材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
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轴向拉压变形分析的基本原理
简单拉压静不定问题分析
热应力与预应力分析
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§3-1
引言
1 2 3 4 5
A
A
F
F
思考：为什么要研究变形？ 下述问题是否与变形（小变形）相关？
•A点位移? •各杆内力？ •各杆材料不同，温度变化时内力？
l
FN x dx EA
qxdx EA
总伸长为
qxdx ql 2dx l d l 0 0 EA 2 EA
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MECHANICS OF MATERIALS
§3-3
B
1
桁架的节点位移
解：1、轴力与两杆伸长（缩短） 由节点A的平衡
例：已知 E1 A1 E2 A2 EA, l2 l ,求桁架节点A的水平与铅垂位移
MECHANICS OF MATERIALS
例：已知E，A1，A2，求总伸长
2F
l1 l2 l3
l（续）
解法二：各载荷效应叠加
F
l1
(a)
F
l3
Fl1 F l 2 l 3 la EA1 EA2 2 Fl1 2 Fl 2 lb EA1 EA2
l2
2F
l1
FN l l EA
拉压刚度
适用范围：线弹性体，比例极限范围内
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MECHANICS OF MATERIALS
二、拉压杆的横向变形与泊松比
b
F
b1
l l1
F
b b
横向正应变
b b1 b
且异号。 试验表明：对传统材料，在比例极限内，
定义：
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MECHANICS OF MATERIALS
泊松比研究简史 1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题时 指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论 许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论 维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
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MECHANICS OF MATERIALS
§3-2
拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律 历史回顾： “胡克定律” 1678年由Robert Hooke提出。 Hooke 是伦敦皇家学会第一任会长(1662)， 他对弹性体作了许多实验。
单向应力状态下，比例极限内，正应力 与正应变成正比－胡克定律
2、节点A的位移的精确计算及其困难。
B
•精确位移求法：
1 2
45
C
A2 l2
A
A
杆1伸长 l1 到 A1 点， 杆2缩短 l2到A2 点， 以B、C为圆心作圆交于A’点
A1
l1
•计算困难：
F
需解二次方程组
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MECHANICS OF MATERIALS
Baidu Nhomakorabea
B
3 工程分析方法 ( 前提：小变形) ：
E G 2(1 )
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MECHANICS OF MATERIALS
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F F D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
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MECHANICS OF MATERIALS
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
(b)
Fl1 Fl 2 Fl3 l la lb EA1 EA2 EA3
与解法一结果一致，引出
l2
l3
叠加原理
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MECHANICS OF MATERIALS
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形（受力分析——用原结构尺寸）
0 0.5 ,
——泊松比
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MECHANICS OF MATERIALS
泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家 和力学家。1798年入巴黎综合工科学校， 成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。 1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812 年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年 应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得 堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。 材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的 有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、 泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松 流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松 求和法……等。
MECHANICS OF MATERIALS
例：求节点A的位移
B
B
A F 轴力 变形 变形 C
A
C 计算 外力 平移
变形图
转动
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MECHANICS OF MATERIALS
例：求节点AB的相对位移
D F A C B F A
D B
C
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MECHANICS OF MATERIALS
1
2
45
C
A2
A
Fl Ax AA2 l2 EA
A1
l1 2 2Fl Fl Ay l 2 cos 45 EA EA 2 2 1 Fl
A
EA
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MECHANICS OF MATERIALS
例：ABC刚性杆，求节点C的位移。 解：先计算杆1内力 FN 1 与伸长 l1
o
Vε W ?
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MECHANICS OF MATERIALS
二、拉压与剪切应变能密度 应变能密度：单位体积内的应变能，用 v 表示 •单向受力应变能密度
y
dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 v E
2 2E 2
2
45
A
C
FN1 2F(拉) FN 2 F(压)
由胡克定律
FN1 l1 2 F 2l 2 Fl l1 (伸长) E1 A1 EA EA FN 2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
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FN1
F
45
FN 2
A
F
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MECHANICS OF MATERIALS
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MECHANICS OF MATERIALS
典型材料常数
弹性常数 钢与合金钢 铝合金 铜 铸铁 木(顺纹)
E/GPa
200-220
0.250.30
70-72
0.260.34
100-120 80-160
0.330.35 0.230.27
8-12
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
F1
F2
l
F1
O l1
O
l2
l
O
l1
l *
l
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MECHANICS OF MATERIALS
例：已知 q , l , E , A ，求 l ( q 为常量）
q
解：距端点x处截面的轴力为
l
FN x qx
dx 微段伸长
FN x
q
x
dx
l
d l
1
然后画B点位移
B
A
30o
C
再画C点位移
B
F
C
C y 2B y 4l1
思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下， 刚性杆ABC杆为什么能伸长？ 答：切线代圆弧的近似。
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MECHANICS OF MATERIALS
例：求A点的位移。
AB杆为零力杆
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作业：习题3-4、3-10（a）
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MECHANICS OF MATERIALS
§3-4
拉压与剪切应变能
外力功、应变能与功能原理
F
F
•外力功( W ):构件变形时，外力在相应位移上做的功。 •应变能（ V ）：构件因变形贮存能量。 •弹性体功能原理：
Vε W （根据能量守恒定律）
4 Fd d d 2 2 ( D d )E
u
D D
4 FD D2 d 2 E
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MECHANICS OF MATERIALS
三、多力杆的变形与叠加原理 例：已知E，A1，A2，求总伸长
A1
A2
l2
l
FN 1 FN 2 F , FN 3 F
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
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MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
F F d D
F 4F 解： E AE D 2 d 2 E
4 F D2 d 2 E
du=’ds
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
u
d
0
ds 0
d
4 F 4 Fd ds ( D2 d 2 )E ( D 2 d 2 )E
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MECHANICS OF MATERIALS
讨论：
FN i li •阶梯形杆： l i 1 E i Ai
n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
FN ( x )dx d( l ) EA( x )
n
FN ( x) l dx l EA(x )
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MECHANICS OF MATERIALS
材料线性问题
F F
l * l1 l2 , 叠加原理成立。
F
F1 F2
F1
F2
l1
l O
F1
O
l2
l
O
l1
l2
l *
l
材料非线性问题
F F
l * l1 l2 , 叠加原理不成立。
F
F1 F2
2. 变形计算。（用何方法？ ）
解：1. 内力分析。轴力图
2F
l3
F
l1
FN
O
方法一：多载荷作用下各段变形叠加
F F
x
步骤：*用截面法分段求轴力；
Fl1 Fl 2 Fl 3 l l1 l 2 l 3 EA1 EA2 EA3
*分段求出变形；
*求代数和。
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MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
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MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
1 2
45
受力分析——用原结构尺寸;
变形分析——切线代圆弧方法。
A
C
A
A2
A
A1
1、精度略有降低； 2、分析极大简化。
分析步骤：1、平衡方程求各杆轴力；
2、物理方程求各杆变形； 3、用切线代圆弧，求节点位移。
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MECHANICS OF MATERIALS
B
4、节点位移计算
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
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MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
•功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增加，动能 与热能等的变化可忽略不计。
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MECHANICS OF MATERIALS
一、轴向拉压应变能
f
*线弹性材料
• 外力功
dW fd , W 0 fd F l W 2
2 FN l F l •对线弹性体： 2 EA 2
E
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MECHANICS OF MATERIALS
拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
l l1
F
•轴向变形 l l1 -l (伸长为正) 胡克定律
•横向变形 b b1 b
E ( p )
FN ， A
l
l
FN l E A l
简单拉压静不定问题分析
热应力与预应力分析
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MECHANICS OF MATERIALS
§3-1
引言
1 2 3 4 5
A
A
F
F
思考：为什么要研究变形？ 下述问题是否与变形（小变形）相关？
•A点位移? •各杆内力？ •各杆材料不同，温度变化时内力？
l
FN x dx EA
qxdx EA
总伸长为
qxdx ql 2dx l d l 0 0 EA 2 EA
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§3-3
B
1
桁架的节点位移
解：1、轴力与两杆伸长（缩短） 由节点A的平衡
例：已知 E1 A1 E2 A2 EA, l2 l ,求桁架节点A的水平与铅垂位移
MECHANICS OF MATERIALS
例：已知E，A1，A2，求总伸长
2F
l1 l2 l3
l（续）
解法二：各载荷效应叠加
F
l1
(a)
F
l3
Fl1 F l 2 l 3 la EA1 EA2 2 Fl1 2 Fl 2 lb EA1 EA2
l2
2F
l1
FN l l EA
拉压刚度
适用范围：线弹性体，比例极限范围内
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MECHANICS OF MATERIALS
二、拉压杆的横向变形与泊松比
b
F
b1
l l1
F
b b
横向正应变
b b1 b
且异号。 试验表明：对传统材料，在比例极限内，
定义：
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泊松比研究简史 1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题时 指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论 许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论 维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
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§3-2
拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律 历史回顾： “胡克定律” 1678年由Robert Hooke提出。 Hooke 是伦敦皇家学会第一任会长(1662)， 他对弹性体作了许多实验。
单向应力状态下，比例极限内，正应力 与正应变成正比－胡克定律
2、节点A的位移的精确计算及其困难。
B
•精确位移求法：
1 2
45
C
A2 l2
A
A
杆1伸长 l1 到 A1 点， 杆2缩短 l2到A2 点， 以B、C为圆心作圆交于A’点
A1
l1
•计算困难：
F
需解二次方程组
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Baidu Nhomakorabea
B
3 工程分析方法 ( 前提：小变形) ：
E G 2(1 )
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MECHANICS OF MATERIALS
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F F D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
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例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
(b)
Fl1 Fl 2 Fl3 l la lb EA1 EA2 EA3
与解法一结果一致，引出
l2
l3
叠加原理
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MECHANICS OF MATERIALS
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形（受力分析——用原结构尺寸）
0 0.5 ,
——泊松比
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MECHANICS OF MATERIALS
泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家 和力学家。1798年入巴黎综合工科学校， 成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。 1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812 年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年 应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得 堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。 材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的 有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、 泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松 流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松 求和法……等。
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例：求节点A的位移
B
B
A F 轴力 变形 变形 C
A
C 计算 外力 平移
变形图
转动
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MECHANICS OF MATERIALS
例：求节点AB的相对位移
D F A C B F A
D B
C
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MECHANICS OF MATERIALS
1
2
45
C
A2
A
Fl Ax AA2 l2 EA
A1
l1 2 2Fl Fl Ay l 2 cos 45 EA EA 2 2 1 Fl
A
EA
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例：ABC刚性杆，求节点C的位移。 解：先计算杆1内力 FN 1 与伸长 l1
o
Vε W ?
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MECHANICS OF MATERIALS
二、拉压与剪切应变能密度 应变能密度：单位体积内的应变能，用 v 表示 •单向受力应变能密度
y
dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 v E
2 2E 2
2
45
A
C
FN1 2F(拉) FN 2 F(压)
由胡克定律
FN1 l1 2 F 2l 2 Fl l1 (伸长) E1 A1 EA EA FN 2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
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FN1
F
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FN 2
A
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MECHANICS OF MATERIALS
典型材料常数
弹性常数 钢与合金钢 铝合金 铜 铸铁 木(顺纹)
E/GPa
200-220
0.250.30
70-72
0.260.34
100-120 80-160
0.330.35 0.230.27
8-12
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
F1
F2
l
F1
O l1
O
l2
l
O
l1
l *
l
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MECHANICS OF MATERIALS
例：已知 q , l , E , A ，求 l ( q 为常量）
q
解：距端点x处截面的轴力为
l
FN x qx
dx 微段伸长
FN x
q
x
dx
l
d l
1
然后画B点位移
B
A
30o
C
再画C点位移
B
F
C
C y 2B y 4l1
思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下， 刚性杆ABC杆为什么能伸长？ 答：切线代圆弧的近似。
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例：求A点的位移。
AB杆为零力杆
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作业：习题3-4、3-10（a）
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§3-4
拉压与剪切应变能
外力功、应变能与功能原理
F
F
•外力功( W ):构件变形时，外力在相应位移上做的功。 •应变能（ V ）：构件因变形贮存能量。 •弹性体功能原理：
Vε W （根据能量守恒定律）
4 Fd d d 2 2 ( D d )E
u
D D
4 FD D2 d 2 E
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三、多力杆的变形与叠加原理 例：已知E，A1，A2，求总伸长
A1
A2
l2
l
FN 1 FN 2 F , FN 3 F
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
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2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
F F d D
F 4F 解： E AE D 2 d 2 E
4 F D2 d 2 E
du=’ds
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
u
d
0
ds 0
d
4 F 4 Fd ds ( D2 d 2 )E ( D 2 d 2 )E
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讨论：
FN i li •阶梯形杆： l i 1 E i Ai
n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
FN ( x )dx d( l ) EA( x )
n
FN ( x) l dx l EA(x )
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材料线性问题
F F
l * l1 l2 , 叠加原理成立。
F
F1 F2
F1
F2
l1
l O
F1
O
l2
l
O
l1
l2
l *
l
材料非线性问题
F F
l * l1 l2 , 叠加原理不成立。
F
F1 F2
2. 变形计算。（用何方法？ ）
解：1. 内力分析。轴力图
2F
l3
F
l1
FN
O
方法一：多载荷作用下各段变形叠加
F F
x
步骤：*用截面法分段求轴力；
Fl1 Fl 2 Fl 3 l l1 l 2 l 3 EA1 EA2 EA3
*分段求出变形；
*求代数和。
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第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
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MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
1 2
45
受力分析——用原结构尺寸;
变形分析——切线代圆弧方法。
A
C
A
A2
A
A1
1、精度略有降低； 2、分析极大简化。
分析步骤：1、平衡方程求各杆轴力；
2、物理方程求各杆变形； 3、用切线代圆弧，求节点位移。
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B
4、节点位移计算
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
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MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
•功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增加，动能 与热能等的变化可忽略不计。
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一、轴向拉压应变能
f
*线弹性材料
• 外力功
dW fd , W 0 fd F l W 2
2 FN l F l •对线弹性体： 2 EA 2
E
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拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
l l1
F
•轴向变形 l l1 -l (伸长为正) 胡克定律
•横向变形 b b1 b
E ( p )
FN ， A
l
l
FN l E A l