高中数学常见题型解法归纳 参数方程消参的方法

高中数学常见题型解法归纳 参数方程消参的方法

【知识要点】

一、参数方程消参常用的方法有三种.

1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.

2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.

3、恒等式消参：通过方程计算出sin cos αα、，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数.

二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x y 、的前后范围的一致性. 有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写.

【方法讲评】 方法一 加减消参 解题步骤 直接把两个方程相加减即可消去参数.

【例1】把参数方程1(1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.

【点评】本题中变量x y 、可以不写，因为参数方程1(1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

为参数）中x 的范围是 22x x ≥≤-或，双曲线224x y -=中x 的范围也是22x x ≥≤-或，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写.

【反馈检测1】把参数方程2

2211(21t x t t t

y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.

方法二 代入消参 解题步骤 通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.

【例2】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ） A. 122=-x y B. 122=-y x

C. )2|(|122≤=-x x y

D. )2|(|122≤=-x y x

【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.

【反馈检测2】参数方程11x t y t

⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（ ）

A ．一条直线

B ．一个半圆

C ．一条射线

D ．一个圆

方法三

恒等式消参 解题步骤 通过方程计算出sin cos αα、，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数.

【例3】参数方程23sin 13cos x y θθ

=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是 .

【点评】（1）本题使用是三角恒等式消参；（2）本题不需要加上x 的范围15x -≤≤，因为x 的范围隐含在方程22

(2)(1)9x y -++=之中，也是15x -≤≤，所以不需要加x 的范围. 【反馈检测3】设曲线C 的参数方程为θθθ⎩

⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10

107的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第90讲：

参数方程消参的方法参考答案

【反馈检测1答案】22

1(1)x y x +=≠-，它表示以原点为圆心，以1为半径的圆（除去与x 轴相交的左交点）

【反馈检测2答案】C

【反馈检测2详细解析】123012x t x y y t

⎧=⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线． 【反馈检测3答案】B

【反馈检测3详细解析】由θθ

θ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，消参得：22(2)(1)9x y -++=为圆的方程. 由题可先判断直线与圆的位置关系得：232

71031010d ++=

=<，即：直线与圆相交且圆心到直线的距离为 10107，则圆上到直线距离为10

107的点有2个.