年级下册数学教材中的重要内容，旨在帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学学习的效果。
接下来，我们将分别从整数的认识和应用、有理数的认识和应用、代数式与抽象代数式等方面逐一介绍，希望可以为学生的数学学习提供一些帮助和启发。
1.2 强调数学知识对学生学习和未来发展的重要性在未来的发展中，无论是在学术研究、工程技术还是管理决策等领域，都需要运用数学知识来进行分析和研究。
掌握数学知识不仅可以为学生的学业发展打下坚实的基础，也是未来职业发展的必备素养。
而北师大版八年级下册的数学教材，旨在帮助学生建立起扎实的数学基础，理解和掌握数学知识。
通过深入学习数学教材，学生可以逐步掌握整数、有理数等基本概念，并学会运用代数式进行抽象思维，为将来更深入的数学学习打下基础。
本文旨在深入分析北师大版八年级下册数学教材中的相关内容，强调数学对学生学习和未来发展的重要性，并鼓励学生多做练习，加深对数学知识的理解和掌握。
1.3 提出文章的目的和结构本文旨在探讨北师大版八年级下册数学教材的重要性及普遍性，强调数学知识对学生学习和未来发展的重要性。
第4章 因式分解 北师大版数学八年级下册计算题专项练习(含答案)
2023年北师大版数学八年级下册《因式分解计算题》专项练习一、选择题1.若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( )A.－2B.2C.－50D.502.因式分解x2－9y2的正确结果是( )A.(x+9y)(x－9y)B.(x+3y)(x－3y)C.(x－3y)2D.(x－9y)23.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.－21B.21C.-10D.104.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y25.把多项式2x2-8x+8因式分解，结果正确的是( )A.(2x-4)2B.2(x-4)2C.2(x-2)2D.2(x+2)26.计算：101×1022﹣101×982=( )A.404B.808C.40400D.808007.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x﹣3)则a，b的值分别是（）A.a=2，b=3B.a=﹣2，b=﹣3C.a=﹣2，b=3D.a=2，b=﹣38.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.729.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能是正数，也可能是负数D.可能为010.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为( )A.2028B.2027C.2026D.202511.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B.2x﹣19C.2x+15D.2x﹣1512. (－8)2 020＋(－8)2 019能被下列数整除的是( )A.3B.5C.7D.9二、填空题13.把多项式(x﹣2)2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是 解：原式=(x﹣2)2﹣(4x﹣8)…A=(x﹣2)2﹣4(x﹣2)…B=(x﹣2)(x﹣2+4)…C=(x﹣2)(x+2)…D.14.若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是.15.已知a2＋b2=13，ab=6，则a4-2a2b2＋b4= .16.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.17.已知x=1,y=-2是方程mx+ny=4的解，则m2﹣4mn+4n2的值为.18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可).三、解答题19.因式分解：3x2﹣12xy+12y2；20.因式分解：4a2﹣3b(4a﹣3b)；21.因式分解：2x3(a-1)+8x(1-a).22.因式分解：－4x3y+16x2y2－16xy3.23.已知x2+3x-1=0，先化简，再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x2-1).24.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.25.已知一个长方形的周长为20,其长为a,宽为b,且a,b满足a2﹣2ab＋b2﹣4a＋4b＋4=0,求a,b的值.26.两位数相乘：19×11=209,18×12=216,25×25=625,34×36=1 224，47×43=2 021，…(1)认真观察，分析上述各式中两因数的个位数字、十位数字分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来；(2)验证你得到的规律.27.阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．答案1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.A9.B10.B11.A12.C13.答案为：C.14.答案为：15.15.答案为：2516.答案为：2m＋317.答案为：1618.答案为：273024或27243019.解：原式=3(x2﹣4xy+4y2)=3(x﹣2y)2；20.解：原式=4a2﹣12ab+9b2=(2a﹣3b)2.21.解：原式=2x(a-1)(x-2)(x+2).22.解：原式=－4xy(x－2y)2.23.解：原式=6.24.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x－z)=16.25.解∵长方形的周长为20,其长为a,宽为b,∴a+b=20÷2=10.∵a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,∴(a-b)2-4(a-b)+4=0.∴(a-b-2)2=0.∴a-b-2=0,由此得方程组a+b=10，a-b-2=0，解得a=6,b=4.26.解：(1)上述等式的规律是：两因数的十位数字相等，个位数字相加等于10，而积后两位是两因数个位数字相乘、前两位是十位数字相乘，乘积再加上这个十位数字之和；如果用m表示十位数字，n表示个位数字的话，则第一个因数为10m＋n，第二个因数为10m＋(10－n)，积为100m(m＋1)＋n(10－n)；表示出来为：(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)；(2)∵左边=(10m＋n)(10m－n＋10)=(10m＋n)[10(m＋1)－n]=100m(m＋1)－10mn＋10n(m＋1)－n2=100m(m＋1)－10mn＋10mn＋10n－n2=100m(m＋1)＋n(10－n)=右边，∴(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)，成立.27.解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．。
难点详解北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程专项测评试题(含详细解析)
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列变形正确的是（ ）A ．33y y x x +=+B ．y y x x -=-C ．22y y x x =D ．y x x y= 2、关于x 的分式方程231x m x -=+的解是正数，则字母m 的取值范围是（ ） A ．3m <-B ．3m <C ．3m >且2m ≠D ．3m >-且2m ≠ 3、分式12x x --有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．2x ≠ C ．2x = D ．2x >4、x 满足什么条件时分式211x x --有意义（ ）． A ．1x ≠ B ．1x ≠- C ．0x ≠ D ．1x ≠±5、下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．2362x x x =B ．11n n m mC ．n m n m m n mn --=D ．22n n m m= 6、把0.0813写成科学记数法的形式，正确的是（ ）A ．28.1310-⨯B ．38.1310-⨯C ．28.1310⨯D ．381.310-⨯7、如果把223xy x y-中的x 和y 都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A ．扩大到原来的5倍 B ．不变 C ．缩小为原来的15 D ．无法确定8、若把x 、y 的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．11x y ++B ．2x y x y -+C ．2x yD ．xy x y+ 9、PM 2.5是大气中直径小于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯ 10、若a b ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a a b b +=+B ．22a a b b -=-C ．0.20.2a a b b =D ．22a a b b= 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若2x =5y ，则x y x+=_____． 2、开学在即，由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍，则第二次购买口罩的单价是 __元．3、分式方程1213x x=+的解是______． 4、当x =______ 时，分式21(3)(1)x x x ---的值为零 5、若0ab ≠，且5a b ab +=，则11a b+的值为________． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚． 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．2、在《开学第一课》中，东京奥运会的奥运健儿们向新开学的同学们送上了“希望你们能像运动员一样，努力奔跑，刻苦学习，实现你们的梦想”的祝福．为了提高学生的体育锻炼的意识和能力，丰富学生的体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品． 在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲乙两种跳绳的单价各是多少元？3、解方程：（1）32133x x x +-=-+ （2）()()31112x x x x -=--+ 4、（1）21(1)(2)2⎛⎫--+- ⎪⎝⎭x x x ； （2）计算：211a a a ---； （3）先化简，再请你用喜爱的数代入求值2232122444x x x x x x x x x+-+⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭． 5、计算：2243342x x x x x x +---÷--．-参考答案-一、单选题1、B【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析判断即可.【详解】 解：3,3y y x x ++不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故A 不符合题意； y y x x-=-，变形符合分式的基本性质，故B 符合题意； 22,y y x x 不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故C 不符合题意； ,y x x y不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故D 不符合题意； 故选B【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握“利用分式的基本性质判断分式变形是否正确”是解本题的关键.2、A【分析】解分式方程，得到含字母m 的方程，解此方程，再根据该方程的解是整数，结合分式方程的分母不为零，得到两个关于字母m 的不等式，解之即可．【详解】 解：231x m x -=+ 方程两边同时乘以（x +1），得到233x m x -=+3x m ∴=--+10x ≠1x ∴≠-31m ∴--≠-2m ∴≠-因为分式方程的解是正数，x∴>30m∴-->3m∴<-故选：A．【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式等知识，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、B【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解．【详解】解：∵分式12xx--有意义，∴20x-≠2x∴≠故选B【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件即分母不为0是解题的关键．4、D【分析】直接利用分式有意义的条件解答即可．【详解】解：要使分式21 1x x --有意义，∴210x-≠，解得：1x≠±，故选：D【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件—分母不等于零，是解题的关键．5、A【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：A．2362x xx=，故本选项正确，符合题意；B．11nm mn++≠，故本选项错误，不符合题意；C．22n m n mm n mn--=，故本选项错误，不符合题意；D．22n nm m≠，例如1,2n m==，1124≠，故本选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．6、A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0813=28.1310-⨯．故选A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7、A【分析】把分式中的x与y分别用5x与5y代替，再化简即可判断．【详解】分式223xyx y-中的x与y分别用5x与5y代替后，得2(5)(5)50252(5)3(5)5(23)23x y xy xyx y x y x y⨯⨯==⨯⨯-⨯--，由此知，此时分式的值扩大到原来的5倍．故选：A【点睛】本题考查了分式的基本性质，一般地，本题中把x与y均扩大n倍，则分式的值也扩大n倍．8、B【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可得．【详解】解：A、211211x xy y++≠++，此项不符题意；B、222222x y x yx y x y⨯--=++，此项符合题意；C 、222(2)4222x x x y y y==，此项不符题意； D 、22222x y xy x y x y ⋅=++，此项不符题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．9、C【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯ ，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.5a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往右移动到2的后面，所以 6.n =-【详解】解：0.000002562.510-=⨯故选C【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．10、C【分析】找出分子分母的公因式进行约分，化为最简形式．【详解】解：a bA选项中，22ab++已是最简分式且不等于ab，所以错误，故不符合题意；B选项中，22ab--已是最简分式且不等于ab，所以错误，故不符合题意；C选项中，0.20.20.20.2a a ab b b=⨯=，所以正确，故符合题意；D选项中，22a a a ab b b b⨯=≠⨯，所以错误，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了分式的化简．解题的关键是找出分式中分子、分母的公因式进行约分．二、填空题1、7 5【分析】先用含y的代数式表示出x，然后代入x yx+计算．【详解】解：∵2x=5y，∴52x y =，∴x yx+=572552y y yyy+==75．故答案为：75．【点睛】本题考查了分式的化简求值，用含y的代数式表示出x是解答本题的关键．2、109【分析】设第二次购买口罩的单价是x 元，则第一次购买口罩的单价是1.5x 元，根据两次购买口罩的费用相同，两次购进口罩6000个，列出方程求解即可．【详解】解：8000÷2＝4000（元）．设第二次购买口罩的单价是x 元，则第一次购买口罩的单价是1.5x 元， 依题意得：40001.5x +4000x＝6000， 解得：x ＝109， 经检验，x ＝109是原方程的解，且符合题意． 故答案为：109． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程． 3、2x =【分析】按照解分式方程的方法解方程即可．【详解】 解：1213x x=+， 方程两边同乘3(1)x x +得，32(1)=+x x ，解整式方程得，2x =，当2x =时，3(1)0x x +≠，2x =是原方程的解，故答案为：2x =．【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用解分式方程的方法解方程，注意：分式方程要检验． 4、1-【分析】由分式的值为0的条件可得：()()210310x x x ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，再解方程与不等式即可得到答案. 【详解】解: 分式21(3)(1)x x x ---的值为零, ()()210310x x x ⎧-=⎪∴⎨--≠⎪⎩①② 由①得:1,x =±由②得:3x ≠且1,x ≠综上: 1.x =-故答案为: 1.-【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件,利用平方根解方程，掌握“分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0”是解本题的关键.5、5【分析】先通分，再整体代入求值即可得到结果．【详解】解：∵0ab ≠，且5a b ab +=， ∴1155a b ab a b ab ab++===． 故答案为：5．【点睛】解答本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积．三、解答题1、14元【分析】设苹果每千克的价格为x 元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x -元．根据“学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，”列出方程，即可求解．【详解】解：设苹果每千克的价格为x 元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x -元． 根据题意，得1500180050(140%)x x-=- 解得14x =经检验：14x =是原分式方程的解，且符合题意，∴苹果每千克的价格为14元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2、乙种跳绳的单价为42元，甲种跳绳的单价为32元【分析】设乙种跳绳的单价为x 元，则甲种跳绳的单价为(10)x -元，根据题意列出方程求解即可【详解】设乙种跳绳的单价为x 元，则甲种跳绳的单价为(10)x -元， 依据题意列出方程为：1600210010x x =-， 解得：42x =，经检验：42x =是所列方程的解，并且符合实际意义，∴1032x -=，答：乙种跳绳的单价为42元，则甲种跳绳的单价为32元．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，分式方程注意检验．3、（1）6x =-；（2）无解【分析】（1）分式方程两边乘以()()33x x +-，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）分式方程两边乘以()()21x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）32133x x x +-=-+， 解：()()()()232333x x x x +--=+-，2269269x x x x ++-+=-，424x =-，6x =-，检验：当6x =-时，()()330x x +-≠，所以，原方程的解是6x =-，（2）()()31112x x x x -=--+，解：()()()2213+-+-=x x x x ，22223x x x x +--+=，1x =，检验：当1x =时，()()210x x +-=，所以，1x =不是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．4、（1）94；（2）11a -；（3）42x x --，当x ＝1时，原式＝3． 【分析】（1）分别运用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开后，合并即可；（2）先通分，再计算加减即可；（3）先计算括号内的减法（通分后按同分母的分式相加减法则计算）同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则约分，最后代入求出即可．【详解】解：（1）21(1)(2)2⎛⎫--+- ⎪⎝⎭x x x=221(22)4x x x x x -+--+- =221224x x x x x -+-+-+ =94；（2）211a a a --- =2(1)(1)11a a a a a -+--- =22111a a a a ---- =11a -； （3）2232122444x x x x x x x x x +-+⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭ =2212(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-÷⎢⎥--+-⎣⎦=22(2)(2)(1)1(2)(2)(2)x x x x x x x x x x ⎡⎤+---÷⎢⎥---⎣⎦=24(2)(2)x x x x x -⋅-- =42x x --， ∵要使式子有意义，∴x 2−2x ≠0，x 2−4x ＋4≠0，x 3−4x ≠0，x ＋2≠0，∴x 不能是0、2、−2，当x ＝1时，原式＝1412--＝3．【点睛】本题考查了整式的乘法、分式的混合运算及化简求值等知识点，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．5、22x -+． 【分析】先把除化乘，再因式分解同时约分，通分合并化简为最简分式即可．【详解】 解：2243342x x x x x x+---÷--， =2243423x x x x x x +--⋅---， =()()()()()2242222x x x x x x x ++-+--+， =()()224222x x x x x +--+-， =()()()2222x x x --+-， =22x -+． 【点睛】本题考查分数加减乘除混合运算，掌握分式混合运算法则是解题关键．。
北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练试题(含答案及详细解析)
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a +c ＜bB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ac +1＜bc +1D ．a （c ﹣2）＜b （c ﹣2）2、不等式270x -<的最大整数解为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、一次函数y =（m -2）x +m 2-3的图象与y 轴交于点M （0，6），且y 的值随着x 的值的增大而减小，则m 的值为（ ）A ．6-B ．C ．3D ．3-4、已知关于x 的不等式组3x x a≤⎧⎨>⎩有解，则a 的取值不可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、若m ＜n ，则下列各式正确的是（ ）A ．﹣2m ＜﹣2nB ．33m n ＞C ．1﹣m ＞1﹣nD ．m 2＜n 26、对有理数a ，b 定义运算：a ✬b =ma +nb ，其中m ，n 是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n 的取值范围是（ ）A ．n >1-B ．n <1-C ．n >2D ．n <27、若m >n ，则下列不等式不成立的是（ ）A ．m +4>n +4B ．﹣4m <﹣4nC ．44m n >D ．m ﹣4<n ﹣48、如果a ＞b ，下列各式中正确的是（ ）A ．﹣2021a ＞﹣2021bB ．2021a ＜2021bC ．a ﹣2021＞b ﹣2021D ．2021﹣a ＞2021﹣b9、若整数a 使得关于x 的方程2(2)3x a -+=的解为非负数，且使得关于y 的一元一次不等式组322222010y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．23 B ．25 C ．27 D ．2810、若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．﹣2a ＜﹣2bB ．am ＜bmC ．a ﹣3＜b ﹣3D ．3a ＋1＜3b ＋1 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为_____(a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数_____的值大于0或小于0时，求_____的取值范围．2、从2-，1-，0，13，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a ，则使得关于x 的不等式组102321x a x ⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩只有三个整数解的概率是 __． 3、已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空．（1）2a ________a +b（2）2ac _______2b c（3）c -a _______c -b（4）-a |c |_______-b |c |4、大学城熙街新开了一家大型进口超市，开业第一天，超市分别推出三款纸巾：洁柔体验装、洁柔超值装、妮飘进口装进行促销活动，纸巾只能按包装整袋出售，每款纸巾的单价为整数，其中妮飘进口装的促销单价是其余两款纸巾促销单价和的4倍，同时妮飘进口装的促销单价大于40元且不超过60元，当天三款纸巾的销售数量之比为3:1:1第二天，超市对三款纸巾恢复原价，洁柔体验装比其促销价上涨50%，洁柔超值装的价格是其促销价的53，而妮飘进口装的价格在其第一天的基础上增加了14，第二天洁柔体验装与妮飘进口装的销量之比为4:3，洁柔超值装的销量比第一天的销量减少了20%．超市结算发现，第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，这两天妮飘进口装的总销售额为_______元．5、不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩，写出其整数解的和_____． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、若(m -2)23m x --2≥7是关于x 的一元一次不等式，求m 的值． 2、（1）解方程组：2523517x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）解不等式组()20 2131x x x +>⎧⎨+≥-⎩ 3、关于x 的方程6422x a x a +-=+的解大于1，求a 的取值范围．4、解不等式3x ﹣1≤x +3，并把解在数轴上表示出来．5、某学校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2、B【分析】求出不等式的解集，然后找出其中最大的整数即可．【详解】x-<，解：270x<，277x<，2则符合条件的最大整数为：3，故选：B．【点睛】本题题考查了求不等式的整数解，能够正确得出不等式的解集是解本题的关键．3、D【分析】由一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m=-3．【详解】解：∵一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），∴m2-3=6，即m2=9，解得：m=-3或m=3．又∵y的值随着x的值的增大而减小，∴m-2＜0，∴m＜2，∴m=-3．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出关于m的方程及一元一次不等式是解题的关键．4、D【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a 的取值范围，然后根据a 的取值范围解答即可．【详解】解：∵关于x 的不等式组3x x a ≤⎧⎨>⎩有解， ∴a <3，∴a 的取值可能是0、1或2，不可能是3．故选D ．【点睛】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．5、C【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A ：∵m ＜n ，∴﹣2m ＞﹣2n ，∴不符合题意；B ：∵m ＜n ， ∴33m n <， ∴不符合题意；C ：∵m ＜n ，∴﹣m ＞﹣n ，∴1﹣m ＞1﹣n ，∴符合题意；D ： m ＜n ，当10m n =-=，时，m 2＞n 2， ∴不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3条基本性质是解题关键．6、A【分析】先根据新运算的定义和3✬4=2将m 用n 表示出来，再代入5✬8>2可得一个关于n 的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：由题意得：342m n +=， 解得243n m -=， 由5✬8>2得：582m n +>， 将243n m -=代入582m n +>得：5(24)823n n -+>， 解得1n >-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．7、D【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A ．∵m >n ，∴m +4>n +4，故该选项正确，不符合题意；B ．∵m >n ，∴44m n -<-，故该选项正确，不符合题意；C ．∵m >n ， ∴44m n >，故该选项正确，不符合题意； D ．∵m >n ，∴44m n ->-，故该选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式的基本性质“1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解答本题的关键．8、C【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴−2021a ＜−2021b ，故A 错误；B、∵a＞b，∴2021a＞2021b，故B错误；C、∵a＞b，∴a﹣2021＞b﹣2021，故C正确；D、∵a＞b，∴2021﹣a＜2021﹣b，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查不等式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．9、B【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：32222210y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②，解不等式①得：2y>-，解不等式②得：y a≤∴不等式组的解集为：1yy a>-⎧⎨≤⎩，∵由不等式组至少有3个整数解，∴2a≥，即整数a＝2，3，4，5，…，∵()223x a -+=，∴243x a -+= 解得：72a x ， ∵方程()223x a -+=的解为非负数，∴702a -≥， ∴7a ≤∴得到符合条件的整数a 为3，4，5，6，7，之和为25．故选B ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10、A【分析】由题意直接依据不等式的基本性质对各个选项进行分析判断即可.【详解】解：A ．∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，故本选项符合题意；B ．a ＞b ，当m ＞0时，am ＞bm ，故本选项不符合题意；C ．∵a ＞b ，∴a ﹣3＞b ﹣3，故本选项不符合题意；D ．∵a ＞b ，∴33a b >， ∴1133ab +>+，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，注意掌握不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二、填空题1、ax +b >0或ax +b <0 y =ax +b 自变量【分析】根据一次函数图象与一元一次不等式的关系解答．【详解】解：任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b >0或ax +b <0 (a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y =ax +b 的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围． 故答案为：ax +b >0或ax +b <0；y =ax +b ；自变量．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b （k ≠0）的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b （k ≠0）在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2、13【分析】解关于x 的不等式组，由不等式组整数解的个数求出a 的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．【详解】解：解不等式组12321x ax⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩，得：12a＜x≤2，∵不等式组只有3个整数解，∴不等式组的整数解为2、1、0，则-1≤12a＜0，即-2≤a＜0∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有-2，-1，∴只有三个整数解的概率是21 = 63故答案为：13．【点睛】题主要考查的是解一元一次不等式组的解集和概率的知识，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力及概率公式的应用．3、＞＞＜＜【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（2）根据不等式的性质：不等式两边同时除以一个正数，不等号不变号，即可得；（3）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（4）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变号，即可得．【详解】解：（1）∵a b>，∴a a b a +>+，即：2a b a >+；（2）∵a b >，20c >， ∴22a b c c >； （3）∵a b >，∴a b -<-，∴c a c b -<-；（4）∵a b >，∴a b -<-，0c >， ∴a c b c -<-；故答案为：（1）>；（2）>；（3）<；（4）<．【点睛】题目主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质并综合运用是解题关键．4、14960【分析】设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，第二天，洁柔体验装的原价为： (150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为： 53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为： 1(1)4z +，销售量为 1c 包，根据第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，可得()()175767x y c c +-=，进而可得 1755913x y c c +=⎧⎨-=⎩,x y 为整数，即可求得x y +，根据第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，解得 5135482828c <<，由 121753c c ，都是整数，则 5135482828c <<能被 3和5整除的数即能被15整除，即可求得c ，则这两天妮飘进口装的总销售额为11(1)4zc z c ++，即 ()()965x y c +-，代入数值求解即可． 【详解】解：设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，()44060::3:1:1z x y z a b c ⎧=+⎪<≤⎨⎪=⎩1015x y ∴<+≤，33a b c ==， 则35a b c c c c c ++=++=第二天，洁柔体验装的原价为：(150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为：53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为：1(1)4z +，销售量为1c 包， 11:=4:3a c ，即1143a c = ()1120%b b =-4=5b 4=5c 则11111144743535a b c c c c c c ++=++=+ 第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3(344)75ax by cz c x y z c x y x y c x y ++=++=+++=+()111150%14x a z c ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 1151.54()4xa x y c =+⨯+1111.555xa xc yc =++111345523x c xc yc =⨯++ 1175xc yc =+()175x y c =+∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1(75)(75)c x y c x y +-+767=即()()175767x y c c +-=7671359=⨯1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩或 1751359x y c c +=⎧⎨-=⎩ 1015x y <+≤505575x y ∴<+≤7550x y ∴+>1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩ 5975x y -∴=,x y 为整数，解得29x y =⎧⎨=⎩或 72x y =⎧⎨=⎩洁柔体验装的原价为：(150%)x + 1.5x =是整数，则7x ≠，洁柔超值装的原价为：53y 是整数则2y ≠ ∴ 29x y =⎧⎨=⎩4()44z x y ∴=+=第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，∴()()11196120a b c a b c ≤++-++≤113c c -=1c c ∴>()()111a b c a b c ++-++=117421753553c c c c c ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭ ∴217633591(13)5315153c c c ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭2891153c =+ 即289196120153c <+< 解得5135482828c <<121753c c ，都是整数，则5135482828c <<能被3和5整除的数即能被15整除 ∴45c =11(1)4zc z c ++=()()11554444zc zc x y c x y c +=+++ ()()145x y c c =++()()4513x y c c =++-⎡⎤⎣⎦()()965x y c =+-44=⨯()94565⨯-14960=故答案为：14960【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式组求整数解，理清题中数据关系是解题的关键． 5、0【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解，最后相加即可．【详解】 解：3561162x x x x <+⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解不等式①，得3x >-；解不等式②，得2x ≤．∴不等式组的解集为32x -<≤，∴不等式组的整数解分别为-2、-1、0、1、2，∴不等式组的整数解的和为：210120--+++=．故答案为：0．【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组中每一个不等式的解集是解答本题的关键．三、解答题1、m =-2【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答.【详解】解∵不等式(m-2) 23mx- -2≥7是关于x的一元一次不等式，∴m2-3=1，m-2≠0，解得m=-2当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．2、（1）43xy=⎧⎨=⎩；（2）﹣2﹤x≤3．【分析】（1）方程运用加减消元法求解即可；（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可【详解】解：（1）2523 517x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①+②×5得：27x=23+17×5，解得：x=4，将x=4代入②中，得：20﹣y=17，解得：y=3，∴原方程组的解为43xy=⎧⎨=⎩．（2）202(1)31xx x+>⎧⎨+≥-⎩①②，解：解①得：x﹥﹣2，解②得：x≤3，∴不等式组的解集为：﹣2﹤x≤3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3、a＞0【分析】先解方程得出x＝44a+，根据方程的解大于1得出关于a的不等式，解之即可．【详解】解：解不等式6x＋a−4＝2x＋2a，得x＝44a+，根据题意，得：44a+＞1，解得a＞0．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4、x≤2；数轴表示见解析．【分析】按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．【详解】解：313x x -≤+，移项，得331x x -≤+，合并同类项，得24x ≤，系数化为1，得x ≤2，把解集在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法是解题的关键．5、当购买少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【分析】设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，根据题意可得甲乙两种购买方式得函数解析式，分三种情况讨论：当12y y >时；当12y y =时；当12y y <时；分别进行计算得出自变量的取值范围即可得出在什么情况下选择哪种方案更优惠．【详解】解：设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，则根据题意可得：()()1600016000125%45001500y x x =+⨯⨯=+－－（x 为正整数）；()2·6000120%4800y x x =⨯=－（x 为正整数）；当12y y >时，学校选择乙商场购买更优惠，即450015004800x x +>，解得5x <，即15x <<；当12y y =时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠，即450015004800x x +=，解得5x =；当12y y <时，学校选择甲商场购买更优惠，即450015004800x x +<，解得5x >．∴当购买数量少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买数量多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【点睛】题目主要考查一次函数应用中的方案选择，理解题意，列出相应函数解析式，求解不等式是解题关键．。
专题5.25 分式的化简与求值100题(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.25分式的化简与求值100题（巩固篇）（专项练习）1．计算：(1)22421x x x --+；(2)222228224x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--⎝⎭．2．先化简22211(1)11x x x x x x -+-÷-++-，然后从2-，1-，0，1选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．3．先化简，再求值：2222144121426a a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中34a =-．4．先化简，再求值：22111,211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭其中x 的值从22x -<<的整数解中选取．5．先化简，再求值：22226951222a ab b b a b a ab a b a ⎛⎫-+÷--- ⎪--⎝⎭，其中,a b 满足51a b a b +=⎧⎨-=⎩．6．先化简，再求值：22691(122a a a a a -+÷---，请从0、1、2、3中选一个适合的数作为a 的值代入求值．7．先化简，再求值：2169122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =．8．先化简，再求值：111a a a b b a b -⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，其中3a =，13b =．9．化简(1)2223m n m n m n --+-；(2)2344111a a a a a ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭10．求值：(1)已知3x y -=-，2xy =，求33222x y xy x y +-的值；(2)先化简532224a a a a -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，然后从2-，2，3-，3四个数中选取一个合适的数作为a 的值代入求值．11．化简：2241244a a a a a -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，并在2-，0，2中选择一个合适的a 值代入求值．12．已知分式：221221211a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭及一组数据﹣1，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入a 并求值．13．（1）计算：()211422x x x ⎛⎫+⋅- ⎪-+⎝⎭（2）先化简，再求值：()()()22a b a b a b a +-+-，其中2a =，3b =-．14．（1）化简：()()13122121x x x x x x +⎛⎫÷-+- +-+-⎝⎭（2）化简并求值：233211x x x +---其中13x =-15．王老师在黑板上写了一道题目，计算：22221244x y x y x y x xy y ---÷+++．爱民同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让爱民同学回去认真检查．请你仔细阅读爱民同学的计算过程，帮助爱民同学改正错误．(1)上述计算过程中，哪一步开始．．出现错误？______；（用序号表示）(2)从①到②是否正确？________；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是_______；(3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当()1012023π,22x y -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭时的值．16．先化简，再求值：22244244x x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中从2-，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．17．先化简，再求值：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 在一组未排序的数据7、9、6、a 、8、5中，已知这组数据的极差是6．18．化简求值221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭，其中x 是绝对值不大于2的整数．19．先化简，再求代数式53222m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭的值，其中m 为满足04m <<的整数．20．先化简，再求值．221211221x x x x x x +÷+-+-+，请从不等式组52030x x -≥⎧⎨+>⎩的整数解中选择一个你喜欢的求值．21．先化简，再求值：23211236x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中4x =．22．先化简，再求值：2222339x x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭，其中2x =．23．先化简，再求值：222122244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中2a +．24．化简：2233393969x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从3-，1，3中选一个合适的值代入求解．25．先化简，再求代数式2211333x x x x x -⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭的值，其中4x =-．26．已知实数x 满足510x x -+=，求441x x +的值．27．先化简244224x x x x x -⎛⎫-÷ ---⎝⎭，再从2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．28．先化简22221211x x x x x x x+÷-++++，然后选一个合适的x 值代入，求出代数式的值．29．化简：(1)2y x y x y y x -+--；(2)1211x x x -⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭．30．先化简，再求值：2395222x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中13x =．31．已知代数式22381631a a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭．(1)化简已知代数式；(2)若a 满足410a a--=，求已知代数式的值．32．先化简，再求值：2291()333x x x x x---+ 其中13x =．33．先化简，再求值：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中2m =．34．先化简，再求值：(1)先化简，再求值：22913321x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 满足2220250x x +-=．(2)先化简，再求值：24442244m m m m m m --⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭，在2，3，4中选一个合适的数作为m 的值代入求值．35．化简求值：2222m n n nm n m n m -++--，其中2m =，3n =．36．先化简，再求值：2222422x y x y x xy y x y--÷+++，其中1x =，2y =．37．先化简，再求值：(1)224()2122a a a a a ---+ ，其中1a =；(2)26435()111x x x x ++÷---，其中2x =．38．先化简，再求值：2123121a a a a a -⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭，其中3a =．39．先化简，再求值：2221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭，请你从22x -<<的整数解中选择—个你喜欢的x 的值代入并求值．40．先化简，再求值：2212111a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中1a =．41．先化简，后求值：22222212a a a a ab a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪--++-⎝⎭⎝⎭，其中1a =，2b =．42．先化简，再求值：2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中11(3)32x x -=-．43．先化简，再求值．(1)()()2211x x x x x --+-，其中12x =；(2)221112111x x x x x x x-+-÷⋅-+-+，其中12x =．44．先化简，再求值：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 是不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的整数解．45．化简求值，35222x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭，请选择一个你喜欢的数代入求值．46．（1）计算：()()31121xx x x -+-+-；（2）先化简，再求值：2111442a a a a -⎛⎫÷+ -+-⎝⎭，请从1，2，3中选一个合适的数作为a 的值，代入求值．47．（1）计算：2322y x x y ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）先化简：22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从1-，0，1，3中选择一个合适的数作为a 的值代入求值．48．已知230x x --=，求分式2112x x x +-+-的值．49．计算：(1)()()()2412525x x x +-+-(2)22222233a b a ba a ab a b a bb +-⎛⎫⋅-÷ ⎪-+-⎝⎭50．计算：(1)()()1201911|7|20195π-⎛⎫---⨯-+- ⎪⎝⎭；(2)2221211x x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭．51．先化简，再求值：222111x x x x x ++---，其中x 满足不等式组1030x x -≥⎧⎨-<⎩，且x 为整数．52．先化简，再求值：2344111a a a a a -+⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，请在－1、1、2三个数中选择一个合适的整数代入求值．53．先化简211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭；再从1-，0，1x 的值代入求值．54．先化简，再求值：22311244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2022x =．55．化简再求值：2221211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭．其中2x =-．56．先化简，再求值：22212211211m m m m m m m m ++-⎛⎫+÷- ⎪--+-⎝⎭，其中m 满足22m -≤≤，取一个整数即可．57．已知2470m m --=，求代数式2241(1)39m m m m m --++÷+-的值．58．先化简2234244111x x x x x x +++⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，然后在22x -≤≤的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．59．（1）按要求填空：小明计算22142x x x --+的过程如下：解：22142x x x --+()()21222x x x x =-+-+……第一步()()()()222222x x x x x x -=-+-+-……第二步()()2222x x x x --=+-……第三步()()222x x x -=+-……第四步12x =+①小明计算的第一步是___________（填“整式乘法”或“分解因式”）；②计算过程的第___________步出现错误；③直接写出正确的结果是___________．（2）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中2a =60．先化简，再求值：(1)()()()()22525424x x x x x +-+++-，其中x(2)21122a a a a a a a ⎛⎫+-+-÷++⎝⎭其中2a =．61．若0a >，12a M a +=+，23a N a +=+．(1)当5a =时，计算M 、N 的值；(2)猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．62．先化简，再求值：21(1)11aa a +÷--，其中3a =-．63．先化简2211211x xx x x --++++，然后从0，1，1-，2四个数中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．64．先化简：2444122x x x x -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭，然后从2，0，2-中选一个合适的数代入求值．65．先化简分式：211(1)1m m m---），然后在0，1，2中选一个你认为合适的x 的值，代入求值．66．先化简，后求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．67．先化简，再求值：2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭，并在32a -<<中选取一个使式子有意义的整数代入求值．68．先化简，再求代数式222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ -+--⎝⎭的值，其中0120232a -=+．69．先化简，再求值：2212124a a a a a a a--+÷-+-，其中3a =．70．先化简231122x x x -⎛⎫-+⎪++⎝⎭，再从1，0，2-中选一个使原式有意义的数代入并求值．71．计算：222222322a bb b a a ab b a b a b-+⎛⎫+÷ ⎪-+--⎝⎭72．计算：2244222xx x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭．73．（1）计算：)2112-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）化简：211(1211x x x ÷-+++74．计算(1)()()()2222-++-x y x y x y (2)22944333x x x x x x --+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭75．计算：212(1)11x xx x --÷++．76．化简求值：211(1)(11x x x -++-，其中12x -=．77．化简：23311x x x -+--．方方的解答如下：3(1)3(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+-+-原式=2(1)(1)(1)x x x -=+-=313(1)(1)x x x x +--+-21x =+方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．78．计算(1)2m n m nn m m n n m-++---(2)23651x x x x x+----79．计算：(1)111a a a +++(2)2211121a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭80．（1）计算：()235423a a a a ⎡⎤⋅+÷⎢⎥⎣⎦；（2）计算：2223m nm n m n --+-81．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题22511x x x +++-，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：甲同学：22511x x x +++-=25(1)(1)(1)(1)x x x x x +++-+-第一步=25(1)(1)x x x +++-第二步=7(1)(1)x x x ++-第三步乙同学：22511x x x +++-=2(1)5(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+-第一步=225x x -++第二步=33x +第三步老师发现这两位同学的解答过程都有错误．(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：22511x x x +++-82．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．22211(1)(1)12122(1)2(1)x x x x x x x x x x --+---=-+++++…第一步1112(1)x x x x --=-++…第二步2(1)12(1)2(1)x x x x --=-++…第三步2(1)(1)2(1)x x x ---=+…第四步2212(1)x x x ---=+…第五步322x x -=+…第六步任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是_________．A ．整式乘法B ．因式分解（2）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是_________．（3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：___________________．任务二：补充正确的解题过程，已知x 是满足x <x 的值代入求值；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议：______________．83．（1）已知1212x x ++-计算结果是(1)(2)mx x x +-，求常数m 的值；（2）已知32A B x x ++-计算结果是34(3)(2)x x x ++-，求常数A 、B 的值．84．先化简，再求值：224242442x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪+++⎝⎭，其中||2x ≤且x 为整数．85．先化简，再求值：22693339()x x x x x x x -+-+÷÷--，其中x 为不等式组40512(1)x x x +>⎧⎨+<-⎩的整数解．86．计算：(1)()()()2224a b a b a b +---(2)22221211x x x x x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+-⎝⎭87．计算：(1)()()()224x y x y x y --+-(2)22442242x x x x x x -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭88．计算：(1)()()()22021032412π5-+⨯---+-；(2)2244311-+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭x x x x x x ．89．先化简，再求值：222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足方程：2250a a --=．90．（1）先化简，再求值2799(1)x x x x x--+-÷，其中5x =-．（2）若114a b -=，求323a b a ab b-+-值．91．（1）计算：()202122022π32π-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求值：222569122x x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后选择一个你喜欢的数代入求值．92．先化简，再求值：2224393a a a a a a -+÷--+，其中a ，2，4为ABC 的三边长，且a 为整数．93．（1）先化简，再求值：24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中4x =．（2）已知113x y -=，求分式2322x xy y x xy y+---的值．94．先化简，再求值(1)222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭，其中a 是满足33a a -=-的最大整数．(2)2311144x x x x x -⎛⎫--⋅ ⎪--+⎝⎭，其中3x =-95．计算：(1)()2332y y xy x x-÷⋅．(2)先化简：312224a a a a +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭，再从12a -≤≤的整数中选取一个你喜欢的a 的值代入求值．96．计算：(1)21x y x y -+-．(2)21111m m m ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭．97．先化简，再求值：2144111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，从2-，1-，1中选择合适的a 的值代入求值．98．化简：2121442x x x x x +÷-⎛⎫ ⎝+++⎭+，再从1，0，1-，2-中选一个喜欢的数求值．99．先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．100．计算：(1)2221651565a a a a a a a a a --+⋅÷++++；(2)29(2)33666x x x x x x --+--+-．参考答案1．(1)22x x -(2)22x +【分析】（1）利用提公因式和平方差公式进行计算即可；（2）利用提公因式和平方差公式进行计算即可．解：（1）22421x x x--+()()()42111x x x x =-+-+()()()42111x x x x x --=+-()()2211x x x x +=+-22x x=-；（2）222228224x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--⎝⎭()()22222228224x x x x x x x +-⎡⎤+=-÷⎢---⎣⎦()()()2222222244x x x x x x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭-+-+()()()22222244x x x x x +-⋅-+=+22x +=．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练运用分式运算法则和平方差公式是解题的关键．2．1x-；当2x =-时，原式12=【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取2x =-代入求解即可．解：原式2(1)1[(1)](1)(1)1x x x x x x --=÷--+-+2(1)1[(1)](1)(1)1x x x x x x --=÷--+-+11(1)(1)11x x x x x x ----+=÷++211111x x x x x -+=⋅+--+211111x x x x x -+=⋅+--+1(1)x x x -=--1x=-，当=1x -，0，1时，原式没有意义；当2x =-时，原式12=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．3．321a a +，92【分析】根据分式混合运算，先化简，再将34a =-代入化简后的代数式求值即可得到答案．解：2222144121426a a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()222121212216a a a a a a ⎡⎤+=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()22241622122121a a a a a a a ⎡⎤=-⨯⎢⎥--+⎣⎦()()22241622121a a a a a -=⨯-+22(21)(21)62(21)(21)a a a a a a +-=⨯-+321a a =+，当34a =-时，原式339432214⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则化简是解决问题的关键．4．1x x--，当1x =时，原式0=．【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件结合不等式组选取合适的值代值计算即可．解：22111211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭()()()2111111x x x x x +-=--÷++()()()21111x x x x x +--=÷++()()()21111x x x x x +-+=-+1x x -=-∵22x -<<的整数解为1-，0，1，其中只有1能使得原分式有意义，∴当1x =时，原式0=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键．5．23a b-+，29-【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a ，b 的值代入计算即可．解：原式()()()()223512222a b b a a b a b a ab a b -+--=÷---()()()()2321233a b a b a a b b a b a a--=⋅--+-()313a b a b a a -=--+23a b=-+，∵51a b a b +=⎧⎨-=⎩，∴32a b =⎧⎨=⎩，∴原式22233329a b =-=-=-++⨯．【点拨】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．6．3a a-，2-【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a 的值，代入计算即可．解：原式2(3)21()(2)22a a a a a a --=÷----2(3)2·(2)3a a a a a --=--3a a-=，∵0a ≠，20a -≠，30a -≠，∴0a ≠、2、3，当1a =时，原式1321-==-．【点拨】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．7．11;32x -【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2169122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()2321233x x x x x --⨯=---，当5x =时，1113532x ==--．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．8．a b，9【分析】先通分计算括号里的，再算乘除，最后算加减并化到最简，将字母值代入即可得到答案；解：原式111a a b a a a a b ab b b b--+-=⨯+==-当3a =，13b =时，原式3913==．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是在化简时要化到最简及注意符号选取．9．(1)1m n -；(2)22a a -+．【分析】（1）根据异分母分式的减法化简即可；（2）根据分式的加减乘除混合运算化简即可．（1）解：()()222323m n m n m n m n m n m n m n ---=-+-++-()()()()()()23223m n m n m n m nm n m n m n m n -----+==+-+-()()1m n m n m n m n +==+--；（2）解：()()()22311344111112a a a a a a a a a a --++++⎛⎫-+÷=⋅ ⎪+++⎝⎭+()()()222222a a a a a +--==++．【点拨】本题考查分式的加减乘除混合运算，掌握分式的加减乘除混合运算法则正确化简是解题的关键．10．(1)18(2)26a +，当2a =时，原式10=；当3a =-时，原式0=【分析】（1）先进行因式分解，再代值计算即可；（2）先运算分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．（1）解：∵3x y -=-，2xy =，∴()233222x y xy x y xy x y =+--()223=⨯-18=；（2）解：原式()2224523a a a a +--=⋅+-()2293a a -=-26a =+；∵20,30a a +≠-≠，∴2,3a a ≠-≠，当2a =时，原式10=；当3a =-时，原式0=．【点拨】本题考查因式分解，分式的化简求值．熟练掌握因式分解的方法，以及分式的运算法则，是解题的关键．11．22a+，1【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．解：原式22a a a-+=-•()()2(2)2222a a a a -=-+-•()()2(2)22a a a --+22a =+，当2a =-或2时，原式没有意义；当0a =时，原式220==+1．【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．21a a+，当1a =时，原式12=【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定a 的值，最后代值计算即可．解：221221211a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭()()21211211a a a a a a a ⎡⎤--=-⋅⎢⎥+-+⎢+⎥⎣⎦()()22221221111a a a a a a a a a ⎡⎤--=-⋅⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦()2212111a a a a a -=+⋅-+21a a=+，∵分式要有意义，∴()10210a a a ⎧+≠⎨-≠⎩，∴0a ≠且1a ≠-且12a ≠，∴当1a =时，原式2111112a a ===++．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．13．（1）2x ；（2）22ab b -，24-【分析】（1）先算括号里面，再算乘法即可；（2）先展开各项，再合并同类项，最后代入求值即可．解：（1）()211422x x x ⎛⎫+⋅- ⎪-+⎝⎭()()()()()()22222222x x x x x x x x ⎛⎫+-=+⋅-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭()()()()22222x x x x x =⋅-+-+2x =；（2）()()()22a b a b a b a +-+-222222a ab ab b ab a =+--+-22ab b =-当2a =，3b =-时，原式()()222232324ab b =-=⨯--⨯-=-．【点拨】本题考查了分式的化简，整式的化简求值，熟记相关运算法则及运算顺序是解题的关键．14．（1）21x x -；（2）11x -，34-【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先约分，然后根据同分母分式减法化简，最后代值计算即可．解：（1）()()13122121x x x x x x +⎛⎫÷-+- ⎪+-+-⎝⎭()()2143121221x x x x x x x⎛⎫+-=÷+- ⎪+-++-⎝⎭()()214312121x x x x x x +-+=÷-+-+-()()21112121x x x x x x+-=÷-+-+-()()()()11112121x x x x x x x +-+=÷-+-+-()()()()12121111x x x x x x x ++=⋅-+-+--()21111x x =+--2111x x +-=-21x x =-；（2）233211x x x +---()()()312111x x x x +=-+--3211x x =---11x =-，当13x =-时，原式131413==---．【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键．15．(1)①(2)否；错用去括号法则(3)25-【分析】（1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误；（2）去括号时，出现错误；（3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x 的值，将,x y 的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可．（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，爱民同学第①步先算的减法，∴从第①步开始出现错误；故答案为：①；（2）解：在去括号时，括号前面是“-”号，括号里面的每一项都要变号，爱民同学括号里的第二项没有变号，出现错误，∴从①到②不正确，错用去括号法则；故答案为：否，错用去括号法则；（3）解：原式()()()2212x y x y x y x y x y +-=-++-21x y x y +=-+2x y x y x y x y++=-++2x y x yx y+--=+y x y=-+；∵()1012023π213,22x y -⎛⎫=+-=+== ⎪⎝⎭，∴原式22325-==-+．【点拨】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．16．244x x+，54【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．解：原式22244244x x x x x x --⎛⎫=+⨯ ⎪+-⎝⎭()()22244244422x x x x x x xx x --=⨯+⨯+-+-()2142x x -=+244444x x x x x-+=+244x x+=2x ≠± ，0，∴当1x =时，原式21441+=⨯54=．【点拨】本题考查分式化简求值，解题的关键是明确分式加法和除法的运算法则，注意：分式取值一定要使分式有意义．17．1a --，当11a =时，原式12=-；当3a =时，原式4=-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a 的值，最后代值计算即可．解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭()()2211341121a a a a a a a -+⎡⎤-=-÷⎢⎥++++⎣⎦()()()()22223111a a a a a --=÷+-++()()()2214122a a a a a +-=⋅++-()()()()()2222211a a a a a a +=⋅++--+1a =--；当数据7、9、6、a 、8、5中a 为最大值时，则56a -=，即11a =，当11a =时，原式11112=--=-；当数据7、9、6、a 、8、5中a 为最小值时，则96a -=，即3a =，当3a =时，原式314=--=-．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键．18．21x x +；16【分析】先将分式的分子分母因式分解来化简，然后x 取值要避免取到使得分式分母为0的整数．解：221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭(1)(1)(2)(2)31(2)221x x x x x x x x x -+-+⎡⎤=÷+-⎢⎥++++⎣⎦2(1)(1)(4)31(2)21x x x x x x x ⎡⎤-+-+=÷-⎢+++⎣⎦(1)(1)(1)(1)1(2)21x x x x x x x x -+-+⎡⎤=÷-⎢⎥+++⎣⎦111x x =-+1(1)(1)x x x x x x +=-++1(1)x x =+21x x=+∵x 是绝对值不大于2的整数，∴0x =或1±或±2∵221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭中，0x ≠且1x ≠±且2x ≠-，∴2x =∴原式22111226x x ===++．【点拨】此题考查分式的化简求值，解题关键是将分式因式分解化简，取值时需令值使得分母不为0．19．3m +，4【分析】先把除法变成乘法，再计算括号内的，最后约分化简即可，根据分式有意义的条件结合m 的取值范围确定出m 的值．解：原式(2)(2)5223m m m m m +---=⨯--(3)(3)223m m m m m +--=⨯--3m =+∵53222m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭有意义，∴2m ≠，3m ≠．又∵m 为满足04m <<的整数，∴1m =∴原式134=+=．【点拨】本题考查分式的化简求值，分式的相关运算，以及分式有意义的条件，能够熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．20．212x x +；x 取1-时，值为1-，x 取2时，值为18．【分析】先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后算除法，再算加法，即可化简．分别解不等式确定不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件选取合适的x 的值代入求值即可．解：原式21(1)11(2)2x x x x x -=⋅+-++11(2)2x x x x -=+++1(2)x xx x -+=+212x x=+，52030x x -≥⎧⎨+>⎩①②，解不等式①，可得52x ≤，解不等式②，可得3x >-，∴不等式组的解集为532x -<≤，∴不等式组的整数解为2-、1-、0、1、2，又∵2()0x x +≠，10x -≠，∴0x ≠且1x ≠且2x ≠-，∴x 可取1-或2．当x 取1-时，原式211(1)2(1)==--+⨯-，当x 取2时，原式2812212==+⨯．【点拨】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．21．31x -，1【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：23211236x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭()()22322132x x x x x +⎛⎫=-÷ ⎪++⎝-+⎭()()2222133x x x x +-=⋅+-+()()231221x x x x -=⋅++-31x =-，当4x =时，原式3141==-．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．22．3x x+，52【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：2222339x x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭()()()33322x x x x x x +++÷--=()()()33223x x x x x x +-=⋅-++3x x+=，当2x =时，原式23522+==．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．23．12a -，2【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把2a代入化简后的代数式进行计算即可．解：222122244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()()()()2222222a a a a a a a -++-=-+-12a =-，∵2a =，∴原式=【点拨】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键．24．33x +，当1x =时，原式34=【分析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后从3-，1，3中选择一个使原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．解：原式()()()()()()()23333333333x x x x x x x x ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-+-⎢⎥⎣⎦()()()39333x x x -=⋅-+33x =+，当3x =±时，原分式无意义，∴1x =，∴原式33134==+．【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．()()322x x -+，3【分析】先算括号内的加法，再把除化为乘，分子分母分解因式约分，化简后将4x =-代入即可得到答案．解：2211333x x x x x -⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭()()()333323x x x x x x x -++=÷-+--()()()33322x x x x x x +-=⋅--()()223x x =-+当4x =-时，原式()()434322-+=-=-【点拨】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序及相关运算的法则．26．527【分析】根据等式的性质求得1x x +的值，然后利用平方差公式求出221x x +的值，再继续利用平方差公式求出441x x +的值．解：由2510x x -+=得0x ≠，∴15x x+=，∴21()25x x+=∴22123x x +=，∴42224211()2232527x x x x +=+-=-=【点拨】此题考查完全平方公式的应用，解题关键是反复使用完全平方公式．27．2x +，当3x =时，原式325=+=【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．解：244224x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()44222x x x x x --=÷-+-()()22424x x x x x +--=⋅--2x =+，∵要使分式244224x x x x x -⎛⎫-÷ ---⎝⎭有意义，∴20x -≠，20x +≠，40x -≠，∴x 不能为2，2-，4，∴取3x =，当3x =时，原式325=+=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．28．()221x x +，1【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的x 的值，代入计算即可解：()()222222121121111x x x x x x x x x x x x x +++÷-=⋅-++++++()()()22222111x x x x x x x x +=-=+++．∵0x ≠且1x ≠-，∴取1x =代入上式，原式1=．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的加减乘除混合运算，正确化简．29．(1)−1(2) 1xx -【分析】（1）根据同分母分式的减法法则进行计算即可；（2）先计算括号内的，再把除法转换为乘法，再进行约分即可得到答案．解：（1）2y x y x y y x -+--2y x y x y x y-=---y xx y-=-＝−1；（2）1211x x x -⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭11=11x x x -⎛⎫- ⎪--⎝⎭2x x -÷2·1x x -=-2x x -1xx =-【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．30．33x x +，310【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2395222x x x x x -⎛⎫÷+- --⎝⎭=()()()33225222x x x x x x x -+-⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭=()()()333322x x x x x x -+-÷--=()()()332233x x x x x x --⨯-+-=33x x +，当13x =时，33x x +=133311033⨯=+．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．31．(1)24a a +(2)1【分析】(1)首先算括号内的及进行因式分解，再把除法运算变为乘法运算，即可求得结果；(2)由题意得24a a =+，再把此式代入化简后的式子，即可求得结果．（1）解：22381631a a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭()()224411a a a a a a ++=÷++()()()24114a a a a a a ++=⨯++24a a =+；（2）解：由410a a--=，得24a a =+，所以，原式22214a a a a ===+．【点拨】本题考查了分式的混合运算，代数式求值问题，准确计算是解决本题的关键．32．1x，3【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2291(333x x x x x---+ =()29133x x x x -⨯-+=()()()33133x x x x x -+⨯-+=1x ，当13x =时，1x =1313=．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．33．11m -；1【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=()()2111m m m m m m -+⎛⎫⨯ ⎪+-⎝⎭=()()111m m m m m +⨯+-=11m -，当2m =时，111121m ==--．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．34．(1)223x x +-，2022；(2)22m m -+，当3m =时，原式3=-；【分析】（1）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，再代入计算即可；（2）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，由20m -≠，40m -≠确定m 的值再代入计算即可．（1）解：2220250x x +-= ，222025x x ∴+=，22913321x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪---+⎝⎭()2291331x x x x x ⎛⎫-=-÷ ⎪---⎝⎭()2219·31x x x x --=--()()()2331·31x x x x x +--=--()()31x x =+-223x x =+-，当222025x x +=时，原式20253=-2022=；（2）24442244m m m m m m --⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭()24442244m m m m m m --⎡⎤=-+÷⎢⎥--+⎣⎦()()()222444222m m m m m m m ⎡⎤+---=-÷⎢⎥---⎣⎦()222444224m m m m m m -⎛⎫--=-⨯ ⎪---⎝⎭()22244424m m m m m ---+=⨯--()()24224m m m m m --=⨯--()2m m =--22m m =-+，20m -≠ ，40m -≠，2m ∴≠，4m ≠，当3m =时，原式2323=-+⨯3=-．【点拨】本题考查了分式的化简求值；灵活运用公式正确化简求值即可．35．m n m n -+，15【分析】先通分，再加减，化简后，再代入求值即可．解：2222m n n n m n m n m -++--=222()()2()()m mn mn n n m n m n --+++-=2()()m n m n m n -+-（）=m n m n-+．当2m =，3n =时原式=321325-==+．【点拨】本题考查的是分式的化简求值、有理数的混合运算．解题的关键是熟记有理数的混合运算顺序，运算时需要注意符号．36．2x y x y ++，53【分析】利用公式法进行因式分解，然后根据分式的混合运算法则化简，最后代入计算即可．解：原式2(2)(2)2=()2x y x y x y x y x y x y x y+-++⋅=+-+，将1x =，2y =时，原式1225123+⨯==+．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．37．(1)1a ，1(2)21x +，23【分析】（1）根据平方差公式和提取对分式进行化解，再代入求值即可；（2）将分式进行通分化解，将除法换算成乘法，即可对分式进行化解，代入求值即可．（1）解：224()2122a a a a a---+ 222412a a aa =-+-()(2)(2)212a a a a a +-=-+ 1a=当1a =时，原式1=；（2）解：26435()111x x x x ++÷---()()6(1)411135x x x x x ++=⨯--++1635101x x x =⨯+++21x =+当2x =时，原式22213==+．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用．38．4a ，12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．解：原式()2213221a a a a a a a --⎛⎫=++⋅ ⎪---⎝⎭()21321a a a a a a --=+⋅--3a a=+4a =，把3a =代入得：原式43=⨯12=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．39．1x x --；0【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分后得到化简的结果，再确定使分式有意义的x 的整数值，代入计算即可．解：2221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭()()()2221111x x x x x x x +--=++- ()()()21111x x x x x +-=++- 1xx =--∵22x -<<，x 为整数，且1x ≠，1x ≠-∴0x =，∴原式0=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．40．122a +，4【分析】先根据分式的加减运算法则计算括号内，再将除法转化为乘法进行分式乘法运算进行化简原式，再代值求解即可．解：2212111a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()()211211a a a a a +-+-=⋅+-21112a a a +--=⋅+1112a =⋅+()121a =+122a =+，当1a =时，原式4==．【点拨】本题考查分式的化简求值，熟记平方差公式，掌握分式的混合运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键．41．2a a b-;2-【分析】先算括号内的减法，再把除法转化为乘法来做，通过分解因式，约分化为最简，最后把数代入计算．解：原式＝（()22a a a b a b ---）÷（()()2a a a b a b a b -++-）+1()()()()()222a a b a a a b a a b a b a b ----=÷++--1()()()()()222a a b a a b a b a a b a a b --+-=⨯+---1a b a b +=+-12a a b=-，当12a b ==，时，原式2212==--．【点拨】此题考查的是分式的除法和减法的混合运算，有括号的先算括号，还要注意符号的变化．42．22x x -+；15【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再解方程得出x 的值，最后代入数据求值即可．解：原式22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭22(2)411x x x x --=÷--2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+，∵11(3)32x x -=-，∴2639x x -=-，解得：3x =，将3x =代入上式得：23212325x x --==++．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．43．(1)22x x -+；0(2)11x x -+；13【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则化简，进而把x 的值代入得出答案；（2）将分式中能分解因式的进行因式分解，再化简求出答案．（1）解：原式=()3223x x x x x --+-，=3232x x x x x ---+，22x x =-+，当12x =时，原式2112022⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭．（2）解：221112111x x x x x x x-+-÷⋅-+-+，2(1)(1)11(1)11x x x x x x x +---=⋅-++ ，11x x-=+；把12x =代入上式得∶原式1112;1312-==+【点拨】此题主要考查了整式及分式的化简求值，正确分解因式进而化简分式是解题关键．44．11x x -+，2【分析】先根据分式的混合运算化简，然后求得不等式的整式解，代入化简结果进行计算即可求解．解：原式()()2342221121x x x x x x x +--+=÷+--+=22(1)(1)(1)2x x x x x +-⋅+-+=11x x -+解不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩得：4-<x 2<-．其整数解为：x 3=-．当x 3=-时，原式=3131---+2=【点拨】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．45．1134x +，【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．解：35222x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭()35222x x x x 轾-=¸-+犏犏--臌()()2235222x x x x x x 轾+--犏=¸-犏---臌()254322x x x x 轾---犏=¸犏--犏臌()()32233x x x x x --=´--+13x =+．当1x =时，原始14=．【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式与通分．46．（1）12x -+；（2）12a -，1．【分析】（1）根据分式的四则运算求解即可；（2）根据分式的四则运算进行化简，然后代数求解即可．解：（1）()()31121x x x x -+-+-()()()()()()()()()2123121212x x x x x x x x x x +-+=-+-+-+-+()()2232212x x x x x x --++-=-+()()112xx x -=-+12x =-+（2）2111442a a a a -⎛⎫÷+ -+-⎝⎭()21122a a a a --⎛⎫=÷ ⎪-⎝⎭-()21212a a a a --⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭-12a =-，由题意可得：20a -≠，10a -≠∴1a ≠，2a ≠将3a =代入得，原式1132==-．【点拨】此题考查了分式的四则运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算以及分式的有关知识．47．（1）44y x -；（2）26a -；选择0a =时，266a -=-；选择1a =时，264a -=-【分析】（1）先算乘方，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入合适的数，求值即可．解：（1）2322y x x y ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32624y x x y =-⨯44y x =-；（2）22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭()()()221311333a a a a a a a +-⎡⎤-+=-÷⎢⎥---⎣⎦()222312331a a a a a a ---++=⋅-+()()221331a a a a +-=⋅-+()23a =-26a =-，∵30a -≠，10a +≠，∴3a ≠，1a ≠-，如果选择0a =，则原式2066=⨯-=-；如果选择1a =，则原式2164=⨯-=-．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．48．225,2x x x x ----2-【分析】先根据230x x --=，得到23-=x x ，再将2112x x x +-+-变形为22412x x x x -----，。
北师大版八年级数学下册第4章测试题及参考答案
北师大版八年级数学下册第4章测试题一、选择题1．下列运算正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（）A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）4．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+15．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2 6．因式分解x2y﹣4y的结果是（）A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）8．下列代数式变形正确的是（）A．﹣a+b=（a+b）B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣39．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+110．因式分解4﹣4a+a2正确的是（）A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2 11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（）A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）12．下列因式分解正确的是（）A．x2+9=（x+3）2B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）二、填空题13．分解因式：x2﹣4=．14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是．15．因式分解：x2+6x=．16．分解因式：m2+4m=．17．因式分解3a2+a=．三、解答题18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D（p，q）=30时，求的最大值．23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．答案与解析1．下列运算正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】选择题【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；B、原式=4a2b6，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式=a（a+1）（a﹣1），正确，故选D【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（）A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，故选B【点评】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，要注意有没有分解到不能分解．4．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+1【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；B、﹣x2+（﹣2）2=（2+x）（2﹣x），故B错误；C、x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2），故C正确；D、（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案．【解答】解：原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键．6．因式分解x2y﹣4y的结果是（）A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．1【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣8x+16=（x﹣4）2．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．8．下列代数式变形正确的是（）A．﹣a+b=（a+b）B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3【考点】54：因式分解﹣运用公式法；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．【专题】选择题【分析】直接利用添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用分别分析得出答案．【解答】解：A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用，正确掌握运算法则是解题关键．9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（）A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】选择题【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．【解答】解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（）A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）．故选：D．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．下列因式分解正确的是（）A．x2+9=（x+3）2B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】选择题【分析】各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能分解，错误；B、原式不能分解，错误；C、原式=a2（a﹣4），正确；D、原式=（1+2x）（1﹣2x），错误，故选C【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．分解因式：x2﹣4=．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【专题】填空题【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提公因式x即可．【解答】解：原式=x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．15．因式分解：x2+6x=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：原式=x（6+x），故答案为：x（x+6）．【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．16．分解因式：m2+4m=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2+4m=m（m+4）．故答案为：m（m+4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．因式分解3a2+a=．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】填空题【分析】直接提公因式a即可．【解答】解：3a2+a=a（3a+1），故答案为：a（3a+1）．【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式．18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；(2)根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．【解答】解：(1)由题意可得，设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c=100（a﹣b）+10（b﹣a）=90（a﹣b），∵，∴M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)由题意可得，N=2×100+10a+b=200+10a+b，N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，解得，或，即N是284或218．【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m2﹣64=20（5t2+8t），于是得到结论；(2)根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p﹣q），于是得到H（28）=，H （48）=或H（48）==或H（48）=，即可得到结论．【解答】(1)证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，∴m2﹣64=（10t+8）2﹣64=100t2+160t+64﹣64=20（5t2+8t），∵1≤t≤9，且t为整数，∴5t2+8t是正整数，∴m2﹣64一定为20的倍数；(2)解：∵m=p2﹣q2，且p，q为正整数，∴10t+8=（p+q）（p﹣q），当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；当t=2时，28=1×28﹣3×14=4×7，其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=82﹣62，∴H（28）=，当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，满足条件的p，q的数对为或或，解得：或或，即48=132﹣92=82﹣42=72﹣12，∴H（48）=或H（48）==或H（48）=，∵，∴H（m）的最大值为．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．【解答】解：(1)由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，故答案为：1001，9999；(2)设这个“和平数”为，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4则b=8，综上所述，这个数为2754和4848．(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)根据欢喜数的定义可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，结合b能被9整除即可证出“欢喜数”能被99整除；(2)设m=，n=（且a1＞a2），根据F（m）﹣F（n）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3结合a1、a2、b均为整数，即可得出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3，将其代入m﹣n=99（a1﹣a2）中即可得出结论．【解答】(1)证明：∵为欢喜数，∴a+c=b．∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“欢喜数”能被99整除．(2)设m=，n=（且a1＞a2），∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出=99a+11b；(2)由F（m）﹣F（n）=3，求出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D（p，q）=30时，求的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【专题】解答题【分析】(1)当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，分解因式得到（t﹣s）（t+s+1）=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得或或或，于是得到结论．【解答】解：(1)若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，∴（t﹣s）（t+s+1）=30，∵t，s是正整数，t＞s，∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，∴或或或，解得：或或或，∵t，s是正整数，∴符合条件的是：或或，∴或=或=，∵，∴的最大值是．【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【考点】51：因式分解的意义．【专题】解答题【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m 的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a=4，k=20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．。
北师大版八年级初二数学下册《图形的平移》专题同步试题试卷含答案解析
3.1图形的平移练习卷一．选择题（共6小题）1．（•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）A ． 甲种方案所用铁丝最长B ． 乙种方案所用铁丝最长C ． 丙种方案所用铁丝最长D ． 三种方案所用铁丝一样长2．（•呼伦贝尔）将点A （﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 所处的象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．（•南昌）如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A ′逆时针旋转一定角度后，点B ′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）A ． 4，30°B ． 2，60°C ． 1，30°D ． 3，60°4．（•舟山）如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A ． 16cmB ． 18cmC ． 20cm ．22cm5．（•滨州）如图，如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达A ′点，连接A ′B ，则线段A ′B 与线段AC 的关系是（ ）A ． 垂直B ． 相等C ． 平分D ．平分且垂直6．（•呼和浩特）已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （﹣1，4）的对应点为C （4，7），则点B （﹣4，﹣1）的对应点D 的坐标为（ ）A ． （1，2）B ． （2，9）C ． （5，3）D ． （﹣9，﹣4）二．填空题（共10小题）7．（•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于_________．8．（•江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为_________．9．（•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是_________．10．（•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是_________，A1的坐标是_________．11．（•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为_________．12．（•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为_________．13．（•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为_________．14．（•河西区二模）已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为_________．15．（•吉林）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．如果CB=1，那么OE的长为_________．16．（•武汉）（北师大版）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是_________．三．解答题（共6小题）17．（•茂名）如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）18．（•北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是_________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是_________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．19．（•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，画出线段AB平移后的线段，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为AD的长，平移后所得的线段与BC相交于E．线段DE 与线段DC相等吗？∠DEC与∠C相等吗？∠DEC与∠B相等吗？∠C与∠B相等吗？试说明理由．21．（•南海区二模）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，0）B（3，0）C（5，5）△A′B′C′A′（4，2）B′（7，b）C′（c，7）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=_________，b=_________，c=_________；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是_________．22．（•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为_________，点B关于x轴的对称点B′的坐标为_________，点C关于y轴的对称点C的坐标为_________．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．3.1图形的平移练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（D）2．（•呼伦贝尔）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（•舟山）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（C）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5．（•滨州）如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（D）A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直6．（•呼和浩特）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（A）A．（1，2）B．（2，9）C．（5，3）D．（﹣9，﹣4）二．填空题（共10小题）7．（•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．8．（•江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．9．（•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2）．10．（•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是（3，0），A1的坐标是（4，3）．11．（•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为（1，﹣3）．12．（•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．13．（•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为（﹣2，1）．14．（•河西区二模）已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为18．15．（•吉林）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．如果CB=1，那么OE的长为7．16．（•武汉）（北师大版）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是（5，4）．三．解答题（共6小题）17．（•茂名）如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）解答：解：（1）如图所示，CD即为所求作的线段，D（0，﹣4），C（3，0）；（2）∵AC、BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．18．（•北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是0；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是3；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．解答：解：（1）点A′：﹣3×+1=﹣1+1=0，设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=；故答案为：0，3，；（2）根据题意得，，解得，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，点F的坐标为（1，4）．19．（•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）解答：解；（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，画出线段AB平移后的线段，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为AD的长，平移后所得的线段与BC相交于E．线段DE 与线段DC相等吗？∠DEC与∠C相等吗？∠DEC与∠B相等吗？∠C与∠B相等吗？试说明理由．解答：解：平移后的图形如下所示：由题意可知：四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C，又DE是由AB平移得到的，故DE=AB，∠DEC=∠B，∴DE=DC．∠DEC=∠C21．（•南海区二模）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，0）B（3，0）C（5，5）△A′B′C′A′（4，2）B′（7，b）C′（c，7）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=0，b=2，c=9；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是．解答：解：（1）由表格得出：∵利用对应点坐标特点：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b）；C（5，5），C′（c，7）∴横坐标加4，纵坐标加2，∴a=0，b=2，c=9．故答案为：0，2，9；（2）平移后，如图所示．（3）△A′B′C′的面积为：×3×5=．故答案为：．22．（•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．解答：解：（1）∵A（﹣1，5），∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．∵B（4，2），∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．∵C（﹣1，0），∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．第11页共11页。
北师大版八年级数学下册计算题专项练习试题
一、分解因式
1． 3xy 21axy 18a 2 xy ＝
．2． 2x 2 4x ____________________．
3． x2 y 4xy 4 y
． 4．简便计算： 7.292－2.712
．
5. 14abc 7ab 49ab2c ；
6. 9a b2 16a b2 ；
3.
2
2x x
5
5 5x
2
=1
4.
12 4 x 1 x 1 x2 1
（5）解不等式组
1x2332x(2x2x1)
≤ 1.
4，
把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
5.
7 x2
x
4 x2
x
பைடு நூலகம்
6 x2 1
6. 1 x 1 3 x2 2x
三、分式及分式方程
1.
x x
1 1
4 x2 1
1
2.
86 x3 x3
6、最生大的的光荣骄傲，于活最着大重的要。自卑17都时表3示0 分心灵17的时最3软0 分弱无18力-Ju。n-12716时.183.020分2117 时 30 分 18-Jun-216.18.2021
11
－ 16.先化简，再求值： a＋2 a－2 ÷
1
，其中 a＝3；
a－2
2
1－
x2－x
17.先化简 x－1 ·
二、解不等式（组）
1.解不等 式
≥4，
3x 2 8 （1） 2x 1 2
5 7x 2x 4
（2）
1
3 4
(x
1)
0.5
11.x（a+b）+y（a+b）
北师大版初中数学八年级下册《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷(10)
北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷一．填空题（共32小题）1．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．2．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5＝．3．一个n边形的每一个内角等于108°，那么n＝．4．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．5．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．6．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是．7．如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝°．8．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是．9．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是．10．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝度．11．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC＝度．12．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A+∠B+∠C+∠D ＝°．13．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝．14．如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为．15．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝．16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．17．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1+∠2+∠3＝°．18．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠l，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为．19．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．20．若一个多边形的边数为8，则这个多边形的外角和为．21．一个多边形的内角和比四边形内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角的度数是．22．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝30°，那么∠1+∠2＝°．23．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．24．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DF A＝度．25．一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是边形．26．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，在沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米．27．如图所示，每一个多边形都可以按如图所示的方法分割成若干个三角形，按照这种方法，十二边形可以分割成个三角形，由此可以判断十二边形的内角和是．28．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠A＝．29．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝°．30．已知一个正多边形的每一个外角都是36°，则其边数是．31．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝．32．从一个十二边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成个三角形．北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共32小题）1．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是5．【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，∴这个正多边形是正五边形．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．2．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5＝40°．【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6＝180°，∠3+∠4+∠7＝180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7＝360°，∴∠6+∠7＝140°，∴∠5＝180°﹣（∠6+∠7）＝40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．3．一个n边形的每一个内角等于108°，那么n＝5．【分析】首先求得外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求得．【解答】解：外角的度数是：180°﹣108°＝72°，则n＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．4．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度．【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°＝540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．5．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为＝6，所以这个正多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360度．6．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是40°．【分析】根据外角的概念求出∠ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵∠ADE＝60°，∴∠ADC＝120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴∠B＝360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．7．如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝72°．【分析】过B点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1﹣∠2的度数．【解答】解：过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1﹣∠2＝72°．故答案为：72．【点评】考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添加辅助线．8．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．【解答】解：∵所有内角都是135°，∴每一个外角的度数是180°﹣135°＝45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°＝8，即这个多边形是八边形．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．9．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是10．【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，∴多边形的边数为360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．10．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．11．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC＝24度．【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°∵AB＝AC∴∠ACB＝∠ABC＝＝24°故答案为：24．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．12．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED＝115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝65°，∴∠AED＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝540°﹣∠AED＝425°，故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．13．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3＝60°，正方形的每个内角是：360°÷4＝90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5＝3×180°÷5＝540°÷5＝108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6＝4×180°÷6＝720°÷6＝120°，则∠3+∠1﹣∠2＝（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）＝30°+12°﹣18°＝24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和＝（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．14．如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为1800°．【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是30°，∴n＝360°÷30°＝12，则内角和为：（12﹣2）•180°＝1800°．故答案为：1800°．【点评】本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法以及多边形的内角和公式，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．15．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝36°．【分析】由正五边形的性质得出∠B＝108°，AB＝CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B＝108°，AB＝CB，∴∠ACB＝（180°﹣108°）÷2＝36°；故答案为：36°．【点评】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正五边形的性质，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB是解决问题的关键．16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．17．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1+∠2+∠3＝102°．【分析】三角形的外角和360°，利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，即可得出答案．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，∠1+∠2+∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°＝102°．故答案为：102．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．18．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠l，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为30°．【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°．故答案为：30°【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．19．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为40°．【分析】根据共走了45米，每前进5米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【解答】解：向左转的次数45÷5＝9（次），则左转的角度是360°÷9＝40°．故答案是：40°．【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．20．若一个多边形的边数为8，则这个多边形的外角和为360°．【分析】根据任意多边形的外角和为360度回答即可．【解答】解：由任意多边形的外角和为360°可知，这个多边形的外角和为360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．21．一个多边形的内角和比四边形内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角的度数是135°．【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数．【解答】解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2）•180＝360+720，解得：n＝8，∵这个多边形的每个内角都相等，∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°．答：这个多边形的每个内角是135度．故答案为：135°．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．22．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝30°，那么∠1+∠2＝72°．【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．【解答】解：如图，∵∠3＝30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴∠5+∠6＝180°﹣80°＝90°，∴∠5＝180°﹣∠2﹣108°①，∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝90°，即∠1+∠2＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．23．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是五边形．【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，解得：n＝5．则这个多边形是五边形．故答案为：五．【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）•180°．24．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DF A＝36度．【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DF A的度数即可．【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，∴∠C＝180°﹣72°＝108°，∵CD＝CB，∴∠CDB＝36°，∵AF∥CD，∴∠DF A＝∠CDB＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．25．一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是10边形．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1440°，解得：n＝10，即这个多边形是10边形，故答案为：10．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．26．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，在沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了120米．【分析】根据多边形的外角和＝360°求解即可．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，∴＝12，即12×10米＝120米，故答案为：120．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．27．如图所示，每一个多边形都可以按如图所示的方法分割成若干个三角形，按照这种方法，十二边形可以分割成10个三角形，由此可以判断十二边形的内角和是1800°．【分析】根据图中三种情况，可得出一般规律，继而求出答案．【解答】解：过四边形的一个顶点，最多有1条对角线，将四边形分为2个三角形；过五边形的一个顶点，最多有2条对角线，将四边形分为3个三角形；过六边形的一个顶点，最多有3条对角线，将四边形分为4个三角形；…过n边形的一个顶点，最多有（n﹣3）条对角线，将四边形分为（n﹣2）个三角形；故十二边形能分割成10个三角形．十二边形的内角和是1800°故答案为：10；1800°．【点评】本题考查了多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，可把n边形分为（n﹣2）个三角形．28．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠A＝35°．【分析】根据折叠得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出∠AEO和∠ADO的度数，再求出∠AED和∠ADE的度数，根据三角形内角和定理求出∠A即可．【解答】解：延长BE和CD交于O，∵把△ABC沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，∴∠OED＝∠AED，∠ODE＝∠ADE，∵∠1＝30°，∠2＝40°，∴∠AEO＝180°﹣30°＝150°，∠ADO＝180°﹣40°＝140°，∴∠AED＝＝75°，∠ADE＝＝70°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣70°＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是能求出∠AED和∠ADE的度数．29．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【分析】利用三角形外角性质得到∠1＝∠B+∠F+∠C，然后利用五边形的内角和求∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，而∠2＝∠F+∠C，∴∠1＝∠B+∠F+∠C，∵∠A+∠1+∠D+∠E+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数），此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．也考查了三角形外角性质．30．已知一个正多边形的每一个外角都是36°，则其边数是10．【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．【解答】解：∵一个正多边形的每一个外角都是36°，∴边数＝360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．31．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】根据三角形的外角性质可得∠7＝∠1+∠2，∠8＝∠5+∠6，再利用四边形中内角和为360°即可求得．【解答】解：∵∠7＝∠1+∠2，∠8＝∠5+∠6，∠3+∠4+∠7+∠8＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形的外角性质，多边形内角和定理求解．32．从一个十二边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成10个三角形．【分析】从边数为n的一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成（n﹣2）个三角形，打扰求出即可．【解答】解：12﹣2＝10，即从一个十二边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成10个三角形，故答案为：10．【点评】本题考查了多边形的对角线，能记住规律[从边数为n的一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各点，可以把这个多边形分割成（n﹣2）个三角形]是解此题的关键．第21页（共21页）。
【北师大版】八年级数学下册《因式分解》练习2(含答案)
《分解因式》2」•填空题（每空2分，共32分）1. 12x'y 18x2y3的公因式是_________________2. 分解因式：2x318x __________3. 若 A 3x 5y，B y 3x，则A2 2 ABB24. 若x26x t是完全平方式，则t =5. 因式分解：9a24b24bc c26. 分解因式：a3c 4a2bc 4ab2c7. 若|x 2| x2 xy ^y20，则x =4 ____ ，y=.8. 若a99，b 98，则a22ab b25a 5b9. 计算12798 0.125 0.125 479810. 运用平方差公式分解：a2-=(a+ 7)(a-- )11. 完全平方式4x29y2（)213. 若a b 5，ab 14，则a3a2b ab2b3-- •-■选择题（每小题3分，共27分）14. 下列各式从左到右的变形为分解因式的是（)A . —32 c32^B / 几、/18x y 3x y 6B.(m 2)(m23) m m6C .2x 8x 9 (x 3)( x 3) 8x D. 2 m m 6 (m 2)(m 3)15. 2 2多项式3x y 6xy 3xy提公因式3xy后另一个多项式为（）A.x 2y B. x 2y 1 C. x 2y D. x 2y 1 16. 下列多项式中不含有因式（x 1）的是( )A .3 22x 3x 1 B. x 4x 5 C. x28x 7 2D. x x 617.下列各式进行分解因式错误的是（)A. 9 6(x y)( x y)2(3 : x y)2B. 4(a b)212ai(a b) 9a2(a 21 b)2C. (a b)22(a b)(a c) (a c)2(b c)2D. 2(m n) 2(m n) 1 (m n 1)218. (a) a( 、m a) 1的值是（)A. 1B. -1C. 0/ 4\m 1D. ( 1)19. 把3a n 215a n145a n分解因式是（)A. 3a n(a25a 1 5)B.貂\a2 5a 115)C. 12D. 3a1n 1(a 5 15a)20. 若n为任意整数 2，(n 11)2n的值「总可以被k整除，则k等于A. 11B. 22C. 11 或22D. 11的倍数21. 下列等式中一定正确的是（)A. (a b)n(b a)nB. (a b)n(b a)nC. (b a)n(a b)nD.( a b) )n (a b )n22. 多项式8i 2 3m n10m3n2 2m2 2、丄n2 22m n 除,所得的商为（A. 4n 5m 1B. 4n 5m 1C. 4n 5m 1D. 4n 5m) .解答题（共61分）23.把下列各式分解因式（每小题4分共20分）(1) m2 (m n)24(n m)24xy 4y2 (3)(3x2 4x 3)2 (2x2x 7)2(4)43 2(5)x(x 1)3 x(x 1)2 x(x 1) x 126.选择适当的方法分解下列多项式（每小题2 2 2（1） x 9y 4z 6xy 4xz 12yz2 225. 已知m n 3，mn I ，求m 3n 命2mn 3的值。
北师大版八年级数学下册计算题天天练 (108)
三、解下列方程组。
4a＝4b－176x－3y＝20
{{
2a＝9b＋17x＝5y＋1
8x－7y＝117m＋6b＝12
{{
6y－8x＝11-4m＋7b＝24
一、求下列各数的平方根和算术平方根。
25
(1) ——;(2) 0.01;(3) 27;(4) 10-12
169
二、求下列各数的立方根。
125
(1)－——;(2) -2;(3) 0.008;(4) 109
8
三、解下列方程组。
5a＝7b－76x－3y＝1
{{
4a＝6b－68x＝y＋16
9x－5y＝-59m＋6b＝1
{{
7y－9x＝-5-2m－6b＝16
一、求下列各数的平方根和算术平方根。
25
(1) ——;(2) 0.81;(3) 27;(4) 10-12
121
二、求下列各数的立方根。
343
(1)－——;(2) -5;(3) 0.125;(4) 1030
64
三、解下列方程组。
3a＝8b＋62x－7y＝4
{{
6a＝b－87x＝5y－15
8x－2y＝87m－6b＝27
{{
y＋x＝87-1m＋2b＝30
8
三、解下列方程组。
6a＝4b＋92x－8y＝18
{{
7a＝4b－208x＝2y－10
3x＋7y＝1293m＋b＝6
{{
8y＋6x＝129-10m＋4b＝5
一、求下列各数的平方根和算术平方根。
25
(1) ——;(2) 0.25;(3) 30;(4) 10-2
400
二、求下列各数的立方根。
216
(1)－——;(2) -6;(3) 0.512;(4) 109
《4 角平分线》(同步训练)初中数学八年级下册_北师大版_2024-2025学年
《4 角平分线》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的任意一点，若AD平分∠BAC，则以下说法正确的是（）A. ∠BAD = ∠CADB. ∠BAD = ∠BC. ∠BAD = ∠CAD/2D. ∠BAD = ∠B/22、在等边三角形ABC中，点D是边AB上的任意一点，若DE是∠BAC的角平分线，则以下说法正确的是（）A. ∠ADE = ∠BB. ∠ADE = ∠CC. ∠ADE = (∠B + ∠C)/2D. ∠ADE = (∠B - ∠C)/23、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且AD=BD。
若∠ABC的度数为50°，则∠ADB的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4、在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。
如果∠AOD 的度数为60°，则下列说法正确的是：A. 四边形ABCD是菱形B. 四边形ABCD是矩形C. 四边形ABCD是等腰梯形D. 四边形ABCD是平行四边形5、在△ABC中，若∠BAC=50°，点D在BC边上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，则∠BDC的度数是：A. 30°B. 40°C. 50°D. 70°6、已知点P是等腰三角形ABC的底边BC的中点，点D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，则∠A的度数是：A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线上的一点，且AE=AD。
那么下列说法正确的是：A. BE=ECB. ∠B=∠CC. ∠AED=∠BEAD. ∠BEC=∠BDE8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
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八年级数学下册计算题专项练习 一、分解因式
1． xy a axy xy 2
18213--＝ ．2． =-x x 422
____________________．
3． 244x y xy y -+= ． 4．简便计算：22
7.29 2.71=－ ．
5. c ab ab abc 2
49714+--； 6. ()()2
2
169b a b a +--；
7.()2
m x y x y --+； 8. 322
96y y x xy
--；
9. 2
)(9)(124y x y x -+-+； 10. 4224
2a a b b -+．
11.x （a+b ）+y （a+b ） 12.3（x －y ）2
－（x －y ）
13. 3（m –n ）3
–6（n –m ）2
14. (x-y)4
+2xy(x-y)
2
15. mn （m –n ）2–m （n –m ） 16. 18b(a-b)2-12(b-a)
3
二、解不等式（组） 1.解不等式
≥4，
（1）328212x x -<⎧⎨->⎩ （2）5724
31(1)0.54
x x x -≥-⎧⎪
⎨--<⎪⎩
（3）2x ＜1－x ≤x ＋5 （4）3(1)2(9)34140.5
0.2x x x x -<+⎧⎪
-+⎨-≤-⎪⎩
（5）解不等式组3(21)42
132 1.2
x x x x ⎧
--⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩≤，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
三、分式及分式方程
1.114112=---+x x x
2. 86
33
x x =+-
3.255
522-++x x x =1 4. 2
124111
x x x +=+-- 5.2227461x x x x x +=+-- 6.11
322x x x
-+=---
7.)2(216322b a a bc a b -⋅÷ 8.93234962
2
2-⋅+-÷-+-a a b a b a a
9. 2211y x xy
y x y x -÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++- 10. 222299369x x x x x x x +-++++
11.22
2244(4)2x xy y x y x y
-+÷-- 12. x ＋3x 2－9＋1x －3；
13.
14.⎝
⎛
⎭⎪⎫a ＋1－3a －1·2a －2a ＋2.
15.先化简，再求值：
，其中
．
16.先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a ＋2－1a －2÷1a －2
，其中a ＝3；
17.先化简⎝
⎛
⎭⎪⎫1－2x －1·x 2－x x 2－6x ＋9，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
18.先化简，再求值：22
241
()244
x x x x x -+÷+-- 其中x=—3
、最困难的事就是认识自己。
22.4.274.27.202200:1200:12:57Apr -2200:12 、自知之明是最难得的知识。
二〇二二年四月二十七日2022年4月27日星期三 、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
亲爱的用户：
烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉
人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
1、在最软入的时候，你会想起谁。
22.4.274.27.202200:1200:12:57Apr -2200:12
2、人心是不待风吹儿自落得花。
二〇二二年四月二十七日2022年4月27日星期三
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
00:124.27.202200:124.27.202200:1200:12:574.27.202200:124.27.2022
4、与肝胆人共事，无字句处读书。
4.27.20224.27.202200:1200:1200:12:5700:12:57
亲爱的用户： 相识是花结成蕾。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。