矩阵特征向量SAS^-1分解
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解矩阵特征分解是一种常见的矩阵分解方法，用于计算矩阵的特征值和特征向量。
而奇异值分解也是一种重要的矩阵分解技术，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
本文将详细介绍矩阵特征分解和奇异值分解的原理以及其在计算机科学和工程领域中的应用。
一、矩阵特征分解矩阵特征分解是一种将一个方阵分解为特征向量和特征值的方法。
对于一个n × n的方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，那么x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量和特征值是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。
特征分解的过程可以表述为：A = QΛQ^(-1)，其中Q是一个由特征向量构成的矩阵，Λ是一个对角阵，对角线上的元素是A的特征值。
矩阵特征分解在很多领域都有广泛的应用，比如在物理学中用于描述振动模式，化学中用于描述分子的电子云运动，图像处理中用于特征提取和图像压缩等。
二、奇异值分解奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
对于一个m × n的矩阵A，它的奇异值分解可以表述为：A = UΣV^T，其中U是m × m的正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值，V^T是n × n的正交矩阵的转置。
奇异值分解广泛应用于数据降维、图像压缩和推荐系统等领域。
在数据降维中，通过保留较大的奇异值可以有效地提取出重要的特征，减少数据的维度；在图像压缩中，利用奇异值分解可以将图像矩阵分解为若干个部分，其中一部分的奇异值较大，可以用于恢复图像的大部分信息。
三、特征分解与奇异值分解的联系和区别虽然特征分解和奇异值分解都为矩阵分解的方法，但两者在应用场景和结果解释上有所不同。
特征分解更适用于方阵，可以得到矩阵的特征向量和特征值，用于描述矩阵的振动模式、电子云运动等。
而奇异值分解适用于任意矩阵，可以得到矩阵的奇异值和正交矩阵，常用于数据降维和图像压缩。
矩阵特征值分解与奇异值分解
奇异值分解
分解形式：
（矩阵论P114）
假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个M * M的方阵 （称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0， 对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵（称 为右奇异向量），从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片。
奇异值与主成分分析（PCA）：
即要得到下面的式子：
这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了，对SVD来说 也是一样的，我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U‘：
可以看出，其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装，如果我们 实现了SVD，那也就实现了PCA了，而且更好的地方是，有了SVD， 我们就可以得到两个方向的PCA，如果我们对A进行特征值的分解， 只能得到一个方向的PCA。
奇异值与主成分分析（PCA）：
假设矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个特征，用矩阵的 语言来表示，将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化，P就是一 个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间，在空间中 就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。
将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵，这样就会使得本 来有n个特征，变成了有r个特征了（r < n)，这r个其实就是对n个 特征的一种提炼，我们就把这个称为特征的压缩。用数学语言表示 就是：
总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量， 特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示 这个特征是什么。不过，特征值分解也有很多的局限，比 如说变换的矩阵必须是方阵。
奇异值分解
特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但 是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的 大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生 有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是 方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征 呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一 个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：
[整理]矩阵的奇异值分解
![[整理]矩阵的奇异值分解](https://img.taocdn.com/s3/m/afe785200a4c2e3f5727a5e9856a561253d3215f.png)
§2 矩阵的奇异值分解定义 设A 是秩为r 的m n ⨯复矩阵，T A A 的特征值为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则称i σ=(1,2,,)i n = 为A 的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：（1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模；（2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值；（3）若存在酉矩阵,m m n n ⨯⨯∈∈U V C C ，矩阵m n ⨯∈B C ，使=UAV B ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值.奇异值分解定理 设A 是秩为r (0)r >的m n ⨯复矩阵，则存在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得H⎡⎤==⎢⎥⎣⎦O U AV O O ∑∆. ①其中12diag(,,,)r σσσ= ∑，i σ(1,2,,)i r = 为矩阵A 的全部非零奇异值.证明 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为 12()=V V V ，其中1V ，2V 分别是V 的前r 列与后n r -列.并改写②式为2H⎡⎤=⎢⎥⎣⎦O A AV V O O ∑.则有H 2H 112==A AV V A AV O ， ∑. ③由③的第一式可得H H 2H 1111()()r ==V A AV AV AV E ， 或者∑∑∑.由③的第二式可得H 222()() ==AV AV O AV O 或者.令111-=U AV ∑，则H 11r =U U E ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向量.记作112(,,,)r =U u u u ，因此可将12,,,r u u u 扩充成m C 的标准正交基，记增添的向量为1,,r m +u u ，并构造矩阵21(,,)r m +=U u u ，则12121(,)(,,,,,,)r r m +==U U U u u u u u是m 阶酉矩阵,且有 H H1121 r ==U U E U U O ，.于是可得H HH1121H 2()()⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O U U AV U AV AV U O O O U ，，∑∑.由①式可得H H HH 111222r r r σσσ⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦O A U V u v u v u v O O ∑. ④称④式为矩阵A 的奇异值分解.值得注意的是：在奇异值分解中121,,,,,,r r m +u u u u u 是H AA 的特征向量，而V 的列向量是H A A 的特征向量，并且H AA 与H A A 的非零特征值完全相同.但矩阵A 的奇异值分解不惟一.证明2 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为12(,,,)n =V v v v ，它的n 个列12,,,n v v v 是对应于特征值12,,,n λλλ 的标准正交的特征向量.为了得到酉矩阵U ，首先考察m C 中的向量组12,,,r Av Av Av ，由于当i 不等于j 时有H H H H H (,)()()0i j j i j i j i i i j i λλ=====Av Av Av Av v A Av v v v v所以向量组12,,,r Av Av Av 是m C 中的正交向量组.又 2H H H 2||||i i i i i i iλσ===Av v A Av v v ，所以 ||||i i i σ=Av .令1i i i=u Av σ，1,2,,i r = ，则得到m C 中的标准正交向量组12,,,r u u u ，把它扩充成为m C 中的标准正交基11,,,,r r m +u u u u ，令11(,,,,)r r m +=U u u u u则U 是m 阶酉矩阵.由已知及前面的推导可得i i i σ=Av u ，1,2,,i r = ；i =Av 0，1,,i r n =+ ；从而 121(,,,)(,,,,,)n r ==AV A v v v Av Av 0011120(,,,,,)(,,,)0r m r σσσσ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O u u u u u O O 00 ⎛⎫= ⎪⎝⎭ΣO U O O故有=AV U Δ，即H =U AV Δ.例1 求矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的奇异值分解.解 T52424044⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A 的特征值为1239,4,0λλλ===， 对应的单位特征向量依次为T T T 1231,1),(2,1,2)3==-=-v v v .所以5052643⎡-⎢=⎥⎥-⎥⎣⎦V .于是可得()2r =A ，3002∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.计算111221∑-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦U AV ，则A 的奇异值分解为T 300020⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A U V .在A 的奇异值分解中，酉矩阵V 的列向量称为A 的右奇异向量，V 的前r 列是H A A 的r 个非零特征值所对应的特征向量，将他们取为矩阵V 1，则12(,)=V V V .酉矩阵U 的列向量被称为A 的左奇异向量，将U 从前r 列处分块为12(,)=U U U ，由分块运算，有H H H H1111212H H H22122()⎡⎤⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭O U U AV U AV U AV AV AV O O U U AV U AV ，∑ 从而 211=A V A V U Σ，=0.正交基；（2）1U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 的一组标准正交基；（1）1V 的列向量组是矩阵A 的零空间(){}N ==A x Ax 0正交补H ()R A 的一组标准正交基；（1）2U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 正交补H ()N A 的一组标准正交基.在A 的奇异值分解中，酉矩阵U 和V 不是惟一的.A 的奇异值分解给出了矩阵A 的许多重要信息.更进一步，由于12(,,)m =U u u u ，12(,,,)n =V v v v ，可借助于奇异值分解，将A 表示为H 11H 212H 0(,,,)0m r n σσ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v O v A u u u O O v H HH 111222r r r σσσ=+++u v u v u v归纳这一结果，有如下定理.定理 设m n ⨯∈A C ，A 的非零奇异值为12r σσσ≥≥≥ ，12,,ru u u 是应于奇异值的左奇异向量，12,,,r v v v 是应于奇异值的右奇异向量，则T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v .上式给出的形式被称为矩阵A 的奇异值展开式，对一个k r ≤，略去A 的一些小的奇异值对应的项，去矩阵k A 为T T T111222k k k kσσσ=+++A u v u v u v .则k A 是一个秩为k 的m ×n 矩阵.可以证明，k A 是在所有秩为k 的m ×n 矩阵中，从Frobenius 范数的意义下，与矩阵A 距离最近的一个矩阵.这在实际中应用广泛.例如，在图像数字化技术中，一副图片可以转换成一个m ×n 阶像素矩阵来储存，存储量m ×n 是个数.如果利用矩阵的奇异值展开式，则只要存储A 的奇异值i σ，奇异向量,i i u v 的分量，总计r （m +n +1）个数.取m =n =1000，r =100作一个比较， m ×n =1000000，r （m +n +1）=100（1000+1000+1）=200100.取A 的奇异值展开式，，存储量较A 的元素情形减少了80%.另外，可取k r <，用k A 逼近A ，能够达到既压缩图像的存储量，又保持图像不失真的目的.由矩阵A 的奇异值分解可得T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v可见，A 是矩阵T TT 1122,,,r r u v u v u v 的加权和，其中权系数按递减排列120r σσσ≥≥≥> .显然，权系数大的那些项对矩阵A 的贡献大，因此当舍去权系数小的一些项后，仍然能较好的“逼近”矩阵A ，这一点在数字图像处理方面非常有用.矩阵的秩k 逼近定义为T T T111222 1k k k k r σσσ=+++≤≤A u v u v u v秩r 逼近就精确等于A ，而秩1逼近的误差最大.矩阵的奇异值分解不但在线性方程组，矩阵范数，广义逆，最优化等方面有着广泛的应用.而且在数字计算，数字图像处理，信息检索，心里学等领域也有着极重要的应用.有兴趣的读者可参阅有关教科书，如Steven J.Leon 的《线性代数》.３ 矩阵Ａ的奇异值分解与线性变换T A设A 是一个秩为r 的m ×n 复矩阵，即m n⨯∈A C，rank()r =A ，则由()T ==A A βαα可以定义线性变换:n m T →A C C .设矩阵A 有奇异值分解H=A U ΣV ，则将矩阵n n⨯∈V C 的列向量组12,,,n v v v 取作空间nC 的标准正交基；则将矩阵m m⨯∈U C的列向量组12,,m u u u 取作空间mC的标准正交基，则在所取的基下，线性变换T A 对应的变换矩阵就是Σ.设n ∈C α，α在基12,,,n v v v 下坐标向量为T12(,,,)n x x x =x ，=Vx α.那么α在线性变换T A 下的像β具有形式：11H()()()00r r x x T σσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A U ΣV Vx U Σx U βαα.其中12,,,r σσσ 是A 的非零奇异值，所以，α的像()T =A βα在m C 中基12,,m u u u 下的坐标是T 11(00)r rx x σσ==y Σx .从中可以看出，当rank()r =A 时，在取定的基下，线性变换()T A α的作用是将原像坐标中的前r 个分量分别乘以A 的非零奇异值12,,,r σσσ ，后（n-r ）分量化为零.如果原像坐标满足条件：222121n x x x +++= ，则像坐标满足条件：2221212()()()1rry y y σσσ+++≤ .在rank()r n ==A 时，等式成立.因此，有如下定理.定理 设H=A U ΣV 是m ×n 实矩阵A 的奇异值分解，rank()r =A ，则nR 中的单位圆球面在线性变换T A 下的像集合是：（1）若r n =，则像集合是mR 中的椭球面；（2）若r n <，则像集合是mR 中的椭球体.例2 设矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，求3R 中的单位圆球面在线性变换:T A y =Ax 下的像的几何图形.解 由例1，矩阵A 有如下奇异值分解T5012300262102043⎛⎫⎡-⎪⎢⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪=⎥⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎥⎭⎪-⎥⎣⎦⎝⎭A. rank()23,n=<=A由定理，单位球面的像满足不等式221222132y y+≤.即单位球面的像是实心椭圆2212194y y+≤.。
矩阵特征值归一化
>> x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1]x =1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.00002.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.00000.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.33330.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.00000.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000>> [V D]=eig(x)V =-0.4658 0.4419 + 0.2711i 0.4419 - 0.2711i -0.3672 + 0.2415i -0.3672 - 0.2415i-0.8409 0.7773 0.7773 0.8575 0.8575-0.0951 -0.0200 - 0.1557i -0.0200 + 0.1557i -0.0190 + 0.0064i -0.0190 - 0.0064i-0.1733 -0.0261 + 0.0783i -0.0261 - 0.0783i -0.0737 - 0.2146i -0.0737 + 0.2146i-0.1920 -0.2829 + 0.1247i -0.2829 - 0.1247i 0.0748 + 0.1185i 0.0748 - 0.1185iD =5.0721 0 0 0 00 -0.0307 + 0.6008i 0 0 00 0 -0.0307 - 0.6008i 0 00 0 0 -0.0053 + 0.0548i 00 0 0 0 -0.0053 - 0.0548i>> sum(abs(V).^2)ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000>> z=V[:;1]??? z=V[:;1]|Error: Unbalanced or unexpected parenthesis or bracket.>> rats(x)ans =1 1/2 43 32 1 7 5 51/4 1/7 1 1/2 1/31/3 1/5 2 1 11/3 1/5 3 1 1>> v1=v./norm(v,2);??? Undefined function or variable 'v'.>> v1=V./norm(V,2);>> rats(v1)ans =-186/745 124313/524923 124313/524923 -4165/21165 -4165/21165-201/446 912/2189 912/2189 256/557 256/557-21/412 -2780/259235 -2780/259235 -587/57526 -587/57526-30/323 -7198/514657 -7198/514657 -3130/79189 -3130/79189-158/1535 -9494/62620 -9494/62620 10155/253198 10155/253198>> x=[v1]x =-0.2497 0.2368 + 0.1453i 0.2368 - 0.1453i -0.1968 + 0.1294i -0.1968 - 0.1294i-0.4507 0.4166 0.4166 0.4596 0.4596-0.0510 -0.0107 - 0.0835i -0.0107 + 0.0835i -0.0102 + 0.0034i -0.0102 - 0.0034i-0.0929 -0.0140 + 0.0420i -0.0140 - 0.0420i -0.0395 - 0.1150i -0.0395 + 0.1150i-0.1029 -0.1516 + 0.0668i -0.1516 - 0.0668i 0.0401 + 0.0635i 0.0401 - 0.0635i>>MATLAB求矩阵A的特征值只需要一条语句：[V,D] = eig(A) 其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是特征值，V的每一列就是对应的归一化特征向量。
讲一下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解
讲⼀下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解1、特征值分解主要还是调包：from numpy.linalg import eig特征值分解： A = P*B*P T当然也可以写成 A = Q T*B*Q 其中B为对⾓元为A的特征值的对⾓矩阵，P=Q T，⾸先A得对称正定，然后才能在实数域上分解，>>> A = np.random.randint(-10,10,(4,4))>>> Aarray([[ 6, 9, -10, -1],[ 5, 9, 5, -5],[ -8, 7, -4, 4],[ -1, -9, 0, 6]])>>> C = np.dot(A.T, A)>>> Carray([[126, 52, -3, -69],[ 52, 292, -73, -80],[ -3, -73, 141, -31],[-69, -80, -31, 78]])>>> vals, vecs = eig(C)>>> valsarray([357.33597086, 174.10172008, 8.84429957, 96.71800949])>>> vecsarray([[-0.28738314, -0.51589436, -0.38221983, -0.71075449],[-0.87487263, 0.12873861, -0.24968051, 0.39456798],[ 0.2572149 , -0.69304313, -0.33950158, 0.58161018],[ 0.29300052, 0.48679627, -0.82237845, -0.02955945]])故使⽤时应先将特征值转换为矩阵：>>> Lambda = np.diag(vals)>>> Lambdaarray([[357.33597086, 0. , 0. , 0. ],[ 0. , 174.10172008, 0. , 0. ],[ 0. , 0. , 8.84429957, 0. ],[ 0. , 0. , 0. , 96.71800949]])>>> np.dot(np.dot(vecs, Lambda), vecs.T) # 与C=A.T*A相等array([[126., 52., -3., -69.],[ 52., 292., -73., -80.],[ -3., -73., 141., -31.],[-69., -80., -31., 78.]])>>> np.dot(np.dot(vecs.T, Lambda), vecs)array([[171.65817919, 45.58778569, 53.20435074, 13.37512137],[ 45.58778569, 125.15670964, 28.22684299, 134.91290105],[ 53.20435074, 28.22684299, 129.48789571, 80.5284382 ],[ 13.37512137, 134.91290105, 80.5284382 , 210.69721545]])故验证了使⽤np中的eig分解为A=P*B*P T⽽不是A=Q T*B*Q，其中P=vecs，即 C = vecs * np.diag(vals) * vecs.T # 这⾥简写*为矩阵乘法然后再来看使⽤np中的eig分解出来的vec中⾏向量是特征向量还是列向量是特征向量，只需验证：A*vecs[0] = vals[0]*vecs[0] >>> np.dot(C, vecs[0])array([-12.84806258, -80.82266859, 6.66283128, 17.51094927])>>> vals[0]*vecs[0]array([-102.69233303, -184.34761071, -136.58089252, -253.97814676])>>> np.dot(C, vecs[:,0])array([-102.69233303, -312.62346098, 91.91213634, 104.69962583])>>> vals[0]*vecs[:, 0]array([-102.69233303, -312.62346098, 91.91213634, 104.69962583])后者两个是相等的，故使⽤np中的eig分解出的vecs的列向量是特征向量。
矩阵svd分解算法
矩阵svd分解算法SVD全称为Singular Value Decomposition(奇异值分解)，是一种非常重要的矩阵分解方法，被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。
本文将介绍SVD的定义、求解方法以及应用。
一、SVD定义矩阵SVD分解，指将一个复矩阵A分解成如下的形式：A = UΣV^T其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，通常用σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σr > 0来表示。
二、SVD求解方法下面我们针对mxn的矩阵A，讲述一下SVD的求解步骤。
1. 首先求A^T·A的特征值和特征向量，设A^T·A的特征值为λ1, λ2, …, λm，对应的特征向量为v1, v2, …, vm 。
其中λ1≥λ2≥…≥λr>0。
2. 接着我们对v1, v2, …, vm进行标准化。
3. 将标准化后的v1, v2, …, vm组成正交矩阵V，即：V=[v1, v2, …, vm]。
特别的，当A为实矩阵时，可得到实特征向量和实奇异值，此时V 是一个正交矩阵。
4. 由于λ1, λ2, …, λr是A^T·A的非负特征值，我们可以得到A^T·A的奇异值：σ1=√λ1, σ2=√λ2, …, σr=√λr。
并将非零奇异值按照从大到小降序排列。
5. 求解奇异值对应的左奇异向量，设A^T·A的第i大特征值对应的特征向量为vi，i=1,2,...,r。
则A的左奇异向量为：ui=1/σi·Avi，i=1,2,...,r。
将u1, u2, …, ur组成正交矩阵U，即：U=[u1, u2, …, ur]。
特别的，当A为实矩阵时，可得到实左奇异向量。
6. 当m>n时，需要计算A·A^T的右奇异向量。
根据定义可得：vi=1/σi·A^Tui，i=1,2,...,r。
这些向量也组成了一个正交矩阵V，将它们作为A的右奇异向量。
矩阵的奇异值分解实验报告
矩阵的奇异值分解实验报告矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法。
它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，对角线上的元素被称为矩阵的奇异值。
SVD被广泛应用于数据降维、推荐系统、图像处理等领域。
矩阵的奇异值分解可以表示为：A = UΣV^T，其中A是一个m ×n的矩阵，U 是一个m ×m的列正交矩阵，Σ是一个m ×n的对角矩阵，V^T是一个n ×n的行正交矩阵。
为了进行奇异值分解，我们可以使用Python中的numpy库。
下面是一个简单的实验示例：pythonimport numpy as np# 创建一个3×3的矩阵A = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]])# 使用numpy的linalg.svd函数进行奇异值分解U, s, Vt = np.linalg.svd(A)# 打印结果print("U:\n", U)print("s:\n", s)print("Vt:\n", Vt)在这个实验中，我们创建了一个3×3的矩阵A。
然后，使用numpy的linalg.svd 函数对A进行奇异值分解。
函数返回三个结果，分别是U、s和Vt。
U矩阵代表了A的左奇异向量，它的列是A的特征向量。
s是一个包含A的奇异值的一维数组，按降序排列。
Vt是A的右奇异向量的转置矩阵。
通过打印结果，我们可以看到实际的输出：U:[[-0.21483724 -0.88723069 0.40824829][-0.52058739 -0.24964395 -0.81649658][-0.82633755 0.38794279 0.40824829]]s:[ 1.68481034e+01 1.06836951e+00 4.41842475e-16]Vt:[[-0.47967126 -0.57236779 -0.66506431][ 0.77669099 0.07568647 -0.62531805][ 0.40824829 -0.81649658 0.40824829]]从结果可以看出，U矩阵的第一列是A的第一个特征向量，第二列是第二个特征向量，以此类推。
第005章-矩阵特征值及其计算
(5.13)
这个定理可以用归纳法证明。
《振动力学》讲义 第5章 矩阵特征值及其计算
当矩阵 A 的特征值为重根时， 它可以与一个块对角阵 相似，这个结果称为 Jordan 定理：设 n 阶矩阵 A 的特征 值为 1 , 2 , , k ，它们的重数分别为 m1 , m2 , , mk ，则 A 相 似于块对角阵：
《振动力学》讲义 第5章 矩阵特征值及其计算
5.3 特征解的计算方法 5.3.1 无阻尼系统特征值问题的Ritz减缩方法 5.3.2 无阻尼系统特征值问题的矩阵迭代法 5.3.3 无阻尼系统特征值问题的子空间迭代法 5.3.4 矩阵的变换和分解 5.3.5 实对称矩阵特征值问题的Jacobi法 5.3.6 一般矩阵特征值问题的QR法
(5.15)
《振动力学》讲义 第5章 矩阵特征值及其计算
其中的 x 等于 0 或 1。矩阵 J 称为 A 的 Jordan 标准型。 显然，相似变换不改变特征行列式，因此展开方程 (5.3)可得
det[ A I ] (1)n ( 1 )( 2 ) ( n ) (1) ( c1
然后，应用 det[ A I ] 的 Laplace 展开，可以证明包含 n1 的所有项存在于乘积
《振动力学》讲义 第5章 矩阵特征值及其计算
(a11 )(a22 )(ann )
之中，因此 n1 的系数 c1 为 c1 in1 aii tr A 。另一方面， 由方程(5.16)注意到 n1 的系数 c1 为 c1 in1 i ，因此有
(5.26)
进而可得
X H X XX H I , X 1 X H
特征向量 qr分解
特征向量 qr分解特征向量是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的特征值密切相关。
特征向量是矩阵在一维向量空间上的非零向量，当这个向量与矩阵相乘时，仅发生伸缩而不发生旋转。
特征向量与特征值的计算是矩阵分析中较为复杂的问题之一。
特征向量的计算可以通过QR分解来实现。
QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。
通过QR分解，一个矩阵可以表示为A = QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
在QR分解中，我们可以使用Gram-Schmidt正交化过程来计算特征向量。
Gram-Schmidt正交化过程是一种通过线性组合的方式将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤进行正交化计算：1.初始化：令v1' = v1，u1 = v1'/ ||v1'||，其中u1是单位向量。
2.递推：对于每一个向量vi，i > 1，计算：vi' = vi - proj(u1, vi) - proj(u2, vi) - ... - proj(ui-1, vi)ui = vi'/ ||vi'||其中，proj(u, v)是向量v在向量u上的投影，可以通过内积计算。
3.循环：重复步骤2，直到所有的向量都被转化为正交向量。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以得到一组正交基{u1,u2, ..., un}，可以使用这组正交基来表示原有的向量组。
同时，这组正交基的长度并不一定相等，不同的向量可能有不同的模长。
在计算特征向量时，我们可以使用QR分解中的计算结果。
假设我们要计算矩阵A的特征向量，我们可以进行以下步骤：1.计算A的QR分解：A = QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
2.令A' = RQ，将A的特征向量转化为A'的特征向量。
矩阵因式分解公式
矩阵因式分解公式是将一个矩阵分解成几个矩阵的乘积的公式。
常见的矩阵因式分解公式包括以下几种：
1. 特征值分解：对于一个$n\times n$的方阵$A$，可以将其分解为特征值和特征向量的乘积，即$A=PDP^{-1}$，其中$P$是特征向量组成的矩阵，$D$是对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的特征值。
2. 奇异值分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为奇异值和奇异向量的乘积，即$A=UΣV^T$，其中$U$是$m\times m$的酉矩阵，$Σ$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的奇异值，$V$是$n\times n$的酉矩阵。
3. Cholesky 分解：对于一个正定对称矩阵$A$，可以将其分解为下三角矩阵$L$的平方，即$A=L^TL$。
4. QR 分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$的乘积，即$A=QR$。
以上是常见的矩阵因式分解公式，不同的分解公式适用于不同的矩阵类型和问题。
SAS中的矩阵运算
矩阵运算：SAS/IML 模块简介IML （Interactive Matrix Language ）交互式矩阵语言，可以处理各种矩阵运算，拥有丰富的可以直接用于矩阵运算的算符和大量的数学函数，是用SAS 系统开发的应用软件。
一、启动和退出IML在PGM 窗口键入语句：proc iml; /*启动IML*/reset print; /*从LOG 窗口获得语句执行的有关信息*/quit; /*退出IML ，返回SAS 状态*/二、矩阵的创建1． 直接输入法例1a=2;/* a=2，一行一列的矩阵*/b={1 2 3，4 5 6}；;/* b=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，2行3列的矩阵*/ c={1 2，3 4 ，5 6}；;/* c=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，3行2列的矩阵*/d={[3] 0 [2] 3 }；/* d ={0 0 0 3 3}，行向量*/proc iml;reset print;a=2;b={1 2 3,4 5 6};c={1 2,3 4,5 6};d={[3] 0 [2] 3};quit;2． 利用函数创建矩阵IML 带有很多可以直接生成矩阵的函数，利用这些函数来创建矩阵不但出错率少，而且可以减少输入工作，提高效率。
（1） B LOCK 函数功能：根据给定的矩阵（必为方阵）来产生一个对角方阵格式：BLOCK （matric1，matric2，…，matric15）例2proc iml;reset print;a=block(5,6);b=block(5,6,7);quit;输出为：A 2 rows 2 cols (numeric)5 00 6B 3 rows 3 cols (numeric)5 0 00 6 00 0 7例3proc iml;reset print;a={1 1,3 3};b={5 5,7 7};c=block(a,b);quit;A 2 rows 2 cols (numeric)1 13 3B 2 rows 2 cols (numeric)5 57 7C 4 rows 4 cols (numeric)1 1 0 03 3 0 00 0 5 50 0 7 7(2) I函数功能：产生一个单位阵。
特征向量 qr分解 -回复
特征向量qr分解-回复什么是特征向量和QR分解，并且详细解释它们的应用领域和工作原理。
特征向量是线性代数中一个重要的概念，与矩阵相对应。
给定一个矩阵A，如果存在一个非零向量v满足Av=λv，其中λ是一个标量，则v被称为矩阵A的特征向量，λ被称为对应的特征值。
特征向量和特征值可以帮助我们理解线性变换的效果，它们在许多应用中具有重要的数学意义。
QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。
给定一个给定的m×n矩阵A，QR分解将A分解为A=QR，其中Q是一个m×m正交矩阵（即Q的转置乘以Q等于单位矩阵），R是一个m×n上三角矩阵。
QR分解在数值计算中有广泛的应用，包括线性回归、信号处理和图像压缩等领域。
特征向量和QR分解在许多应用中都发挥着重要的作用。
首先，特征向量和特征值可以帮助我们理解矩阵的结构和性质。
在物理学中，特征值和特征向量被用于描述量子系统的能量和状态。
在机器学习中，特征向量可以被用作数据降维和特征选择的工具，从而帮助我们理解和解释数据。
此外，特征向量还可以用于解决线性方程组和矩阵运算问题等。
例如，通过求解方程Av=λv，我们可以找到矩阵A的特征向量和特征值，从而可以计算矩阵的幂，求解矩阵的逆等。
QR分解在数值计算中也有着广泛的应用。
首先，QR分解可以用于求解线性方程组，例如Ax=b，其中A是一个非奇异矩阵。
通过将A分解为QR，我们可以将原始的线性方程组转化为一个更容易求解的上三角方程组Rx=Q^Tb。
其次，QR分解还可以用于计算矩阵的逆和行列式等。
通过将矩阵A分解为A=QR，我们可以利用正交性质求解逆矩阵A^(-1) =R^(-1)Q^T，或者计算矩阵的行列式det(A) = det(Q)det(R) = det(R)。
此外，QR分解还可以用于矩阵的奇异值分解和最小二乘拟合等问题。
QR分解的原理并不复杂。
它可以通过Gram-Schmidt正交化过程实现。
奇异值分解例题
奇异值分解例题奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种在矩阵分解领域中非常重要的技术，其原理和应用十分广泛，可以用于图像处理、信号处理、数据降维、推荐系统等场景。
下面就以一个简单的例子来说明奇异值分解。
假设我们有一个矩阵A，如下所示：A = [[5, 7], [-2, 3], [8, -4]]我们想要对这个矩阵进行奇异值分解。
那么，我们可以按照以下步骤进行操作：Step 1: 计算A的转置矩阵A的转置矩阵AT为：AT = [[5,-2,8],[7,3,-4]]Step 2: 计算AA T和A T A根据奇异值分解的理论，我们需要先求出AA T和A T A这两个矩阵，再对这两个矩阵进行特征值分解。
其中，AA T和A T A的矩阵形式如下：AA T = [[74, 26, 22], [26, 13, -44], [22, -44, 80]]A T A = [[93, 41], [41, 74]]Step 3: 对AA T和A T A进行特征值分解对于AA T和A T A，我们可以使用任何适合特征值分解的方法进行计算。
这里简单介绍一种基于numpy的方法。
我们可以按照以下代码来计算AA T和A T A的特征值和特征向量：import numpy as npAA_T = np.array([[74, 26, 22], [26, 13, -44], [22, -44, 80]])A_T_A = np.array([[93, 41], [41, 74]])eigenvalues_aa, eigenvectors_aa = np.linalg.eig(AA_T) # 计算AA T的特征值和特征向量eigenvalues_a_t_a, eigenvectors_a_t_a = np.linalg.eig(A_T_A) # 计算A T A的特征值和特征向量print('AA_T的特征值和特征向量：\n', eigenvalues_aa, '\n', eigenvectors_aa)print('A_T_A的特征值和特征向量：\n', eigenvalues_a_t_a, '\n', eigenvectors_a_t_a)运行该代码后，我们可以得到AA T和A T A的特征值和特征向量：AA_T的特征值和特征向量：[ 1.35335054e+02 -4.41728365e-15 1.25464946e+01][[-0.50266824 -0.82448977 0.26017483][-0.14773439 0.40740572 0.9018107 ][ 0.85277873 -0.39431129 0.34191069]]A_T_A的特征值和特征向量：[109.56150844 57.44931756][[-0.77147013 -0.63658897][ 0.63658897 -0.77147013]]Step 4: 计算奇异值和奇异向量接下来，我们需要通过特征值和特征向量计算AA T和A T A的奇异值和奇异向量。
高等代数矩阵降维公式
高等代数矩阵降维公式高等代数中，矩阵降维是指将一个高维矩阵表示为一个低维矩阵的过程。
这个过程有时也被称为矩阵压缩或矩阵分解。
矩阵降维在数据分析、机器学习和模式识别等领域中广泛应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的矩阵降维公式。
奇异值分解是一种常见的矩阵降维方法。
对于一个m行n列的矩阵A，其奇异值分解表示为A=UΣV^T。
其中，U是一个m行m列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩阵，V是一个n行n列的正交矩阵。
奇异值分解的核心思想是将原始矩阵A分解为三个部分，分别表示为U、Σ和V。
U中的列向量称为左奇异向量，V中的列向量称为右奇异向量，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要思想是通过选择较大的奇异值和对应的奇异向量来实现矩阵的降维。
主成分分析是一种常用的无监督学习降维方法。
PCA通过线性变换将原始数据映射到新的坐标系中，新的坐标系中保留了原始数据中的大部分方差。
通过选择最主要的成分，可以实现降维目的。
假设有一个m行n列的数据矩阵X，其中每一行为一个样本，每一列为一个特征。
PCA的目标是找到一个转换矩阵W，将原始数据X映射到新的坐标系Y中，即Y=WX。
其中Y是一个m行k列的矩阵，k<<n，即Y是原始数据的降维表示。
PCA的关键步骤是计算协方差矩阵，然后通过对协方差矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量。
特征值表示新坐标系中的方差，特征向量表示新坐标系的基向量。
通过选择最大的k个特征值对应的特征向量，可以得到转换矩阵W，从而实现降维。
独立成分分析是一种常用的盲源分离方法，也可以用作矩阵降维。
ICA的核心思想是通过寻找一个投影矩阵，将原始数据中的各个独立成分分离出来。
假设有一个m行n列的数据矩阵X，其中每一行为一个样本，每一列为一个特征。
ICA的目标是找到一个n行n列的矩阵A，将原始数据X映射到新的坐标系Y中，即Y=AX。
其中Y是一个m行n列的矩阵，n<=m。
通过选择合适的投影矩阵A，可以将原始数据中的各个独立成分分离出来，从而实现降维。
（完整word版）矩阵分解及其简单应用
（完整word版）矩阵分解及其简单应用对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。
矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。
秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。
1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即?k≠0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。
由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：{Ly=b Ux=y先由Ly=b依次递推求得y1, y2,......，y n，再由方程Ux=y依次递推求得x n，x n?1， (x1)必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P 左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：{Ly=pb Ux=y这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
11[1].多元正态
![11[1].多元正态](https://img.taocdn.com/s3/m/80727fea81c758f5f61f67a2.png)
二次型在协方差矩阵运算中的应用 在多元统计中,经常需要作若干原变量的 线性组合. 例如:三个原变量是三门课程的考试成绩: X-语文,Y-英语,Z-数学
w1 = 0.5 x + 0.6 y + 0.62z w 2 = 0.4 x + 0.55 y 0.73z
多元统计和SAS第十讲
Xi → Xi ' =
Xi X SX
多元统计和SAS第十讲
数据标准化后,变为标准化变量.
标准化变量的协方差矩阵就是原变量的 相关系数矩阵.
SX ' SX 'Y ' 1 rxy = r 1 SX 'Y ' SY ' xy
多元统计和SAS第十讲
二次型
x1 a b A= , x = x b c 2 a b x1 x ' Ax = ( x1 , x2 ) x b c 2 2 = ax12 + 2bx1 x2 + cx2
多元统计和SAS第
多元统计和SAS第十讲
4. 行列式
行和列相等的矩阵称为方阵;只有方阵才有行列式.
a b A= c d a b | A |= = ad bc c d
多元统计和SAS第十讲
5. 矩阵的特征方程
只有方阵才有行列式;只有方阵才有特征值.
多元统计和SAS第十讲
1. 什么是矩阵
表一 语文 甲 乙 丙 85 90 75 数学 80 82 63
表二 语文 甲 乙 丙 88 92 76 数学 83 85 66
多元统计和SAS第十讲
这两个长方形数表都叫做矩阵,并简记为
85 80 88 83 A = 90 82 , B = 92 85 75 63 76 66
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它在很多领域中都具有广泛应用，包括图像处理、数据压缩、信号处理等。
奇异值分解不仅是矩阵的一种表达形式，还可以帮助我们理解矩阵的结构，从而更好地应用于实际问题中。
奇异值分解的基本思想是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是m×m和n×n维的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
通常情况下，奇异值按照从大到小的顺序排列。
奇异值分解的一个重要应用是矩阵的降维。
对于一个m×n的矩阵A，我们可以选择保留其中最大的k个奇异值，然后将矩阵A分解为UkΣkVk^T，其中Uk、Σk和Vk分别是U、Σ和V的前k列构成的矩阵。
这样得到的矩阵Ak=UkΣkVk^T可以近似地表示原始矩阵A，且Ak是一个更低维度的矩阵。
通过选择合适的k值，可以在保留较高精度的情况下大大降低矩阵的存储和计算复杂度。
奇异值分解还可以用来解决线性方程组的最小二乘解问题。
对于一个m×n的矩阵A和一个m维的向量b，我们可以将矩阵A分解为A=UΣV^T，然后将方程组Ax=b转化为Σy=Ub，其中y=V^Tx。
求解线性方程组Σy=Ub相对简单，通过计算得到向量y后，再通过y=V^Tx计算得到向量x，就得到了原始线性方程组的最小二乘解。
此外，奇异值分解还可以用于计算矩阵的伪逆。
对于一个m×n的矩阵A，它的伪逆A^+可以通过奇异值分解得到。
具体地，如果A的奇异值分解为A=UΣV^T，那么A^+可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+是Σ的逆矩阵的转置。
伪逆矩阵在很多问题中都有重要应用，比如在解决过约束线性方程组和最小二乘解的问题中。
总之，矩阵的奇异值分解是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它具有广泛的应用价值。
shur分解的特征向量
shur分解的特征向量
Shur分解是一种将矩阵分解为上三角矩阵和酉矩阵乘积的方法。
在数值计算和线性代数中，Shur分解是一种非常重要的技术，它可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及解线性方程组等问题。
在本文中，我们将重点讨论Shur分解的特征向量。
首先，我们需要了解什么是特征向量。
在线性代数中，特征向量是指
在矩阵作用下，只发生伸缩变化而不改变方向的向量。
具体来说，如
果一个向量v在矩阵A作用下，可以表示为Av=λv，其中λ是一个常数，那么v就是矩阵A的一个特征向量，λ就是对应的特征值。
接下来，我们来看看如何利用Shur分解求解矩阵的特征向量。
假设我们有一个n阶矩阵A，我们可以将其分解为A=QTQ*，其中Q是一个酉矩阵，T是一个上三角矩阵。
由于酉矩阵的性质，它的逆矩阵等于其共轭转置，即Q-1=Q*。
因此，我们可以将特征向量表示为v=Qy，
其中y是一个n维向量。
将v代入特征值方程Av=λv中，得到
QTQ*y=λQy，即T*y=λy。
由于T是一个上三角矩阵，因此可以直接求解出y的值，然后再利用v=Qy求得特征向量v。
需要注意的是，Shur分解并不是一种稳定的算法，因为在计算过程中可能会出现数值上的不稳定性。
为了解决这个问题，可以采用一些稳
定的变形方法，比如Hessenberg变形或者Schur变形等。
总之，Shur分解是一种非常重要的技术，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及解线性方程组等问题。
在实际应用中，我们需要注意算法的稳定性，以及选择合适的变形方法来提高计算精度。
机器学习SVD矩阵分解算法，对矩阵做拆分，然后呢？
机器学习SVD矩阵分解算法，对矩阵做拆分，然后呢？今天是机器学习专题第28篇文章，我们来聊聊SVD算法。
SVD的英文全称是Singular Value Decomposition，翻译过来是奇异值分解。
这其实是一种线性代数算法，用来对矩阵进行拆分。
拆分之后可以提取出关键信息，从而降低原数据的规模。
因此广泛利用在各个领域当中，例如信号处理、金融领域、统计领域。
在机器学习当中也有很多领域用到了这个算法，比如推荐系统、搜索引擎以及数据压缩等等。
SVD简介我们假设原始数据集矩阵D是一个mxn的矩阵，那么利用SVD 算法，我们可以将它分解成三个部分：这三个矩阵当中U是一个m x n的矩阵，∑是一个m x n的对角矩阵，除了对角元素全为0，对角元素为该矩阵的奇异值。
V是一个n x n的矩阵。
U和V都是酉矩阵，即满足U^TU = I, V^T V = I。
也就是它乘上它的转置等于单位对角矩阵。
我们可以看下下图，从直观上感知一下这三个矩阵。
下面我们来简单推导一下SVD的求解过程，看起来很复杂，概念也不少，但是真正求解起来却并不难。
会需要用到矩阵特征值分解的相关概念，如果不熟悉的同学可以先看下线性代数专题相关内容做个回顾：线性代数精华——讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩首先，如果我们计算A^TA可以得到一个n x n的方阵。
对于方阵我们可以对它进行特征分解，假设得到特征值是lambda_i，特征向量是v_i，代入特征值的性质可以得到：这样的特征值和特征向量一共会有n个，我们把它所有的特征向量组合在一起，可以得到一个n x n的矩阵V。
它也就是我们SVD分解结果之后的V，所以有些书上会把它叫做右奇异向量。
同理，我们计算AA^T可以得到一个m x m的方阵，我们同样可以对他进行特征值分解，得到一个特征矩阵U。
U应该是一个m x m 的矩阵，也就是SVD公式中的U，我们可以将它称为A的左奇异向量。
U和V都有了，我们只剩下∑还没求出来了。
eigen svd分解 特征向量
eigen svd分解特征向量摘要：1.SVD 分解的概念及其在机器学习中的应用2.Eigen 库在SVD 分解中的作用3.Eigen 库中进行SVD 分解的方法4.特征向量的概念及其在机器学习中的应用5.总结正文：在机器学习中，SVD（奇异值分解）是一种重要的线性代数方法，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而实现对矩阵的降维和特征提取。
而在实际应用中，我们通常使用Eigen 库来进行SVD 分解，因为它可以高效地完成这一任务。
首先，让我们了解一下SVD 分解的概念。
SVD 分解是将一个矩阵A 分解为一个由三个矩阵组成的乘积，即A = U * S * V^T，其中U 和V 是正交矩阵，S 是对角矩阵。
通过SVD 分解，我们可以将原矩阵A 映射到一个更低维度的空间，这对于处理高维数据和降低计算复杂度非常有用。
在机器学习中，SVD 分解常常用于特征提取和降维。
例如，在图像处理中，我们可以通过将图像矩阵进行SVD 分解，然后保留较大的特征值对应的特征向量，从而实现图像的压缩和特征提取。
接下来，我们来看一下Eigen 库在SVD 分解中的作用。
Eigen 库是一个开源的C++库，它提供了大量的线性代数运算，包括SVD 分解。
使用Eigen 库进行SVD 分解非常简单，只需要调用其提供的API 接口即可。
例如，对于一个3x3 的矩阵A，我们可以使用以下代码进行SVD 分解：```cpp#include <iostream>#include <Eigen/Dense>int main() {Eigen::Matrix3d A;A << 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9;Eigen::Matrix3d U;Eigen::Matrix3d S;Eigen::Matrix3d V;Eigen::computeSVD(A, U, S, V);std::cout << "U:" << std::endl << U << std::endl;std::cout << "S:" << std::endl << S << std::endl;std::cout << "V:" << std::endl << V << std::endl;return 0;}```这段代码首先定义了一个3x3 的矩阵A，然后使用Eigen 库的computeSVD 函数进行SVD 分解，最后输出分解得到的U、S 和V 矩阵。