高二数学人教A版选修2-2导数的计算(二)课件
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人教版高中数学选修2-2第一章 导数及其应用 夯实基础第二节导数的计算(共54张PPT)教育课件
心
安
;
书
一
笔
清
远
,
盈
一
抹
恬
淡
,
浮
华
三
千
,
只
做
自
己
;
人
间
有
情
,
心
中
有
爱
,
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一
米
阳
光
,
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笑
向
暖
。
口
罗
不
是
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电
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那
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的
第
一
部
戏
有
没
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,
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一
部
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就
穿
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得
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严
感
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电
影
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摄
)
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以
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候
在
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场
我
不
想
等
。
你
可
以
说
知识点3 利用导数求曲线的切线方程 答案
知识点3 利用导数求曲线的切线方程
高中数学-选修2-2-1.2-导数的计算人教新课标.ppt
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(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定
要先分析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进
行合理的化简变形,再选择恰当的求导法则和导数公式求导.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相
关的三角函数公式对解析式进行化简,整理,然后再套用公式求导.
ln .
2
2
(2)方法 1:y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'
=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)
+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11;
目录
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三、求复合函数的导数
活动与探究 3
求下列函数的导数:
(1)f(x)=(-2x+1)2;(2)f(x)=ln(4x-1);
(3)f(x)=23x+2;(4)f(x)= 5x + 4;
(5)f(x)=sin 3x +
6
;(6)f(x)=cos2x.
思路分析:抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导
数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合
高中数学 导数的概念_说课课件 新人教A版选修2-2
有了新的概念, 当然少不了例题和 练习.
例1的设置是对 导数概念的及时巩 固和诠释,同时规 范解题的格式.
让学生从中总结 求导的步骤,实现 由理论到技能的转 化.
导 数 DAOSHU
(四)成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处, 的, 导6 数. 2、求函数y=x4在
x1,2处, 的, 导6数.
人民教育出版社
普通高中课程标准实验教科书 选修2-2 第一章
导 数 DAOSHU
五 教学过程
导 数 DAOSHU
微积分的创立是数学发展中的里程 碑,导数是微积分的核心概念之一.
在本节课中学生将经历由平均变化率 到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解 导数的含义,体会导数的内涵,感受导数 在解决数学问题和实际问题中的作用.
在第 2h与第 6h时,原油温度的瞬时 分变 别化 为 3 率 与5.它说明在 2h附 第近 ,原油温度大 30C约 /h的 以速 率下;降 在6h附近 ,原油温度大 50C约 /h的 以速率.上升
意义,这也是 本节课的重点.
强一
般 ,f'地 x0反
映
了
原
油x温 附度 近在 的时 变刻 化 0
当然别忘了
的瞬时变化,率 并说明它们的意. 义
设计意图
实际生产 生活中的应 用最能体现 数学的价值.
导 数 DAOSHU
(七)实际应用
设计意图
解:
,根据导数的定义
在例题的解
和 f' 6 同理 .f可 '6得 5.
在2第 h和6第 h时,原油温度 f'2的瞬时
析中要特别强 调x=2和x=6处
的导数的实际
特 别
人教A版高中数学选修2-2课件1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(29张PPT)
yx ' yu 'ux ' (sin) ' ( x ) ' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲:
第一步,分层(从外向内分解成基本函 数用到中间变量);
第二步,层层求导(将分解所得的基本 函数进行求导);
第三步,做积还原(将各层基本函数的 导数相乘,并将中间变量还原为原来的 自变量)。
5.函数y=3sin2x+l在点(π,1)处的切线方
程是.
y=1
6.求 y 3 ax2 bx c 的导数
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
作业:P18 A 组 T4 T5 T6 T7
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x)) 的导数与函数 y f (u) 和 u g(x) 的导数间关系为:
y y • u
xuxຫໍສະໝຸດ 或y f '(u) • g '(x) x
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数的乘积.
当堂检测 1.函数y=(5x-4)3的导数是()C
P16 思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
二、复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) , u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu 'ux ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
复合函数求导三步曲:
第一步,分层(从外向内分解成基本函 数用到中间变量);
第二步,层层求导(将分解所得的基本 函数进行求导);
第三步,做积还原(将各层基本函数的 导数相乘,并将中间变量还原为原来的 自变量)。
5.函数y=3sin2x+l在点(π,1)处的切线方
程是.
y=1
6.求 y 3 ax2 bx c 的导数
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
作业:P18 A 组 T4 T5 T6 T7
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x)) 的导数与函数 y f (u) 和 u g(x) 的导数间关系为:
y y • u
xuxຫໍສະໝຸດ 或y f '(u) • g '(x) x
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数的乘积.
当堂检测 1.函数y=(5x-4)3的导数是()C
P16 思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
二、复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) , u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu 'ux ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则f'(x)=0
2.若f(x)=xn,则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解:
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k, x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限,得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则f'(x)=0
2.若f(x)=xn,则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解:
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k, x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限,得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
高二数学人教A版选修2-2课件:1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数
典题例解
求下列函数的导数:
(1)f(x)=������22+������1;
(2)f(x)=x2+sin���2���cos���2���;
(3)f(x)=(
������+2)
1 ������
-2
.
解:(1)f'(x)=
2������ ������2+1
'=(2������)'(������2(+������21+)-12)���2���(������2+1)'
-4
'
= -2
������ +
2 ������
-3
'
1
3
=-������ -2 − ������ -2.
迁移应用
一 二三
二、求复合函数的导数
求复合函数的导数的步骤
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 2】 求下列函数的导数:
(1)f(x)=(-2x+1)2;
(2)f(x)=ln(4x-1); (3)f(x)=23x+2;
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)
������(������) ������(������)
'=������'(������)������[(������������)(-���������)���(]���2���)������'(������) (g(x)≠0).
高二数学选修2-2课件:1.2 导数的计算2(新人教A)
其中g(x) 0
例1、求下列函数的导数:
1.y
(x3
2x)(
1 x3
4);
2.y x2 ln x;
3.y ex ; x
4.y tan x.
例2、 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不 断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为:
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
a
8.(ln x) 1 x
2、导数的运算法则
1.[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
2.[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
推论:[Cf (x)] Cf (x)
3.[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
求f (0), f (5)的值.
《学海》习题讲解
作业: 1、《学海》第5课时 2、教材P18:A组5、6、7.
(1)90%;(2)9来自%.c(x ) = 5284 (80 < x < 100) 100 - x
c¢(90) =
5284 (100 - 90)2
=
52.84
c¢(98) =
5284 (100 - 98)2
=
1321
例3、求和:1 2x 3x2 nxn1 (x 0, x 1)
例4、已知f (x) x(x 1)(x 2)x 8)
高中数学新课程选修2-2
第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算
第二课时
1、基本初等函数的导数公式
1.(C) 0
2(. xn ) nxn1(n Q )
3.(sin x) cos x
人教A版高中数学选修2-2课件高二下学期导数的概念(理).pptx
f ( x0 )
函数y f ( x)在x x0的导数值 导函数y f ( x)在x x0的函数值
例2.(1)已知y
1 ,计算y x
;
x 1
(2)已知f ( x) 2x x3 ,计算f ( x), f (1), f (2).
例3.(1)已知函数f ( x)在R上可导,
则 lim f (1 2x) f (1)
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复习回顾
函数y f ( x)从x1到x2的平均变化率为
代数定义 几何含义
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
y f ( x2 ) f ( x1 )
{
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
O x1
x2
x
函数在给定点附近的平均变化率
求法步骤: (1)计算y并整理;
(2)化简 y ; x
(3)对 y 取极限. x
例1.(1)已知f ( x) x2 7 x 15,计算f (3).
例1.(2)已知f ( x) x2 7 x 15,计算f ( x0 ). f ( x0 ) 2x0 7 f ( x) 2x 7 导函数
x 0Leabharlann 3x(2)已知f (0) 0, f (0) 1, 则 lim f (2x) x0 x
例4.已知y f ( x)在[0,3]内的图象如下,求f ( 1 ),f ( ).
2
y
2
O
1
3
x
家庭作业:课时作业对应章节
y f ( x1 x) f ( x1 )
x
x
y
f ( x1 x) f ( x1 )
{
x
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解:y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明: y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
人教A版高中数学选修2-2课件1.2导数的计算(2)
综上所述,f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
作业 P18 7,8
曲线C相切于点(x0, y0)(x00), 求直线l的方程及切点坐标. 解: 由直线l过点(x0, y0),其斜率k= xy,00
∵点(x0, y0)在曲线C上, ∴y0=x03-3x02+2x0.
∴
y0 x0
=x02-3x0+2.
又y=3x2-6x+2,
∴在点(x0, y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5 2 8 4 ' (1 0 0
x) 5284 (100 x)2
(1 0 0
x)'
0
(100 x) (100
5284 x)2
(1)
5284 (100 x)2
(1)因 为 c'(90)
5284 (100 90)2
解 p (t ) 1 (1 5 % ) t 1 .0 5 t p ' (t ) 1 .0 5 t ln 1 .0 5
p ' (1 0 ) 1 .0 51 0 ln 1 .0 5 0 .0 8 (元 / 年 ) 分析答:: 在第10个年头,这种商品的价格上涨的速
度约0.08元/年.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得2x02-3x0=0.
这时y0=-
38,
k=-.
1 4
解得x0=
3 2
(∵x00).
∴直线l的方程为 y=-x,14 切点坐标是( 32, - 38).
人教版高中数学选修(2-2)第一章第二节《导数的计算》(共18张PPT)教育课件
2020.04
普通高中课程标准实验教科书 人教A版 选修2-2
导数及其运用
3.导数运算
笔记提纲
1、基本初等函数的导数公式 (1)函数和初等函数的概念 (2)基本初等函数的导数公式 2、导数的四则运算法则 (1)加减法法则 (2)乘法法则 (3)除法法则 (4)简单的复合函数求导法则
导数的运算
导数运算
没
有
用
他
会
不
开
心
。
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
升
合
导
的
?
口
罗
其
实
不
是
合
的
。
■电你是否有这样经历,当 你在做某一项工作 和学习的时候,脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书,大脑会 蹦出口渴想喝水, 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。,一个小 时过去 了,可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到,你的 大脑不停地超控你 的注意力,你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考, 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑,而应该是你拥 有你的大脑,并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候,会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪,无论 身处何种境地,都 要明白自己所面临 的痛苦并 没有自己所感受的那么强烈 ,我们当前再痛苦 ,在目前这个阶段 自己也不是最痛苦 的人,尝试着运用 心智将注 意力转移到其他的地方,痛 苦就会自动消失, 在你重新注意到它的 时候,它不会回来。
普通高中课程标准实验教科书 人教A版 选修2-2
导数及其运用
3.导数运算
笔记提纲
1、基本初等函数的导数公式 (1)函数和初等函数的概念 (2)基本初等函数的导数公式 2、导数的四则运算法则 (1)加减法法则 (2)乘法法则 (3)除法法则 (4)简单的复合函数求导法则
导数的运算
导数运算
没
有
用
他
会
不
开
心
。
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
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合
导
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?
口
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其
实
不
是
合
的
。
■电你是否有这样经历,当 你在做某一项工作 和学习的时候,脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书,大脑会 蹦出口渴想喝水, 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。,一个小 时过去 了,可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到,你的 大脑不停地超控你 的注意力,你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考, 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑,而应该是你拥 有你的大脑,并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候,会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪,无论 身处何种境地,都 要明白自己所面临 的痛苦并 没有自己所感受的那么强烈 ,我们当前再痛苦 ,在目前这个阶段 自己也不是最痛苦 的人,尝试着运用 心智将注 意力转移到其他的地方,痛 苦就会自动消失, 在你重新注意到它的 时候,它不会回来。
数学选修2-2人教新课标A版1-2-2导数公式及运算法则课件(24张)
第一章 §1.2导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数
公式及导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 ,y= x
x 的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 几个常用函数的导数
反思与感悟
解析答案
1
跟踪训练2 已知函数y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k=___e_____.
解析 设切点(x0,y0),
由题意得:y′|xx0 =x10=k,
①
又y0=kx0,
②
而且y0=ln x0,
③
由①②③可得:x0=e,y0=1,则 k=1e.
解析答案
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0,x20 ),依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y =x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=12,
∴切点坐标为(12,14),
∴所求的最短距离
d=|21-142-2|=78
解析答案
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P,Q为抛物线y=1 x2上两点,点P,Q横坐标分别为4,-2,
2 过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为 ________.
解析答案
(2)已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共 点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0,y0)使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1= y′| xx0 =cos x0,k2=y′|xx0 =-sin x0, 要使两切线垂直,必须k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即sin 2x0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数
公式及导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 ,y= x
x 的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 几个常用函数的导数
反思与感悟
解析答案
1
跟踪训练2 已知函数y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k=___e_____.
解析 设切点(x0,y0),
由题意得:y′|xx0 =x10=k,
①
又y0=kx0,
②
而且y0=ln x0,
③
由①②③可得:x0=e,y0=1,则 k=1e.
解析答案
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0,x20 ),依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y =x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=12,
∴切点坐标为(12,14),
∴所求的最短距离
d=|21-142-2|=78
解析答案
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P,Q为抛物线y=1 x2上两点,点P,Q横坐标分别为4,-2,
2 过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为 ________.
解析答案
(2)已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共 点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0,y0)使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1= y′| xx0 =cos x0,k2=y′|xx0 =-sin x0, 要使两切线垂直,必须k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即sin 2x0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
高中数学人教A版选修2-2课件:1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1 ������ 2
1 ������ 2
;
������ 4 cos ; 4
1 ������ 2
解:(1)y'= cos������ +
′
1 1 ������ =-sin x+ ln = −sin x− ln 2. 2 2 2 ������ ������ 2 ������ 2 ������ (2)∵y= sin + cos − 2sin2 cos2 4 4 4 4 1 ������ 1 1-cos������ 3 1 =1− sin2 = 1 − · = + cos x, 2 2 2 2 4 4 3 1 1 ∴y'= 4 + 4 cos������ ′ = − 4 sin x. cos2������ cos2 ������-sin2 ������ (3)∵y= = = cos x-sin x, sin������+cos������ sin������+cos������
解得 x0=1 或 x0=− .
1 2
∴k=3×1 -2=1 或 k=3× ∴切线的斜率为 1或 − 4,
5
2
1 2 2
−2=− .
5 4
5 4
故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=− (������ − 1), 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.
2
.
2.如何利用复合函数的求导法则求复合函数的导数? 剖析:求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y=f(u),u=g(x); (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特 别注意中间变量对自变量求导,即先求yu',再求ux'; (3)计算yu'· ux',并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 整个过程可简记为分解—求导—回代.熟练以后,可以省略中间 过程.
1 ������ 2
;
������ 4 cos ; 4
1 ������ 2
解:(1)y'= cos������ +
′
1 1 ������ =-sin x+ ln = −sin x− ln 2. 2 2 2 ������ ������ 2 ������ 2 ������ (2)∵y= sin + cos − 2sin2 cos2 4 4 4 4 1 ������ 1 1-cos������ 3 1 =1− sin2 = 1 − · = + cos x, 2 2 2 2 4 4 3 1 1 ∴y'= 4 + 4 cos������ ′ = − 4 sin x. cos2������ cos2 ������-sin2 ������ (3)∵y= = = cos x-sin x, sin������+cos������ sin������+cos������
解得 x0=1 或 x0=− .
1 2
∴k=3×1 -2=1 或 k=3× ∴切线的斜率为 1或 − 4,
5
2
1 2 2
−2=− .
5 4
5 4
故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=− (������ − 1), 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.
2
.
2.如何利用复合函数的求导法则求复合函数的导数? 剖析:求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y=f(u),u=g(x); (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特 别注意中间变量对自变量求导,即先求yu',再求ux'; (3)计算yu'· ux',并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 整个过程可简记为分解—求导—回代.熟练以后,可以省略中间 过程.
高中数学选修2-2精品课件13:1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2.若f(x)=sin x,则f′(x)= cos x . 若f(x)=cos x,则f′(x)=__-__si_n_x_. 3.若f(x)=ax,则f′(x)= axlna(a>0). 若f(x)=ex,则f′(x)= ex .
导数公式的直接应用
例1:求下列函数的导数. (1)y=a2(a为常数). (2)y=x12. (3)y=cosx.
4 方程为 x-y-1=0.
【答案】A
3 . 曲 线 y = xn 在 x = 2 处 的 导 数 为 12 , 则 n 等 于 ________. 【解析】y′=nxn-1, ∴y′|x=2=n2n-1=12,∴n=3. 【答案】3
4.下列结论中不正确的是
A.若 y=3,则 y′=0
B.若
y=
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式.解题时认真观察函数的 结构特征,积极地进行联想化归,才能抓住问题的本质, 把解题思路放开.
知能自主梳理
1.若f(x)=c,则f′(x)= 0 . 若f(x)=xn(n∈N*),则f′(x)= nxn-1 .
知能自主梳理
求某一点处的导数
例
2:求函数
f(x)=
1在 x
x=1
处的导数.
解:
f′(x)=
1 x
=(
x
1 2
)′=-1
x
1 2
1
2
=-1
x
3 2
=-
1
,
2
2 x3
∴f′(1)=- 1 =-1, 21 2
∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为-12.
点评:求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数,再 代入变量的值求导数.
导数公式的直接应用
例1:求下列函数的导数. (1)y=a2(a为常数). (2)y=x12. (3)y=cosx.
4 方程为 x-y-1=0.
【答案】A
3 . 曲 线 y = xn 在 x = 2 处 的 导 数 为 12 , 则 n 等 于 ________. 【解析】y′=nxn-1, ∴y′|x=2=n2n-1=12,∴n=3. 【答案】3
4.下列结论中不正确的是
A.若 y=3,则 y′=0
B.若
y=
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式.解题时认真观察函数的 结构特征,积极地进行联想化归,才能抓住问题的本质, 把解题思路放开.
知能自主梳理
1.若f(x)=c,则f′(x)= 0 . 若f(x)=xn(n∈N*),则f′(x)= nxn-1 .
知能自主梳理
求某一点处的导数
例
2:求函数
f(x)=
1在 x
x=1
处的导数.
解:
f′(x)=
1 x
=(
x
1 2
)′=-1
x
1 2
1
2
=-1
x
3 2
=-
1
,
2
2 x3
∴f′(1)=- 1 =-1, 21 2
∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为-12.
点评:求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数,再 代入变量的值求导数.
2019人教版高中数学选修2-2课件:1.2 导数的计算(共44张PPT)
考点类析
考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
[导入] 根据导数的几何意义求曲线的切线方程是导数的典型问题,学习导数公式和运 算法则后,求曲线切线的斜率将更加简单.求解过程中应注意以下问题: (1)切线的斜率就是在切点处的 导数值 ; (2)切点既在 切线 上,又在 曲线 上.
考点类析
例3 (1)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 3x-y+1=0 . (2)曲线y=ex过原点的切线方程为 y=ex .
备课素材
[例] 写出下列命题的逆命题、否命题和 逆否命题. (1)若ab=0,则a,b中至少有一个为零; (2)垂直于同一平面的两条直线平行.
[解析] (1)逆命题:若a,b中至少有一个为零, 则ab=0.否命题:若ab≠0,则a,b都不为零.逆 否命题:若a,b都不为零,则ab≠0. (2)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条 直线垂直于同一个平面.否命题:如果两条 直线不垂直于同一个平面,那么这两条直 线不平行.逆否命题:如果两条直线不平行, 那么这两条直线不垂直于同一个平面.
考点类析
B
考点类析
A
考点类析
[小结] 在求切线方程的过程中,一定要注意点的位置,一类是点在曲线上,另 一类是点不在曲线上,注意区分,并根据不同情况,采取不同的思路解决问题.
考点类析
考点类析
考点四 复合函数求导
[导入] 复合函数求导的步骤是什么?
解:(1)正确分清复合关系,选定中间变量; (2)分步计算对应变量的导数; (3)把中间变量代回,将导函数写为关于自变量的函数. 整个过程简记为“分解——求导——回代”,熟练后,可以省略中间过程,若遇多重复 合,可多次用中间变量求导.
高中数学人教A版选修2-2课件 1.2 导数的计算 第2课时《导数的概念》
解析:令t0=6958,Δt为增量. 则ht0+ΔΔtt-ht0 =
-4.9×6958+Δt2+6.5×6958+Δt+10+4.9×69582-6.5×6958-10 Δt
=-4.9Δt6459+ Δt Δt+6.5Δt=-4.94695+Δt+6.5
的瞬时变化率.这里需强调的是:依题意在求完平均变化率
Δs Δt
=
st0+ΔΔtt-st0后需对ΔΔst求极限,只有当Δlit→ m0 ΔΔst为一个常数时,此常数
才称为物体在t=t0时的瞬时速度.
变式探究1 如果质点M按照规律s(t)=2t2+1做直线运动(位移 单位:m,时间单位:s).求该质点在t=3 s时的瞬时速度.
解析:令t0=3,Δt为增量, 则st0+ΔΔtt-st0=2·3+Δt2+Δ1t-2×32-1 =12ΔtΔ+t 2Δt2=12+2Δt. ∴Δlit→ m0 st0+ΔΔtt-st0=Δlit→ m0 (12+2Δt)=12, 即质点在t=3s时的瞬时速度为12 m/s.
考点二 求函数在某点处的导数 例2 利用导数的定义,求函数y=x12在x=1处的导数.
(3)取极限,得y′| x=x0 =f′(x0)=Δlixm→0
Δy Δx.
3 新课堂·互动探究 考点一 求物体的瞬时速度 例1 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起 跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运 动员在t=6958 s时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
3 4liΔmx→0
fx0--3Δ3xΔ- x fx0=34f′(x0)=34a.
答案:C
1 3Δlixm→0
f11++ΔΔxx- -f11=13f′(1).
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复合函数的导数
• 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u =g(x)的导数间的关系为yx′=__y_u_′·_u_x_′___.即y对 x的导数等于__y_对__u_的__导_数___ __与__u_对__x的__导__数__的_乘__积____.
• 2.复合函数求导应注意的问题
(1)y=3-14x4;(2)y=cos(2 008x+8); (3)y=21-3x;(4)y=ln(8x+6).
[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化
解析: (1)引入中间变量 u=φ(x)=3-4x. 则函数 y=3-14x4是由函数 f(u)=u14=u-4 与 u=φ(x)=3-4x 复合而成的. 查导数公式表可得 f′(u)=-4u-5=-u45,φ′(x)=-4. 根据复合函数求导法则可得3-14x4′=f′(u)φ′(x) =-u45·(-4)=1u65 =3-164x5.
高中数学人教A 版选修2-2
1.2.2 导数的计算(二)
• 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.
• 2.能利用复合函数的求导法则进行复合函数 的求导.(难点)
• 3.掌握求曲线切线方程的方法和切线问题求 参数的题型.(重点)
导数的运算法则
• 设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的 和的导数
两个函数的 商的导数
gfxx′=_f_′__x__g__[xg_-_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(_x)_≠__0_)___
• 1.应用导数的运算法则应注意的问题
• (1)对于教材中给出的导数的运算法则,不 要求根据导数定义进行推导,只要能熟练运用 运算法则求简单函数的导数即可.
• (2)对于和差的导数运算法则,此法则可推 广到任意有限个可导函数的和或差,即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′=f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x).
导数运算法则的应用
•
根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则,求下列函数的导数.
(1)y=x2-2x-4ln x;(2)y=x·tan x;(3)y=exx;
(4)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(5)y=x+sin
x 2cos
x 2.
[ 思 路 点 拨 ] 观察式子特点 ―变―形→ 化繁为简 四 求―则 导―运 公→算 式
(3)对于积与商的导数运算法则,首先要注意在两个函数的 积与商的导数运算中,不能出现[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g′(x)以及 gfxx′=gf′′xx这样想当然的错误;其次还要特别注意两个函 数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数法则中是“+”, 商的导数法则中分子上是“-”.
合作探究 课堂互动
(4)引入中间变量 u=φ(x)=8x+6, 则函数 y=ln(8x+6)是由函数 f(u)=ln u 与 u=φ(x)=8x+6 复合而成的, 查导数公式表可得 f′(u)=1u,φ′(x)=8. 根据复合函数求导法则可得 [ln(8x+6)]′=f′(u)·φ′(x)=8u=8x+8 6.
•
[f(x)+g(x)]′=__f′___(x__)+___g_′__(_x_)_
两个函数的 差的导数
[f(x)-g(x)]′=_f_′__(_x_)_-__g__′__(_x_]′=_f_′__(_x_)_g_(_x_)_+__f_(_x_)g__′(x)
(5)先使用三角公式进行化简,得
y=x+12sin x
∴y′=x+12sin
x′
=x′+12sin
x′
=1+12cos x.
•
解决函数的求导问题,应先分析
所给函数的结构特点,选择正确的公式和法
则,对较为复杂的求导运算,如综合了和、
差、积、商几种运算的函数,在求导之前应先
将函数化简,然后求导,以减少运算量.
• (2)引入中间变量u=φ(x)=2 008x+8, • 则函数y=cos(2 008x+8)是由函数f(u)=cos u 与u=φ(x)=2 008x+8复合而成的,查导数公式 表可得 • f′(u)=-sin u,φ′(x)=2 008. • 根据复合函数求导法则可得 • [cos(2 008x+8)]′=f′(u)φ′(x)=(-sin u)·2 008
复合函数求导的注意事项
• (1)求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的 复合关系,选好中间变量.
• (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的 求导,不能混淆,如y=cos 2x可由y=cos u和u=2x复 合而成,第一步为y对u求导,第二步为u对x求导.
• =-2 008sin u=-2 008sin( 2 008x+8).
• (3)引入中间变量u=φ(x)=1-3x, • 则函数y=21-3x是由函数f(u)=2u与u=φ(x) • =1-3x复合而成的, • 查导数公式表得f′(u)=2uln 2,φ′(x)=-3, • 根据复合函数求导法则可得 • (21-3x)′=f′(u)φ′(x)=2uln 2·(-3)=-3×2uln 2 • =-3×21-3xln 2.
• (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合 而成的,对于常用的基本函数要熟悉.
• (2)求复合函数的导数,关键要分清函数的 复合关系,特别要注意中间变量.
• (3)要注意复合函数的求导法则与四则运算 求导法则的综合运用.
复合函数的导数
•
写出下列各函数的中间变量,并利用
复合函数的求导法则,求出函数的导数.
求导
(1)y′=2x-2-4x.
(2)y′=(x·tan x)′=xcsoisn xx′
=xsin
x′cos
x-xsin cos2x
xcos
x′
=sin
x+xcos xcos cos2x
x+xsin2x
=sin
xcos x+x cos2x .
(3)y′=x′ex-exx·2ex′ =1-ex x. (4)∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3+6x2+11x+6)′ =3x2+12x+11.