平面与平面垂直的判定 优秀教案
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A． B． C． D．
5．已知二面角 的平面角为 ， ，若 到平面 的距离为 ，则 点在 上的射影 到平面 的距离为________________．
6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）
A．相等B．互补C．互余D．无法确定
7．如图5， ，过点 引 所在平面的斜线 ， 与 、 分别成 、 角，求二面角 的平面角的余弦值．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．例题分析
例1如图3，平面角为锐角的二面角 ， ， ， ，若 与 所成角为 ，求二面角 的平面角．
图3
解：作 于 ，作 于 ，连结 ，
则 ， 是二面角的平面角．
又 是 与 所成的角，
设 ，
则 ， ， ．
∴ ．
例2正三角形 边长为10， 平面 ， 、 与平面 的距离为4和2， 、 在平面 的同侧，求：平面 与平面 所成的角 ．
图5
8．如图6，在正方体 中，求二面角 的平面角的正切值．
图6
9．如图7，在 的二面角 内有一点 ，它到 、 面的距离分别为3和5，求 点到棱 的距离．
图7
［参考答案］
1．略．2．C 3．D 4．C 5． 6．B
7．提示：在 上任取一点 ，作 交 于 点，作 交 与 点，令 ，则 即为所求，先在 △ 及△ 中算出 、 、 、 ，再在 △ 中算出 ．
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交平面所夹的不大于 的角
3．已知△ 中， ， ， ， 在平面 内，△ 所在平面与面 成 角，则△ 在平面 内的射影面积可能是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角 的平面角是锐角 ， 内一点 到 的距离为3，点 到棱 的距离为4，那么 的值等于（）
解：如图4．设 、 是 、 在平面 上的射影，延长 交平面 于 ，
则平面 ．
由已知可得 、 分别是 和 的中点．
∴
图4
Fra Baidu bibliotek由 得 ．
又 ，故 ，由三垂线逆定理得 ．
由于 ，则 ．
∴ ．
［演练反馈］
1．课本练习1，2，3，4．
2．二面角指的是（）
A．两个平面相交所成的角
B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形
8．提示：连结 交 于点 ，连结 ，证明 就是二面角 的平面角．
9．提示：分别作 、 垂直于面 、 于点 、 ，证明 面 ，令 交于 于点 ，连结 、 ，证明 ， ， 为所求．在△ 中用余弦定理算出 ．又 、 、 、 共圆，可由正弦定理去算 ．
［总结提炼］
求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角，其次要能够根据定义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂直于面内的直线，这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求，最后要注意作、证、算的步骤安排，当然有时也直接按定义去作二面角的平面角．
平面与平面垂直的判定和性质
第一课时
教学目标：
1．理解二面角的有关概念，能画出二面角．
2．会求二面角的平面角．
教具准备：投影胶片、三角板．
教学过程：
［设置情境］
看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？
［探索研究］
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角 ．
①直立式②平卧式
图1
2．二面角的平面角
布置作业：课本习题1，2，3，4，5．
板书设计：
1．二面角例1练习
2．二角面的平面角
例2
让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法．
现给出二面角的平面角的定义：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
如图2，二面角 ， ， ， ， ， ． 是二面角 的平面角．
图2
二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重合时，平面角为 ；当两个半平面合成一个平面时，平面角为 ．求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．
教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．
平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？
5．已知二面角 的平面角为 ， ，若 到平面 的距离为 ，则 点在 上的射影 到平面 的距离为________________．
6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）
A．相等B．互补C．互余D．无法确定
7．如图5， ，过点 引 所在平面的斜线 ， 与 、 分别成 、 角，求二面角 的平面角的余弦值．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．例题分析
例1如图3，平面角为锐角的二面角 ， ， ， ，若 与 所成角为 ，求二面角 的平面角．
图3
解：作 于 ，作 于 ，连结 ，
则 ， 是二面角的平面角．
又 是 与 所成的角，
设 ，
则 ， ， ．
∴ ．
例2正三角形 边长为10， 平面 ， 、 与平面 的距离为4和2， 、 在平面 的同侧，求：平面 与平面 所成的角 ．
图5
8．如图6，在正方体 中，求二面角 的平面角的正切值．
图6
9．如图7，在 的二面角 内有一点 ，它到 、 面的距离分别为3和5，求 点到棱 的距离．
图7
［参考答案］
1．略．2．C 3．D 4．C 5． 6．B
7．提示：在 上任取一点 ，作 交 于 点，作 交 与 点，令 ，则 即为所求，先在 △ 及△ 中算出 、 、 、 ，再在 △ 中算出 ．
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交平面所夹的不大于 的角
3．已知△ 中， ， ， ， 在平面 内，△ 所在平面与面 成 角，则△ 在平面 内的射影面积可能是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角 的平面角是锐角 ， 内一点 到 的距离为3，点 到棱 的距离为4，那么 的值等于（）
解：如图4．设 、 是 、 在平面 上的射影，延长 交平面 于 ，
则平面 ．
由已知可得 、 分别是 和 的中点．
∴
图4
Fra Baidu bibliotek由 得 ．
又 ，故 ，由三垂线逆定理得 ．
由于 ，则 ．
∴ ．
［演练反馈］
1．课本练习1，2，3，4．
2．二面角指的是（）
A．两个平面相交所成的角
B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形
8．提示：连结 交 于点 ，连结 ，证明 就是二面角 的平面角．
9．提示：分别作 、 垂直于面 、 于点 、 ，证明 面 ，令 交于 于点 ，连结 、 ，证明 ， ， 为所求．在△ 中用余弦定理算出 ．又 、 、 、 共圆，可由正弦定理去算 ．
［总结提炼］
求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角，其次要能够根据定义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂直于面内的直线，这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求，最后要注意作、证、算的步骤安排，当然有时也直接按定义去作二面角的平面角．
平面与平面垂直的判定和性质
第一课时
教学目标：
1．理解二面角的有关概念，能画出二面角．
2．会求二面角的平面角．
教具准备：投影胶片、三角板．
教学过程：
［设置情境］
看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？
［探索研究］
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角 ．
①直立式②平卧式
图1
2．二面角的平面角
布置作业：课本习题1，2，3，4，5．
板书设计：
1．二面角例1练习
2．二角面的平面角
例2
让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法．
现给出二面角的平面角的定义：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
如图2，二面角 ， ， ， ， ， ． 是二面角 的平面角．
图2
二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重合时，平面角为 ；当两个半平面合成一个平面时，平面角为 ．求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．
教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．
平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？