_二次函数图象及性质(复习)_

b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
0•
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
（2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时
√Δ AB=|x2-x1|= √(x1+x2)2+4x1 x2= ——|a| 这一结论及推导过程。
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专题一：面积问题 1、写出下图中各个点的坐标?
y(纵轴)
F
1
AO
E
D
x(横轴)
B C
2、如图：求①S∆ABD
y=ax2+bx+c
使用范 围
已知任意 三个点
已知顶点
y=a(x-h)2+k （h,k)及
另一点
已知与x
y=a(x-x1)(x-x2) 轴的两个
交点及另 一个点
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0)
•(1,0) x
0
• • • (-1,-2)
3 (0,-–2)
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
•0 (0,c)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
•(x,0)
x
(3)a、b确定对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
y=ax2+bx+c
y=a(x+
b 2a
)2+
4ac-b2 4a
对称轴：
x=–
b 2a
顶点坐标：（–
b 2a
，4a4ca-b2
）
一、定义
二、顶点与对称轴
一般 三、解析式的求法 式
四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
顶点 式
交点 式
解析式
Δ>0
Δ=0 Δ<0
例1：已知二次函数y=—12x2+x-—32
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， 求C，A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
y(纵轴)
②S四边形ABCD?
F
E
AO
D
B C
x(横轴)
3、求①经过A，C，D三点的抛物线表达式
②你能写出原抛物线向右平移4个单位后的表达式吗？
y(纵轴)
F
E
AO
D
H x(横轴)
B
C
G
一展身手
如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相 交于两点A（x1，0） B（x2，0）（x1<x2）与y轴 负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1， A、 B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6。
25
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米
解：当x=15时，
y
0
Y=-1/25 × 152
h
x
A
B
=-9
问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)
与 飞 行 时 间 t(s) 之 间 的 函 数 关 系 式 是
h=V0tsinα－5t2，其中V0是炮弹发射的初速度，
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巩固练习
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标 是_（__—12_，_-_—24_5）____对称轴是__x=_—12______。 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 是（x的_3（增_）0_，_已大0_）_知而（_2_函减，_0_数小）_y时=，12-xx2-的x-取4，值当范函围数是值y随 ___x_<_1 ______ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 经过原点，则m= _2___。
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
•(0,c)
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解: (2)由x=0，得y= - -32—
抛物线与y轴的交点C（0，- -32—）
由x1y==-30，得—12x2x=21+x- —32 =0 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
专题讲评
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一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
一、定义
二、顶点与对称轴 一般地，如果
三、解析式的求法
y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y
四、图象位置与 叫做x的二次函数。
a、b、c、 的 正负关系
一、定义
二、顶点与对称轴
解:（1）∵a= —12 >0
∴抛物线的开口向上
∵y= —12 (x2+2x+1)-2=—12 (x+1)2-2
∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。
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能力训练
(5) 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是____________
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0
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归纳小结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用
注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
by x=- 2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
么水池的半径至少要__2._5_米，才能使喷出的水流 不致落到池外。
Y
(0,1.25) A
．B(1,2.25)
（1）求点A和B的坐标
y
（2）求此抛物线的解析式
A
D NB
O
x
C
*（3）设M（x，y）（其中0<x<3）是
.M
抛物线上的一个动点，试求当四边
形OCMB的面积最大时，点M的坐标。 P
专题二：实际应用 问题1： 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y= - 1 x2 ， 当水位线在AB位
b x=- 2a
y
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
b
x=- 2a
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
wk.baidu.com
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•3 (0,-–2)
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=—M12 ×AB4的×面2=积4 =—12 AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 (3)
x=-1 y
①画对称轴
②确定顶点 ③确定与坐标轴的交点 及对称点
④连线
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•3 (0,-–2)
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
例1： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
α是炮弹的发射角，当V0=300（m/s）, α=30˚
时,炮弹飞行的最大高度是
1m1.25
问题3： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各 方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的 坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路 线最高处B（1，2.25），则该抛物线的表达式 为 y= －(x-1)2 +2.25 。如果不考虑其他因素，那