高中数学常见题型解法归纳参数方程消参的方法

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消参、用参、设参

消参、用参、设参作者：宋振苏来源：《新高考·高二数学》2012年第05期参数方程是曲线的一种重要表达形式，运用参数方程不仅能更好地研究曲线的几何性质，而且能使曲线的几何性质更加形象、直观，因此学好参数方程对研究曲线的几何性质具有重要的意义.学习参数方程从易到难的三个层次分别是消参、用参、设参，这也是学习参数方程要达到的三种境界一、消参已知参数方程，要求消去参数将其化为普通方程，进而更好地研究参数方程所表示的曲线的几何性质.这是学习参数方程的最低层次.例1已知曲线C的参数方程为C：，（），求曲线C的长度.●分●析要求该曲线的长度，需知该曲线的形状，而该曲线是由参数方程的形式给出的，因此先要消去参数化为普通方程，再看其表示的是何种曲线，进而解决本题●解因，故曲线C的参数方程可化为，不难知道该普通方程所表示的图形是圆.但注意到，故该参数方程所表示的曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的半圆（上半圆）.所以其长度应是圆周长的一半，即曲线C的长度为．●点●评消参是学习参数方程的第一层次，也是最低层次，特别值得注意的是消去参数时一定要注意参数的取值范围，保持消参后的普通方程与原参数方程的等价性二、用参已知参数方程，如何灵活、正确地使用好参数，是学习参数方程的第二层次，有一定的难度.例2已知直线l的参数方程为l：，-（t为参数），曲线C的参数方程为C：，（），若直线l与曲线C交于两点M，N，求线段MN的长度.●分●析本题若直接消去参数将曲线C与直线l化归为普通方程，则过程较为繁冗，而且具有一定的难度.其实只要将曲线C化归为普通方程，再灵活运用直线l的参数方程，即可使本题简捷巧妙地获解●解将曲线C化为普通方程，可得（该曲线为椭圆），直接将直线l的参数方程代入，可得-6t+1=0，解之得或t=15．当时，x=2，y=0，即得直线l与曲线C的一个交点为M（2，0）；当时，x=65，y=45，即得直线l与曲线C的另一个交点为，45．所以线段MN的长度．●点●评灵活借助直线的参数方程，巧妙将问题进行化归和转化，从而使得问题的解答简捷明快，发挥了参数方程的优势，体现了参数的功能与优越性三、设参如何依据题设条件设置参数，巧妙建立参数方程，进而将问题进行合理、有效地化归与转化，是学习参数方程的第三层次，也是学好参数方程的最高境界.图例3如图1，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若，其中x，∈R，则的最大值是 .●分●析不难看出点A，B，C都在半径为1的圆上，因此解答本题的关键是如何选择变量做为参数.这里可以通过建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为θ，借助圆的参数方程构建出关于θ的函数，再求其最大值●解建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为＜θ＜，则（1，0），B（，），C（，θ）．由，得，θ，即x-，，可得，，所以，注意到0＜θ＜，故当时，取最大值●点●评本题通过建立平面直角坐标系，并选取OC与OA的夹角为参变量，借助圆的参数方程与向量的坐标形式建立目标函数，最终将问题化归为求给定区间上的三角函数的最大值问题.设置参数起到了简捷明快地解题的作用1. 已知曲线C的参数方程为-1t，y=3t+1t（t为参数，t≥1），求曲线C的普通方程2. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值.。

参数方程在高考解题中的应用

参数方程1. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s sin ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

2. 补充3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22164121+=()弦所在的直线方程。

分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。

解：法一设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为A x yB x y x x x x k k k ()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+ 又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241212+=-+==-()程为x y +-=240法二设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y∴y y x x x x y y 12121212412--=-++=-()即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为，B x y ()42--∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 222241644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240法四直线方程为x t y t =+=+⎧⎨⎩21cos sin αα代入椭圆得：(cos )(sin )24116022+++-=t t αα∴444841602222+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(s i n c o s )(s i nc o s )48480222αααα+++-=t t∵，∴t t 122208440+=-++=sin cos sin cos αααα∴820s i nc o s αα+=∴，8212s i n cos tan ααα=-=-即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|c o s s i n ||s i n ()|2242342θθθϕ其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313 法二因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322例5. 已知椭圆：，，是椭圆上一点E x y P x y 2225161+=()()122求的最大值x y +（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。

高中数学求动点轨迹小专题4-消参法【教师版】

求动点轨迹系列小专题4：消参法消参法：顾名思义，通过消去参数，得到动点()y x P ,的轨迹方程。

本课时，敢于突破自己，在各式各样的情境下，多参数情况下，也能够找到消参的路径。

其实消参法学习过后，上课时的相关点法的本质也是消参法，消参的路径就是运用主动点的方程进行消参，相关点法实际上是以特殊的消参身份独立出来。

例1：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，己知两点()()60,26A B -，，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中21αβ+=.则点C 的轨迹方程为____________.【答案】65180x y +-=【解析】【分析】设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由21αβ+=可得出点C 的轨迹方程.【详解】设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以626x y αββ=-⎧⎨=⎩，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,又21αβ+=，所以216186x y y ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即65180x y +-=，故填：65180x y +-=.变式1：在直角坐标系xOy 中，过点(1,0)-的直线与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，弦AB 的中点P 的轨迹记为W ，求W 的方程；【分析】先设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，以及题意，得到121021284y y x x y y y -==+-，再由1201201y y y x x x -=-+，两式联立，即可得出结果；【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由题意可得：21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，则()2212128y y x x -=-，从而1212128y y x x y y =-+-，因为点P 为弦AB 的中点，所以1202y y y +=，即121021284y y x x y y y -==+-，又直线AB 过点(1,0)-，所以1201201y y y x x x -=-+，则00041y x y =+，即()20041y x =+，而()00,P x y 必在抛物线2:8C y x =的内部，从而()2000418y x x =+<，即01x >.故W 的方程为24(1)(1)y x x =+>.变式2：过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________.【答案】22(1)y x =-【解析】由题意知抛物线焦点为(1,0)，当直线的斜率存在时，设为k ，则焦点弦方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程24y x =得2222(24)0k x k x k -++=，由题意知斜率不等于0，方程是一个一元二次方程，由韦达定理：212224k x x k ++=所以中点横坐标：212222x x k x k ++==代入直线方程，则中点纵坐标：2(1)y k x k =-=，即中点为2222(,k k k+消参数k ，得其方程为22(1)y x =-当直线的斜率不存在时，直线的中点是(1,0)，符合题意，故答案为：22(1)y x =-变式3：设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【答案】2222230x y x +--=【分析】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12122,2x x x y y y =+=+,由题意,A B均在圆O 上则有222211224,4x y x y +=+=.又由BP AP ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，再代入消去参数，得到M 的轨迹方程.【解析】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+.(1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=.(2)又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅= .即BP AP ⋅ =1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++=（3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=-（4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++.即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++（5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-.即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--=变式4：双曲线Γ：221143x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，动直线l 垂直Γ的实轴，且交Γ于不同的两点,M N ，直线1A N 与直线2A M 的交点为P ，求点P 的轨迹C 的方程；【解析】因为()()122,0,2,0A A -，设(),,P x y ()00,,M x y 则()00,,N x y -且2200143x y -=①，因为动直线l 交双曲线于不同的两点,M N ，所以02x ≠±且2x ≠±，因为直线2A M 的方程为()0022y y x x =--②，直线1A N 的方程为()0022y y x x -=++③，②⨯③得()22202044y y x x -=--，把①代入上式得()22344y x =--，化简得22143x y +=，所以点P 的轨迹C 的方程为()221243x y x +=≠±.变式5：已知椭圆C ：221189x y +=的短轴端点为1B ，2B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.求动点N 的轨迹方程；【答案】（Ⅰ）()2210992y x x +=≠；【解析】设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，11,MB NB ⊥Q 22MB NB ⊥∴直线010:33x NB y x y +=-+①直线020:33x NB y x y -=--②⨯①②得22202099x y x y -=-又22001189x y +=Q ，2022221819929o y y x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-==--，整理得点N 的轨迹方程为()2210992y x x +=≠。

参数方程与极坐标模块常见题型全归纳

参数方程与极坐标模块常见题型全归纳目录一、第一问破解方法：1参数方程化普通方程的方法（1）代入消参法与和差消参法（2）恒等式消参法与平方消参法;2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; （2）曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;二、第二问破解方法：3坐标系与参数方程的最值（取值范围）问题的求解方法（1）应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）；（2）化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值（取值范围）问题；（3）运用圆的几何特性求最值（取值范围）问题； 4直线的标准式参数方程中参数t 的几何意义的应用（1）以定点为起点的线段的四则运算求值问题；（2）参数t 形式的弦长公式的运用； 5极坐标方程中ρ的几何意义的应用（1）以原点O 为起点的线段的四则运算求值问题；（2）应用ρ的几何意义表示两点间距离；6剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化——“数形结合思想”的运用（1）考查圆特有的的弦长公式AB =（2）通过图形关系分析代数关系； 7求曲线的极坐标方程（1）应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程；（2）运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程.1 参数方程化普通方程的方法 1.1 代入消参法与和差消参法【例1】直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：代入消参法由3y t =-得3t y =-，代入42x t =-整理得220x y -+=. 方法二：和差消参法将3y t =-乘以2与42x t =-作差可得220x y -+=.【评注】代入消参法与和差消参法源于我们初中学过的解方程组的思想，其目的在于消去参数t .【变式1】潜在的参数范围的影响曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________.【解析】由消参法可得220x y -+=，因为0，故44x =-，所以曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为()2204x y x -+=≤. 【变式2】曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】tan θ∈R ，所以x ∈R ，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =【变式3】注意tan θ和sin θ消参的区别曲线2sin ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】1sin 1θ-≤≤，所以11x -≤≤，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =(11)x -≤≤.【变式4】只有一个式子有参数直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为_____________.【解析】sin y θ=,所以11y -≤≤，故直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为1x =(11)y -≤≤.1.2 恒等式消参法与平方消参法【例2】参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_____________.【解析】由2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩得cos 2,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩因为22sin cos 1θθ+=，故参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)1x y ++=. 【评注】本题采用22sin cos 1θθ+=这一恒等式消参，高中阶段常用的恒等式还有：（1）()10,1x xa a a a -⋅=>≠且；（2）222211122t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()2sin cos 1sin 2ααα+=+. 【变式1】给参数范围的消参参数方程cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,πθ∈）化为普通方程为_____________.【解析】由[]0,πθ∈可知11x -≤≤，01y ≤≤，故该参数方程的普通方程为221x y +=(01)y ≤≤【变式2】平方消参法参数方程sin cos ,sin cos x t t y t t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：由sin cos x t t =-得212sin cos x t t =-，同理212sin cos y t t =+，故该参数方程的普通方程为222x y +=.方法二：由sin cos ,sin cos x t t y t t =-⎧⎨=+⎩得sin ,2cos .2x y t y x t +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩又22sin cos 1t t +=，故该参数方程的普通方程为222x y +=.【变式3】注意隐藏的x 的范围参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_______________.【解析】因为πsin cos )4x θθθ=+=+，所以x ⎡∈⎣，又因为()2sin cos 1sin2θθθ+=+，故21x y =+，所以参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为21x y =+()x ⎡∈⎣.【变式4】恒等式消参法与平方消参法对比参数方程(),2t tt tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________________. 【解析】方法一：2t t x e e -=+=≥，由(),2tt t tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得2,22.2t t yx e yx e -⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因为1tte e -⋅=，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 方法二：由(),2t tt t x e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩平方得2222222,2.4t t t t x e e y e e --⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，两式作差可得221416x y -=，又2ttx e e -=+=≥，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 2 应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化 2.1 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程【例3】只有ρ和θ的极坐标方程将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）1ρ=；【解析】因为1ρ=，所以21ρ=，又222x y ρ+=，故直角坐标方程为221x y +=.（2）π3θ=. 【解析】因为π3θ=，所以tan θ=tan yxθ=，故直角坐标方程为y =. 【评注】在进行极坐标与直角坐标的互化时，下列公式必不可少：（1）222x y ρ+=；（2）tan yxθ=；（3）cos x ρθ=；（4）sin y ρθ=. 【变式1】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的同侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）()cos sin 1ρθθ+=；【解析】由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为10x y +-=. （2）πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；【解析】因为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1cos sin 122ρθρθ-=，由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为20x -=. 【变式2】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的两侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）2cos 2sin ρθθ=+；【解析】由2cos 2sin ρθθ=+得22cos 2sin ρρθρθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为22220x y x y +--=.（2）π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；【解析】由π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得2sin cos ρρθθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为220x y y +--=.（3）8cos 1cos 2θρθ=-.【解析】由8cos 1cos 2θρθ=-得2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为24y x =.2.2 曲线的直角坐标方程化为极坐标方程【例4】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（1）y x =；【解析】将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入y x =得sin cos θθ=，故所求极坐标方程为π4θ=. （2）222310x y x y ++-+=；【解析】将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入222310x y x y ++-+=得22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=,故所求极坐标方程为22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=.【评注】将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程只需将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标方程适当化简即可.【变式1】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（1）()()22122x y -+-=；【解析】()()22122x y -+-=可化为222430x y x y +--+=将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式得22cos 4sin 30ρρθρθ--+=. （2）22134x y +=. 【解析】将c o s x ρθ=，sin y ρθ=代入22134x y +=得()()22cos sin 134ρθρθ+=, 即2222cos sin 134ρθρθ+=.3 坐标系与参数方程的最值问题（取值范围）的求解方法该题型是高考中的常考题型，在各类模拟试卷中也频繁出现，求解此类最值问题关键在于巧妙的构建不等关系，依据高中阶段建立不等关系的常用方法(利用三角函数有界性求取值范围，利用二次函数的单调性求最值，利用圆的几何对称性求最值)可分为三种类型求解. 3.1 应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）【例5】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）.（I ）求过椭圆C 的右焦点，且与直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数）平行的直线l 的普通方程；（II ）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值. 【解析】（I ）由椭圆C 的参数方程5co s,(3s i nx y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为221259x y +=，故椭圆C 的右焦点为(4,0). 直线42,3x t y t=-⎧⎨=-⎩ (t 为参数）化为普通方程为220x y -+=，因为直线l 过椭圆C 的右焦点，且与直线220x y -+=平行，所以由直线的点斜式方程得1(4)2y x =-，故直线l 的方程为240x y --=. （II ）因为椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），不妨设(5cos ,3sin )A ϕϕ，则椭圆C 的内接矩形ABCD 面积15sin 2=45cos 3sin 430sin 230.2S ϕϕϕϕ⋅==≤ 故椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值为30.【评注】本题关键在于利用椭圆的参数方程将解析几何的最值问题转化为三角函数的最值问题进行求解，其中利用椭圆的内接矩形的对称性巧妙转化四个小矩形是本题的思维难点.本题第二问可推广为：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内接矩形的最大面积为2ab .【变式1】恒成立问题转化为求最值已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点.（I ）求2x y +的取值范围；（II ）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）将222x y y +=化为圆的标准方程得22(1)1x y +-=，其参数方程为cos ,1sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），故(cos ,sin 1)P αα+，所以22cos sin 1x y αα+=++)1αϕ=++（tan 2ϕ=）,因为1sin()1αϕ-+≤≤，所以2x y +的取值范围为1⎡-⎣.（II ）0x y a ++≥恒成立等价于()a x y -+≥恒成立.()(cos sin 1)x y αα-+=-++π)14α=+-，所以()x y -+1，所以1a .【变式2】非特殊角求点已知曲线1C 的参数方程为：4cos ,3sintx t y =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），曲线2C 的参数方程为：8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （I ）化曲线1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值及此时Q 点坐标. 【解析】（I ）曲线1C 的普通方程为22(4)(3)1x y ++-=，它表示以点(4,3)-为圆心，1为半径的圆；曲线2C 的普通方程为221649x y +=，它表示焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（II ）π2t =时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，PQ 中点3(24cos ,2sin )2M θθ-++，直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为普通方程为270x y --=，故点M 到直线3C的距离3sin 13d θθ=--4cos 13θθ=-+)13θϕ=++(其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=-)，故当sin(1θϕ)=-+时，即π2π2k θϕ+=-（k ∈Z ）时，d，此时π4cos cos(2π)=sin 25k θϕϕ=---=，π3sin sin(2π)=cos 25k θϕϕ=---=-，从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d，此时329(,)55Q -. 【例6】已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数）.（I ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 经过伸缩变换',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.【解析】（I ）因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数），所以直线l 的普通20y --+=.曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.（II ）由',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得',2'x x y y =⎧⎨=⎩代入到224x y +=得曲线:C '22''14x y +=，于是由点(,)M x y 在曲线C '上得2214x y +=，从而可设点(2cos ,sin )M αα，则222224cos sin 2sin x y αααα-+=-+π2cos(2)33α=++，故πcos(2)13α+=-时，即π22ππ3k α+=+时，222x y -+取得最小值1，此时ππ3k α=+（k ∈Z ），则1cos 2α=，sin α=或1cos 2α=-，sin α=.所以当点M的坐标为(1,2或(1,)2--时，222x y -+取得最小值1. 【评注】坐标变换一直深受高三一线出卷老师的喜爱，试想在控制好试题难度的情况下增加题目的知识维度何乐而不为呢？求解此类问题时，只要我们能够正确的理解坐标变换的含义，问题自然会迎刃而解.【变式1】参数方程下的坐标变换已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的22C .（I ）求曲线2C 的普通方程；（II ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，点P 为曲线2C 上任意一点，求22PA PB -的最大值.【解析】（I ）因为曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），故曲线2C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的普通方程为22143x y +=. （II ）曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，故(2,0)A -，因为点P 为曲线2C 上任意一点，所以可设(2cos )P θθ，又因为点(1,1)B ，所以222222(2cos 2))(2cos 1)1)PA PB θθθθ-=++----12cos 2θθ=++)2θϕ=++，其中tan ϕ=故当sin()1θϕ+=时，22PA PB -取得最大值2.3.2 化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值【例7】（2015·陕西高考卷）在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为13,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρθ=．（I ）写出圆C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】（I）将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，又222x y ρ=+，sin x ρθ=可得圆C的直角坐标方程为22x y +=，即22(3x y +-=.（II ）因为直线l的参数方程为13,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），不妨设1(3)2P t +，又C，则PC ==故当0t =时，PC 取最小值，此时P 点的直角坐标为30（,）. 【评注】题目中说P 为直线l 上一动点，动点从何而得？本题告诉我们一个重要的解题经验——需要动点坐标时我们可以向曲线的参数方程“借”.【变式1】抛物线相关的最值问题在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线N的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（I ）求曲线N 直角坐标方程和曲线M 的直角坐标方程；（II ）求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离.【解析】（I ）由曲线M 的参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得21y x +=，即21y x =-，考虑到πsin cos )4x θθθ=+=+,故x ⎡∈⎣，所以曲线M 的直角坐标方程为21y x =-，x ⎡∈⎣.由曲线N的极坐标方程sin()4πρθ+=N 直角坐标方程为20x y ++=.（II ）不妨设曲线M 上一点200(,1)P x x -，其中0x ⎡∈⎣，则点P 到曲线N的距离2013()x d ++==考虑到012x ⎡=-∈⎣，所以当012x =-时，min 8d =. 又易知曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离等于曲线M 上的点与曲线N 的距. 【评注】本题很容易忽视x ⎡∈⎣这一隐含条件，本题给了我们一个解题经验：与抛物线上的点相关的最值问题往往可转化为二次函数进行求解.【变式2】已知曲线1C 的参数方程为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值. 【解析】（I ）因为曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，所以cos 2ρρθ-=，即2cos ρρθ=+，所以22(2)x ρ=+，化简得2440y x --=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2440y x --=. （II ）因为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）所以曲线1C 的普通方程为240x y ++=.因为1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，所以12M M 的最小值等于2M 到直线240x y ++=距离的最小值.设22(1,2)M t t -，则2M 到直线240x y ++=的距离d===，所以12M M的最小值为10.【变式3】由三角函数转化为二次函数求最值已知某圆的极坐标方程是2πcos()604ρθ--+=.（I）求圆的普通方程和参数方程；（II）已知圆上一动点(,)P x y，求xy的最大值和最小值.【解析】（I）由圆的极坐标方程2πcos()604ρθ--+=化为直角坐标方程可得224460x y x y+--+=，即22(2)(2)2x y-+-=.化为参数方程得2,2.xyαα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（II）(2)(2)xyαα=+⋅+4sin cos2sin cosαααα++=+）,令πsin cos)4tααα=+=+，则t⎡∈⎣，22sin cos1tαα=-，所以23xy t=++2(1t=+，t⎡∈⎣.故当t=xy取得最小值1；当t=时，xy取得最大值9.【评注】第二问为什么会想到将此题化为二次函数求最值呢？事实上是因为“幂次”暴露了本题的求解思路，题目中的sin cosαα+是1次幂，而sin cosαα是2次幂，具有典型二次函数结构，本题也给我们提供了一条换元经验和一个解题技巧.换元经验：遇到含有sin cosαα±和sin cosαα的函数通常作如下换元：令sin costαα=±，则21sin cos2tαα-=±,t⎡∈⎣.解题技巧：三角函数求最值用什么方法，要看幂次说话，例如，2cos sin cosy x x x=+各项幂次均相同，可降幂结合引入辅助角公式化为三角函数最值问题，而2cos siny x x=+这类含有2次幂，1次幂的函数，则化为二次函数求最值.【变式4】设圆C的极坐标方程为2ρ=，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点(,)M m s作垂直于x轴的直线:l x m =，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ OM ON =+．（I ）求动点Q 的轨迹方程；（II ）设点(1,0)R ，求RQ 的最小值．【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为2ρ=，所以圆C 直角坐标方程为224x y +=.由已知可得(0)N m,，设()Q x,y ，则由OQ OM ON =+得2,,x m y s =⎧⎨=⎩故,2,x m s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为(,)M m s 在圆C 上，所以动点Q 的轨迹方程为221164x y +=. （II ）根据（I ）的结论，可设点Q 的坐标为(4cos ,2sin )αα，其中α为参数，又点(1,0)R ，所以(4cos RQ ==13=.故RQ 的最小值为3. 3.3 运用圆的几何对称特性求取值范围【例8】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求PQ 的最小值.【解析】（I ）曲线2C 的极坐标方程cos ρθ=化为直角坐标方程得22x y x +=，即2211()24x y -+=. （II ）易知圆2211()24x y -+=的圆心21(,0)2C ，设(2cos )P αα，所以2PC ==== 所以当1cos 2α=时，2PC取得最小值，且2min 2PC =.故所求2min min12PQ PC r =-=. 【评注】本题不仅用到了前面提到二次函数求最值，而且还使用了几何对称思想，即利用圆的对称性求最值.运用圆的几何对称特性求取值范围时常用到以下结论：结论一：已知圆O 的半径为r ，圆O 上一点到与其相离的直线l 的距离为d ，圆心到该直线的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论二：已知圆O 的半径为r ，圆上一点到圆外一点A 的距离为d ，圆心到点A 的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论三：设圆A 上一点到圆B 上一点的距离为d ，两圆半径分别为12,r r ，两圆圆心之间的距离为0d ，若两圆相离，则max 012d d r r =++，min 012d d r r =--.【变式1】两圆上的点的最大、最小距离直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13c o s ,:4s i nx C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为__________．【解析】由3co s ,4s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩得圆心为1C 1(3,4),1r =，由1ρ=得圆心为2C 2(0,0),1r =，故由平面几何知识知AB 的最小值为12||2C C-=2-523=-=.【例9】已知直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由两角和差公式得ρθθ=，等式两边同时乘以ρ得2cos sin ρθθ=，将上式化为直角坐标方程得22x y +=-，所以圆C的直角坐标方程为22((122x y -++=，所以圆心C的直角坐标为,)22-. （II ）直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则直线l普通方程为0x y -+=.所以圆心C 到直线l的距离5d ==，所以直线l 上的点向圆C=【评注】圆的几何最值问题围绕“圆心”思考，往往会让问题柳暗花明.本题第二问直接求解很难入手，若考虑直线l 上的点到圆心的距离的最小值，则问题迎刃而解.【变式1】在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，x 轴的正半轴为极轴，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(I) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；(II) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.【解析】(I)曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，化为直角坐标方程为222440,x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=.由曲线2C 的参数方程514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程为34150x y +-=.(II)由(I)可知曲线12,C C 分别为圆和直线.过曲线1C 的圆心(1,2)-作直线34150x y +-=的垂线，此时两切线所成角θ最大，即cos θ最小，由点到直线距离公式可知4d ==，则1sin24θ=，所以27cos 12sin 28θθ=-=. 考虑到cos 1θ≤，且0θ≠，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围为7,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭.4 直线的参数方程中参数t 的几何意义的应用在近几年的高三模拟试题中，大量涌现出对参数t 的几何意义的考查，试题花样也层出不穷，要想解好此类问题，关键在于要熟悉基本概念和此类问题的解题的程序.直线参数方程的定义：直线l 的参数方程为：00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中α为直线l 的倾斜角，[)0,πα∈，直线l 必过定点()000,M x y .在直线的参数方程中，t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离.4.1 以定点为起点的线段的四则运算求值问题；【例10】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,:2x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=.（I ）求圆C 的直角坐标方程；(II)设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【解析】（I）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y +-=(II)将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于24420∆=-⨯=>，所以由韦达定理可得120t t +=>，1240t t ⋅=>，故120,0t t >>.又易知点P 在直线l 上，故由t的几何意义得：1212PA t t t P t B +==++=【评注】本题没有将直线的参数方程化为普通方程，而是从直线的参数方程的视角入手，保留直线的参数t 进行代数运算，这里采用的方法即是的几何意义的运用.使用此方法我们需要掌握以下知识点：已知直线l 经过定点()000,M x y ，直线l 与曲线C 相交于点1M ，2M 两点，若点1M ，2M 所对应的参数分别为1t ，2t ，则有：①弦长1212M M t t =-；②若定点()000,M x y 为弦12M M 的中点，则120t t +=； ③若弦12M M 的中点为M ，则点M 对应的参数122M t t t +=. 【变式1】运用参数t 几何意义求中点坐标在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=.设圆C 与直线l 相交于不同两点A ，B，且点(0,P .（I ）求线段AB 的中点M 的极坐标； (II)求PA PB +的值.【解析】（I ）由圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=得2210x y +--= ①，将直线的参数方程代入①式可得2680t t -+=，由于2(6)4840∆=--⨯=>，所以由韦达定理得1260t t +=>，1280t t ⋅=>，所以120,0t t >>.所以线段AB 的中点M 对应的参数1232M t t t +==，代入直线参数方程可得点M的直角坐标为3(22，故点M的极坐标为π)6. (II)考虑到点(0,P 在直线l 上，由参数t 的几何意义可知1PA t =，2PB t =，因为120,0t t >>，所以126PA PB t t +=+=.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A 、B 两点.（I ）求线段AB 的长度；(II) 极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，设点P的极坐标为3π)4，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【解析】（I ）将直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为标准式得12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 得24100t t +-=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理得124t t +=-，1210t t ⋅=-，所以12AB t t =-==(II) 点P的极坐标为3π)4化为直角坐标得(2,2)-，所以点P 在直线l 上，线段AB 中点M 的参数1222M t t t +==-，由参数t 的几何意义可知，点P 到线段AB 中点M 的距离为2M t =.【变式3】t 的几何意义与三角函数综合运用在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(I)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；( II)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点,M N ，求PM PN +的取值范围．【解析】(I)因为l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线，所以直线l 的参数方程为4cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即2240x y x +-=.( II)将直线l 的参数方程代入2240x y x +-=整理得24(sin cos )40,t t αα+++=则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t αααα⎧∆=+->⎪+=-+⎨⎪⋅=⎩所以sin cos 0αα⋅>，又[)0,πα∈，所以π(0,)2α∈，所以可知10t <，20t <. 又点P 在直线l 上，所以1212π)4(sin cos )(()4PM PN t t t t ααα+=++=+=+=-.因为π(0,)2α∈，所以πsin()42α⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦，所以(PM PN +∈. 【例11】极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-．（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，与x 轴的交点为F ，求11AF BF+的值．【解析】（I ）曲线C 的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-，所以2sin 8cos ρθθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为28y x =.（II ）因为直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），易得直线l 与x 轴的交点为(2,0)F ，将直线l 的参数方程代入28y x =得22sin 8cos 160t t αα⋅-⋅-=,由韦达定理得1228cos sin t t αα+=，122160sin t t α⋅=-<，所以由参数t 的几何意义可知1212121111t t AF BF t t t t -+=-==212sin α==.【评注】运用“直线参数t 的几何意义”这一解题方法时，往往需要韦达定理的辅助才能更好的进行运算.使用韦达定理时我们应熟练以下代数变形：（1）()()221212124x x x x x x -=+-；（2）12121211x x x x x x ++=；（3）21121211x x x x x x --==.4.2 参数t 【例12】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以错误！未找到引用源。

高考数学选修部分专题2参数方程

(2)设点 P 的坐标为( 3cos α，sin α)，
则点 P 到 C2 的距离为|
3cos α＋sin α－2|＝2sinα＋π3－2，
2
2
当 sinα＋3π＝－1，即 α＋3π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，α＝－56π＋2kπ(k∈Z)时，所求距离
最大，最大值为 2 2，
此时点 P 的坐标为－32，－12.
谢谢观看！
考点1参数方程与普通方程的互化
2、
为什么？
1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
2020 高考数学专题 2 参数方程
主讲：方韶红
【考点点击】
1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
【理清双基】
（1）参数方程的概念
2、直线、圆、椭圆的参数方程
3、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数，然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
考点3极坐标方程和参数方程的综合应用
法二：当 α＝4π时，直线 l 的方程为 y＝x－1，
设 M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y2＝8x，由y＝x－1，
得 y2＝8(y＋1)，即 y2－8y－8＝0，
由根与系数的关系得yy11＋y2＝y2－＝88，，

高中数学选考系列(参数方程与不等式)解析版

选考系列（参数方程与不等式）选考系列主要包含参数方程极坐标，以及不等式是高考中二选一的一道解答题，属于相对比较简单的题目，共10分，是高考大题中分值最小的一道题目.对于参数方程与极坐标，一般均是简单一点的解析几何.对于不等式部分，主要还是以绝对值不等式为主.本专题中主要介绍几种高考中常见的选做题类型，以及在后面【点睛】处有此类题型的解决方法.通过本专题的讲解与练习之后，在高考中，此类题型就能够迎刃而解.拿到满分.【知识点分析以及满分技巧】对于参数方程与极坐标系方程属于简单一点的解析几何.需要搞清楚极坐标系与直角坐标系之间的等量转化，相对于要学会将极坐标系转化成直角坐标去运算，同理将直角坐标系转化成极坐标系去运算.对于绝对值不等式的求解，一般采用三段法，将绝对值不等式分成三段，从而进行分段讨论运算，应注意计算技巧，计算是本类题目的易错点. 【常见题型限时检测】（建议用时：120分钟）一、单选题1．（2020·上海青浦区·高三二模）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →∞=（） A ．25 B ．4C ．3D ．2【答案】D【分析】通过221441x nyn +=+的参数方程2cos 14x y n θθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），可得：()112cos 48x y n n θθθϕ+=++=++，从而max 1()8x y n+=+，求极限即可得解.【详解】椭圆221441x nyn +=+的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以：()()2cos x y θθθϕθϕ+=++=+，所以：max ()x y +=，所以：lim lim n n n M →∞→∞==故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.2．（2020·上海高三其他模拟）已知直线l 的方程为3410x y -+=，则下列各式是l 的参数方程的是（）A ．4334x ty t =+⎧⎨=-⎩B ．4334x ty t =+⎧⎨=+⎩C ．1413x ty t =-⎧⎨=+⎩D ．1413x ty t=+⎧⎨=+⎩【答案】D【分析】将各参数方程消参，化为普通方程后，与已知直线的方程对比，即可作出判定. 【详解】A.参数方程可化简为4+3250x y -=，故A 不正确； B.参数方程可化简为4370x y --=，故B 不正确； C.参数方程可化简为3+470x y -=，故C 不正确； D.参数方程可化简为3410x y -+=，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查直线的参数方程的判定，涉及参数方程与普通方程的互化，属基础题，难度一般. 3．（2018·上海金山区·高三一模）给出下列四个命题：（1）函数()arccos 11y x x =-≤≤的反函数为()cos y x x R =∈；（2）函数()21m m y x m N +-=∈为奇函数；（3）参数方程()2221121t x t t R t y t ⎧-=⎪⎪+∈⎨⎪=⎪+⎩所表示的曲线是圆；（4）函数()221sin 32xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2017x >时，()12f x >恒成立.其中真命题的个数为（）.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【分析】（1）求出函数()arccos 11y x x =-≤≤的值域，然后进行判断正假即可；（2）判断()21m m m N +-∈的奇偶性，然后进行判断正假即可；（3）运用平方法进行消参，然后进行判断正假即可；（4）计算()700f π的值，然后进行判断正假即可.【详解】（1）函数()arccos 11y x x =-≤≤的值域为[0,]π，因此函数()arccos 11y x x =-≤≤的反函数为()cos [0,]y x x π=∈，故本命题是假命题；（2）221(1)11m m m m m N m m +-=+-∈∴+-是奇数，故函数()21mm y x m N +-=∈为奇函数，故本命题是真命题；（3）()2222222211211111121t x t t t R x y x x t t ty t ⎧-=⎪-⎪+∈⇒+===-∴≠-⎨++⎪=⎪+⎩，故本命题是假命题；（4）()7002117000()322f ππ=-+<，而7002017π>，故本命题是假命题. 故选：D【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数与反函数的关系性质，考查了平方消参法，考查了特殊值法.4．（2020·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【分析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()()()()22ln 1ln 1g t g t t t t t -+=-+-++++()()22ln 1ln 1ln10t t t t =-+++++== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.5．（2020·上海长宁区·高三一模）设()1232f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，123,,b b b ∈R .若函数()y f x =的图象如图所示，则数组()123,,b b b 的一组值可以是（）A ．()3,1,1-B ．()1,2,1--C ．()1,2,2-D ．(),,-131【答案】A【分析】利用取极限的思想，0k >，当x 足够大时，总有()1232f x x b kx b x b =-+--+，由图像可知，此时()f x 与x 无关，故当1k =时，得1230b b b --+<，即可判断. 【详解】由于0k >，当x 足够大时，总有()1232f x x b kx b x b =-+--+，由图像可知，此时()f x 与x 无关，故当1k =时，得1230b b b --+<，由此排除B ，C ，D ；对于A ：()3121f x x x x =-++--，()()()1,1123,12125,321,3x x x f x x x x ⎧≤-⎪⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪->⎪⎩，符合图象，故选：A.【点睛】关键点睛：利用取极限的思想，分析出0k >，当x 足够大时，由图象可知，此时函数的变化与x 无关，是解决本题的关键.6．（2020·上海嘉定区·高三二模）已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】先对“|2|1x -<”等价变形，再利用集合法判断充要条件. 【详解】由|2|113x x -<⇒<<，则(1,)p =+∞，(1,3)q =，则p ⊂≠q ，故p 为q 必要非充分条件.故选：B ．【点睛】本题考查了用集合法判断充要条件，属于容易题.7．（2019·上海交大附中高三一模）已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )A ．33()()f x f a a -≤+B ．24()()f x f a a -≤+C ．()()5f x f a a -≤+D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．二、填空题8．（2020·上海高三其他模拟）已知直线l 的参数方程是10.820.6x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则它的普通方程是_____．【答案】3x ﹣4y +5=0【分析】根据加减消元得普通方程. 【详解】10.83438345020.6x tx y x y y t=+⎧∴-=-⇒-+=⎨=+⎩ 故答案为：3450x y -+=【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．（2020·上海长宁区·高三二模）直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为_______.【答案】2【分析】根据题意，利用消参法将直线的参数方程化为普通方程，即可得出直线的斜率. 【详解】解：根据题意，直线l 的参数方程为：212x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数），消去参数t ，得出直线l 的普通方程为：()122y x +=-，所以直线l 的斜率为：2.故答案为：2.【点睛】本题考查直线的斜率，利用消去参数法将直线的参数方程化为普通方程，以及对直线点斜式方程的理解.10．（2020·上海杨浦区·高三二模）已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为1x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为_______.【答案】5【分析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长．【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =d ==间距离为==.故答案为：5．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 11．（2020·上海浦东新区·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离22dr ，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t=-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l 的距离2212121(1)d ，则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.12．（2020·上海嘉定区·高三二模）设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________．【答案】3.【分析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心(3,0)C ，再将PA PB ⋅变为()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-，转化为动点P 到C 的距离的最小值.【详解】设圆心为(3,0)C ，并且直线过(3,0)C ，则()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-又21CA =，2PC =2PC ，又min 2PC =,则PA PB ⋅21PC =-22213≥-=．故答案为：3【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.13．（2020·上海奉贤区·高三二模）集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若AB =∅，则实数a的取值范围是________ 【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+，因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥，解得1a <-或4a ≥故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 14．（2020·上海高三一模）不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--，解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞．故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．三、解答题15．（2019·上海青浦区·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点(),P x y ，总存在一个点(),Q x y ''满足关系式： :x x y yλϕμ''=⎧⎨=⎩（0λ>，0μ>），则称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换.（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换ϕ，使得椭圆224936x y +=变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB （O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换:x xy yλϕμ''=⎧⎨=⎩（0λ>，0μ>）得到△A O B '''，记△AOB 和△A O B '''的面积分别为S 与S '，求证：S Sλμ'=；【答案】(1)32xx y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩；(2)见详解. 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程22194x y +=，再由单位圆的方程，以及题中伸缩变换的概念，即可得出结果.（2）先设()()1122,,A B x y x y ，，根据伸缩变换得到()11A x y λμ'，，()22,B x y λμ'，得到O A ''，OA 设直线OA 的斜率为k ,得到直线OA 的方程为y kx =，从而求出点B 到直线OA 的距离d ，同理得到点B '到直线O A ''的距离为1d ，最后由1O A d S S OA d⋅=''⋅'化简即可得出结果. 【详解】(1)因为椭圆224936x y +=的标准方程为22194x y +=，又单位圆的方程为221x y +=，因此要想由椭圆224936x y +=变换为一个单位圆，伸缩变换只需为3:{2xx y y ϕ='='；（2）先设()()1122,,A B x y x y ，，因为O 为坐标原点，所以()0,0O ，由△AOB （O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换:{ x xy yλϕμ'=='（0λ>，0μ>）得到△A O B '''，所以()11A x y λμ'，，()22,B x y λμ'，()0,0O '，所以()()2211O A x y λμ''=+2211OA x y =+设直线OA 的斜率为k ，则直线OA 的方程为y kx =,故11y kx =，所以点B 到直线OA的距离为d =又直线O A ''的斜率为11y k x μμλλ=，直线O A ''的方程为y kx μλ=，即0kx y μλ-=，所以点B '到直线O A ''的距离为1d ==，因此1O A d S S OA d λμ⋅'==''⋅=λμ==【点睛】本题主要考查伸缩变换的问题，熟记伸缩变换的概念、以及点到直线距离公式等即可求解，属于常考题型，计算量较大.16．（2020·上海徐汇区·高三二模）已知函数()()31,1f x x g x x =-=-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）求()()()F x f x g x =-的最小值. 【答案】（1）1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ；（2）23- 【分析】（1）由()2f x ≤可得312x -≤,即2312x -≤-≤,求解即可；（2）将()F x 写为分段函数的形式,再由一次函数的性质判断单调性,即可求得最值. 【详解】解:（1）因为()2f x ≤,则312x -≤,即2312x -≤-≤,解得113x -≤≤,即1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由题,()()()()()131,04,011311131,02,03311311,42,33x x x x x F x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎪⎪--+<-<⎪⎪⎪⎪=---=---≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎪⎪---≥-≥⎪⎪⎩⎩,所以()F x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增,在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()min 1233F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查求分段函数的最值.17．（2020·上海浦东新区·高三二模）若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5,；②等比数列：11111,,,,24816--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()()12,23,21a ∈-【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得n a ⎛∈ ⎝⎭，由522n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛∈ ⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解. 【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,通项公式为：n a n =()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-<，所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816--通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=， 213112a a a a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,k k k a a ak k k a a a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255nn n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =---- ①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩，解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； ②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195nn a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()()12,23,21a ∈-，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题. 18．（2020·徐汇区·上海中学高三其他模拟）若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy aa =>；②3y x =．（2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．【答案】（1）①()1xy a a =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论；（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立．【详解】证明：（1）①函数()()1xf x aa =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120xa a a ⎛⎫+->⎪⎝⎭，即()()()112f x f x f x -++≥，此函数为具有性质P ； ②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-，此函数不具有性质P ．（2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，则()()10f i f i -->，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--，所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->，所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾，所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤．（3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-= 所以，函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >．所以，在（2）的条件下， “对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立．如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数，()()()20x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等．【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．19．（2018·上海静安区·高三二模）设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+-，由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩,解得6x ≥或83x ≤,故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<,由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥, 当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩，解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞;(3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++,若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立, 即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立,即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=,所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-,所以a 的取值范围为:[4,)-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.20．（2020·上海市南洋模范中学高三月考）对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）k π≥（3）存在，4T ≥【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， ()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪≥= ⎪⎪⎝⎭. （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥，（Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立，所以T 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.。

参数方程消参方法

参数方程的消参方法1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（3）圆22200()()x x y y r -+-=参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（4）椭圆12222=+by a x 参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）（5）抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222（t 为参数）7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。

（2）M 点的坐标。

（3）线段AB 的长AB 。

解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，425,8152121-==+t t t t（1）415221=+=t t PM （2）⎪⎩⎪⎨⎧=⨯==⨯+=341554417415532y x 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛3,417M（3）()8655421221=-+=t t t t AB10 (1) 写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程；(2) 利用这个参数方程，求这条直线l 与直线032=--y x 的交点到点M 0的距离。

高考数学参数方程化成普通方程

x＝1＋12t，
x＝（11－＋kk22）r，
(1) y＝5＋
23t；(2)y＝12＋krk2.
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解
(1)由
x＝1＋12t
得
t＝2x－2
代入
y＝5＋
3 2t
中得
y＝5
＋ 23(2x－2)，即： 3x－y＋5－ 3＝0 就是它的普通方程. (2)xy＝＝（ 12＋k11r－ k＋2 kk22）r，⇒yx22＝＝（（（1141－＋k＋2kkrk222））2）22，r22，得 x2＋y2＝（1－2（k2＋1＋k4k）2）r22＋4k2r2＝（1（＋12＋k2＋k2）k4）2 r2＝r2.
线的类型.
x＝acos (1)y＝bsin
θ， θ (θ
为参数，a，b
为常数，且
a＞b＞0)；
(2)x＝coas φ，(φ 为参数，a，b 为正常数)； y＝btan φ
x＝2pt2， (3)y＝2pt (t
为参数，p
为正常数).
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解 (1)由 cos2θ＋sin2θ＝1 得ax22＋by22＝1 这是一个长轴长为 2a，短轴长为 2b，中心在原点的椭圆. (2)由已知co1s φ＝ax，tan φ＝by，由于co1s φ2－tan2φ＝1， ∴有ax22－by22＝1 这是一条双曲线. (3)由已知 t＝2yp代入 x＝2pt2 中得4yp22·2p＝x，即 y2＝2px，这是一条抛物线.
为参数).
解 (1)由 y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得
y2＝2x＋1，∵－12≤12sin 2θ≤12，

【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳

参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１　在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析　（１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解　（１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２　ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２　＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４　２　＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４　２　＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４　２　＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４　２　＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２　（２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５　＋槡３２ｔｙ　＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解　（Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２．　将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２　＋槡５　３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３　已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解　（１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３　＋槡２２ｔｙ　＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２　６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２　６５．评注　对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４　已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析　（１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解　（１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２　２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７　２　－槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７　２　－槡３４２．例５　（２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析　（Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解　（Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２　５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２　５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２　５５．例６　（２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ　＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２　３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析　（Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解　（Ⅰ）由ρ＝槡２　３ｓｉｎθ，得ρ２　＝槡２　３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　＝槡２　３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ　－槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注　将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２　ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析　（Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２　ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解　（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ　＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６　２　ｍ＝０，故ＡＭ　＝槡１２　２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ　ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ　ｃｏｓ２α．由２　ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注　本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８　（２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２　槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析　（Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解　（Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　－槡２　３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２　３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２　３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注　如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解　（Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４　＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０　（２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析　（Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解　（Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２　－槡３　２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２　２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注　过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。

参数方程消参法

参数⽅程消参法前⾔消参的常⽤⽅法有：代⼊消参法，加减消参法，乘除消参法，平⽅消参法[或变形后平⽅消参]，组合消参法等。

其实说穿了，就是采⽤⼀级运算[加减]或⼆级运算[乘除]或三级运算[乘⽅开⽅]或其组合使⽤；⽅法例说代⼊消参法引例如，直线x =1+t ①y =2−t ②(t 为参数)，将t =x −1代⼊②，得到y =2−(x −1)，即x +y −3=0，代⼊消参完成。

加减消参法依上例，两式相加，得到x +y −3=0，加减消参完成。

乘除消参法引例1如，x =tcos θ①y =tsin θ②(t 为参数) ，针对要作分母的cos θ分类讨论如下：当cos θ=0时，直线为x =0；当cos θ≠0时，由②①，两式相除得到y =tan θ⋅x引例2如，y =k (x −2)y =1k (x +2)(k 为参数)两式相乘，消去参数k ，得到y 2=x 2−4(y ≠0)，平⽅消参法引例如，圆的参数⽅法x =1+2cos θ①y =2+2sin θ②(θ为参数)，先变形为x −1=2cos θ①y −2=2sin θ②(θ为参数)，①②两式同时平⽅，再相加，得到(x −1)2+(y −2)2=4，到此平⽅消参完成。

组合法引例如，曲线的参数⽅程为x =2s 2①y =2√2s ②(s 为参数)，法1，使⽤代⼊消参法，由②得到s =y 2√2，代⼊①整理得到，y 2=4x ；法2，平⽅法+除法消参法，由②2①，整理得到，y 2=4x ；再如曲线的参数⽅程为x =t −1t ①y =t +1t ②(t 为参数)，分析：给①式平⽅得到，x 2=t 2+1t 2−2③，给②式平⽅得到，y 2=t 2+1t 2+2④，④−③，得到y 2−x 2=4，消参完成，本题使⽤了平⽅消参法和加减消参法。

消参关系式① t ⋅1t=1；② (t +1t )2−(t −1t )2=4；③ (2t1+t 2)2+(1−t 21+t 2)2=1；④ (e t +e −t )2−(e t −e −t )2=4；注意事项参数⽅程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这⼀点常常与我们学习的函数的值域有关。

高考数学常考问题36关(3)

第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：一、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程表示的曲线是（）A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.趁热打铁1：与普通方程等价的参数方程是（）（为能数）解析：所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A化为普通方程为；对于B化为普通方程为；对于C化为普通方程为;对于D化为普通方程为.而已知方程为显然与之等价的为B.例2、设P是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值为.分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.趁热打铁2：已知线段，直线l垂直平分，交于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点，使，求直线BP与直线的交点M 的轨迹方程.解析：以O为原点，BB’为y轴，为轴建立直角坐标系，则，，设，则由，得，则直线BP的方程为；直线和方程为；，因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除B，）.二、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.例3、极坐标方程表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.趁热打铁3：已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为，对于方程，可得化为直角坐标方程为，因此点到直线的距离为.例4、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A．B．C．D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.趁热打铁4：点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．解析：都是极坐标，因此选C.三、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例5、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解析：如图，对于，又，由余弦定理得：，，，，，，所以AB边上的高,趁热打铁5：如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.解析：取O为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线的极坐标方程为，设A（，），P，因点A在直线上，为等腰三角形，且，以及，把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为：.即时训练一、选择题（8题）1.已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．3．下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．4．将参数方程化为普通方程为（）A．B．C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（4题）9.点的极坐标为10.圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为11.极坐标方程为表示的圆的半径为12若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）三、解答题（3题）13.求椭圆。

高中数学参数方程消参方法总结整理

参数方程消参方法总结一、参数方程常用消参方法： 1.加减法消参 2.代入法消参3.利用公式（完全平方公式、三角恒等变换公式）二、常见的参数方程①直线的参数方程若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中参数t 有明显的几何意义. ②圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.③椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.题型一、加减消参1. 下列点不在直线{x =−1−√22ty =2+√22t(t 为参数)上的是( )A. (−1,2)B. (2,−1)C. (3,−2)D. (−3,2)2.在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：{x −−2+√22ty =√22t (t 为参数) ，P 的极坐标方程为（2，π），曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ，试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标下的坐标。

3.将参数方程{x =1−cos 2θy =cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A. x +y −1=0B. x −y +1=0C. x +y −1=0(0≤x ≤1)D. x −y +1=0(0≤y ≤1)4.曲线C 的参数方程为{x =2t 21+t 2y =4−2t 21+t 2(t 为参数)，则曲线C 是( ) A. 直线 B. 直线的一部分 C. 圆 D. 圆的一部分5.以直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4).(1)求圆心C 的直角坐标；(2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =1+2ty =2−2t(t 为参数，t ∈R)，曲线C 2：{x =4cosα+4y =4sinα(α为参数)．(Ⅰ)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2相交于点A 、B ，求|AB|．题型二、代入法消参1.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k2(k 为参数)；3.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．求C 和l 的直角坐标方程4.参数方程是{x =3t 2+2y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A. 线段B. 双曲线C. 圆弧D. 射线5.与参数方程为{x =√t,y =2√1−t(t 为参数)等价的普通方程是( )A. x 2+y 24=1B. x 2+y 24=1(0≤x ≤1)C. x 2+y 24=1(0≤y ≤2)D. x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=题型三、利用公式1.⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．2.⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．3.参数方程{x =e t +e −ty =2(e t −e −t )(t 为参数)的普通方程为_____________4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线2C 的参数方程为23,12x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．求曲线12,C C 的普通方程；5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x −2)2+y 2=6,曲线C 2的参数方程为{x =t 2+1t 2y =t 2−1t 2 (t 为参数) ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R) 求曲线C 1、C 2的极坐标方程6.把参数方程{x =sinθ−cosθy =sinθ+cosθ(θ为参数，θ∈R)化成普通方程是______．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +1ty =t 2−12t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程;(2)若t ≠−1，求以曲线C 与x 轴的交点为圆心，且这个交点到直线l 的距离为半径的圆的方程．。

高中数学人教版选修4-4参数方程知识总结

参数的分类讨论要严密．
【解】 (1)当 t≠±1 时，由①得 sin θ＝t＋x 1t ，由②得 cos θ＝t－y 1t . ∴t＋x21t 2＋t－y21t 2＝1. 它表示中心在原点，长轴长为 2t＋1t ，短轴长为 2t－1t ，焦点在 x 轴上的椭圆．
当 t＝±1 时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2,2]，它表示在 x 轴上[－2,2]的一段线段．
已知参数方程x＝t＋1t sin θ，① y＝t－1t cos θ②
(t≠0)．
(1)若 t 为常数，θ 为参数，方程所表示的曲线是什么？
(2)若 θ 为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？
【分析】形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示
不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数，对
x＝2cos θ， y＝4sin θ.
(θ 为参数)
(2)设 M(x，y)是方程 4x2＋y2＝16 上异于 A 的任一点，则y－x 4 ＝k(x≠0)，
将 y＝kx＋4 代入方程，得 x[(4＋k2)x＋8k]＝0.
所以yx＝＝－－444＋＋k82k＋kk22，16
(k≠0)，另有一点xy＝＝04，.
数；
(2)若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C′1，C′2，写出 C′1，C′2 的参数方程．C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
【解】 (1)C1 是圆，C2 是直线，C1 的普通方程为 x2＋y2＝1，圆心 C1(0,0)，半径 r＝1.C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1(0,0)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离为 1，所以 C1 与 C2 只有一个公共点．

高中数学解题学科方法_参数法

学科方法²参数法参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．例1 已知抛物线y2=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．【解】如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．∵ OP1⊥OP2，即y1y2=-x1x2．∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．从而(-x1x2)2=4p2x1x2．∵ x1≠0，x2≠0，∴ x1x2=4p2①设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．由韦达定理，得x1x2=m2②把②代入①中，得m2=(2p)2．∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．于是所求的点M的坐标为(2p，0)．【解说】本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p 的关系式，消去参数，求得m的值．OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|²|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)【解】如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．∵ |OQ|²|OP|=|OR|2，∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又|OQ|≠0，同理，由P在l上，可得于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．利用已知条件|OQ|²|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．1．设而不求例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．【解】设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y ＝R2，x2x+y2y＝R2．∵这两条切线都过点P(a，b)，∴ ax1＋by1=R2，ax2＋by2=R2．由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，∴直线AB的方程为ax＋by=R2．【解说】本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．2．代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．【解法1】设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1＋y2＝4①即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)．②即直线AB的斜率k=3．故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．即 3x-y-1=0．【解法2】∵弦的中点为M(1，2)，∴可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)．∵ A、B在抛物线上，∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．【解说】以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．习题2．2用参数法解证下列各题：1．已知椭圆9x2＋16y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为． [ ]A．9x-8y＋26＝0B．9x＋8y-26＝0C．8x-9y+26=0D．8x＋9y-26=02．点D(5，0)是圆x2＋y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．且OP⊥OQ，求m的值．4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹．5．已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x．设长为程．(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与习题2．2答案或提示1．仿例4，选(B)．2．设M(x，y)，A(x＋x0，y＋y0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=0．3．仿例1，可得m=3．5．设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y2＋2x-2y＋8=0．6．设椭圆的方程为ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)，A、B、C的坐学科方法²待定系数法(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．习题2．3用待定系数法解证下列各题：1．求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程．2．求双曲线x2-2y2-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．3．若方程ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2＋ac＋bd＋d2=0．4．求圆系2x2+2y2-4tx-8ty＋9t2=0(t≠0)的公切线方程．5．试证圆系x2+y2-4Rxcosα-4Rsinα+3R2=0(R是正的常数，α为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程．6．若在抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任习题2．3答案或提示1．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax3＋bx2y＋cxy2+dy3=(lx2＋mxy-ly2)(px＋qy)，从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a2＋ac＋bd＋d2=0．4．y=x或y=7x．5．圆系方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosα)2＋(b-2Rsinα)2=(R±r)2，整理，可得a2＋b2-2R即a=b=0．从而r2-3R2±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．6．设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代任一值，所以x0=p．学科方法²判别式法(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组y2=2px有四个不同的实数解．显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为又由已知，得p＞⑤【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ(二)求极值例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S 的最小值．【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为从而9k2+2(S-6)k+4=0．∵Δ=[2(S-6)]2-4³4³9≥0，∴ S(S-12)≥0．∵ S＞0，∴S≥12．∴ S min=12．例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．【解】设x+y=u，则y=u-x．把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0．∵ x是实数，∴Δ≥0即(-8u)2-4³13³4(u2-9)≥0．解之，得-(三)求参数的取值范围例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．【解法1】如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．∵点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实学科方法²综合几何法(一)利用平面几何知识解题例1 已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A 作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．【解】如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP．∵ |BO|=|OA|∴ |AP|＝2|MO|＝2r．于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆．设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2＝(2r)2．【解说】本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．例2 已知圆O′：(x-14)2＋(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．【解】如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|，∵ |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2，即(x-14)2+(y-12)2＋(x-4)2+(y-2)2=362，∴动点M的轨迹方程为x2＋y2-18x-14y-468＝0．【解说】本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)2＋y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解】如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3．∵动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切，∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r，∴ |PO1|+|PO2|=4．即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为【解说】本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证【证明】如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2．由圆锥曲线的定义，得【解说】本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式．习题2．5用综合几何法解证下列各题：焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____．2．已知△ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a＞0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b 是定值)，求BC中点P的轨迹方程．3．已知ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程．焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率．6．从过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂习题2．5答案或提示1．周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m．3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x．4．设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d，6．(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=学科方法²坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决．(一)坐标法解证几何题例1 在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】如图2－1，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m＞0，q＞0)，则a2=|BC|2=(m-p)2＋q2=m2+p2＋q2-2mp，b2=|AC|2=(p＋m)2＋q2=p2＋m2＋q2-2mp，c2=4m2，S＝mq．例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM＋AN=AB．【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．【证法1】如图2－2，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系．∵ |MA|＝|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点．∵ p=|AT|=2a，∴抛物线的方程y2=4ax①由已知，得半圆的方程为[x-(a+r)]2＋y2=r2(y≥0)②把①代入②中，整理，得x2-2(r-a)x＋a2+2ar=0．设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a．∵ |AM|+|NA|=a＋x1＋a＋x2＝2a＋2r-2a＝2r，∴ |AM|＋|AN|=|AB|．【证法2】如图2－2，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为∵ |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上．又p=|AT|=2a，从①、②中消去cosθ，得ρ2-2rρ+4ar＝0．从而由韦达定理，得|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．故 |AM|＋|AN|＝|AB|．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】由已知条件，得在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y直线的距离不大于半径，即∴ (z-a)2≤a2-2z2，又a＞0，【解说】本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．【证明】如图2－3，建立直角坐标系，设圆O的半径为1．∵α、β是方程acosθ＋bsinθ=c在(0，π)内的两个根，∴ acosα＋bsinα=c，acosβ＋bsinβ=c，从而点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线ax+by=c与⊙O的两个交点．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：习题2．1用坐标法解证下列各题：1．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．2．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDA=∠ADF．3．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M是DE的中点，求证：AM⊥BE．6．关于θ的方程 acosθ＋bsinθ=0(a2＋b2≠0)有两个相异实根α、β，m、n∈R，求证：习题2．1答案或提示1．以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2．以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3．以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1．当直线与半圆相切5．在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sinθ，cosθ)，则P为⊙O：x2+y2=1上任一点，f(θ)为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作⊙O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得k=3／46．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x2＋y2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α)、B(cosβ，sinβ)，又P(m，n)是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即。

高中数学常见题型解法归纳参数方程常见题型的解法

高中数学常见题型解法归纳参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t的函数()()x f t y g t ，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t yg t 所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，那么方程()()x f t yg t 叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．二、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数. （3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式22sin cos 1a 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围.【题型讲评】解题步骤利用前面基础知识里提到的三种方法，要特别注意参数方程化为普通方程后x 、y 的范围.【例1】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（） A. 122=-x y B. 122=-y xC. )2|(|122≤=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程11x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（）A ．一条直线B ．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆【例2】参数方程22sin 1cos 2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是（）A ．240x y -+=B ．2+40x y -=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]2+40,2,3x y x -=∈ 【解析】2cos 212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2yθ∴=-,代入 22sin x θ=+可得22y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即 []2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参. 【反馈检测2】设曲线C 的参数方程为θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10107的点的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二利用参数方程研究曲线的基本量和基本关系解题步骤一般先把参数方程化为普通方程，再利用曲线的性质和关系解答.【例3】若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为( )A ．1 或5 B.1- 或5 C.1 或5- D.1- 或5-【反馈检测3】点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ (θ为参数,R θ∈)上,则yx 的取值范围是 .【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点，求OAB ∆的最小面积 .【解析】设切点为(cos ,sin )P a b θθ ，则切线方程为cos sin 1x y a bθθ+=. 令0y =, 得切线与x 轴交点(,0)cos a A θ；令0x =,得切线与y 轴交点(0,)sin b B θ1||||||||22sin cos sin 2AOB ab abS OA OB ab θθθ∆∴===≥所以OAB ∆的最小面积为ab .【点评】（1）写出椭圆参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，设切点为(cos ,sin )P a b θθ，可得切线方程.这种设点方式相比设点为(,)x y ，计算更简捷，解题效率更高（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答.【反馈检测4】椭圆14922=+y x 的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___.题型三利用直线参数的几何意义解题解题步骤先弄懂直线参数的几何意义，再利用它解答.【例5】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232(252x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +.【点评】（1）直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点P 的上方，则点A 对应的参数A t 就表示点A 到点P 的距离||PA ,即||A t PA =.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数B t 就表示点B 到点P 的距离||PB 的相反数，即||B t PB =-.（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,A B 两点间的距离||AB ,不管,A B 两点在哪里，总有||||A B AB t t =-.【反馈检测5】在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲：参数方程常见题型的解法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测1详细解析】123012x t x y y t⎧=+⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线．【反馈检测2答案】B【反馈检测3答案】33⎡⎢⎣⎦【反馈检测3详细解析】曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为（-2,0），半径为1.设y x=k ，则直线y kx =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离221k d k -=+=1，即221k k -=+，平方得222141,3k k k =+=，所以解得3k =，由图象知k 的取值范围是33k ≤≤，即y x 的取值范围是33⎡⎢⎣⎦. 【反馈检测4答案】（553,553-）【反馈检测4详细解析】由椭圆14922=+y x 的知焦点为1F （－5,0）,2F （5,0）. 设椭圆上的点可设为(3cos ,2sin )P θθ.21PF F ∠ 为钝角 ∴ 1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（=2229cos 54sin 5cos 10θθθ-+=-< 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）. 【反馈检测5答案】（I ）01=+-y x ，4)2(22=-+y x （II ）14=AB解法二、由⎩⎨⎧=-+=+-040122y y x y x 可解得,A B A,B 两点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,将为参数）t t y tx (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=代入0422=-+y y x 并化简整理可得0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+32B A B A t t t t 因此，2||()414A B A B A B AB t t t t t t =-=+-=.。

专题一：参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化

专题一：参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化解法突破：（1）参数方程消参的方法主要有：①代入消参法②加减消参法③三角恒等式消参cos 2θ+sin 2θ=1（2）极坐标系与直角坐标系互化公式互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 考向一：参数方程消参【例1】将下列方程化为普通方程（1）（2）4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）（3）（t 为参数）（4）（t 为参数）（5）（k 为参数）．（6）是参数）．考向二：求方程或坐标【例1】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线l:2x +y −2=02与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.)(22222R t t t y t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数，θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x【例2】（2019全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【对点训练1】（2017全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt,（t为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+m,y =m k , （m 为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3:ρ(cosθ+sinθ)−√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【对点训练2】（2019全国卷Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ=4sinθ上，直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P ． (1)当θ0=π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【对点训练3】（2019全国卷Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B(√2,π4)，C(√2,3π4)，D(2,π)，弧AB ⏜，BC ⏜，CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π2)，(1,π)，曲线M 1是弧AB⏜，曲线M 2是弧BC ⏜，曲线M 3是弧CD ⏜． (1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|=√3，求P 的极坐标．考向三求参数的值或范围【例1】(2017全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ,（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =a +4t,y =1−t,（t 为参数）．（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为√17，求a ．【例2】（2019佛山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ （θ为参数，a >0），直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t（t 为参数）.（1）若a =2，求曲线C 与l 的普通方程；（2）若C 上存在点P ，使得P 到l 的距离为√24，求a 的取值范围．【对点训练1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，直线l 的参数方程是{x =tcosβy =tsinβ(t 为参数，0≤β<π).l 与C 相交于点A 、B.以直角坐标系xOy的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若|AB |=√13，求β．【对点训练2】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线M 的极坐标方程为ρ（ρ﹣4sin θ）＝12．（1）求曲线M 的直角坐标方程，并判断直线l 与曲线M 的位置关系；（2）若直线l 与曲线M 相交于B ，C 两点，且|BC |＞6，求a 的取值范围．。

多视角处理参数方程中消参问题

2021年第2期福建中学数学41所以彳x。

2-专=12(2-X0)2-岂曲两式相减得4x0-2y0=2，即2x0—20=1,而2x-2- —1是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，根据极点与极线的知识，该极线与双曲线相离.这和己知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样直线l不存在.解法3给人一种耳目一新的感觉，因为极点与极线作为高等几何中的重要概念之一，以及圆锥曲线的基本特征之一，我们能够基于高等数学视角下审视题1,这对于学生“识破”题目中蕴含的有关极点与极线的知识背景，把握命题规律，具有很大促进作用，可谓“一览众山小”.总之，回归教材，应该带着一定目的或任务等去重新审辩和探究教材•在不懈追问和双向质疑的探究中，去优化和完善学科知识体系，从广度和深度方面去挖掘教材中隐性知识，开发二级结论，努力达成吃透教材，抓住数学知识本质，提高二轮复习实效性.参考文献[1]G-波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题一一数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011(本文系2020年度福建省中青年教师教育科研项目(基础教育研究专项)立项课题《高中数学审辩式课堂教学的实践研究》(课题编号:JZ20)的研究成果)多视角处理参数方程中消参问题余亮福建省厦门集美中学(361021)参数方程转化成普通方程是高中数学一难点，其难点在于消参•除了常见的代入消元、加减消元,还有恒等式消元、换参消元、多项式消元、几何消元等.本文以2019年全国I卷第22题为例多角度处理参数问题，并探索其几何意义.1试题再现视角1代入消元视角解法1(t2消元)原式可变形为｛21—X12———,1+X216t2y='dW'(2019年高考全国I卷•理22)在直角坐标系xOy中,x=曲线C的参数方程为<y1-121+124t1+12(t为参16•匕代入得y2——冲—4(1-x2),(1+戶)21+X2化简得X2+丛—1(-1<X<1).4数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2p cos^+V3•2解法2(t消元)①式变形为x+1=市p sin&+11— 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)略.2解法探究X—首先，从曲线方程-y=1-121+124t1+12，①(t为参数)中,②1—t22t e R'解得x=177=_1+177e(T‘1]•②〜①得弋—2t，即t=宀；,x+12(x+1)2代入①或②化简得X2+丄—1(-1<X<1).4点评参数方程F=f T(t为参数)中x—f(t),〔y=g(t)y—g(t)不一定存在反函数，不好直接反解求t,因此，选用适当的参数形式(如，t2—u(x)等)进行代入消参事半功倍.视角2运算消元视角42福建中学数学2021 年第 2期解法3 （加减乘除消元）2①式变形为X +1 - 一兀,1 + t 2由②得一J — 2t ；同理可得匕=-2 ,X +1 X -1 t所得两式相乘得弋•弋=-4 ,X + 1 X -12化简得X 2 +牛—1 .4解法4 （加减乘除消元）卜卄“、？ 41 + 2 +12 2（1 +1）2②式变形为y +2 = -1+7- = 41詁，由①得出=晋；X 1 -1同理可得二=-芈°,X 1 + t所得两式相乘得凹-山 =-4 ,X X2化简得X 2 +牛—1 .4解法5 (恒等式消元)•/ (1 -12)2 + (21)2 — (1 +12)2 ,1 -12 2 2t 2•••启r +启41,2将①②式同时代入得X 2 +丄—1 .4点评以上消元均运用恒等式，这些恒等式在本题中均有几何解释•解法3、解法4运用椭圆第三定义：椭圆上的任一点和两顶点连线的斜率之积a为定值-* （焦点在y 轴上的椭圆）；解法5可理X ' — X ,解为先通过伸缩变换］,1后满足圆的定义，即I y = -y x x 2 + y '2 — 1 .视角3换参数视角解法6 （三角函数换参）t — tan & ,则 x = 1+14t y 1 + t 21 -t2 1-tan2f & =---------& — cos & ,1 + tan2 &2, &4tan — ------2— = 2sin & ,1 + tan 2 —2原式可变形为｛2结合椭圆参数方程得X 2 + 2 — 1 .4解法7 （双曲线换参）” 4x 1———t ,匚易知14 1—=一 +1,1y t参数）是X X 2 - y y 2 — 1的参数方程.因此（兰）2 - （-）2 -1，化简得y yX X = 1 — t ,t 1(t 为y' — -+1t [1]“+专=1.1 - tan2 —______21 + tan2 —2C &2tan —_____2_1 + tan2 —2cos ——点评解法6运用万能公式■sin ——将参数t 三角化•我们常运用常见的曲线参数方程进行消参.视角4多项式有解解法8 （一元二次方程组有解）原式可变形为关于t 的一元二次方程组］（X 2+1）t + X-1 = 0,有公共I y t - 4t + y — 0解问题.先证明以下定理：定理一元二次方程组］"£+b 1t +c =0,有公|。

消参、用参、设参

消参、用参、设参作者：宋振苏来源：《新高考·高二数学》2012年第05期参数方程是曲线的一种重要表达形式，运用参数方程不仅能更好地研究曲线的几何性质，而且能使曲线的几何性质更加形象、直观，因此学好参数方程对研究曲线的几何性质具有重要的意义.学习参数方程从易到难的三个层次分别是消参、用参、设参，这也是学习参数方程要达到的三种境界.一、消参已知参数方程，要求消去参数将其化为普通方程，进而更好地研究参数方程所表示的曲线的几何性质.这是学习参数方程的最低层次.例1已知曲线C的参数方程为C：x=2cosθ，y=2sinθ（0≤θ≤π），求曲线C的长度.●分●析要求该曲线的长度，需知该曲线的形状，而该曲线是由参数方程的形式给出的，因此先要消去参数化为普通方程，再看其表示的是何种曲线，进而解决本题.●解因sin 2 θ+cos2θ=1，故曲线C的参数方程可化为x2+y2=4，不难知道该普通方程所表示的图形是圆.但注意到0≤θ≤π，故该参数方程所表示的曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的半圆（上半圆）.所以其长度应是圆周长l=2πR=4π的一半，即曲线C的长度为2π．●点●评消参是学习参数方程的第一层次，也是最低层次，特别值得注意的是消去参数时一定要注意参数的取值范围，保持消参后的普通方程与原参数方程的等价性.二、用参已知参数方程，如何灵活、正确地使用好参数，是学习参数方程的第二层次，有一定的难度.例2已知直线l的参数方程为l：x=1+t，y=1-t（t为参数），曲线C的参数方程为C：x=2cosθ，y=sinθ（0≤θ≤2π），若直线l与曲线C交于两点M，N，求线段MN的长度.●分●析本题若直接消去参数将曲线C与直线l化归为普通方程，则过程较为繁冗，而且具有一定的难度.其实只要将曲线C化归为普通方程，再灵活运用直线l的参数方程，即可使本题简捷巧妙地获解.●解将曲线C化为普通方程，可得x2+4y2=4（该曲线为椭圆），直接将直线l的参数方程代入，可得5t2-6t+1=0，解之得t=1或t=15．当t=1时，x=2，y=0，即得直线l与曲线C的一个交点为M（2，0）；当t=15时，x=65，y=45，即得直线l与曲线C的另一个交点为N65，45．所以线段MN的长度|MN|=452+452=452．●点●评灵活借助直线的参数方程，巧妙将问题进行化归和转化，从而使得问题的解答简捷明快，发挥了参数方程的优势，体现了参数的功能与优越性.三、设参如何依据题设条件设置参数，巧妙建立参数方程，进而将问题进行合理、有效地化归与转化，是学习参数方程的第三层次，也是学好参数方程的最高境界.图1例3如图1，给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C 在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=x OA+y OB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .●分●析不难看出点A，B，C都在半径为1的圆上，因此解答本题的关键是如何选择变量做为参数.这里可以通过建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为θ，借助圆的参数方程构建出关于θ的函数，再求其最大值.●解建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为θ(0＜θ＜2π3)，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），C（cosθ，sinθ）．由OC=x OA+y OB，得x+y cos120°=cosθ，y sin120°=sinθ，即x-12y=cosθ，32y=sinθ，可得y=23sinθ，x=13sinθ+cosθ，所以x+y=3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)，注意到0＜θ＜2π3，故当θ=π3时，x+y取最大值2.●点●评本题通过建立平面直角坐标系，并选取OC与OA的夹角为参变量，借助圆的参数方程与向量的坐标形式建立目标函数，最终将问题化归为求给定区间上的三角函数的最大值问题.设置参数起到了简捷明快地解题的作用.1. 已知曲线C的参数方程为x=t-1t，y=3t+1t（t为参数，t≥1），求曲线C的普通方程.2. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.。

为伊“销”得人憔悴——谈谈解几问题中消参的策略

为伊“消”得人憔悴，衣带渐宽终不悔。

——解析几何常用“消参”策略解析几何的基本思想是用代数方法解决几何问题，通过建系设点，把曲线的相关问题转化为方程或函数问题来解决。

在解题过程中，消除未知数，化简方程或表达式，既是关键，也是难点，掌握运用“消参”的策略对学习解析几何非常重要。

我们通过几个问题的解决来看看解几消参的方法和策略。

一、设斜率为参数，利用根与系数的关系解题。

例1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点和两个顶点在圆22:1O x y +=上。

（1）求椭圆C 的方程；（2）若点F 是C 的左焦点，过点(,0)(1)P m m ≥作圆O 的切线l ，l 交C 于,A B 两点，求ABF ∆的面积的最大值。

解：（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>可知C 的焦点在x 轴上，因为圆O 与x 轴的两个交点的坐标分别为()()1,0,1,0-，与y 轴的两个交点的坐标分别为()()0,1,0,1-，根据题意，得1b c ==，故2222a b c =+=.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）解法1：因为点F 是C 的左焦点, 则()1,0F -.①当1m =时, 圆O 的切线l 的方程为1x =, 此时,,A B 的坐标为1,,1,22⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,则AB =.点F 到l 的距离为d =2,所以△ABF的面积为12S AB d =⋅⋅=. ②当1m >时, 设圆O 的切线l 的方程为()()0y k x m k =-≠, 即0kx y km --=,因为l 是圆O 的切线,1=, 即2221k m k =+.设()()1122,,,A x y B x y ,由()22,1,2y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()22222124210k x k mx k m +-+-=, ()()()2222248121k m k k m =-+-∆280k =>, 则2122412k m x x k +=+, ()221222112k m x x k -=+. 故AB ==21m =+. 点F 到l 的距离为d==1m m +=.故△ABF 的面积为2111221m S AB d m m+=⋅⋅=⨯⨯+ )211m m +=+. 令())()2111m f m m m +=>+, 则()))()222111m m m f m m+-+'=+)()222211m m m --+=+. 当1m >时, ()0f m '<,则()f m 在()1,+∞上单调递减. 故()()1f mf <=即△ABF 的面积S <由①②可知, △ABF .解法2：设直线l 的方程为x ty m =+，由l 与圆C 1=,即221m t =+.设()()1122,,,A x y B x y ,由221,2,x t x y m y =⎧⎪⎨+=+⎪⎩消去x 得()2222220t y tmy m +++-=, 因为222(2)4(2)(2)80,tm t m ∆=-+-=> 则12222tm y y t +=-+, 212222m y y t -=+.所以△ABF 的面积为1212S PF y y =⋅⋅- (112m =+ (112m =+)211m m +=+. 以下同解法1.由于直线与圆锥曲线的问题总是涉及交点，问题目标通常可以用交点坐标表示，通过联立直线与圆锥曲线方程或可求交点坐标，或利用根与系数的关系，将目标式由关于12,x x （或12,y y ）的关系式转化为关于斜率k 的关系式，起到消元作用。

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