浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用

浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用

永吉35中王萍

数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。

数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系。这可以算是数与形结合的开端。即而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应。因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系相联系的。新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生

学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？

下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。

一、数与代数中的数形结合

这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。

在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

例1、一元二次方程解的意义：

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公

共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。

例：①x 2-x-6=0，x 1=-2，x 2=3，y=x 2-x-6与x 轴的公共点

A(-2,0),B(3,0)。

②x 2-2x+1=0，x 1=x 2=1，y= x 2-2x+1与x 轴的公共点A(1,0)。

③x 2+1=0，没有实数解，y= x 2+1与x 轴没有公共点。

图① 图② 图③

例2、二元一次方程组的解的意义：

二元一次方程组111222

00a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的解有三种情况： ① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为两条直线a 1x+b 1y+c 1=0、a 2x+b 2y+c 2=0

的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a 1：a 2=b 1：b 2≠c 1：c 2时，两条直线的斜率相

同，y 轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a 1：a 2=b 1：b 2=c 1：c 2时，两条直线的斜率相同，y 轴上

的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a 1：a 2≠b 1：b 2时，两条直线的斜率不相同，两条

直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。

例：①2304410

x y x y ++=⎧⎨++=⎩，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关系如图：平行。

②21020

x y x y ++=⎧⎨+=⎩，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系如图：相交。

③24020x y x y +=⎧⎨+=⎩

，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系如图：重合。

例3、图形隐含条件：

例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)

=-a-2b-c 。

例4、教师任意写出一个关于a 和b 的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： 2a +2ab+2b ,

x x

（1） （2） （3）

c b 0 a x

2项数末项）（首项⨯+152

551=⨯+）（50502

1001001=⨯+）

（22a +5ab+22

b 等。

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义

学生在这一活动中能很好地体会代数与几何的联系，实现数量关系和图形性质的相应转化，这一活动达到了让学生手脑并用的目的，无疑对启迪学生的智慧起到助推器的作用。

例5、完成下列计算，

1+2=?

1+2+3=?

1+2+3+4=?

如果以1+2+3+4为例，

如图：由此可知，

1+2+3+4=10=

1+2+3+4+5=? 1+2+3+ …+100=? 1+2+3+…+n=?

由此可知，1+2+3+4=10= 2414）（+

⨯

a b

b a