等比数列求和公式(课堂PPT)
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等比数列求和公式PPT教学课件
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解:当x≠0,x≠1,y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
(2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时,Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得:1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得:
a1 2,q 3
例4:已知Sn是等比数列{an }的前n项和, S3, S9 , S6成等差数列,
求证:a , a , a 成等差数列。 285
4.3.2.1等比数列的前n项和公式课件(人教版)
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1-3n 解:(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 an=3n-1,Sn= 1-3 =
12(3n-1). (2)因为 b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,
所以公差 d=5, 故 T20=20×3+20×219×5=1 010.
6.将数列{an}中的所有项按“第一行三项,以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表. 记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知: ①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N*,都有(n+1)·bn+1-nbn=0; ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列; ③a66=25.
当已知a1,q与an时,用Sn=a11--aqnq 比较方便.
在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得a22 =a1a5, 则(a1+d)2=a1(a1+4d),将a1=1代入并化简得d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去). 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以bbn+n 1 =22n+1-(2n-1)=4,所以数列{bn} 是首项为2,公比为4的等比数列.
∴an=3an-1(n≥2),
∴数列{an}是首项 a1=-2,公比 q=3 的等比数列,
∴S5=a1
1-q5 1-q
-2× 1-35 =
1-3
=-242.故选 B.
5.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.
12(3n-1). (2)因为 b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,
所以公差 d=5, 故 T20=20×3+20×219×5=1 010.
6.将数列{an}中的所有项按“第一行三项,以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表. 记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知: ①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N*,都有(n+1)·bn+1-nbn=0; ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列; ③a66=25.
当已知a1,q与an时,用Sn=a11--aqnq 比较方便.
在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得a22 =a1a5, 则(a1+d)2=a1(a1+4d),将a1=1代入并化简得d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去). 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以bbn+n 1 =22n+1-(2n-1)=4,所以数列{bn} 是首项为2,公比为4的等比数列.
∴an=3an-1(n≥2),
∴数列{an}是首项 a1=-2,公比 q=3 的等比数列,
∴S5=a1
1-q5 1-q
-2× 1-35 =
1-3
=-242.故选 B.
5.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.
等比数列的前n项和PPT课件
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讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项,公比是2的等比数列,
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时,
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②-①可得:
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列求和(1)PPT课件
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Thinking In Other People‘S Speeches,Growing Up In Your Own Story
讲师:XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考,在自己的故事里成长
例题 分析
例3:求和: Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解: ①当a=1时,Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时,
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和:(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点?
求和首先就是要消去… …,如何消呢?
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式,有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项?所得结论如何?
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
讲师:XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考,在自己的故事里成长
例题 分析
例3:求和: Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解: ①当a=1时,Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时,
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和:(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点?
求和首先就是要消去… …,如何消呢?
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式,有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项?所得结论如何?
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
等比数列的前n项和公式课件
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新课引入
某公司由于资金短缺,向银行借款,可银行提出 了这样一个条件:在一个月(30天)内,银行每天向 公司提供10000元,为了还本付息,公司第一天要向 银行返还1元钱,第二天返还2元钱,第三天返还4元 钱,即每天返还的钱数是前一天的2倍,请问,假如你 是公司老板,你会接受这个条件吗 ?
新知探究
建立出数学模型:
公司在这30 天内向银行 赊借与返还 的钱数分别 S '30 记为 、 S30
S '30 10000 30 3.0 105 ; 赊借:
返还:30 1 2 22 228 229. S
等比数列an , a1 1, q 2
等比数列的前n项和
2 4 6 2n
c 2 1 (c 2 ) n 1 c2
D.2 2 2 4 26 2 2 n
4(1 2 2 n ) 1 4
典例示范:
例1. 已知an 为等比数列,
( )a1 1, an 243, q 3, 求sn , n. 1
1 1 (2)a1 ,q , n 8, 求an 和sn . 2 2 (3)q 2, an 96, sn 63, 求a1 , n
'
而S30 3.0 10 ,显然S30比S30 大得多,
因此,公司老板最好不要同意这样的条 件,否则会亏大的.
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
{ 为等比数列, a1 为首项,q 为公比,它的前n项和 设 an }
Sn a1 a1q a1q 2 a1q n 2 a1q n 1
3.下列选项正确的是: D 1 1 - 2 n) ( n 1 A.1 2 4 8 (2) 1- 2 1 (1 2 n ) B.1 2 2 2 23 2 n 1 2 C.若c 0且c 1, 则c c c c
某公司由于资金短缺,向银行借款,可银行提出 了这样一个条件:在一个月(30天)内,银行每天向 公司提供10000元,为了还本付息,公司第一天要向 银行返还1元钱,第二天返还2元钱,第三天返还4元 钱,即每天返还的钱数是前一天的2倍,请问,假如你 是公司老板,你会接受这个条件吗 ?
新知探究
建立出数学模型:
公司在这30 天内向银行 赊借与返还 的钱数分别 S '30 记为 、 S30
S '30 10000 30 3.0 105 ; 赊借:
返还:30 1 2 22 228 229. S
等比数列an , a1 1, q 2
等比数列的前n项和
2 4 6 2n
c 2 1 (c 2 ) n 1 c2
D.2 2 2 4 26 2 2 n
4(1 2 2 n ) 1 4
典例示范:
例1. 已知an 为等比数列,
( )a1 1, an 243, q 3, 求sn , n. 1
1 1 (2)a1 ,q , n 8, 求an 和sn . 2 2 (3)q 2, an 96, sn 63, 求a1 , n
'
而S30 3.0 10 ,显然S30比S30 大得多,
因此,公司老板最好不要同意这样的条 件,否则会亏大的.
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
{ 为等比数列, a1 为首项,q 为公比,它的前n项和 设 an }
Sn a1 a1q a1q 2 a1q n 2 a1q n 1
3.下列选项正确的是: D 1 1 - 2 n) ( n 1 A.1 2 4 8 (2) 1- 2 1 (1 2 n ) B.1 2 2 2 23 2 n 1 2 C.若c 0且c 1, 则c c c c
等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
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an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表,观察表中数据的特点,用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n .
【解题回顾】
一般地,数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn:当ak≥0 时,有 Sn Sn;当ak<0时,Sn Sn ( k =1,2,…,n).若在
a1,a2,…,an中,有一些项不小于零,而其余各项均小于零 ,设其和分别为S+、S-,则有Sn=S++S-,所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等 于( D )
Sports
等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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典例 1 在等比数列{an}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn. (1)若 a1=8,an=14,Sn=643,求 n; (2)若 S3=72,S6=623,求 an 及 Sn; (3)若 a6-a4=24,a3·a5=64,求 S8; (4)若 a3=32,S3=412,求 a1.
[分析] 在等比数列中,对于a1,an,n,q,Sn五个量,若已知其 中三个量就可求出其余两个量,常列方程(组)来解答问题.当涉及高次 方程或指数方程时,要注意表达式的特点,采取相应的方法处理.
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元,如果该企业经过生产经营 ,每年资金增长率为50%,但每年年底都要扣除消费资金x万元,余下 的资金投入再生产.为实现5年后,资金达到2 000万元(扣除消费资金后 ),那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元?(精确到1万元)
依此类推,得: a5=1 000(1+12)5-x(1+12)4-x(1+12)3-x(1+12)2-x(1+21)-x. 则 1 000×(32)5-x[(32)4+(32)3+…+1]=2 000, ∴1 000×(32)5-x·11--32325=2 000. 解得 x≈424(万元).∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元.
由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和,且指数型函数的系数与常数项互为相反数.
(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,则数列S1,S2,S3, …,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点.
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qnSm. (2)在等比数列{an}中,当项数为 2n(n∈N*)时,SS偶奇=q. (3){an}是公比不为-1 的等比数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等
[分析] 在等比数列中,对于a1,an,n,q,Sn五个量,若已知其 中三个量就可求出其余两个量,常列方程(组)来解答问题.当涉及高次 方程或指数方程时,要注意表达式的特点,采取相应的方法处理.
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元,如果该企业经过生产经营 ,每年资金增长率为50%,但每年年底都要扣除消费资金x万元,余下 的资金投入再生产.为实现5年后,资金达到2 000万元(扣除消费资金后 ),那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元?(精确到1万元)
依此类推,得: a5=1 000(1+12)5-x(1+12)4-x(1+12)3-x(1+12)2-x(1+21)-x. 则 1 000×(32)5-x[(32)4+(32)3+…+1]=2 000, ∴1 000×(32)5-x·11--32325=2 000. 解得 x≈424(万元).∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元.
由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和,且指数型函数的系数与常数项互为相反数.
(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,则数列S1,S2,S3, …,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点.
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qnSm. (2)在等比数列{an}中,当项数为 2n(n∈N*)时,SS偶奇=q. (3){an}是公比不为-1 的等比数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等
等比数列的概念及基本运算ppt课件
![等比数列的概念及基本运算ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5674c4b54bfe04a1b0717fd5360cba1aa8118cc3.png)
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评:(1)解决等比数列问题,关键是抓住首项 a1 和 公比 q,求解时,要注意方程思想的运用.
(2)运用等比数列求和公式时,要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时,直接利用前 n 项和的意义展开,不仅可避 开公比 q 的讨论,还可使求解过程简捷.
q3=-2, 所以a1=1,
或q3=-12, a1=-8.
所以 a1+a10=a1(1+q9)=-7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111--qq10=10, (2)(方法一)设公比为 q,则a111--qq20=30, 得 1+q10=3,所以 q10=2. 所以 S30=a111--qq30=a111--qq10(1+q10+q20) =10(1+2+22)=70. (方法二)因为 S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, 所以 S30-30=30-10102=40,所以 S30=70. 答案:(1)D (2)70
A.8
B.9
C.10
D.11
解:因为 a5a7=a62,a7a9=a82, 所以 a5a7+2a6a8+a7a9=a62+2a6a8+a28=(a6+a8)2=100.又 an> 0,所以 a6+a8=10.
答案:C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2.(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3
等比数列的求和公式第一课时ppt
![等比数列的求和公式第一课时ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/076ea207866fb84ae45c8d2e.png)
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 ( 2)
1 1 2n 1 2
×
a a (3)a
n个
例1、已知 a n 是等比数列,求出下列各量
1 1 (1)已知 a1 2 , q 2 , n 5 ,求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时, S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时,等比数列an an 0 为一个常数 列,前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时, Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
( 1) 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中, 2 1
S 3 4 ,求 a 1 2
思考:
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中,a1 an 66 , • a2 an1 128 且 sn 126 ,求项数 • n 和公比 q
等比数列的求和公式ppt 人教课标版
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等比数列的求和公式
a n 1 1等比数列的定义: q an
2通项公式: a a q n 1
n 1
一、知识回顾:
3等比中项:
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =?
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到:
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结:
(1)等比数列前 n项和的推导方法:
错位相销法;比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一:
Sn=a1+a2+…+ an
公比为: q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得:
S6=189
a n 1 1等比数列的定义: q an
2通项公式: a a q n 1
n 1
一、知识回顾:
3等比中项:
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =?
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到:
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结:
(1)等比数列前 n项和的推导方法:
错位相销法;比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一:
Sn=a1+a2+…+ an
公比为: q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得:
S6=189
等比数列前n项和的求和公式 PPT课件
![等比数列前n项和的求和公式 PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d7b8aabadd36a32d737581a7.png)
当 n 1时,有 a1 2a1 1 , 即 a1 1 ;
当 n 2时,有 a1 a2 2a2 1, 即 a2 2 ;
故
q a2 2 2 ,
a1 1
因此
an
a q n1 1
1 2 n1
2 n 1
.
.
11
小试牛刀
求下列数列前n项的和. (1) 3, 11, 111,217,
4 8 16 32
了······
这猴子是不是 又在耍我
.
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜, 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
.
5
我们知道:
猪八戒收到的资金:
1003030(0万 0 )元
需返还孙悟空的资金:
? 1 2 2 2 2 3 2 2 9
.
6
倒序相加法
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 ( n 1 ) d ) (1) S n ( a 1 ( n 1 ) d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 d ) a 1 (2)
(2)11, 31, 51,71 , 2 4 8 16
.
12
等差、等比数列对比
ana1(n1)d
ana1qn1 (a1,q0)
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
.
1
师兄弟都成亿万富翁啦! 我也要成立一个“高老
庄集团”
.
2
猴哥, 能不能 帮帮 我······
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从而
Sn=14×5n+1-54或
1 Sn=
080×[1--56n]
11
.
7
(2)由 Sn=a1=a111--22n, 96=a1·2n-1,
∴a1·2n=192,即 2n=1a912,
∴189=a1(2n-1)=a1(1a912-1),
x2
bn x
(1)n 2
0 的两根,又
a1=2
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
21
跟踪练习
1.
设数列{an}的首项
a1=a≠
1 4
,且
an1 a12nan ,14n为, n为偶奇数数,
bn=a2n-1
1 4
(1)求 a2,a3
(2)判断{bn}是否为等比数列,并证明。
22
2. 已知数列{an},{bn}中,a1= b1=1,a2= b2=2,a3= b3=4, (1)若{an-an-1 }是等差数列,求 an (2)若{bn-bn-1 }是等比数列,求 bn
2.4.2
等比数列的求和公 式
(第一课时)
1
新课讲解
等比数列前 n 项和公式
知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn=naqa1≠111-1-qq=qn1=
a1-anq 1-q
根据 q 是否为 1,有两种形式
推导等比 错位相减法:解决由等比数列与
基本
两边乘公比,错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
∴a1=3,2n-1=936=32,∴n=6.
8
[例 2] 已知等比数列{an}中,an>0,Sn=80,S2n=6560,则 前 n 项中最大项为 54,求 n.
9
跟踪练习
1. (1)等比数列{an}中,q=-12,S5=11,则 a1,a5 分别为(
)
A.14,1
B.16,-1
C.16,1
D.14,-1
(2)求数列{an an+1 }的前 n 项和;
(3)求数列{(2n+1) an }的前 n 项和。
[例 4] 设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·22n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
15
解:(1)由已知得,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2 =22(n+1)-1. 而 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1.
提示:已知 a1,q,n 且 q≠1 时用 Sn=a111--qqn, 已知 a1,q,an 且 q≠1 时,用公式 Sn=a11--aqnq.
4
3.等比数列前 n 项和的公式是如何推导的?
提示:设 Sn=a1+a2+a3+…+an① 则把①式两边同乘以 q 得: qSn=a1q+a2q+a3q+…+an-1q+anq qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1② ①-②得(1-q)Sn=a1-an+1 ∴当 q≠1 时,Sn=a11--aqn+1=a1(11--qqn). 又当 q=1 时,∵a1=a2=…=an,∴Sn=na1.
a1q2=2 ①
则a11-q4=5×a11-q2 ②
1-q
1-q
由②得 1-q4=5(1-q2),
(q2-4)(q2-1)=0.
(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,
因为 q<1,解得 q=-1 或 q=-2.
12
当q=-1时,代入①得a1=2, 通项公式an=2×(-1)n-1; 当q=-2时,代入①得a1=12, 通项公式an=12×(-2)n-1. 综上,当q=-1时,an=2×(-1)n-1. 当q=-2时,an=12×(-2)n-1.
26
a5=1.1a4-b=1.1(1.14a-1.13b-1.12b-1.1b-b)-b =1.15a-1.14b-1.13b-1.12b-1.1b-b
b1-1.15
=1.6a-
=1.6a-6b
1-1.1
由题意 1.6a-6b=1.3a,解得 b=2a0,所以每年拆除的 旧住房面积为2a0m2.
27
31
[错因分析] 在上面的求解过程中,没有讨论公比 q 是 否为 1,就直接使用了等比数列的前 n 项和公式 Sn= a1(11--qqn),从而有可能出现漏解情况.
32
[正解] 若 q=1,则 S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2. 若 q≠1,则由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3=a111--qq3=211--qq3=6, 解得 q=1(舍去)或 q=-2. 此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8. 综上所述,q=1,a3=2 或 q=-2,a3=8.
19
2. 已知数列{bn}前n项和为Sn,且bn=2-2sn,
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
7 , a7 = 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求;数列{cn}前n项和Tn
20
例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
[例 5] 设数列{an}的相邻两项 an,an+1 是方程
跟踪练习
1. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.已知 西部某地区有耕地 3 000 万亩需要退耕还林,国家确定 2000 年在该地区退耕还林的土地面积为 300 万亩,以后每年退耕 还林的土地面积比上一年递增 20%.那么从 2000 年起,到哪 一年该地区基本解决退耕还林问题?(计算时取 log1.23=6)
1. 求和 Sn=1a+a22+a33+…+ann. 解:分a=1和a≠1两种情况. 当a=1时,Sn=1+2+3+…+n=nn+ 2 1; 当a≠1时,Sn=1a+a22+a33+…+ann, 上式两边同乘以1a,得 1aSn=a12+a23+…+n-an 1+ann+1,
18
两式相减,得(1-1a)Sn=1a+a12+…+a1n-ann+1, 即Sn=aan-an1a--n1a2 -1. 综上所述,得 Sn=anan2n+-a1n1a,--an1=a21-,1,a≠1.
16
(2)由bn=nan=n·22n-1知
Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.
①
从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.
②
①-②得
(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1.
即Sn=19[(3n-1)22n+1+2].
17
跟踪练习
+a3=12,则此数列的前 8 项和为( )
A.514
B.513
C.512
D.510
38
解析:由题意,得
a1+a1q3=18, a1q+a1q2=12,
解得q1=2,q2=
12,q3=-1,q2,q3不合题意,舍去.
∴q=2,a1=2. ∴S8=a111--qq8=2×1-1-2 28=510.
答案:D
28
解:设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一 个数列{an},由题意,得an+1=an(1+20%),
∴{an}是首项为a1=300,公比为1.2的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn,则Sn=3 000. ∴3001.12.-2n-1 1=3 000. ∴1.2n=3,解得n=log1.23=6. 故到2005年该地区基本解决退耕还林问题.
24
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了 30%,则每年拆除的旧住房面积 b 是多少? (计算时取 1.15=1.6)
25
解:设第 n 年末实际住房面积为 an(n∈N*). (1)由题意,则 a1=1.1a-b(m2). a2=1.1a1-b=1.1(1.1a-b)-b=1.21a-2.1b(m2) (2)a3=1.1a2-b=1.1(1.12a-1.1b-b)-b=1.13a-1.12b -1.1b-b a4=1.1a3-b=1.1(1.13a-1.12b-1.1b-b)-b =1.14a-1.13b-1.12b-1.1b-b
(2)设等比数列{an}的公比 q<1,前 n 项和为 Sn,已知 a3=2,
S4=5S2,求{an}的通项公式.
10
解析:(1)S5=a1[11----12125]=11⇒a1=16, a5=a1·q4=16×(-12)4=1.
11
(2)由题设知 a1≠0,Sn=a111--qqn(q<1),
29
易错点:忽略 q 的取值范围而导致出错 [错题展示] 已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6, 求 a3 和 q.
30
[错解] 由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3=a111--qq3=211--qq3=6, 解得 q=-2. 此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8, 综上所述,q=-2,a3=8.
解析:易求得q=2,a1=1.∴S5=11--225=31. 答案:31
41
5.求 Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0). 解:当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=nn+2 1; 当x≠1时,xSn=x2+2x3+3x4+…+(n-1)xn+nxn+1, ∴(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1. ∴(1-x)Sn=x11--xxn-nxn+1.
5
例题讲解
类型一 等比数列前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n.
6